MHT CET 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) पहाड़ी के शीर्ष पर, सवार पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ और ऊपर की ओर लंबवत प्रतिक्रिया बल $(N)$ हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल केंद्र की ओर शुद्ध बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $mg - N = \frac{mv^2}{R}$।
"भारहीनता" की स्थिति के लिए, लंबवत प्रतिक्रिया $N$ शून्य होनी चाहिए।
इसलिए, $mg = \frac{mv^2}{R}$।
वेग $v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{Rg}$।
यहाँ $R = 20\, m$ और $g = 10\, m/s^2$ लेने पर, हमें प्राप्त होता है:
$v = \sqrt{20 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14\, m/s$।
अतः, गति $14\, m/s$ और $15\, m/s$ के बीच है।

(D) कोणीय आवृत्तियाँ $\omega_{1} = 100 \, rad \, s^{-1}$ और $\omega_{2} = 1000 \, rad \, s^{-1}$ दी गई हैं।
मान लीजिए कि समान विस्थापन आयाम $A$ है।
सरल आवर्त गति के लिए अधिकतम त्वरण $a_{max}$ का सूत्र $a_{max} = \omega^2 A$ है।
पहली गति के लिए,$a_{max1} = \omega_{1}^2 A = (100)^2 A$.
दूसरी गति के लिए,$a_{max2} = \omega_{2}^2 A = (1000)^2 A$.
उनके अधिकतम त्वरण का अनुपात $\frac{a_{max1}}{a_{max2}} = \frac{\omega_{1}^2 A}{\omega_{2}^2 A} = \frac{\omega_{1}^2}{\omega_{2}^2}$ है।
मान रखने पर,$\frac{a_{max1}}{a_{max2}} = \frac{(100)^2}{(1000)^2} = \frac{10000}{1000000} = \frac{1}{100}$.
अतः,अनुपात $1:10^2$ है।

(C) कण का प्रारंभिक वेग $\vec{u} = v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j}$ है।
जब कण जमीन पर गिरता है तो उसका अंतिम वेग $\vec{v}_f = v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ होता है।
प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = m \vec{u} = m v \cos \theta \hat{i} + m v \sin \theta \hat{j}$ है।
अंतिम संवेग $\vec{p}_f = m \vec{v}_f = m v \cos \theta \hat{i} - m v \sin \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = (m v \cos \theta \hat{i} - m v \sin \theta \hat{j}) - (m v \cos \theta \hat{i} + m v \sin \theta \hat{j}) = -2 m v \sin \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = 2 m v \sin \theta$ है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 45^{\circ} = 1 / \sqrt{2}$ होता है।
अतः,$|\Delta \vec{p}| = 2 m v (1 / \sqrt{2}) = \sqrt{2} m v$ प्राप्त होता है।

(C) $m$ द्रव्यमान की वस्तु की पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U_{1} = -\frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
सतह से $h = R$ की ऊँचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + R = 2R$ है।
इस ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U_{2} = -\frac{GMm}{2R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_{2} - U_{1} = -\frac{GMm}{2R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{2R} = \frac{GMm}{2R}$ है।
चूँकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^{2}}$ है,इसलिए $GM = gR^{2}$ है।
इस मान को $\Delta U$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta U = \frac{1}{2} \frac{(gR^{2})m}{R} = \frac{1}{2} mgR$.

(C) उपग्रह की कक्षीय गति $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों उपग्रह एक ही कक्षा में हैं,इसलिए दोनों के लिए $r$ समान है।
अतः,कक्षीय गति $v$ उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
इस प्रकार,$S_{1}$ और $S_{2}$ समान गति से चलते हैं।
आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है,जो उपग्रह के द्रव्यमान से भी स्वतंत्र है।
स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ और गतिज ऊर्जा $K = \frac{GMm}{2r}$ दोनों उपग्रह के द्रव्यमान $m$ पर निर्भर करती हैं,इसलिए वे $S_{1}$ और $S_{2}$ के लिए समान नहीं हैं।

(B) आदर्श गैस एक सैद्धांतिक गैस है जो यादृच्छिक रूप से गति करने वाले कई बिंदु कणों से बनी होती है,जिन पर कोई अंतर-कण परस्पर क्रिया नहीं होती है। यह आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ का पालन करती है और गैसों के गतिज सिद्धांत की सभी मूलभूत मान्यताओं को पूरा करती है,जैसे कि नगण्य आणविक आयतन और प्रत्यास्थ टक्कर।

