MHT CET 2008 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) एक खुली खिड़की एक पूर्णतः कृष्णिका (perfectly black body) की तरह व्यवहार करती है क्योंकि खिड़की में प्रवेश करने वाला कोई भी विकिरण कमरे के अंदर अवशोषित हो जाता है और वापस परावर्तित नहीं होता है।
एक पूर्णतः कृष्णिका के लिए,अवशोषण गुणांक $(a)$ को वस्तु पर आपतित कुल ऊर्जा और अवशोषित ऊर्जा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि एक कृष्णिका सभी आपतित विकिरणों को अवशोषित कर लेती है,इसलिए इसका अवशोषण गुणांक $a = 1$ होता है।

(B) विकल्प $(a)$ गलत है क्योंकि साफ रातों के दौरान,पृथ्वी की सतह पर मौजूद वस्तुएं गर्मी का विकिरण करती हैं,जिससे जमीन के पास का तापमान गिर जाता है।
विकल्प $(c)$ गलत है क्योंकि एक कृष्णिका द्वारा प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्रफल में उत्सर्जित कुल ऊर्जा स्टीफन के नियम के अनुसार $E \propto T^4$ होती है,न कि $T^2$।
विकल्प $(d)$ के लिए,प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $P = A \varepsilon \sigma T^4 = 4 \pi r^2 \varepsilon \sigma T^4$ द्वारा दी जाती है।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{4000}{2000} \right)^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1$।
चूंकि $P_1 = P_2$,इसलिए विकल्प $(d)$ गलत है।
विकल्प $(b)$ सही है क्योंकि न्यूटन का शीतलन नियम विकिरण के स्टीफन नियम का एक अनुमानित रूप है और यह तापमान के छोटे अंतर के लिए मान्य है,जो आमतौर पर प्राकृतिक संवहन में देखा जाता है।

(C) धातुएं आपतित प्रकाश तरंग के विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में मुक्त इलेक्ट्रॉनों के दोलनों के कारण आपतित प्रकाश को परावर्तित करती हैं।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,मुक्त इलेक्ट्रॉनों की यादृच्छिक गति (random motion) बढ़ती है,जिससे जाली आयनों (lattice ions) के साथ उनकी टक्करें बढ़ जाती हैं।
टक्करों में इस वृद्धि के परिणामस्वरूप विद्युत प्रतिरोध बढ़ जाता है,और परिणामस्वरूप धातु की विद्युत चालकता कम हो जाती है।
इसलिए,ऐसे ठोस में बंधन धात्विक होता है।

(A) एक यौगिक कायरल होता है यदि उसमें कम से कम एक कायरल कार्बन परमाणु (चार अलग-अलग समूहों से जुड़ा कार्बन) मौजूद हो।
$1-$क्लोरोपेंटेन: $CH_2(Cl)-CH_2-CH_2-CH_2-CH_3$ में क्लोरीन से जुड़ा कार्बन दो समान हाइड्रोजन परमाणुओं से जुड़ा है,इसलिए यह अकायरल (achiral) है।
$2-$क्लोरोपेंटेन: $C-2$ कार्बन चार अलग समूहों से जुड़ा है,इसलिए यह कायरल है।
$1-$क्लोरो$-2-$मिथाइलपेंटेन: $C-2$ कार्बन चार अलग समूहों से जुड़ा है,इसलिए यह कायरल है।
$3-$क्लोरो$-2-$मिथाइलपेंटेन: $C-3$ कार्बन चार अलग समूहों से जुड़ा है,इसलिए यह कायरल है।
अतः,$1-$क्लोरोपेंटेन ही एकमात्र अकायरल यौगिक है।

(A) मोलरता को प्रति लीटर विलयन में विलेय के मोलों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है $(M = \frac{n}{V(L)})$।
चूंकि आयतन $(V)$ तापमान पर निर्भर करता है,इसलिए मोलरता तापमान के साथ बदलती है।
मोललता,मोल अंश और भार अंश द्रव्यमान पर आधारित होते हैं,जो तापमान से स्वतंत्र होते हैं।

(B) Chloramine-$T$ एक पूतिरोधी (Antiseptic) है।
पूतिरोधी वे रासायनिक पदार्थ हैं जो सूक्ष्मजीवों को मारते हैं या उनकी वृद्धि को रोकते हैं और इन्हें जीवित ऊतकों पर लगाया जा सकता है।
उदाहरणों में फिनोल का $0.2$ प्रतिशत घोल,$KMnO_4$ और Chloramine-$T$ शामिल हैं।

(C) रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ होता है।
दिए गए समीकरण $12x^2 + 7xy + ay^2 + 13x - y + 3 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 12$ और $B = a$ प्राप्त होता है।
परस्पर लंब रेखाओं के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होता है,अर्थात $A + B = 0$।
मान रखने पर,$12 + a = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = -12$।

(C) माना व्यास का एक सिरा $A = (1, 1)$ है।
चूंकि दूसरा सिरा $B$ रेखा $x + y = 3$ पर स्थित है,इसलिए $B$ को $(t, 3 - t)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त का केंद्र $(h, k)$ व्यास $AB$ का मध्यबिंदु है।
अतः,$h = \frac{1 + t}{2}$ और $k = \frac{1 + (3 - t)}{2} = \frac{4 - t}{2}$ है।
इन समीकरणों से,$t = 2h - 1$ और $t = 4 - 2k$ प्राप्त होता है।
$t$ के दोनों मानों की तुलना करने पर:
$2h - 1 = 4 - 2k$
$2h + 2k = 5$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदु पथ $2x + 2y = 5$ है।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2 + y^2 = 13$ है।
माना बिंदु $(2, y')$ है।
वृत्त के समीकरण में $x = 2$ रखने पर:
$2^2 + (y')^2 = 13$
$4 + (y')^2 = 13$
$(y')^2 = 9$
$y' = \pm 3$.
अतः,बिंदु $(2, 3)$ और $(2, -3)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = r^2$ होता है।
बिंदु $(2, 3)$ के लिए: $2x + 3y = 13$.
बिंदु $(2, -3)$ के लिए: $2x - 3y = 13$.
इस प्रकार,स्पर्श रेखाओं के समीकरण $2x + 3y = 13$ और $2x - 3y = 13$ हैं।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है। इसे $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 16$,अतः $a = 4$ प्राप्त होता है।
माना परवलय पर स्थित बिंदु $(h, k)$ है।
दिया गया है कि कोटि,भुज का दोगुना है,इसलिए $k = 2h$ है।
चूंकि बिंदु परवलय पर स्थित है,इसलिए $k^2 = 16h$ होगा।
$k = 2h$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$(2h)^2 = 16h$,जो $4h^2 = 16h$ में सरल हो जाता है।
इससे $4h^2 - 16h = 0$,या $4h(h - 4) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$h = 0$ या $h = 4$ है।
यदि $h = 0$,तो $k = 0$ है। बिंदु $(0, 0)$ है। नाभीय दूरी $h + a = 0 + 4 = 4$ है।
यदि $h = 4$,तो $k = 8$ है। बिंदु $(4, 8)$ है। नाभीय दूरी $h + a = 4 + 4 = 8$ है।
चूंकि विकल्पों में $4$ नहीं है,इसलिए अभीष्ट नाभीय दूरी $8$ है।

