वृत्त $x^{2}+y^{2}=2$ और परवलय $y^{2}=8x$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

यदि $e_{1}$ दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (जहाँ $a > b$) की उत्केंद्रता है और $e_{2}$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता है,तो $e_{1}^{2}+e_{2}^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक ऐसे बिंदु का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जो इस प्रकार गति करता है कि उसकी $(0, 0)$ बिंदु से दूरी,$y$-अक्ष से उसकी दूरी की दोगुनी है।

एक शांकव (conic) बिंदु $(2, 4)$ से होकर गुजरता है और इस प्रकार है कि इसके किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा का निर्देशांक अक्षों के बीच का खंड स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होता है। तो शांकव की नाभियाँ (foci) हैं:

वक्रों $y^2 = 16x$ और $xy = -4$ के उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$,जहाँ $y_1 < 0$ और $y_2 < 0$,दीर्घवृत्त $x^2 + 4y^2 = 4$ के नाभिलंब के अंतिम बिंदु हैं। नाभिलंब $PQ$ वाले परवलयों के समीकरण क्या हैं?
$(A) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(B) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 + \sqrt{3}$
$(C) x^2 + 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$
$(D) x^2 - 2\sqrt{3}y = 3 - \sqrt{3}$