(A) जब ड्राइवर ब्रेक लगाता है,तो कार मंदक बल $F$ के प्रभाव में रुकने से पहले $x$ दूरी तय करती है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार: $\frac{1}{2} m v^{2} = F x$,जिससे $x = \frac{m v^{2}}{2 F}$ प्राप्त होता है।
जब ड्राइवर मोड़ लेता है,तो आवश्यक अभिकेंद्र बल घर्षण बल $F$ द्वारा प्रदान किया जाता है। अतः,$\frac{m v^{2}}{r} = F$,जिससे मोड़ की त्रिज्या $r = \frac{m v^{2}}{F}$ प्राप्त होती है।
दोनों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $x = \frac{r}{2}$ है।
इसका तात्पर्य यह है कि समान मंदक (घर्षण) बल का उपयोग करके,कार को मोड़ने के लिए आवश्यक त्रिज्या की तुलना में ब्रेक लगाकर कम दूरी में रोका जा सकता है। इसलिए,ब्रेक लगाना अधिक प्रभावी है।

(D) कोणीय गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $\omega^2 = \omega_0^2 - 2\alpha\theta$।
प्रारंभ में,$\theta_1 = 36 \times 2\pi$ रेडियन के बाद कोणीय वेग $\omega = \frac{\omega_0}{2}$ हो जाता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{\omega_0}{2})^2 = \omega_0^2 - 2\alpha(36 \times 2\pi)$।
$\frac{\omega_0^2}{4} = \omega_0^2 - 144\pi\alpha$,जिससे $144\pi\alpha = \frac{3\omega_0^2}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = \frac{3\omega_0^2}{576\pi} = \frac{\omega_0^2}{192\pi}$।
अब,$\omega = \frac{\omega_0}{2}$ से $\omega = 0$ तक की गति के लिए,मान लीजिए कि अतिरिक्त चक्कर $n$ हैं। तय किया गया कोण $\theta_2 = n \times 2\pi$ है।
$0^2 = (\frac{\omega_0}{2})^2 - 2\alpha(n \times 2\pi)$ का उपयोग करते हुए।
$\frac{\omega_0^2}{4} = 2(\frac{\omega_0^2}{192\pi})(n \times 2\pi)$।
$\frac{1}{4} = \frac{4n\pi}{192\pi} = \frac{n}{48}$।
$n = \frac{48}{4} = 12$।
अतः,पंखा रुकने से पहले $12$ और चक्कर लगाएगा।

(D) जब किसी द्रव का पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ाया जाता है,तो द्रव के भीतर से अणु सतह पर आते हैं।
जैसे ही ये अणु सतह पर पहुँचते हैं,ससंजक बल (cohesive force) के विरुद्ध कार्य किया जाता है।
यह कार्य अणुओं में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
अतः,सतह पर स्थित अणुओं की स्थितिज ऊर्जा द्रव के भीतर स्थित अणुओं की तुलना में अधिक होती है।

(C) साबुन की फिल्म की पृष्ठीय ऊर्जा $(E)$,पृष्ठ तनाव $(T)$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होती है। चूंकि साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2A$ होता है।
$E = T \times 2A$
जब फ्रेम का क्षेत्रफल $50 \%$ कम किया जाता है,तो नया क्षेत्रफल $A' = A - 0.5A = 0.5A = A/2$ हो जाता है।
नई पृष्ठीय ऊर्जा $(E_1)$ है:
$E_1 = T \times 2(A/2) = T \times A$
पृष्ठीय ऊर्जा में प्रतिशत परिवर्तन की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \frac{E - E_1}{E} \times 100$
$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \frac{2TA - TA}{2TA} \times 100 = \frac{TA}{2TA} \times 100 = 50 \%$
अतः,साबुन की फिल्म की ऊर्जा में $50 \%$ का परिवर्तन होगा।

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{L/g}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ निलंबन बिंदु और निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(CM)$ के बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,पानी से भरे गोले का $CM$ गोले के ज्यामितीय केंद्र पर होता है।
जैसे-जैसे नीचे के छेद से पानी बाहर निकलता है,शेष पानी का $CM$ नीचे की ओर खिसकता है,जिससे लोलक की प्रभावी लंबाई $L$ बढ़ जाती है,जिसके परिणामस्वरूप आवर्तकाल $T$ बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे गोला लगभग खाली हो जाता है,शेष पानी का $CM$ वापस ऊपर की ओर गोले के केंद्र की ओर खिसकता है।
इसके कारण प्रभावी लंबाई $L$ कम हो जाती है,जिससे आवर्तकाल $T$ घट जाता है।
अतः,दोलन का आवर्तकाल पहले बढ़ेगा और फिर घटेगा।

(D) एक सरल लोलक का आवर्तकाल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
यहाँ,$l$ लोलक की लंबाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T^2 = \frac{4 \pi^2 l}{g}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$T^2 = k \cdot l$,जहाँ $k = \frac{4 \pi^2}{g}$ एक स्थिरांक है।
यह समीकरण $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
इसलिए,आवर्तकाल $T$ और लंबाई $l$ के बीच का ग्राफ एक परवलय का हिस्सा है।