(B) परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,$4a = 8$,अतः $a = 2$ है।
परवलय की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{a}{m}$ के रूप में होती है,जिसे $mx - y + \frac{2}{m} = 0$ लिखा जा सकता है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|2/m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4}{m^2} = 2(m^2 + 1)$,जिससे $2 = m^2(m^2 + 1)$ प्राप्त होता है।
$m^4 + m^2 - 2 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m^2$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $m^2 = 1$,अर्थात $m = \pm 1$।
$m = 1$ रखने पर,$y = x + 2$ प्राप्त होता है।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0)$,$A(a + b)$,और $B(a - b)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\text{Area} = \frac{1}{2} |(a + b) \times (a - b)|$.
क्रॉस प्रोडक्ट का विस्तार करने पर: $(a + b) \times (a - b) = a \times a - a \times b + b \times a - b \times b$.
चूंकि $a \times a = 0$ और $b \times b = 0$,और $b \times a = -(a \times b)$,इसलिए:
$(a + b) \times (a - b) = 0 - (a \times b) - (a \times b) - 0 = -2(a \times b) = 2(b \times a)$.
अतः,$\text{Area} = \frac{1}{2} |2(b \times a)| = |b \times a| = |b| |a| \sin(90^\circ)$.
$|a| = 2$ और $|b| = 3$ दिया गया है,और सदिश लंबवत हैं $(\theta = 90^\circ)$:
$\text{Area} = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

(D) माना बिंदु $P_1 = 6a - 4b + 4c$,$P_2 = -4c$,$P_3 = -a - 2b - 3c$,और $P_4 = a + 2b - 5c$ हैं।
$P_1$ और $P_2$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $r = P_1 + m(P_2 - P_1) = 6a - 4b + 4c + m(-6a - 4b - 8c)$ ..... $(i)$ है।
$P_3$ और $P_4$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $r = P_3 + n(P_4 - P_3) = -a - 2b - 3c + n(2a + 4b - 2c)$ ..... $(ii)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को समान स्थिति सदिश $r$ देना चाहिए।
$(i)$ और $(ii)$ से $a, b,$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$6 - 6m = -1 + 2n \implies 6m + 2n = 7$
$-4 - 4m = -2 + 4n \implies 4m + 4n = -2 \implies 2m + 2n = -1$
$4 - 8m = -3 - 2c \implies 8m - 2n = 7$
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(6m + 2n) - (2m + 2n) = 7 - (-1) \implies 4m = 8 \implies m = 2$.
$m = 2$ को $2m + 2n = -1$ में रखने पर: $4 + 2n = -1 \implies 2n = -5 \implies n = -2.5$.
इन मानों को तीसरे समीकरण में जाँचने पर: $8(2) - 2(-2.5) = 16 + 5 = 21 \neq 7$.
चूँकि समीकरण निकाय असंगत है,रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) माना $a, b, c$ अभीष्ट रेखा के दिक-अनुपात हैं।
चूंकि रेखा दोनों समतलों में स्थित है,इसका दिक-सदिश दोनों समतलों के अभिलंबों $(3, 2, 1)$ और $(1, 1, -2)$ के लंबवत है।
अतः,$3a + 2b + c = 0$ और $a + b - 2c = 0$ है।
वज्र गुणन विधि का उपयोग करने पर,$\frac{a}{(-4 - 1)} = \frac{b}{(1 + 6)} = \frac{c}{(3 - 2)}$,जिससे $\frac{a}{-5} = \frac{b}{7} = \frac{c}{1}$ प्राप्त होता है।
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए,दिए गए समीकरणों में $z = 0$ रखने पर: $3x + 2y = 5$ और $x + y = 3$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $x = -1$ और $y = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(-1, 4, 0)$ है।
सममित समीकरण $\frac{x - (-1)}{-5} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z - 0}{1}$ है,जिसे $\frac{x + 1}{-5} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z - 0}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) रेखा $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z + 2) = 0$ है,जहाँ $-3a + 2b + c = 0$ (क्योंकि अभिलंब सदिश रेखा की दिशा $(-3, 2, 1)$ के लंबवत है)।
चूंकि समतल बिंदु $(0, 7, -7)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखते हैं:
$a(0 + 1) + b(7 - 3) + c(-7 + 2) = 0$
$a + 4b - 5c = 0$.
अब हमारे पास समीकरणों की प्रणाली है:
$1) -3a + 2b + c = 0$
$2) a + 4b - 5c = 0$
$a, b, c$ के अनुपात ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{a}{(2)(-5) - (1)(4)} = \frac{b}{(1)(1) - (-3)(-5)} = \frac{c}{(-3)(4) - (2)(1)}$
$\frac{a}{-14} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{-14}$
इससे $a = b = c$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $a = b = c = 1$ है।
अतः समतल का समीकरण $1(x + 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0$ अर्थात $x + y + z = 0$ है।

(C) हमें $f(x) = \sqrt{\frac{x - \sin x}{x + \cos^2 x}}$ दिया गया है।
$\lim_{x \to \infty} f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $x$ से विभाजित करते हैं:
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x - \sin x}{x + \cos^2 x}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sin x}{x}}{1 + \frac{\cos^2 x}{x}}}$
जैसे $x \to \infty$,हम जानते हैं कि $\frac{\sin x}{x} \to 0$ और $\frac{\cos^2 x}{x} \to 0$ क्योंकि $-1 \le \sin x \le 1$ और $0 \le \cos^2 x \le 1$ होता है।
अतः,सीमा का मान $\sqrt{\frac{1 - 0}{1 + 0}} = \sqrt{1} = 1$ होगा।

