MHT CET 2008 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ વક્ર $y^2=2(x-3)$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{1}{y}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -y$ થાય.
આપેલ રેખા $y - 2x + 1 = 0$ છે,જેને $y = 2x - 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $2$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $-y = 2$,જે $y = -2$ આપે છે.
$y = -2$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-2)^2 = 2(x - 3) \Rightarrow 4 = 2(x - 3) \Rightarrow 2 = x - 3 \Rightarrow x = 5$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $(5, -2)$ છે.

(A) આપેલ અતિવલય $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1$ છે. અહીં,$a^{2}=3$ અને $b^{2}=2$ છે.
$y-x+5=0$ ને સમાંતર સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=x+c$ સ્વરૂપમાં હોય.
$y=mx+c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m=1$ મળે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$c^{2}=3(1)^{2}-2 = 3-2 = 1$.
આમ,$c=\pm 1$.
સ્પર્શકોના સમીકરણો $y=x+1$ અથવા $y=x-1$ છે,જેને $x-y+1=0$ અથવા $x-y-1=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x-y-1=0$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(C) ધારો કે વ્યાસનો બીજો અંતિમ બિંદુ $(t, 3-t)$ છે કારણ કે તે રેખા $x+y=3$ પર આવેલો છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
કેન્દ્ર એ $(1, 1)$ અને $(t, 3-t)$ અંતિમ બિંદુઓ ધરાવતા વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{1+t}{2}$ અને $k = \frac{1+3-t}{2} = \frac{4-t}{2}$.
આ સમીકરણો પરથી,$t = 2h-1$ અને $t = 4-2k$ મળે છે.
$t$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2h-1 = 4-2k$
$2h+2k = 5$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $2x+2y=5$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=13$ છે.
બિંદુનો યામ $x=2$ હોવાથી,વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2^{2}+y^{2}=13$
$4+y^{2}=13$
$y^{2}=9$
$y=\pm 3$.
તેથી,સ્પર્શ બિંદુઓ $(2, 3)$ અને $(2, -3)$ છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ના બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ માટે: $2x+3y=13$.
બિંદુ $(2, -3)$ માટે: $2x-3y=13$.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $2x+3y=13$ અને $2x-3y=13$ છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ના કોઈ પણ અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sec \phi - by \operatorname{cosec} \phi = a^{2} - b^{2}$ છે.
આપેલ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a \sec \phi}{\cos \alpha} = \frac{-b \operatorname{cosec} \phi}{\sin \alpha} = \frac{a^{2} - b^{2}}{p}$
$\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામ $p^{2} (a^{2} \sec^{2} \alpha + b^{2} \operatorname{cosec}^{2} \alpha) = (a^{2} - b^{2})^{2}$ મળે છે.

(C) આપણે $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x - \sin x}{x + \cos^{2} x}}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગતા:
$= \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sin x}{x}}{1 + \frac{\cos^{2} x}{x}}}$
કારણ કે $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$ અને $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\cos^{2} x}{x} = 0$ (કારણ કે $\sin x$ અને $\cos^{2} x$ સીમિત વિધેયો છે):
$= \sqrt{\frac{1 - 0}{1 + 0}}$
$= \sqrt{1} = 1$

(B) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos C - \cos D = -2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos ax - \cos bx}{x^{2}} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2 \sin \left( \frac{ax+bx}{2} \right) \sin \left( \frac{ax-bx}{2} \right)}{x^{2}}$
$= -2 \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin \left( \frac{a+b}{2} x \right)}{x} \right) \left( \frac{\sin \left( \frac{a-b}{2} x \right)}{x} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin k\theta}{\theta} = k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -2 \left( \frac{a+b}{2} \right) \left( \frac{a-b}{2} \right) = -2 \left( \frac{a^{2} - b^{2}}{4} \right) = \frac{b^{2} - a^{2}}{2}$

(C) આપેલ અસમતા પ્રણાલી $x \geq 0$,$y \geq 0$,$y \leq 6$,અને $x+y \leq 3$ છે.
$1$. શરતો $x \geq 0$ અને $y \geq 0$ પ્રદેશને પ્રથમ ચરણ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
$2$. રેખા $x+y = 3$ એ $(3, 0)$ અને $(0, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. અસમતા $x+y \leq 3$ આ રેખા પર અથવા તેની નીચેના પ્રદેશને દર્શાવે છે.
$3$. શરત $y \leq 6$ એ પ્રથમ ચરણમાં $x+y \leq 3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્રદેશ દ્વારા સંતોષાય છે,કારણ કે આ પ્રદેશમાં $y$ ની મહત્તમ કિંમત $3$ છે.
$4$. કારણ કે આ પ્રદેશ અક્ષો અને રેખા $x+y=3$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે,તેથી તે પ્રથમ ચરણમાં એક નિયંત્રિત (bounded) પ્રદેશ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,ઉપરની શાખામાં $\sim p$ અને $q$ સ્વીચો શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. આ શાખા માટેનું બુલિયન પદ $(\sim p \wedge q)$ છે.
નીચેની શાખામાં $p$ અને $\sim q$ સ્વીચો શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે. આ શાખા માટેનું બુલિયન પદ $(p \wedge \sim q)$ છે.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર જોડાયેલ હોવાથી,સર્કિટ માટેની કુલ બુલિયન બહુપદી બંને પદોનો વિયોજન (disjunction) થશે:
$(\sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$.