(B) माना कि पतले गोलीय कोश और ठोस गोले की त्रिज्याएँ क्रमशः $R_1$ और $R_2$ हैं।
पतले गोलीय कोश का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{\text{shell}} = \frac{2}{3} MR_1^2$ ... $(i)$
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5} MR_2^2$ ... (ii)
दिया गया है कि दोनों पिंडों के द्रव्यमान $(M)$ और जड़त्व आघूर्ण $(I)$ समान हैं,इसलिए समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर:
$\frac{2}{3} MR_1^2 = \frac{2}{5} MR_2^2$
दोनों पक्षों को $M$ से विभाजित करने और सरल करने पर:
$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{3}{5}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\sqrt{3}: \sqrt{5}$ है।

(C) एक खुली खिड़की एक पूर्णतः कृष्णिका (perfectly black body) की तरह व्यवहार करती है क्योंकि इसमें प्रवेश करने वाला कोई भी विकिरण कमरे के अंदर अवशोषित हो जाता है और बाहर नहीं निकलता है।
एक पूर्णतः कृष्णिका के लिए,अवशोषण गुणांक $1$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(B) साफ रातों के दौरान,पृथ्वी की सतह पर मौजूद वस्तुएं गर्मी का विकिरण करती हैं,जिससे तापमान गिर जाता है। अतः,विकल्प $(A)$ गलत है।
स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्रफल में उत्सर्जित कुल ऊर्जा $E \propto T^{4}$ होती है। अतः,विकल्प $(C)$ गलत है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा (शक्ति) $P = A \sigma \varepsilon T^{4} = 4 \pi r^{2} \sigma \varepsilon T^{4}$ द्वारा दी जाती है।
दो गोलों के लिए,उत्सर्जित शक्ति का अनुपात:
$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{4} = \left(\frac{1}{4}\right)^{2} \left(\frac{4000}{2000}\right)^{4} = \frac{1}{16} \times (2)^{4} = \frac{16}{16} = 1$.
चूंकि $P_{1} = P_{2}$,इसलिए विकल्प $(D)$ गलत है।
न्यूटन का शीतलन नियम विकिरण के स्टीफन नियम का एक अनुमानित रूप है और यह छोटे तापमान अंतर के लिए मान्य है,जो आमतौर पर प्राकृतिक संवहन में देखा जाता है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) अनुप्रस्थ तरंग में,माध्यम के कण अपनी माध्य स्थितियों के परितः तरंग संचरण की दिशा के लंबवत दिशा में कंपन करते हैं।
चूंकि तरंग $X$-अक्ष के अनुदिश संचरित होती है और कण $Y$-अक्ष के अनुदिश दोलन करते हैं,इसलिए कण के वेग की दिशा तरंग के वेग की दिशा के लंबवत होती है।
अतः,अनुप्रस्थ तरंग में कण के वेग और तरंग के वेग के बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन होता है।

(A) दिया गया है कि कण का विस्थापन $y = A \sin (\omega t - k x)$ है।
कण का वेग $v_p$ समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित है:
$v_p = \frac{dy}{dt}$
विस्थापन समीकरण का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v_p = \frac{d}{dt} [A \sin (\omega t - k x)] = A \omega \cos (\omega t - k x)$
अधिकतम कण वेग के लिए,कोसाइन पद का मान अधिकतम होना चाहिए,जो कि $1$ है:
$v_{p, \text{max}} = A \omega (1) = A \omega$
अतः,कण का अधिकतम वेग $A \omega$ है।

(D) एक स्थिर स्रोत की ओर गति करने वाले प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n'$ के लिए डॉपलर प्रभाव का सूत्र है: $n' = n \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $v_o$ प्रेक्षक का वेग है।
दिया गया है कि $v_o = \frac{v}{5}$,इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$n' = n \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = n \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2n$.
आवृत्ति में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{n' - n}{n} = \frac{1.2n - n}{n} = 0.2$ है।
प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं: $0.2 \times 100 \% = 20 \%$.

(D) एक खींची हुई स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} k x^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है और $x$ स्प्रिंग में विस्तार है।
प्रथम स्थिति के लिए,$x_1 = 2 \ cm$,अतः $U = \frac{1}{2} k (2)^2 = 2k$ ... $(i)$.
दूसरी स्थिति के लिए,$x_2 = 10 \ cm$,अतः नई स्थितिज ऊर्जा $U'$ होगी $U' = \frac{1}{2} k (10)^2 = 50k$ ... $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{U'}{U} = \frac{50k}{2k} = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$U' = 25U$.