(C) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,निम्नलिखित शर्त पूरी होनी चाहिए:
$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$
चूंकि $f(0) = k$ दिया गया है,हमें सीमा (limit) का मान ज्ञात करना होगा:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( x \sin \frac{1}{x} \right)$
हम जानते हैं कि सभी $x \ne 0$ के लिए,साइन फलन का मान परिबद्ध (bounded) होता है:
$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$
$x$ से गुणा करने पर ($x > 0$ के लिए):
$-x \le x \sin \frac{1}{x} \le x$
$x \to 0$ पर स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) का उपयोग करने पर:
$\lim_{x \to 0} (-x) = 0$ और $\lim_{x \to 0} (x) = 0$
अतः,$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$ होगा।
चूंकि $f(0) = k$,इसलिए $k = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^3 + y^3 - 3axy = 0$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) - 3a \frac{d}{dx}(xy) = 0$
श्रृंखला नियम (chain rule) और गुणन नियम (product rule) का उपयोग करने पर:
$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 3a \left( x \frac{dy}{dx} + y \right) = 0$
पूरे समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर:
$x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} - ax \frac{dy}{dx} - ay = 0$
$\frac{dy}{dx}$ वाले पदों को एक साथ रखने पर:
$\frac{dy}{dx}(y^2 - ax) = ay - x^2$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}$.

(C) दिया गया वेग $v = \frac{ds}{dt} = 6t - \frac{t^2}{6}$ है।
दूरी $s$ ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष वेग का समाकलन करते हैं:
$s = \int (6t - \frac{t^2}{6}) dt = 3t^2 - \frac{t^3}{18} + C$.
दिया गया है कि $t = 0$ पर $s = 0$,इसलिए स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = 3(0)^2 - \frac{0^3}{18} + C \implies C = 0$.
अतः,दूरी के लिए समीकरण $s = 3t^2 - \frac{t^3}{18}$ है।
$3$ सेकंड में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए,$t = 3$ रखने पर:
$s = 3(3)^2 - \frac{3^3}{18} = 3(9) - \frac{27}{18} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2}$.

(B) माना $f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x + 17$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 3x^2 - 24x + 36$.
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$3(x^2 - 8x + 12) = 0$
$3(x - 2)(x - 6) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 2$ और $x = 6$ हैं।
अब,हम अंतराल $[1, 10]$ के अंत बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं पर फलन $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(1) = (1)^3 - 12(1)^2 + 36(1) + 17 = 1 - 12 + 36 + 17 = 42$.
$f(2) = (2)^3 - 12(2)^2 + 36(2) + 17 = 8 - 48 + 72 + 17 = 49$.
$f(6) = (6)^3 - 12(6)^2 + 36(6) + 17 = 216 - 432 + 216 + 17 = 17$.
$f(10) = (10)^3 - 12(10)^2 + 36(10) + 17 = 1000 - 1200 + 360 + 17 = 177$.
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $x = 10$ पर $177$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4\frac{dy}{dx} - 7x = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4\frac{dy}{dx} + 7x$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{dy}{dx} = (4\frac{dy}{dx} + 7x)^2$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 49x^2 + 56x\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है,इसलिए कोटि $1$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद,उच्चतम अवकलज की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए घात $2$ है।
अतः,कोटि $1$ और घात $2$ है।

(C) माना $x - y = v$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$।
इस मान को दिए गए अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{v + 3}{2v + 5}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{v + 3}{2v + 5} = \frac{2v + 5 - v - 3}{2v + 5} = \frac{v + 2}{2v + 5}$।
चरों को पृथक करने पर: $\int \frac{2v + 5}{v + 2} dv = \int dx$।
समाकल्य को सरल करने पर: $\int \left( 2 + \frac{1}{v + 2} \right) dv = \int dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $2v + \log|v + 2| = x + c$।
$v = x - y$ वापस रखने पर: $2(x - y) + \log|x - y + 2| = x + c$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ है।
इसे $\frac{dy}{dx} = - \frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$।
समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = - \frac{3x^2v + x^2v^2}{x^2 + x^2v} = - \frac{v^2 + 3v}{v + 1}$।
$x\frac{dv}{dx} = - \frac{v^2 + 3v}{v + 1} - v = - \frac{v^2 + 3v + v^2 + v}{v + 1} = - \frac{2v^2 + 4v}{v + 1} = - \frac{2v(v + 2)}{v + 1}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} dv = - \frac{2}{x} dx$।
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2} \implies v + 1 = A(v + 2) + Bv$।
$v = 0$ के लिए,$A = 1/2$। $v = -2$ के लिए,$B = 1/2$।
अतः,$\int (\frac{1}{2v} + \frac{1}{2(v + 2)}) dv = - \int \frac{2}{x} dx$।
$\frac{1}{2} \ln|v| + \frac{1}{2} \ln|v + 2| = - 2 \ln|x| + C$।
$\ln|v(v + 2)| = - 4 \ln|x| + C' \implies \ln|v(v + 2)x^4| = C'$।
$v(v + 2)x^4 = c^2$। $v = y/x$ रखने पर: $\frac{y}{x}(\frac{y}{x} + 2)x^4 = c^2$।
$x^2(y^2 + 2xy) = c^2$।

(B) माना कि $p$ कथन है: "वर्षा होती है".
माना कि $q$ कथन है: "मैं स्कूल जाऊँगा".
दिया गया प्रतिबंधात्मक कथन $p \Rightarrow q$ है.
प्रतिबंधात्मक कथन $p \Rightarrow q$ का निषेध $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है.
यहाँ,$p$ है "वर्षा होती है" और $\sim q$ है "मैं स्कूल नहीं जाऊँगा".
अतः,निषेध "वर्षा होती है और मैं स्कूल नहीं जाऊँगा" है.