(B) ધારો કે $p$ વિધાન છે: "વરસાદ પડે છે".
ધારો કે $q$ વિધાન છે: "હું શાળાએ જઈશ".
આપેલ શરતી વિધાન $p \Rightarrow q$ છે.
શરતી વિધાન $p \Rightarrow q$ નું નિષેધ $\sim(p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p \wedge \sim q$ નો અર્થ થાય છે: "વરસાદ પડે છે અને હું શાળાએ જઈશ નહીં".
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) બુલિયન પદાવલિનું દ્વૈત શોધવા માટે,આપણે $\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$0$ ને $1$ સાથે અને $1$ ને $0$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $\left(x^{\prime} \vee y^{\prime}\right) = x \wedge y$ માટે,આપણે કારકોને બદલીએ છીએ:
$\vee$ એ $\wedge$ બને છે
$\wedge$ એ $\vee$ બને છે
આમ,દ્વૈત $\left(x^{\prime} \wedge y^{\prime}\right) = x \vee y$ છે.

(C) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^{2}+2Hxy+By^{2}+2Gx+2Fy+C=0$ છે. \\ રેખાઓની જોડી પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે $x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. \\ એટલે કે,$A+B=0$. \\ આપેલ સમીકરણ $12x^{2}+7xy+ay^{2}+13x-y+3=0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$A=12$ અને $B=a$ મળે છે. \\ આ કિંમતોને $A+B=0$ માં મૂકતા,$12+a=0$ મળે છે. \\ તેથી,$a=-12$.

(B) આપેલ પરવલય $y^{2}=16x$ છે. $y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a=16$,તેથી $a=4$ મળે.
ધારો કે પરવલય પરનું બિંદુ $(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે કોટિ એ ભુજ કરતાં બમણો છે,તેથી $k=2h$.
પરવલયના સમીકરણમાં $k=2h$ મૂકતા: $(2h)^{2}=16h$ $\Rightarrow 4h^{2}=16h$ $\Rightarrow 4h(h-4)=0$.
આમ,$h=0$ અથવા $h=4$.
$h=0$ માટે,$k=0$. $h=4$ માટે,$k=8$.
બિંદુ $(0,0)$ એ શિરોબિંદુ છે,જ્યાં નાભિઅંતર $a=4$ છે.
બિંદુ $(4,8)$ એ પરવલય પર છે,જ્યાં નાભિઅંતર $h+a = 4+4 = 8$ છે.
પ્રશ્નમાં બિંદુના નાભિઅંતર વિશે પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,જવાબ $8$ છે.

(A) આપેલ પરવલય $y^{2}=8x$ છે,તેથી $4a=8 \Rightarrow a=2$.
પરવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y=mx+\frac{a}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જે $y=mx+\frac{2}{m}$ અથવા $mx-y+\frac{2}{m}=0$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=2$ (કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{2}$) નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{|m(0)-(0)+\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}$
$\frac{2}{|m|\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4}{m^{2}(m^{2}+1)}=2 \Rightarrow m^{2}(m^{2}+1)=2$
$m^{4}+m^{2}-2=0$
$(m^{2}+2)(m^{2}-1)=0$
$m$ વાસ્તવિક હોવાથી,$m^{2}=1 \Rightarrow m=\pm 1$.
$m=1$ માટે,સ્પર્શક $y=x+2$ છે.
$m=-1$ માટે,સ્પર્શક $y=-x-2$ છે.

(A) ધારો કે $P(A)$ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં નાપાસ થવાની સંભાવના છે અને $P(B)$ એ ગણિતમાં નાપાસ થવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{20}{100} = 0.2$ અને $P(B) = \frac{10}{100} = 0.1$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે તેમ ધારતા,ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં નાપાસ થવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.2 \times 0.1 = 0.02$.
તેથી,$P(A \cup B) = 0.2 + 0.1 - 0.02 = 0.28$.
ટકાવારીમાં ફેરવતા,$0.28 \times 100 = 28 \%$.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = 3x^{2}-6x-9$.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0$.
વિકલનનું મૂલ્ય મૂકતા:
$3x^{2}-6x-9 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા:
$x^{2}-2x-3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x-3)(x+1) = 0$.
આમ,$x$ ના મૂલ્યો (abscissae) $x=3$ અને $x=-1$ મળે છે.