(B) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
प्रारंभ में,$T = 2 \, s = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$.
जब चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश तीन बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग के लिए द्रव्यमान $m' = m/3$ और लंबाई $l' = l/3$ होती है।
प्रत्येक भाग का केंद्र से जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{1}{12} m' (l')^2 = \frac{1}{12} (m/3) (l/3)^2 = \frac{I}{27}$ होता है।
प्रत्येक भाग का चुंबकीय आघूर्ण $M' = M/3$ होता है।
जब ऐसे तीन भागों को एक-दूसरे के ऊपर रखा जाता है,तो कुल जड़त्व आघूर्ण $I_s = 3 \times I' = 3 \times (I/27) = I/9$ होता है।
कुल चुंबकीय आघूर्ण $M_s = 3 \times M' = 3 \times (M/3) = M$ होता है।
नया आवर्तकाल $T_s = 2\pi \sqrt{\frac{I_s}{M_s B}} = 2\pi \sqrt{\frac{I/9}{MB}} = \frac{1}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = \frac{T}{3}$ होता है।
$T = 2 \, s$ रखने पर,हमें $T_s = 2/3 \, s$ प्राप्त होता है।

(A) माना शंट प्रतिरोध $S$ है।
दिया गया है:
मापी जाने वाली कुल धारा,$I = 750\, A$
एमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा,$I_g = 100\, A$
एमीटर का प्रतिरोध,$R_G = 13\, \Omega$
जब एमीटर के समानांतर में एक शंट $S$ जोड़ा जाता है,तो एमीटर और शंट के बीच विभवांतर समान होना चाहिए:
$I_g R_G = (I - I_g) S$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$100 \times 13 = (750 - 100) \times S$
$1300 = 650 \times S$
$S$ के लिए हल करने पर:
$S = \frac{1300}{650} = 2\, \Omega$
अतः,शंट प्रतिरोध का मान $2\, \Omega$ है।

(D) बैंड गैप के पार एक इलेक्ट्रॉन को उत्तेजित करने के लिए आवश्यक फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम आवृत्ति $\nu$ के लिए,फोटॉन की ऊर्जा बैंड गैप ऊर्जा $E_g$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $E_g = 2.0\, eV$।
हम जानते हैं कि $1\, eV = 1.6 \times 10^{-19}\, J$,इसलिए $E_g = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{-19}\, J$।
$E = h\nu$ संबंध का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\nu = \frac{E_g}{h}$ है।
$h = 6.63 \times 10^{-34}\, J\cdot s$ का मान रखने पर:
$\nu = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 0.482 \times 10^{15}\, Hz$।
$\nu \approx 4.82 \times 10^{14}\, Hz$।
इस मान को पूर्णांकित करने पर,हमें $\nu \approx 5 \times 10^{14}\, Hz$ प्राप्त होता है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा $i = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ $rms$ वोल्टेज है,$R$ प्रतिरोध है,$X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात है और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात है।
धारा को अधिकतम होने के लिए,प्रतिबाधा न्यूनतम होनी चाहिए,जो तब होती है जब $X_L = X_C$ हो।
इस स्थिति को अनुनाद (resonance) कहा जाता है,जहाँ $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ होता है।
$L$ के लिए हल करने पर,$L = \frac{1}{\omega^2 C}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\omega = 1000 \ s^{-1}$ और $C = 10 \ \mu F = 10 \times 10^{-6} \ F$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $L = \frac{1}{(1000)^2 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^6 \times 10^{-5}} = \frac{1}{10} = 0.1 \ H$।
मिलीहेनरी में बदलने पर: $0.1 \ H = 100 \ mH$।

(C) $AC$ परिपथ में तात्कालिक शक्ति $p$,तात्कालिक $emf$ और धारा के गुणनफल द्वारा दी जाती है:
$p = e \cdot i = (E_{0} \sin \omega t) \cdot (I_{0} \sin (\omega t - \phi))$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p = \frac{E_{0} I_{0}}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)]$
एक पूर्ण चक्र $T$ पर औसत शक्ति $P_{av}$,समय $T$ पर $p$ का औसत है:
$P_{av} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p \, dt = \frac{E_{0} I_{0}}{2T} \int_{0}^{T} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)] \, dt$
चूंकि एक पूर्ण चक्र पर $\cos(2\omega t - \phi)$ का औसत $0$ होता है,इसलिए व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$P_{av} = \frac{E_{0} I_{0}}{2} \cos \phi$
यहाँ,$\cos \phi$ को $AC$ परिपथ का शक्ति गुणांक (power factor) कहा जाता है।

(C) ट्रांसफार्मर की दक्षता को आउटपुट पावर और इनपुट पावर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\eta = \frac{\text{Output Power}}{\text{Input Power}}$
दिया गया है:
आउटपुट पावर $(P_{out})$ = $100 \,W$
इनपुट वोल्टेज $(V_p)$ = $220 \,V$
इनपुट धारा $(I_p)$ = $0.5 \,A$
इनपुट पावर $(P_{in})$ = $V_p \times I_p = 220 \,V \times 0.5 \,A = 110 \,W$
दक्षता $(\eta)$ = $\frac{100 \,W}{110 \,W} \approx 0.909$
$\eta \approx 90.9 \% \approx 90 \%$
अतः, दक्षता लगभग $90 \%$ है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \text{ eV}$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था $n=2$ के अनुरूप होती है।
अतः,पहली उत्तेजित अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ है।
इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से पहली उत्तेजित अवस्था में ले जाने के लिए आवश्यक उत्तेजन ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1$ है।
$\Delta E = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 10.2 \text{ eV}$।