(D) माना प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_0$ है और अंतिम कोणीय वेग $\omega = \frac{\omega_0}{2}$ है। $36$ चक्करों के लिए कोणीय विस्थापन $\theta_1 = 36 \times 2\pi = 72\pi \text{ rad}$ है।
गति के समीकरण $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{\omega_0}{2})^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(72\pi)$
$\frac{\omega_0^2}{4} - \omega_0^2 = 144\pi\alpha$
$-\frac{3\omega_0^2}{4} = 144\pi\alpha \implies \alpha = -\frac{3\omega_0^2}{576\pi} = -\frac{\omega_0^2}{192\pi}$.
अब,दूसरे भाग के लिए,पंखा $\omega_i = \frac{\omega_0}{2}$ से शुरू होता है और रुक जाता है $(\omega_f = 0)$:
$0^2 = (\frac{\omega_0}{2})^2 + 2\alpha\theta_2$
$0 = \frac{\omega_0^2}{4} + 2(-\frac{\omega_0^2}{192\pi})\theta_2$
$\frac{\omega_0^2}{4} = \frac{\omega_0^2}{96\pi}\theta_2$
$\theta_2 = \frac{96\pi}{4} = 24\pi \text{ rad}$.
चक्करों की संख्या = $\frac{\theta_2}{2\pi} = \frac{24\pi}{2\pi} = 12$ चक्कर।

(C) एक कायरल यौगिक वह है जिसमें कम से कम एक कायरल कार्बन परमाणु (चार अलग-अलग समूहों से जुड़ा कार्बन परमाणु) होता है।
$1-$क्लोरोपेंटेन $CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CH_2Cl$ है। यहाँ,क्लोरीन परमाणु से जुड़ा कार्बन परमाणु दो हाइड्रोजन परमाणुओं से जुड़ा है,जो समान हैं। इसलिए,यह अकायरल है।
$1-$क्लोरो$-2-$मिथाइलपेंटेन में $C-2$ पर एक कायरल केंद्र है।
$2-$क्लोरोपेंटेन में $C-2$ पर एक कायरल केंद्र है।
$3-$क्लोरो$-2-$मिथाइलपेंटेन में $C-3$ पर एक कायरल केंद्र है।

(A) एक यौगिक कायरल होता है यदि उसमें कम से कम एक कायरल कार्बन परमाणु (चार अलग-अलग समूहों से जुड़ा कार्बन) मौजूद हो।
$1$. $1$-क्लोरोपेंटेन: $CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CH_2Cl$। $C_1$ कार्बन दो हाइड्रोजन परमाणुओं से जुड़ा है,इसलिए यह अकायरल (achiral) है।
$2$. $2$-क्लोरोपेंटेन: $CH_3-CH(Cl)-CH_2-CH_2-CH_3$। $C_2$ कार्बन $-H, -Cl, -CH_3, -CH_2CH_2CH_3$ से जुड़ा है। यह कायरल है।
$3$. $1$-क्लोरो-$2$-मिथाइलपेंटेन: $CH_2(Cl)-CH(CH_3)-CH_2-CH_2-CH_3$। $C_2$ कार्बन $-H, -CH_3, -CH_2Cl, -CH_2CH_2CH_3$ से जुड़ा है। यह कायरल है।
$4$. $3$-क्लोरो-$2$-मिथाइलपेंटेन: $CH_3-CH(CH_3)-CH(Cl)-CH_2-CH_3$। $C_3$ कार्बन $-H, -Cl, -CH_2CH_3, -CH(CH_3)_2$ से जुड़ा है। यह कायरल है।
अतः,$1$-क्लोरोपेंटेन एकमात्र अकायरल यौगिक है।

(A) यदि किसी अणु में कम से कम एक कायरल कार्बन परमाणु (चार अलग-अलग समूहों से जुड़ा कार्बन) मौजूद हो,तो वह अणु कायरल होता है।
$1-$क्लोरोपेंटेन $(CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CH_2Cl)$: क्लोरीन से जुड़ा कार्बन परमाणु दो हाइड्रोजन परमाणुओं से जुड़ा है। चूंकि यह चार अलग-अलग समूहों से नहीं जुड़ा है,इसलिए यह अकायरल है।
$2-$क्लोरोपेंटेन $(CH_3-CHCl-CH_2-CH_2-CH_3)$: $C-2$ कार्बन $-H, -Cl, -CH_3,$ और $-CH_2CH_2CH_3$ से जुड़ा है। यह कायरल है।
$1-$क्लोरो$-2-$मिथाइलपेंटेन $(CH_3-CH_2-CH_2-CH(CH_3)-CH_2Cl)$: $C-2$ कार्बन $-H, -CH_3, -CH_2CH_2CH_3,$ और $-CH_2Cl$ से जुड़ा है। यह कायरल है।
$3-$क्लोरो$-2-$मिथाइलपेंटेन $(CH_3-CH(CH_3)-CHCl-CH_2-CH_3)$: $C-3$ कार्बन $-H, -Cl, -CH_2CH_3,$ और $-CH(CH_3)_2$ से जुड़ा है। यह कायरल है।
अतः,$1-$क्लोरोपेंटेन कायरल नहीं है।

(D) जब किसी द्रव का पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ाया जाता है,तो द्रव के अंदर के अणु सतह पर आ जाते हैं।
जैसे ही ये अणु सतह पर पहुँचते हैं,ससंजक बल (cohesive force) के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
यह कार्य अणुओं में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
अतः,सतह पर स्थित अणुओं की स्थितिज ऊर्जा द्रव के अंदर स्थित अणुओं की तुलना में अधिक होती है।

(D) पदार्थ द्वारा विकिरण को अवशोषित करने के लिए आपतित फोटॉन की ऊर्जा बैंड गैप ऊर्जा $(E_g)$ के बराबर या उससे अधिक होनी चाहिए।
दिया गया है $E_g = 2.0\, eV$.
ऊर्जा और आवृत्ति के बीच का संबंध $E = h\nu$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(6.63 \times 10^{-34}\, J\cdot s)$ है और $\nu$ आवृत्ति है।
सबसे पहले,ऊर्जा को $eV$ से जूल में बदलें:
$E = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19}\, J = 3.2 \times 10^{-19}\, J$.
अब,न्यूनतम आवृत्ति $\nu$ की गणना करें:
$\nu = \frac{E}{h} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 0.4826 \times 10^{15}\, Hz$.
$\nu \approx 4.83 \times 10^{14}\, Hz$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $\nu \approx 5 \times 10^{14}\, Hz$ है।

(C) $1$. ईथर कार्यात्मक समूह युक्त सबसे लंबी कार्बन श्रृंखला की पहचान करें। संरचना $CH_3-CH(OC_3H_7)-C_3H_7$ है।
$2$. सबसे लंबी श्रृंखला में $5$ कार्बन परमाणु हैं,जो एक पेंटेन श्रृंखला है।
$3$. एल्कोक्सी समूह $-OC_3H_7$ (प्रोपॉक्सी समूह) पेंटेन श्रृंखला के दूसरे कार्बन परमाणु से जुड़ा है।
$4$. प्रतिस्थापी के निकटतम सिरे से श्रृंखला को क्रमांकित करने पर प्रोपॉक्सी समूह के लिए $2$ स्थान प्राप्त होता है।
$5$. अतः,$IUPAC$ नाम $2-$प्रोपॉक्सी पेंटेन है।