(C) આપેલ વક્રો $r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ અને $r_2 = 2 \sin \theta$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$r_1 = r_2$ લો:
$\sin \theta + \cos \theta = 2 \sin \theta \Rightarrow \cos \theta = \sin \theta \Rightarrow \tan \theta = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.
$r_1 = \sin \theta + \cos \theta$ માટે,$\frac{dr_1}{d\theta} = \cos \theta - \sin \theta$. ધારો કે $\phi_1$ એ સ્પર્શક અને ત્રિજ્યા સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તો $\tan \phi_1 = \frac{r_1}{dr_1/d\theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ પર,$\tan \phi_1 = \frac{1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} - 1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{0} = \infty \Rightarrow \phi_1 = \frac{\pi}{2}$.
$r_2 = 2 \sin \theta$ માટે,$\frac{dr_2}{d\theta} = 2 \cos \theta$. તેથી $\tan \phi_2 = \frac{r_2}{dr_2/d\theta} = \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} = \tan \theta$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ પર,$\tan \phi_2 = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \Rightarrow \phi_2 = \frac{\pi}{4}$.
છેદનકોણ $\psi = |\phi_1 - \phi_2| = |\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}| = \frac{\pi}{4}$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{3} - 12x^{2} + 36x + 17$.
વિકલન મેળવો: $f'(x) = 3x^{2} - 24x + 36$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $3(x^{2} - 8x + 12) = 0 \Rightarrow 3(x - 2)(x - 6) = 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 2$ અને $x = 6$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ $[1, 10]$ પર વિધેયની કિંમત શોધો:
$f(1) = (1)^{3} - 12(1)^{2} + 36(1) + 17 = 1 - 12 + 36 + 17 = 42$.
$f(2) = (2)^{3} - 12(2)^{2} + 36(2) + 17 = 8 - 48 + 72 + 17 = 49$.
$f(6) = (6)^{3} - 12(6)^{2} + 36(6) + 17 = 216 - 432 + 216 + 17 = 17$.
$f(10) = (10)^{3} - 12(10)^{2} + 36(10) + 17 = 1000 - 1200 + 360 + 17 = 177$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $177$ મળે છે.

(A) જરૂરી ક્ષેત્રફળ $x=-1$ થી $x=2$ સુધીના $|y|$ ના સંકલન દ્વારા મળે છે.
અહીં $y=x$ હોવાથી,$|y|=|x|$ થાય.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int_{-1}^{2} |x| dx$
$= \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{2} |x| dx$
$= \int_{-1}^{0} (-x) dx + \int_{0}^{2} x dx$
$= \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$= (0 - (-1/2)) + (4/2 - 0)$
$= 1/2 + 2 = 5/2$ ચોરસ એકમ.

(C) વક્રો $y=x^{2}$ (અથવા $x=\sqrt{y}$) અને $x=y^{2}$ છે.
તેઓ $(0,0)$ અને $(1,1)$ બિંદુએ છેદે છે.
$y$-અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ કરાવતા,ઘનફળ $V$ નું સૂત્ર $V = \pi \int_{a}^{b} (x_{outer}^{2} - x_{inner}^{2}) dy$ છે.
અહીં,$y \in [0,1]$ માટે,બહારનો વક્ર $x = \sqrt{y}$ છે અને અંદરનો વક્ર $x = y^{2}$ છે.
તેથી,$V = \pi \int_{0}^{1} ((\sqrt{y})^{2} - (y^{2})^{2}) dy$
$V = \pi \int_{0}^{1} (y - y^{4}) dy$
$V = \pi \left[ \frac{y^{2}}{2} - \frac{y^{5}}{5} \right]_{0}^{1}$
$V = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{5-2}{10} \right) = \frac{3}{10} \pi$.

(C) જો વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય,તો $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ થવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $f(0) = k$.
હવે,લક્ષની ગણતરી કરીએ: $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \neq 0$ માટે,$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ થાય.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા ($x > 0$ માટે),આપણને $-x \leq x \sin \frac{1}{x} \leq x$ મળે.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ,જેમ $x \to 0$ થાય,તેમ $-x$ અને $x$ બંને $0$ ને અનુલક્ષે છે.
તેથી,$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$.
આમ,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ હોવાથી,$k = 0$ મળે.