(A) हम जानते हैं कि स्थिर अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ की तरह व्यवहार करता है,जिसका अर्थ है कि इसमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,संधारित्र के सिरों पर विभवांतर बैटरी के वोल्टेज के बराबर होता है,जो कि $45 \text{ V}$ है।
संधारित्र पर अंतिम आवेश $q$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$q = C \times V$
दिया गया है:
धारिता $C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$
वोल्टेज $V = 45 \text{ V}$
मान रखने पर:
$q = 20 \times 10^{-6} \times 45$
$q = 900 \times 10^{-6} \text{ C}$
$q = 9 \times 10^{-4} \text{ C}$

(D) समानांतर प्लेट संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ है।
यहाँ,धारिता $C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ है।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V$,विद्युत क्षेत्र $E$ और दूरी $d$ के साथ $V = E d$ द्वारा संबंधित है।
इन मानों को ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \right) (E d)^{2}$
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \right) (E^{2} d^{2})$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E^{2} A d$.

(A) सेल का आंतरिक प्रतिरोध $r$ ज्ञात करने के लिए पोटेंशियोमीटर प्रयोग में,मान लीजिए $E$ सेल का emf है और $V$ बाहरी प्रतिरोध $R$ के सिरों पर टर्मिनल विभवांतर है। संतुलन लंबाइयाँ $l_1 = 110 \ cm$ (ओपन सर्किट) और $l_2 = 100 \ cm$ ($R = 10 \ \Omega$ के साथ क्लोज्ड सर्किट) हैं।
हम जानते हैं कि $E \propto l_1$ और $V \propto l_2$.
अतः,$\frac{E}{V} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{110}{100} = 1.1$.
साथ ही,emf,टर्मिनल वोल्टेज और आंतरिक प्रतिरोध के बीच संबंध $\frac{E}{V} = \frac{R+r}{R} = 1 + \frac{r}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $1 + \frac{r}{R} = 1.1$.
$\frac{r}{R} = 1.1 - 1 = 0.1$.
यहाँ $R = 10 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $r = 0.1 \times 10 \ \Omega = 1.0 \ \Omega$।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रोटॉन,कैथोड किरणें (इलेक्ट्रॉन) और अल्फा कण सभी आवेशित कण हैं। इसलिए,जब वे चुंबकीय क्षेत्र से गुजरते हैं तो वे चुंबकीय बल का अनुभव करते हैं और विक्षेपित हो जाते हैं।
न्यूट्रॉन विद्युत रूप से उदासीन कण होते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका आवेश $q = 0$ है।
चूंकि आवेश शून्य है,इसलिए चुंबकीय बल $F = 0 \times (v \times B) = 0$ होता है।
अतः,न्यूट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र द्वारा विक्षेपित नहीं हो सकते हैं।

(C) फोटॉन विद्युत चुम्बकीय विकिरण का एक क्वांटम है जो ऊर्जा और संवेग वहन करता है।
इसका विराम द्रव्यमान शून्य होता है और इस पर कोई विद्युत आवेश नहीं होता है।
फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
फोटॉन का संवेग $p = E/c = h/\lambda$ द्वारा दिया जाता है।
फोटॉन निर्वात में प्रकाश की गति $c$ से चलते हैं।
चूंकि फोटॉन विद्युत रूप से उदासीन होते हैं,इसलिए इनमें कोई विद्युत आवेश नहीं होता है।
अतः,आवेश फोटॉन का गुण नहीं है।

(C) मुक्त आकाश में विद्युत चुंबकीय विकिरण का वेग प्रकाश की गति $(c)$ के बराबर होता है।
मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार,निर्वात में विद्युत चुंबकीय तरंगों की गति मुक्त आकाश की परमीबिलिटी $(\mu_{0})$ और मुक्त आकाश की परमिटिविटी $(\varepsilon_{0})$ से निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित है:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$
अतः,वेग के लिए सही व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ है।

(B) जब $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले एक आयन को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $E = qV = \frac{1}{2}mv^2$ होती है। इससे,वेग $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ प्राप्त होता है।
जब यह आयन अपनी गति के लंबवत चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करता है,तो लॉरेंट्ज़ बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे यह $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करता है: $qvB = \frac{mv^2}{R}$।
बल समीकरण में $v$ का मान रखने पर: $qvB = \frac{m}{R} \left(\frac{2qV}{m}\right) = \frac{2qV}{R}$।
आवेश-द्रव्यमान अनुपात के लिए सरल करने पर: $R = \frac{mv}{qB}$।
त्रिज्या समीकरण में $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ रखने पर: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $R^2 = \frac{2mV}{qB^2}$।
$\frac{q}{m}$ अनुपात प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{q}{m} = \frac{2V}{R^2 B^2}$।
चूंकि $V$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए $\frac{q}{m} \propto \frac{1}{R^2}$।