(C) एक अणु कायरल होता है यदि उसमें कम से कम एक कायरल केंद्र (एक असममित कार्बन परमाणु जो चार अलग-अलग समूहों से जुड़ा हो) मौजूद हो।
$1-$क्लोरोपेंटेन $(CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CH_2Cl)$ में कोई कायरल कार्बन परमाणु नहीं है क्योंकि $C_1$ कार्बन दो समान हाइड्रोजन परमाणुओं से जुड़ा है।
$2-$क्लोरोपेंटेन,$1-$क्लोरो$-2-$मिथाइलपेंटेन और $3-$क्लोरो$-2-$मिथाइलपेंटेन सभी में कम से कम एक कायरल कार्बन परमाणु होता है।
इसलिए,$1-$क्लोरोपेंटेन कायरल नहीं है।

(D) ग्रिग्नार्ड अभिकर्मक जैसे मिथाइल मैग्नीशियम आयोडाइड $(CH_3MgI)$ प्रबल क्षार के रूप में कार्य करते हैं और अम्लीय हाइड्रोजन परमाणु वाले यौगिकों के साथ अभिक्रिया करते हैं।
टर्मिनल एल्काइन,जिनमें त्रि-आबंधित कार्बन परमाणु से जुड़ा हाइड्रोजन परमाणु होता है $(R-C \equiv C-H)$,उनमें अम्लीय हाइड्रोजन होता है।
दिए गए विकल्पों में से,$CH_3CH_2CH_2C \equiv CH$ एक टर्मिनल एल्काइन है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$CH_3CH_2CH_2C \equiv CH + CH_3MgI \rightarrow CH_3CH_2CH_2C \equiv CMgI + CH_4 \uparrow$
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) जो स्पीशीज ब्रोंस्टेड अम्ल और क्षार दोनों के रूप में कार्य करती है,उसे उभयधर्मी (amphoteric) स्पीशीज कहा जाता है। इसे प्रोटॉन $(H^+)$ दान करने और स्वीकार करने में सक्षम होना चाहिए।
$HPO_4^{2-}$ प्रोटॉन स्वीकार करके $H_2PO_4^-$ बना सकता है (क्षार के रूप में) और प्रोटॉन दान करके $PO_4^{3-}$ बना सकता है (अम्ल के रूप में)।
$HPO_4^{2-} + H_2O \rightleftharpoons H_2PO_4^- + OH^-$
$HPO_4^{2-} + H_2O \rightleftharpoons PO_4^{3-} + H_3O^+$
$H_2PO_2^-$,$H_3PO_2$ (एकल-क्षारीय अम्ल) का संयुग्मी क्षार है और यह और प्रोटॉन दान नहीं कर सकता है।
$HPO_3^{2-}$,$H_2PO_3^-$ का संयुग्मी क्षार है (जो द्वि-क्षारीय अम्ल $H_3PO_3$ से प्राप्त होता है) और यह और प्रोटॉन दान नहीं कर सकता है।

(C) एक दुर्बल क्षार के लिए,हाइड्रॉक्सिल आयनों की सांद्रता $[OH^{-}] = \sqrt{K_{b} \times C}$ द्वारा दी जाती है।
$[OH^{-}] = \sqrt{1.0 \times 10^{-5} \times 0.1} = \sqrt{1.0 \times 10^{-6}} = 1.0 \times 10^{-3} \ M$.
जल के आयनिक गुणनफल का उपयोग करते हुए,$K_{w} = [H^{+}] [OH^{-}] = 1.0 \times 10^{-14}$।
$[H^{+}] = \frac{K_{w}}{[OH^{-}]} = \frac{1.0 \times 10^{-14}}{1.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^{-11} \ M$.
$pH$ की गणना $pH = -\log [H^{+}]$ के रूप में की जाती है।
$pH = -\log (1.0 \times 10^{-11}) = 11$.

(A) $Ca(OH)_{2}$ का जल में वियोजन इस प्रकार होता है:
$Ca(OH)_{2}(s) \rightleftharpoons Ca^{2+}(aq) + 2OH^{-}(aq)$
माना विलेयता $s \ mol \ L^{-1}$ है।
साम्यावस्था पर,$[Ca^{2+}] = s$ और $[OH^{-}] = 2s$ होगा।
विलेयता गुणनफल का व्यंजक:
$K_{sp} = [Ca^{2+}][OH^{-}]^{2}$
मान रखने पर:
$K_{sp} = (s)(2s)^{2} = s \times 4s^{2} = 4s^{3}$

(A) समभारिक (isobars) वे परमाणु होते हैं जिनका द्रव्यमान संख्या समान होती है लेकिन परमाणु क्रमांक भिन्न होते हैं।
${ }_{20} Ca^{40}$ के लिए,द्रव्यमान संख्या $40$ है और परमाणु क्रमांक $20$ है।
विकल्पों में से,${ }_{18} Ar^{40}$ की द्रव्यमान संख्या $40$ है लेकिन परमाणु क्रमांक $18$ है।
अतः,${ }_{18} Ar^{40}$,${ }_{20} Ca^{40}$ का एक समभारिक है।

(B) दिए गए समीकरण:
$C_{(s)} + O_{2(g)} \longrightarrow CO_{2(g)}; \Delta H = r$ ...$(I)$
$CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \longrightarrow CO_{2(g)}; \Delta H = s$ ...$(II)$
हमें $CO$ की संभवन ऊष्मा ज्ञात करनी है,जो निम्न अभिक्रिया के लिए है:
$C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \longrightarrow CO_{(g)}; \Delta H = ?$
समीकरण $(I)$ में से समीकरण $(II)$ को घटाने पर:
$(C_{(s)} + O_{2(g)}) - (CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)}) \longrightarrow CO_{2(g)} - CO_{2(g)}$
$C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} - CO_{(g)} \longrightarrow 0$
$C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \longrightarrow CO_{(g)}$
इस अभिक्रिया के लिए एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H = r - s$ होगा।

(B) एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ और आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $(\Delta E)$ के बीच का संबंध समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta H = \Delta E + \Delta n_g RT$.
यहाँ,$\Delta n_g$ गैसीय प्रजातियों के मोलों की संख्या में परिवर्तन है,जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है: $\Delta n_g = \sum n_{g, \text{products}} - \sum n_{g, \text{reactants}}$.
अभिक्रिया $C_2H_5OH_{(l)} + 3O_{2(g)} \longrightarrow 2CO_{2(g)} + 3H_2O_{(l)}$ के लिए,गैसीय मोल हैं:
उत्पाद: $2 \text{ मोल } CO_2$.
अभिकारक: $3 \text{ मोल } O_2$.
$\Delta n_g = 2 - 3 = -1$.
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\Delta H = \Delta E + (-1)RT = \Delta E - RT$.