(C) આપણે પ્રમાણિત પરિણામ $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $f(x) = \log \sin x$.
તો $f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ થાય.
તેથી,સંકલન $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} e^x (f(x) + f'(x)) dx = [e^x f(x)]_{\pi / 4}^{\pi / 2}$ બને છે.
સીમાઓ મૂકતા:
$= [e^x \log \sin x]_{\pi / 4}^{\pi / 2} = e^{\pi / 2} \log \sin(\pi / 2) - e^{\pi / 4} \log \sin(\pi / 4)$.
કારણ કે $\sin(\pi / 2) = 1$ અને $\log(1) = 0$ હોવાથી,પ્રથમ પદ $0$ થાય છે.
$= 0 - e^{\pi / 4} \log(1 / \sqrt{2}) = -e^{\pi / 4} \log(2^{-1/2})$.
$= -e^{\pi / 4} \cdot (-1/2) \log 2 = \frac{1}{2} e^{\pi / 4} \log 2$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} x \sin^{3} x \, dx$ ...$(i)$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin^{3}(\pi - x) \, dx = \int_{0}^{\pi} (\pi - x) \sin^{3} x \, dx$ ...(ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\pi} (x + \pi - x) \sin^{3} x \, dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^{3} x \, dx$
$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^{3} x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sin^{3} x = \frac{3 \sin x - \sin 3x}{4}$.
$2I = \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\pi} (3 \sin x - \sin 3x) \, dx$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ -3 \cos x + \frac{\cos 3x}{3} \right]_{0}^{\pi}$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ (-3(-1) + \frac{-1}{3}) - (-3(1) + \frac{1}{3}) \right]$
$2I = \frac{\pi}{4} \left[ (3 - \frac{1}{3}) - (-3 + \frac{1}{3}) \right] = \frac{\pi}{4} \left[ \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \right] = \frac{\pi}{4} \times \frac{16}{3} = \frac{4 \pi}{3}$
$I = \frac{2 \pi}{3}$

(A) આપેલ સંકલન $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$ માટે $n=4$ ઉપ-અંતરાલ છે.
સ્ટેપ સાઈઝ $h = \frac{b-a}{n} = \frac{2-1}{4} = 0.25$.
$x_i$ ના મૂલ્યો $x_0=1, x_1=1.25, x_2=1.5, x_3=1.75, x_4=2$ છે.
$y_i = \frac{1}{x_i}$ ના અનુરૂપ મૂલ્યો:
$y_0 = \frac{1}{1} = 1$
$y_1 = \frac{1}{1.25} = 0.8$
$y_2 = \frac{1}{1.5} = 0.6667$
$y_3 = \frac{1}{1.75} = 0.5714$
$y_4 = \frac{1}{2} = 0.5$
સિમ્પસનના $\frac{1}{3}$ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\int_{a}^{b} y dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + y_n + 4(y_1 + y_3 + \dots) + 2(y_2 + y_4 + \dots)]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [y_0 + y_4 + 4(y_1 + y_3) + 2(y_2)]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [1 + 0.5 + 4(0.8 + 0.5714) + 2(0.6667)]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 4(1.3714) + 1.3334]$.
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} \approx \frac{0.25}{3} [1.5 + 5.4856 + 1.3334] = \frac{0.25}{3} [8.319] = 0.69325 \approx 0.6932$.

(C) અહીં $f(x) = \frac{1}{1+x}$,અંતરાલ $[0, 1]$,અને પેટા-અંતરાલોની સંખ્યા $n = 4$ છે.
દરેક પેટા-અંતરાલની પહોળાઈ $h = \frac{b-a}{n} = \frac{1-0}{4} = 0.25$ છે.

$i$	$x_i$	$y_i = \frac{1}{1+x_i}$
$0$	$0$	$1$
$1$	$0.25$	$0.8$
$2$	$0.5$	$0.6667$
$3$	$0.75$	$0.5714$
$4$	$1$	$0.5$

ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + y_3) + y_4]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx \frac{0.25}{2} [1 + 2(0.8 + 0.6667 + 0.5714) + 0.5]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx 0.125 [1 + 2(2.0381) + 0.5]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx 0.125 [1 + 4.0762 + 0.5]$
$\int_{0}^{1} f(x) dx \approx 0.125 [5.5762] = 0.697025 \approx 0.6977$ (આપેલ વિકલ્પો મુજબ રાઉન્ડિંગ કરતા).