(C) जब चुंबकीय क्षेत्र आवेशित कण की गति के लंबवत होता है,तो चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$F_{c} = F_{m}$
$\frac{m v^{2}}{R} = B q v$
इससे,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या इस प्रकार दी जाती है:
$R = \frac{m v}{B q}$
वृत्ताकार गति का आवर्तकाल $T$ एक पूर्ण परिधि को पूरा करने में लगा समय है:
$T = \frac{2 \pi R}{v}$
$R$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2 \pi}{v} \left( \frac{m v}{B q} \right)$
$T = \frac{2 \pi m}{B q}$
चूंकि $T$ केवल द्रव्यमान $m$,आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह त्रिज्या $R$ और गति $v$ दोनों से स्वतंत्र है।

(A) निकल 'एक्सचेंज कपलिंग' नामक एक क्वांटम भौतिक प्रभाव के कारण फेरोमैग्नेटिज्म प्रदर्शित करता है,जिसमें एक परमाणु के इलेक्ट्रॉन स्पिन अपने पड़ोसी परमाणुओं के स्पिन के साथ परस्पर क्रिया करते हैं।
यह परस्पर क्रिया परमाणुओं के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्णों (magnetic dipole moments) के संरेखण का कारण बनती है,जो तापीय टक्करों की यादृच्छिक प्रवृत्ति पर हावी हो जाती है।
यह निरंतर संरेखण ही फेरोमैग्नेटिक पदार्थों में स्थायी चुंबकत्व के लिए जिम्मेदार है।
जब किसी फेरोमैग्नेटिक पदार्थ का तापमान एक निश्चित क्रांतिक मान से ऊपर उठाया जाता है,जिसे क्यूरी तापमान $(T_C)$ कहा जाता है,तो एक्सचेंज कपलिंग प्रभावी नहीं रह जाती है।
परिणामस्वरूप,पदार्थ फेरोमैग्नेटिक से पैरामैग्नेटिक अवस्था में परिवर्तित हो जाता है।
पैरामैग्नेटिक अवस्था में,द्विध्रुव अभी भी बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के साथ संरेखित होने की प्रवृत्ति रखते हैं,लेकिन यह संरेखण बहुत कमजोर होता है और तापीय हलचल इसे आसानी से बाधित कर सकती है।

(B) नाभिकीय बंधन ऊर्जा $(BE)$ को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के ऊर्जा समतुल्य के रूप में परिभाषित किया गया है।
द्रव्यमान क्षति व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान के योग और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच का अंतर है।
ऑक्सीजन समस्थानिक ${ }_{8}^{17}O$ के लिए, प्रोटॉन की संख्या $(Z)$ $8$ है और न्यूट्रॉन की संख्या $(N)$ $A - Z = 17 - 8 = 9$ है।
न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान $(8 M_{p} + 9 M_{n})$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (8 M_{p} + 9 M_{n} - M_{O})$ है।
बंधन ऊर्जा $BE = (8 M_{p} + 9 M_{n} - M_{O}) c^{2}$ द्वारा दी जाती है। दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही विकल्प $B$ है।

(D) हम जानते हैं कि न्यूट्रिनो वह कण है जिसका द्रव्यमान लगभग शून्य और आवेश सटीक शून्य होता है।
पॉज़िट्रॉन पर $+e$ आवेश और $m_{e}$ द्रव्यमान (इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान के बराबर) होता है।
इलेक्ट्रॉन एक ऐसा कण है जिस पर $-e$ आवेश और $9.1 \times 10^{-31} \ kg$ द्रव्यमान होता है।
न्यूट्रॉन एक ऐसा कण है जिस पर शून्य आवेश और $1838 \ m_{e}$ द्रव्यमान होता है।
अतः,सही उत्तर न्यूट्रिनो है।

(D) नाभिकीय घनत्व $\rho$ को नाभिक के द्रव्यमान और उसके आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि नाभिक का द्रव्यमान लगभग $M = A \cdot m_p$ (जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $m_p$ एक न्यूक्लियॉन का द्रव्यमान है) होता है और आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है,जहाँ $R = R_0 A^{1/3}$ है।
$R$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ प्राप्त होता है।
अतः,$\rho = \frac{A \cdot m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$।
यह व्यंजक दर्शाता है कि नाभिकीय घनत्व द्रव्यमान संख्या $A$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,किन्हीं भी दो नाभिकों के नाभिकीय घनत्व का अनुपात हमेशा $1: 1$ होता है।