(C) दिया गया वक्र समीकरण $y^{2}=2(x-3)$ है ...$(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{T} = \frac{1}{y}$ है।
बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = -y$ है।
दी गई रेखा $y - 2x + 1 = 0$ है,जिसे $y = 2x - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m = 2$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए:
$-y = 2 \Rightarrow y = -2$।
$y = -2$ को वक्र समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(-2)^{2} = 2(x - 3)$
$4 = 2(x - 3)$
$2 = x - 3 \Rightarrow x = 5$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(5, -2)$ है।

(D) दिए गए परिपथ में,दो समानांतर शाखाएँ हैं।
प्रत्येक शाखा में श्रेणीक्रम में जुड़ी दो स्विच हैं।
ऊपरी शाखा में $\sim p$ और $q$ स्विच श्रेणीक्रम में हैं,जो $(\sim p \wedge q)$ व्यंजक के अनुरूप है।
निचली शाखा में $p$ और $\sim q$ स्विच श्रेणीक्रम में हैं,जो $(p \wedge \sim q)$ व्यंजक के अनुरूप है।
चूंकि दोनों शाखाएँ समानांतर में जुड़ी हैं,इसलिए कुल बूलियन बहुपद दोनों व्यंजकों का वियोजन (disjunction) है: $(\sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$.

(D) गैल्वेनोमीटर परिपथ से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है: $I = \frac{V}{R_{total}}$.
प्रारंभ में,कुल प्रतिरोध $R_{total,1} = 50 \Omega + 2950 \Omega = 3000 \Omega$ है।
$30$ डिवीजनों के लिए धारा $I_1 = \frac{3 \text{ V}}{3000 \Omega} = 10^{-3} \text{ A}$ है।
चूंकि विक्षेप धारा के समानुपाती होता है,इसलिए प्रति डिवीजन धारा $\frac{10^{-3} \text{ A}}{30}$ है।
$20$ डिवीजनों का विक्षेप प्राप्त करने के लिए,आवश्यक धारा $I_2 = 20 \times \left( \frac{10^{-3}}{30} \right) = \frac{2}{3} \times 10^{-3} \text{ A}$ है।
मान लीजिए कि नया कुल प्रतिरोध $R_{total,2}$ है। तब $I_2 = \frac{3 \text{ V}}{R_{total,2}}$.
$\frac{2}{3} \times 10^{-3} = \frac{3}{R_{total,2}} \implies R_{total,2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 10^{-3}} = 4500 \Omega$.
परिपथ में कुल प्रतिरोध $R_{total,2} = R_G + R_{series}$ है।
$4500 \Omega = 50 \Omega + R_{series} \implies R_{series} = 4450 \Omega$.

(B) माना $i_{a}$ एमीटर से प्रवाहित होने वाली धारा है और $i$ कुल धारा है। इसलिए,शंट प्रतिरोध से $(i - i_{a})$ धारा प्रवाहित होगी।
एमीटर और शंट प्रतिरोध के सिरों पर विभवांतर समान होता है क्योंकि वे समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
इसलिए,$i_{a} \times R = (i - i_{a}) \times S$
$S$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$S = \frac{i_{a} R}{i - i_{a}}$
दिए गए मान हैं: $i_{a} = 100 \text{ A}$,$i = 750 \text{ A}$,और $R = 13 \Omega$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S = \frac{100 \times 13}{750 - 100}$
$S = \frac{1300}{650}$
$S = 2 \Omega$
अतः,शंट प्रतिरोध का मान $2 \Omega$ है।

(A) पहाड़ी के शीर्ष पर, सवार पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (ऊपर की ओर) हैं।
शुद्ध अभिकेंद्र बल इन बलों के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$Mg - N = M \frac{v^2}{R}$
"भारहीनता" की स्थिति के लिए, अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ शून्य होनी चाहिए $(N = 0)$।
समीकरण में $N = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$Mg = M \frac{v^2}{R}$
$g = \frac{v^2}{R}$
$v = \sqrt{Rg}$
यहाँ $R = 20 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर:
$v = \sqrt{20 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \, m/s$
अतः, पहाड़ी के शीर्ष पर कार की गति $14 \, m/s$ और $15 \, m/s$ के बीच है।

(B) चुंबक के दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
मूल चुंबक के लिए जिसका द्रव्यमान $m$ और लंबाई $L$ है,$I = \frac{mL^2}{12}$ और $M = q_m L$ (जहाँ $q_m$ ध्रुव प्राबल्य है)।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के अनुदिश तीन बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का द्रव्यमान $m' = m/3$,लंबाई $L' = L/3$ और ध्रुव प्राबल्य $q_m' = q_m$ होता है।
जब इन तीनों भागों को समान ध्रुवों को एक साथ रखकर एक-दूसरे के ऊपर रखा जाता है,तो नया जड़त्व आघूर्ण $I'$ तीनों भागों के जड़त्व आघूर्ण का योग होता है: $I' = 3 \times \frac{m'(L')^2}{12} = 3 \times \frac{(m/3)(L/3)^2}{12} = \frac{mL^2}{12 \times 9} = \frac{I}{9}$।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ तीनों भागों के चुंबकीय आघूर्ण का योग है: $M' = 3 \times (q_m \times L/3) = q_m L = M$।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार होगा: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M'H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/9}{MH}} = \frac{1}{3} \times 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}} = \frac{T}{3}$।
चूंकि $T = 2 ~s$ दिया गया है,इसलिए $T' = 2/3 ~s$।

(B) सरल आवर्त गति में एक कण का अधिकतम त्वरण $a_{\max} = \omega^{2} A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है और $A$ आयाम है।
यह दिया गया है कि दोनों गतियों के लिए आयाम $A$ समान है,इसलिए उनके अधिकतम त्वरण का अनुपात होगा:
$\frac{(a_{\max})_{1}}{(a_{\max})_{2}} = \frac{\omega_{1}^{2} A}{\omega_{2}^{2} A} = \frac{\omega_{1}^{2}}{\omega_{2}^{2}}$
दिए गए मानों $\omega_{1} = 100 \ rad \ s^{-1}$ और $\omega_{2} = 1000 \ rad \ s^{-1}$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(a_{\max})_{1}}{(a_{\max})_{2}} = \frac{(100)^{2}}{(1000)^{2}} = \left(\frac{100}{1000}\right)^{2} = \left(\frac{1}{10}\right)^{2} = \frac{1}{100} = 1: 10^{2}$