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4 \frac{dy}{dx} - 7x = 0$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની નિશાની દૂર કરવી પડશે.
સમીકરણને $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4 \frac{dy}{dx} + 7x$ તરીકે ફરીથી લખો.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\frac{dy}{dx}) = (4 \frac{dy}{dx} + 7x)^2$.
$(\frac{dy}{dx}) = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 49x^2 + 56x \frac{dy}{dx}$.
પદોને ગોઠવતા,$16(\frac{dy}{dx})^2 + (56x - 1)\frac{dy}{dx} + 49x^2 = 0$ મળે છે.
અહીં સૌથી વધુ વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી ક્રમ $1$ છે.
સૌથી વધુ વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ $1$ અને ઘાત $2$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ મળે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3x^2v + x^2v^2}{x^2 + x^2v} = -\frac{3v + v^2}{1 + v}$.
$x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v + v^2}{1 + v} - v = -\frac{3v + v^2 + v + v^2}{1 + v} = -\frac{2v^2 + 4v}{1 + v} = -\frac{2v(v + 2)}{v + 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} dv = -\frac{2}{x} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2} \Rightarrow v + 1 = A(v + 2) + Bv$.
$v = 0$ માટે,$A = 1/2$ અને $v = -2$ માટે,$B = 1/2$ મળે.
તેથી,$\int (\frac{1}{2v} + \frac{1}{2(v + 2)}) dv = -\int \frac{2}{x} dx$.
$\frac{1}{2} \ln|v| + \frac{1}{2} \ln|v + 2| = -2 \ln|x| + C'$.
$\ln|v(v + 2)x^4| = C'' \Rightarrow v(v + 2)x^4 = c^2$.
$v = y/x$ મૂકતા: $\frac{y}{x}(\frac{y}{x} + 2)x^4 = c^2 \Rightarrow y(y + 2x)x^2 = c^2 \Rightarrow x^2(y^2 + 2xy) = c^2$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{x-y+3}{2(x-y)+5}$ છે.
ધારો કે $v = x-y$. તેથી $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{v+3}{2v+5}$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{v+3}{2v+5} = \frac{2v+5-v-3}{2v+5} = \frac{v+2}{2v+5}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{2v+5}{v+2} dv = \int dx$.
સંકલ્યને ફરીથી લખતા: $\int \left( \frac{2(v+2) + 1}{v+2} \right) dv = \int dx$.
આનું સાદું રૂપ $\int (2 + \frac{1}{v+2}) dv = \int dx$ થાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $2v + \log|v+2| = x + c$.
$v = x-y$ પાછું મૂકતા: $2(x-y) + \log|x-y+2| = x + c$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{3}+y^{3}-3 a x y=0$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}(x^{3}) + \frac{d}{d x}(y^{3}) - 3 a \frac{d}{d x}(x y) = 0$
$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d y}{d x} - 3 a \left( x \frac{d y}{d x} + y \right) = 0$
$3$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + y^{2} \frac{d y}{d x} - a x \frac{d y}{d x} - a y = 0$
$\frac{d y}{d x}$ વાળા પદોને સાથે લેતા:
$\frac{d y}{d x} (y^{2} - a x) = a y - x^{2}$
તેથી,$\frac{d y}{d x} = \frac{a y - x^{2}}{y^{2} - a x}$.

(C) આપેલ છે,$v = \frac{ds}{dt} = 6t - \frac{t^2}{6}$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$s = \int (6t - \frac{t^2}{6}) dt = 3t^2 - \frac{t^3}{18} + C$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $s = 0$ છે,તેથી અચળાંક $C$ શોધવા માટે આ કિંમતો મૂકતા:
$0 = 3(0)^2 - \frac{(0)^3}{18} + C \implies C = 0$.
આમ,સ્થાનાંતરનું વિધેય $s(t) = 3t^2 - \frac{t^3}{18}$ છે.
$3 \ s$ માં કાપેલું અંતર શોધવા માટે,આપણે $s(3)$ ની ગણતરી કરીએ:
$s(3) = 3(3)^2 - \frac{(3)^3}{18} = 3(9) - \frac{27}{18} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,$x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ અને $y=\frac{2 a t}{1+t^{2}}$.
$x$ અને $y$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = \frac{(1+t^{2})(-2t) - (1-t^{2})(2t)}{(1+t^{2})^{2}} = \frac{-2t - 2t^{3} - 2t + 2t^{3}}{(1+t^{2})^{2}} = \frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}}$.
$\frac{dy}{dt} = \frac{(1+t^{2})(2a) - (2at)(2t)}{(1+t^{2})^{2}} = \frac{2a + 2at^{2} - 4at^{2}}{(1+t^{2})^{2}} = \frac{2a(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}} \times \frac{(1+t^{2})^{2}}{-4t}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{2a(1-t^{2})}{-4t} = \frac{a(1-t^{2})}{-2t} = \frac{a(t^{2}-1)}{2t}$.