(B) बीटा क्षय में इलेक्ट्रॉनों या पॉज़िट्रॉन का उत्सर्जन शामिल हो सकता है।
$\beta$-क्षय में उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन या पॉज़िट्रॉन नाभिक के अंदर मौजूद नहीं होते हैं।
वे केवल उत्सर्जन के समय ही उत्पन्न होते हैं,ठीक वैसे ही जैसे जब कोई परमाणु उच्च ऊर्जा अवस्था से निम्न ऊर्जा अवस्था में संक्रमण करता है तो फोटॉन उत्पन्न होते हैं।
ऋणात्मक $\beta$-क्षय में,नाभिक में एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन,एक इलेक्ट्रॉन और एक एंटीन्यूट्रिनो में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रिया में,उत्सर्जित ऋणावेशित $\beta$-कण नाभिक के अंदर मौजूद न्यूट्रॉन के क्षय के परिणामस्वरूप उत्पन्न इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(D) ऑप्टिकल फाइबर के मुख्य लाभ निम्नलिखित हैं:
$1$. इनमें बहुत उच्च बैंडविड्थ होती है,जो बड़ी मात्रा में डेटा के संचरण की अनुमति देती है।
$2$. इनकी डेटा ट्रांसमिशन क्षमता बहुत अधिक होती है,जो तांबे के तारों या रेडियो तरंगों की तुलना में काफी अधिक है।
$3$. ये व्यावहारिक रूप से विद्युत चुम्बकीय $(EM)$ हस्तक्षेप और क्रॉस-टॉक से मुक्त होते हैं,जो सामान्य केबलों और माइक्रोवेव लिंक में आम समस्याएं हैं।

(C) धातुएं आपतित प्रकाश तरंग के विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में मुक्त इलेक्ट्रॉनों के दोलनों के कारण आपतित प्रकाश को परावर्तित करती हैं।
धातुओं की विद्युत चालकता तापमान बढ़ने के साथ घटती है क्योंकि आयनों की बढ़ी हुई यादृच्छिक तापीय गति मुक्त इलेक्ट्रॉनों के प्रकीर्णन को बढ़ा देती है,जिससे प्रतिरोध बढ़ जाता है।
इसलिए,ऐसे ठोस में बंधन धात्विक होता है।

(A) दिए गए ऊर्जा बैंड आरेख में,हम वैलेंस बैंड $(E_V)$ और कंडक्शन बैंड $(E_C)$ के बीच एक ऊर्जा अंतराल $E_g$ की उपस्थिति देखते हैं। यह इंगित करता है कि पदार्थ एक अर्धचालक है।
आरेख को ध्यान से देखने पर,हम देखते हैं कि वैलेंस बैंड में होल्स (खुले वृत्त) की संख्या कंडक्शन बैंड में इलेक्ट्रॉनों (भरे हुए वृत्त) की तुलना में अधिक है। विशेष रूप से,वैलेंस बैंड के ठीक ऊपर ग्राही (एक्सेप्टर) ऊर्जा स्तरों की उपस्थिति $p$-प्रकार के अर्धचालक की विशेषता है,जहाँ होल्स बहुसंख्यक आवेश वाहक होते हैं।
अतः,यह पदार्थ $p$-प्रकार का अर्धचालक है।

(D) दिया गया है कि उत्सर्जक धारा में परिवर्तन $\Delta I_{E} = 8.0 \,mA$ है।
संग्राहक धारा में परिवर्तन $\Delta I_{C} = 7.9 \,mA$ है।
हम जानते हैं कि धारा लाभ $\alpha$, संग्राहक धारा में परिवर्तन और उत्सर्जक धारा में परिवर्तन का अनुपात है:
$\alpha = \frac{\Delta I_{C}}{\Delta I_{E}} = \frac{7.9}{8.0} = 0.9875 \approx 0.99$.
हम यह भी जानते हैं कि $\alpha$ और $\beta$ के बीच का संबंध $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ द्वारा दिया जाता है।
वैकल्पिक रूप से, धाराओं का सीधे उपयोग करने पर: $\beta = \frac{\Delta I_{C}}{\Delta I_{B}}$।
चूंकि $\Delta I_{E} = \Delta I_{C} + \Delta I_{B}$, इसलिए $\Delta I_{B} = \Delta I_{E} - \Delta I_{C} = 8.0 \,mA - 7.9 \,mA = 0.1 \,mA$।
अतः, $\beta = \frac{7.9 \,mA}{0.1 \,mA} = 79$।
इस प्रकार, $\alpha = 0.99$ और $\beta = 79$ है।

(C) $NAND$ गेट को एक $AND$ गेट और उसके बाद एक $NOT$ गेट के संयोजन के रूप में परिभाषित किया जाता है। $A$ और $B$ इनपुट वाले $NAND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक $Y = \overline{A \cdot B}$ है।
जब दोनों इनपुट को शॉर्ट किया जाता है,तो $A = B$ होता है। इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $Y = \overline{A \cdot A} = \overline{A}$ प्राप्त होता है।
यह एक $NOT$ गेट का बूलियन व्यंजक है।
इस विन्यास के लिए सत्यता सारणी (truth table) नीचे दी गई है:

$A$	$Y = \overline{A \cdot A}$
$0$	$1$
$1$	$0$

चूंकि आउटपुट इनपुट का व्युत्क्रम है,इसलिए परिणामी गेट $NOT$ गेट है।

(C) $p$-प्रकार के अर्धचालक में,एक आंतरिक अर्धचालक में त्रिसंयोजक (trivalent) अशुद्धि परमाणु मिलाए जाते हैं,जो होल्स की अधिकता पैदा करते हैं।
इसलिए,होल्स बहुसंख्यक (majority) आवेश वाहक के रूप में कार्य करते हैं और तापीय रूप से उत्पन्न इलेक्ट्रॉन अल्पसंख्यक (minority) आवेश वाहक के रूप में कार्य करते हैं।
अतः,$p$-प्रकार के अर्धचालक में होल्स बड़ी संख्या में और इलेक्ट्रॉन छोटी संख्या में होते हैं।

(D) थर्मोकपल का उदासीन तापमान $(T_n)$ थर्मोकपल बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्रियों का एक विशिष्ट गुण है। यह केवल उपयोग की गई धातुओं की प्रकृति पर निर्भर करता है और ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_c)$ तथा व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ से स्वतंत्र होता है। इसलिए,यदि ठंडे जंक्शन का तापमान कम किया जाता है,तो उदासीन तापमान समान रहता है।

(A) जब $I_{0}$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक ध्रुवण शीट पर आपतित होता है, तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_{t} = \frac{I_{0}}{2}$ होती है।
चूंकि कुल आपतित तीव्रता $I_{0}$ है और संचरित तीव्रता $\frac{I_{0}}{2}$ है, इसलिए जो प्रकाश संचरित नहीं होता है उसकी तीव्रता आपतित और संचरित तीव्रता के बीच का अंतर है।
असंचरित प्रकाश की तीव्रता = $I_{0} - I_{t} = I_{0} - \frac{I_{0}}{2} = \frac{I_{0}}{2}$.

(B) व्यतिकरण प्रयोग में,दो क्रमागत दीप्त फ्रिंजों (उच्चिष्ठ) या दो क्रमागत अदीप्त फ्रिंजों (निम्निष्ठ) के बीच की दूरी को फ्रिंज चौड़ाई कहा जाता है,जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है।
यंग के द्वि-झिरी प्रयोग के सिद्धांत के अनुसार,फ्रिंज चौड़ाई का सूत्र है:
$\beta = \frac{D \lambda}{d}$
जहाँ $D$ पर्दे और झिरियों के बीच की दूरी है,$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है,और $d$ दोनों झिरियों के बीच की दूरी है।

(D) दो आवर्ती तरंगों की परिणामी तीव्रता निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\delta$
जहाँ $\delta$ तरंगों के बीच का कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,$\cos\delta = 1$,इसलिए:
$I_{\max} = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^{2}$
न्यूनतम तीव्रता के लिए,$\cos\delta = -1$,इसलिए:
$I_{\min} = I_{1} + I_{2} - 2\sqrt{I_{1}I_{2}} = (\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})^{2}$
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं का योग है:
$I_{\max} + I_{\min} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^{2} + (\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})^{2}$
पदों का विस्तार करने पर:
$I_{\max} + I_{\min} = (I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}}) + (I_{1} + I_{2} - 2\sqrt{I_{1}I_{2}})$
$I_{\max} + I_{\min} = 2(I_{1} + I_{2})$

(C) गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध,$R_g = 50 \Omega$।
बैटरी का emf,$V = 3 \text{ V}$।
श्रेणीक्रम में जुड़ा प्रतिरोध,$R_s = 2950 \Omega$।
कुल प्रतिरोध,$R' = R_g + R_s = 50 + 2950 = 3000 \Omega$।
अतः,प्रारंभिक धारा,$I = \frac{V}{R'} = \frac{3}{3000} = 10^{-3} \text{ A}$।
यदि विक्षेप को $30$ डिवीजनों से घटाकर $20$ डिवीजन करना है,तो नई धारा $I' = I \times \frac{20}{30} = 10^{-3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times 10^{-3} \text{ A}$ होगी।
माना परिपथ का नया कुल प्रतिरोध $R_E$ है।
ओम के नियम के अनुसार,$V = I' R_E \Rightarrow R_E = \frac{V}{I'} = \frac{3}{\frac{2}{3} \times 10^{-3}} = \frac{9}{2} \times 10^3 = 4500 \Omega$।
चूंकि $R_E = R_g + R_{new}$,इसलिए आवश्यक नया श्रेणी प्रतिरोध $R_{new} = R_E - R_g = 4500 - 50 = 4450 \Omega$ होगा।