(C) मान लीजिए कि पतले गोलीय कोश और ठोस गोले की त्रिज्याएँ क्रमशः $R_{1}$ और $R_{2}$ हैं।
पतले गोलीय कोश का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{2}{3} M R_{1}^{2}$ है।
ठोस गोले का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{2} = \frac{2}{5} M R_{2}^{2}$ है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंडों के द्रव्यमान $M$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ समान हैं,इसलिए $I_{1} = I_{2}$।
अतः,$\frac{2}{3} M R_{1}^{2} = \frac{2}{5} M R_{2}^{2}$।
दोनों पक्षों से $M$ और $2$ को हटाने पर,हमें $\frac{R_{1}^{2}}{3} = \frac{R_{2}^{2}}{5}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\sqrt{3}: \sqrt{5}$ है।

(B) $p-n$ फोटोडायोड एक अर्धचालक उपकरण है जो प्रकाश पड़ने पर विद्युत धारा उत्पन्न करता है। अर्धचालक पदार्थ द्वारा फोटॉन को अवशोषित करने के लिए, उसकी ऊर्जा $E$ का मान बैंड गैप ऊर्जा $E_g$ के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
दिया गया है, $E_g = 2.0 \text{ eV}$।
ऊर्जा और आवृत्ति के बीच संबंध $E = h\nu$ है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक $(6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s})$ है और $\nu$ आवृत्ति है।
बैंड गैप ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $E_g = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J}$।
$h\nu = E_g$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है $\nu = \frac{E_g}{h} = \frac{3.2 \times 10^{-19} \text{ J}}{6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}$।
गणना करने पर: $\nu \approx 0.482 \times 10^{15} \text{ Hz} = 4.82 \times 10^{14} \text{ Hz}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार, $\nu \approx 5 \times 10^{14} \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।

(A) अल्कोहल का क्वथनांक अंतर-आणविक हाइड्रोजन बंधन और अणु के सतह क्षेत्र पर निर्भर करता है।
जैसे-जैसे प्राथमिक $(1^{\circ})$ से द्वितीयक $(2^{\circ})$ और तृतीयक $(3^{\circ})$ अल्कोहल की ओर शाखाएं (branching) बढ़ती हैं,अणु का सतह क्षेत्र कम हो जाता है।
कम सतह क्षेत्र के कारण वैन डर वाल्स आकर्षण बल कमजोर हो जाते हैं।
इसके अतिरिक्त,तृतीयक अल्कोहल में त्रिविम बाधा (steric hindrance) अंतर-आणविक हाइड्रोजन बंधन की प्रभावशीलता को कम कर देती है।
इसलिए,क्वथनांक का सही क्रम $1^{\circ} > 2^{\circ} > 3^{\circ}$ है।

(C) निर्जल $ZnCl_2$ और सांद्र $HCl$ के मिश्रण को ल्यूकास अभिकर्मक कहा जाता है।
ल्यूकास परीक्षण का उपयोग प्राथमिक,द्वितीयक और तृतीयक अल्कोहल के बीच अंतर करने के लिए किया जाता है।
तृतीयक अल्कोहल ल्यूकास अभिकर्मक के साथ तुरंत प्रतिक्रिया करके धुंधलापन उत्पन्न करते हैं।
द्वितीयक अल्कोहल $5-10 \ \text{min}$ के भीतर धुंधलापन देते हैं और प्राथमिक अल्कोहल कमरे के तापमान पर बिल्कुल भी धुंधलापन नहीं देते हैं।
दिए गए विकल्पों में,$2-\text{hydroxy}-2-\text{methylpropane}$ एक $3^{\circ}$ अल्कोहल है,इसलिए यह सबसे अधिक प्रतिक्रियाशील है।

(C) दी गई अभिक्रिया में,टर्ट-ब्यूटाइल ब्रोमाइड में ब्रोमीन परमाणु $(-Br)$ को पानी से प्राप्त हाइड्रॉक्सिल समूह $(-OH)$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
चूंकि आने वाला समूह एक नाभिकरागी $(-OH^-)$ है,इसलिए यह एक नाभिकरागी प्रतिस्थापन अभिक्रिया है।
विशेष रूप से,यह $S_N1$ क्रियाविधि का पालन करती है क्योंकि अभिकारक एक तृतीयक एल्काइल हैलाइड है।

(C) एल्किल हैलाइड $(R-X)$ को शुष्क सिल्वर ऑक्साइड $(Ag_2O)$ के साथ गर्म करने पर ईथर प्राप्त होता है।
रासायनिक समीकरण इस प्रकार है:
$2 R-X + Ag_2O \xrightarrow{\Delta} R-O-R + 2 AgX$
दी गई अभिक्रिया $2 A + \text{dry silver oxide} \xrightarrow{\Delta} \text{ether} + 2 \operatorname{Ag} X$ के साथ तुलना करने पर,हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $A$ एक एल्किल हैलाइड $(R-X)$ है।

(C) ग्रिग्नार्ड अभिकर्मक $(RMgX)$ की कार्बोनिल यौगिक के साथ अभिक्रिया और उसके बाद जल-अपघटन करने पर अल्कोहल प्राप्त होता है।
$\text{tert-pentyl alcohol}$ $(CH_3CH_2C(CH_3)_2OH)$ प्राप्त करने के लिए,हमें कीटोन की ग्रिग्नार्ड अभिकर्मक के साथ अभिक्रिया करानी होगी।
यहाँ,ग्रिग्नार्ड अभिकर्मक $C_2H_5MgI$ (एथिल मैग्नीशियम आयोडाइड) है।
जब $C_2H_5MgI$ की अभिक्रिया $A$ (एसिटोन,$CH_3COCH_3$) के साथ होती है,तो न्यूक्लियोफिलिक एथिल समूह एसिटोन के कार्बोनिल कार्बन पर आक्रमण करता है।
$CH_3COCH_3 + C_2H_5MgI \rightarrow CH_3C(OMgI)(CH_3)(C_2H_5)$.
$H_2O/H^+$ के साथ जल-अपघटन करने पर,यह $CH_3C(OH)(CH_3)(C_2H_5)$ बनाता है,जो $2-$मिथाइलब्यूटेन$-2-$ऑल है,जिसे सामान्यतः $\text{tert-pentyl alcohol}$ के रूप में जाना जाता है।
अतः,यौगिक $A$ एसिटोन है।