(A) આપેલ છે,$y=x^{n} \log x+x(\log x)^{n}$.
બંને પદો માટે ગુણાકારનો નિયમ $\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$ લાગુ પાડતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^n \log x) + \frac{d}{dx}(x(\log x)^n)$
$= (x^n \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot nx^{n-1}) + (x \cdot n(\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} + (\log x)^n \cdot 1)$
$= (x^{n-1} + nx^{n-1} \log x) + (n(\log x)^{n-1} + (\log x)^n)$
$= x^{n-1}(1 + n \log x) + (\log x)^{n-1}(n + \log x)$.

(A) આપેલ છે,$y = \log_{10} x + \log_{x} 10 + \log_{x} x + \log_{10} 10$.
બેઝ બદલવાના સૂત્ર $\log_{a} b = \frac{\log_{e} b}{\log_{e} a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} 10} + \frac{\log_{e} 10}{\log_{e} x} + 1 + 1$.
$y = \frac{1}{\log_{e} 10} \cdot \log_{e} x + \log_{e} 10 \cdot (\log_{e} x)^{-1} + 2$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_{e} 10} \cdot \frac{d}{dx}(\log_{e} x) + \log_{e} 10 \cdot \frac{d}{dx}((\log_{e} x)^{-1}) + 0$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_{e} 10} \cdot \frac{1}{x} + \log_{e} 10 \cdot (-1)(\log_{e} x)^{-2} \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_{e} 10} - \frac{\log_{e} 10}{x(\log_{e} x)^{2}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta \log f(x) = \log f(x+h) - \log f(x) = \log \left[\frac{f(x+h)}{f(x)}\right]$.
કારણ કે $f(x+h) = (1 + \Delta) f(x)$,તેથી $\Delta \log f(x) = \log \left[\frac{(1 + \Delta) f(x)}{f(x)}\right] = \log \left[1 + \frac{\Delta f(x)}{f(x)}\right]$.
બીજા પદ માટે,$\Delta^{2}(3^{x}) = (E - 1)^{2} 3^{x} = (E^{2} - 2E + 1) 3^{x}$.
$= E^{2}(3^{x}) - 2E(3^{x}) + 3^{x} = 3^{x+2} - 2 \cdot 3^{x+1} + 3^{x}$.
$= 3^{x}(9 - 6 + 1) = 4 \cdot 3^{x}$.
બંને પદોને જોડતા,પરિણામ $\log \left[1 + \frac{\Delta f(x)}{f(x)}\right] + 4 \cdot 3^{x}$ મળે છે.

(B) અહીં $I = \int x \sin x \sec ^{3} x \, dx = \int x \tan x \sec ^{2} x \, dx$ છે.
ધારો કે $u = x$ અને $dv = \tan x \sec ^{2} x \, dx$.
તેથી $du = dx$ અને $v = \int \tan x \sec ^{2} x \, dx = \frac{\tan ^{2} x}{2}$ મળે.
ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$:
$I = x \cdot \frac{\tan ^{2} x}{2} - \int \frac{\tan ^{2} x}{2} \, dx$
$I = \frac{x \tan ^{2} x}{2} - \frac{1}{2} \int (\sec ^{2} x - 1) \, dx$
$I = \frac{x(\sec ^{2} x - 1)}{2} - \frac{1}{2} (\tan x - x) + c$
$I = \frac{x \sec ^{2} x}{2} - \frac{x}{2} - \frac{\tan x}{2} + \frac{x}{2} + c$
$I = \frac{1}{2} [x \sec ^{2} x - \tan x] + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^{e-1}+e^{x-1}}{x^{e}+e^{x}} d x$.
$t = x^{e}+e^{x}$ આદેશ લો.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dt = (e x^{e-1} + e^{x-1} \cdot \ln(e)) dx$ મળે. કારણ કે $\ln(e) = 1$,તેથી $dt = e(x^{e-1} + e^{x-1}) dx$ થાય.
તેથી,$(x^{e-1} + e^{x-1}) dx = \frac{1}{e} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{e} dt = \frac{1}{e} \int \frac{1}{t} dt$.
સંકલન કરતા,$I = \frac{1}{e} \log|t| + c$ મળે.
$t = x^{e}+e^{x}$ પાછા મૂકતા,$I = \frac{1}{e} \log(x^{e}+e^{x}) + c$ મળે.

(A) શરતો $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$,$x_{1} + x_{2} \leq 1$,$x_{2} \leq 4$,અને $x_{1}, x_{2} \geq 0$ છે.
$x_{1}, x_{2} \geq 0$ હોવાથી,શરત $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$ પ્રથમ ચરણમાં હંમેશા સંતોષાય છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ $x_{1} + x_{2} \leq 1$ અને $x_{1}, x_{2} \geq 0$ ના છેદ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આ પ્રદેશ $(0, 0)$,$(1, 0)$,અને $(0, 1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ બંધ અને સીમિત બહુકોણ હોવાથી,$LPP$ નો ઉકેલ સીમિત છે.

(B) વેપારી ચોખા પર $Rs \ 40$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ અને ઘઉં પર $Rs \ 25$ પ્રતિ ક્વિન્ટલ નફો મેળવે છે.
આપેલ છે કે તે $x$ ક્વિન્ટલ ચોખા અને $y$ ક્વિન્ટલ ઘઉંનો સંગ્રહ કરે છે.
કુલ નફો $Z$ એ ચોખા અને ઘઉંમાંથી મળતા નફાનો સરવાળો છે.
તેથી,હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 40x + 25y$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]$
શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરતા,આપણને સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ મળે છે:
$x + z = 1$ $(i)$
$-x + y = 1$ $(ii)$
$-y + z = 2$ $(iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$(-x + y) + (-y + z) = 1 + 2$
$-x + z = 3$ $(iv)$
હવે,$(i)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા:
$(x + z) + (-x + z) = 1 + 3$
$2z = 4 \Rightarrow z = 2$
$z = 2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$
$x = -1$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$-(-1) + y = 1 \Rightarrow 1 + y = 1 \Rightarrow y = 0$
આમ,ઉકેલ $(x, y, z) = (-1, 0, 2)$ છે.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
અહીં $|A| \neq 0$ હોવાથી,વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = +(2-3) = -1, C_{12} = -(1-9) = 8, C_{13} = +(1-6) = -5$.
$C_{21} = -(1-2) = 1, C_{22} = +(0-6) = -6, C_{23} = -(0-3) = 3$.
$C_{31} = +(3-4) = -1, C_{32} = -(0-2) = 2, C_{33} = +(0-1) = -1$.
તેથી,$\operatorname{adj}(A) = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right]^T = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right]$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{-2} \left[\begin{array}{rrr}-1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$.

(C) ધારો કે બે બાળકો માટે નિદર્શાવકાશ $S = \{BB, BG, GB, GG\}$ છે,જ્યાં $B$ એટલે છોકરો અને $G$ એટલે છોકરી. દરેક પરિણામની સંભાવના $1/4$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો છે. તેથી $A = \{BB, BG, GB\}$,એટલે કે $P(A) = 3/4$.
ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે બંને બાળકો છોકરા છે. તેથી $B = \{BB\}$.
આપણે શરતી સંભાવના $P(B|A)$ શોધવાની છે,જેનો અર્થ છે કે ઓછામાં ઓછું એક છોકરો હોય ત્યારે બંને છોકરા હોવાની સંભાવના.
$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$.
અહીં $B \subset A$ હોવાથી,$B \cap A = B = \{BB\}$,તેથી $P(B \cap A) = 1/4$.
તેથી,$P(B|A) = \frac{1/4}{3/4} = 1/3$.

(B) આપેલ છે,$E = \{x \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\} = \{2, 3, 5, 7\}$.
$P(E) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
આપેલ છે,$F = \{x < 4\} = \{1, 2, 3\}$.
$P(F) = P(1) + P(2) + P(3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
છેદ ઘટના $E \cap F = \{x \text{ અવિભાજ્ય છે અને } x < 4\} = \{2, 3\}$.
$P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
સૂત્ર $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(C) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{B} = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{C} = \hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}$ છે.
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (3-2)\hat{i} + (-2-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (1-3)\hat{i} + (4-(-2))\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+36+16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (1-2)\hat{i} + (4-1)\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
અહીં $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) + (-\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) = 0$ હોવાથી,$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AC}$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે સદિશો સમાંતર છે અને બિંદુઓ $A, B, C$ એક જ રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(C) ધારો કે જરૂરી રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે. રેખા બંને સમતલોમાં હોવાથી,તે બંને સમતલોના અભિલંબને લંબ છે. તેથી,$3a + 2b + c = 0$ અને $a + b - 2c = 0$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{(2)(-2) - (1)(1)} = \frac{b}{(1)(1) - (3)(-2)} = \frac{c}{(3)(1) - (2)(1)}$
$\frac{a}{-5} = \frac{b}{7} = \frac{c}{1}$.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે,આપણે આપેલા સમતલના સમીકરણોમાં $z = 0$ મૂકીએ:
$3x + 2y = 5$ અને $x + y = 3$.
આને ઉકેલતા,બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $2x + 2y = 6$.
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બાદ કરતા: $(3x - 2x) = 5 - 6 \Rightarrow x = -1$.
$x = -1$ ને $x + y = 3$ માં મૂકતા,આપણને $-1 + y = 3 \Rightarrow y = 4$ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $(-1, 4, 0)$ છે.
સંમિત સમીકરણ $\frac{x - (-1)}{-5} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z - 0}{1}$ છે,એટલે કે $\frac{x+1}{-5} = \frac{y-4}{7} = \frac{z-0}{1}$.

(C) બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x+1) + b(y-3) + c(z+2) = 0$ છે.
સમતલ રેખાને સમાવે છે જેના દિકગુણોત્તર $(-3, 2, 1)$ છે,તેથી $-3a + 2b + c = 0$ મળે.
સમતલ બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પણ પસાર થાય છે,તેથી સમતલના સમીકરણમાં આ યામ મૂકતા $a(0+1) + b(7-3) + c(-7+2) = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $a + 4b - 5c = 0$ થાય છે.
સમીકરણો $-3a + 2b + c = 0$ અને $a + 4b - 5c = 0$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{a}{2(-5) - 1(4)} = \frac{b}{1(1) - (-3)(-5)} = \frac{c}{-3(4) - 2(1)}$
$\frac{a}{-14} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{-14} \implies a=1, b=1, c=1$.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $1(x+1) + 1(y-3) + 1(z+2) = 0 \implies x+y+z=0$.

(D) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે. રેખા $L_1$ એ $A = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c}$ અને $B = -4 \overrightarrow{c}$ માંથી પસાર થાય છે. $L_1$ નો દિશા સદિશ $\overrightarrow{d_1} = B - A = -6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c}$ છે. $L_1$ નું સમીકરણ $\overrightarrow{r} = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} + m(-6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c})$ ... $(i)$ છે.
રેખા $L_2$ એ $C = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c}$ અને $D = \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-5 \overrightarrow{c}$ માંથી પસાર થાય છે. $L_2$ નો દિશા સદિશ $\overrightarrow{d_2} = D - C = 2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c}$ છે. $L_2$ નું સમીકરણ $\overrightarrow{r} = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c} + n(2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c})$ ... $(ii)$ છે.
$\overrightarrow{r}$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} + m(-6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c}) = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c} + n(2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c})$
$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$6 - 6m = -1 + 2n \implies 6m + 2n = 7$ ... $(iii)$
$-4 + 4m = -2 + 4n \implies 4m - 4n = 2 \implies 2m - 2n = 1$ ... $(iv)$
$4 - 8m = -3 - 2n \implies 8m - 2n = 7$ ... $(v)$
$(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા: $8m = 8 \implies m = 1$. $(iv)$ માં $m=1$ મૂકતા: $2(1) - 2n = 1 \implies 2n = 1 \implies n = 1/2$. $(v)$ માં ચકાસતા: $8(1) - 2(1/2) = 8 - 1 = 7$. કિંમતો સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
$(i)$ માં $m=1$ મૂકતા: $\overrightarrow{r} = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} - 6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c} = -4 \overrightarrow{c}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0), A(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}),$ અને $B(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશોની કિંમત મૂકતા,$\text{Area} = \frac{1}{2} |(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})|$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}$.
કારણ કે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$ અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = 0$,અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$,તેથી:
$= 0 - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - 0 = -2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$.
આમ,$\text{Area} = \frac{1}{2} |-2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})| = |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$.
કારણ કે $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$,$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin(90^{\circ}) = 2 \times 3 \times 1 = 6$.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{d_2} = -\hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
વિકર્ણો $\overrightarrow{d_1}$ અને $\overrightarrow{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}$ શોધો:
$\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(0) - (2)(2)) - \hat{j}((1)(0) - (2)(-1)) + \hat{k}((1)(2) - (-3)(-1))$
$= -4\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\overrightarrow{d_1} \times \overrightarrow{d_2}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ થશે.

(D) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના ગુણધર્મ $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) \cdot \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{C})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overrightarrow{a} \times \hat{j}) \cdot (2 \hat{j} - 3 \hat{k}) = \overrightarrow{a} \cdot \{\hat{j} \times (2 \hat{j} - 3 \hat{k})\}$
$= \overrightarrow{a} \cdot \{2(\hat{j} \times \hat{j}) - 3(\hat{j} \times \hat{k})\}$
કારણ કે $\hat{j} \times \hat{j} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ છે:
$= \overrightarrow{a} \cdot \{2(0) - 3(\hat{i})\}$
$= \overrightarrow{a} \cdot (-3 \hat{i})$
$= -3(\overrightarrow{a} \cdot \hat{i})$
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 4$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$= -3(4) = -12$

(D) આપણે સદિશ ત્રિગુણનફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: $\overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w})\overrightarrow{v} - (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{w}$.
પ્રથમ,અંદરના ભાગની ગણતરી કરીએ: $\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b}$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{a} \times [\overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})] = \overrightarrow{a} \times [(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b}]$
$= (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$
કારણ કે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$,તેથી પ્રથમ પદ શૂન્ય થઈ જશે:
$= 0 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$
$= (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a})$.