(D) निनहाइड्रिन परीक्षण का उपयोग प्रोटीन और अमीनो एसिड का पता लगाने के लिए किया जाता है,जो नीला या बैंगनी रंग देते हैं।
बेनेडिक्ट विलयन का उपयोग अपचायी शर्करा (मोनोसैकेराइड और कुछ डाइसैकेराइड) का पता लगाने के लिए किया जाता है।
चूंकि प्रोटीन अपचायी शर्करा नहीं होते हैं,इसलिए वे बेनेडिक्ट परीक्षण में ऋणात्मक परिणाम देते हैं।
अतः,प्रोटीन वह यौगिक है जो निनहाइड्रिन परीक्षण में धनात्मक और बेनेडिक्ट विलयन परीक्षण में ऋणात्मक परिणाम देता है।

(A) फिनोल की $CHCl_3$ और $KOH$ के साथ अभिक्रिया राइमर-टीमैन अभिक्रिया है,जो मध्यवर्ती $X$ के रूप में सैलिसिलैल्डिहाइड ($2$-हाइड्रॉक्सीबेन्ज़ैल्डिहाइड) देती है।
सैलिसिलैल्डिहाइड में एक एल्डिहाइड समूह होता है लेकिन इसमें कोई $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु नहीं होता है।
जब इसे $50 \%$ $KOH$ विलयन के साथ उपचारित किया जाता है,तो यह कैनिज़ारो अभिक्रिया (विषमानुपातन अभिक्रिया) से गुजरती है।
सैलिसिलैल्डिहाइड का एक अणु संबंधित अल्कोहल ($2$-हाइड्रॉक्सीबेन्जिल अल्कोहल) में अपचयित हो जाता है और दूसरा अणु संबंधित कार्बोक्सिलिक एसिड लवण (पोटेशियम $2$-हाइड्रॉक्सीबेन्जोएट) में ऑक्सीकृत हो जाता है।

(D) आयोडोफॉर्म परीक्षण उन यौगिकों द्वारा दिया जाता है जिनमें $CH_{3}CO-$ समूह या $CH_{3}CH(OH)-$ समूह होता है।
$2-$पेंटेनोन $(CH_{3}COCH_{2}CH_{2}CH_{3})$ में $CH_{3}CO-$ समूह होता है।
एथेनल $(CH_{3}CHO)$ में $CH_{3}CO-$ समूह होता है।
एथेनॉल $(CH_{3}CH_{2}OH)$ में $CH_{3}CH(OH)-$ समूह होता है।
हालाँकि,$3-$पेंटेनोन $(CH_{3}CH_{2}COCH_{2}CH_{3})$ में इनमें से कोई भी समूह नहीं होता है,इसलिए यह आयोडोफॉर्म परीक्षण नहीं देता है।

(A) $1$. एस्टर $(A)$,$C_6H_5COOC_2H_5$ (एथिल बेंजोएट) है।
$2$. $CH_3MgBr$ की अधिकता के साथ अभिक्रिया और उसके बाद एसिड वर्कअप से एक तृतीयक अल्कोहल $C_6H_5C(OH)(CH_3)_2$ प्राप्त होता है।
$3$. $H_2SO_4$ के साथ इस अल्कोहल के निर्जलीकरण से ओलेफिन $(B)$ प्राप्त होता है,जो $C_6H_5-C(CH_3)=CH_2$ ($2$-फेनिलप्रोपीन) है।
$4$. $(B)$ $(C_6H_5-C(CH_3)=CH_2)$ के ओजोनोलिसिस से एसीटोफेनोन $(C_6H_5COCH_3)$ प्राप्त होता है,जिसका सूत्र $C_8H_8O$ है।
$5$. एसीटोफेनोन में एक मिथाइल कीटोन समूह $(-COCH_3)$ होता है,जो धनात्मक आयोडोफॉर्म परीक्षण देता है।
$6$. अतः,एस्टर $(A)$,$C_6H_5COOC_2H_5$ है।

(A) एसिटाल्डिहाइड $(CH_{3}CHO)$ और फॉर्मेल्डिहाइड $(HCHO)$ के बीच क्रॉस-एल्डोल संघनन अभिक्रिया में,क्षार $(OH^{-})$ एसिटाल्डिहाइड अणु से एक $\alpha$-हाइड्रोजन परमाणु को हटा देता है क्योंकि कार्बोनिल समूह के इलेक्ट्रॉन-आकर्षक प्रभाव के कारण $\alpha$-हाइड्रोजन अम्लीय होते हैं।
इस निष्कर्षण के परिणामस्वरूप एक एनोलेट आयन (कार्बेनायन) मध्यवर्ती बनता है,जिसे $: \overline{C}H_{2}CHO$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(B) एमाइन की क्षारीय शक्ति नाइट्रोजन परमाणु पर इलेक्ट्रॉनों के एकाकी युग्म की उपलब्धता पर निर्भर करती है।
एल्किल समूह इलेक्ट्रॉन-मुक्ति समूह होते हैं जो धनात्मक प्रेरणिक प्रभाव $(+I)$ प्रदर्शित करते हैं,जिससे नाइट्रोजन परमाणु पर इलेक्ट्रॉन घनत्व बढ़ जाता है,जिससे क्षारीयता बढ़ती है।
$NH_3$ (अमोनिया) में,नाइट्रोजन परमाणु से कोई एल्किल समूह नहीं जुड़ा होता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में $NH_3$ सबसे दुर्बल क्षार है।

(C) एमाइड्स ब्रोमीन और कास्टिक सोडा के साथ प्रतिक्रिया करके अपने संबंधित प्राथमिक एमाइन देते हैं। इस प्रतिक्रिया को हॉफमैन ब्रोमामाइड डिग्रेडेशन प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है।
रासायनिक समीकरण है:
$CH_{3}CONH_{2} + Br_{2} + 4KOH \xrightarrow{343K} CH_{3}NH_{2} + 2KBr + K_{2}CO_{3} + 2H_{2}O$
अतः,एसिटामाइड $(CH_{3}CONH_{2})$ मेथेनामाइन $(CH_{3}NH_{2})$ देता है।

(D) बेंज़िल एमाइन $(C_6H_5CH_2NH_2)$ एक प्राथमिक $(1^{\circ})$ एमाइन है।
प्राथमिक एमाइन क्लोरोफॉर्म $(CHCl_3)$ और इथेनॉलिक पोटेशियम हाइड्रोक्साइड $(KOH)$ के साथ अभिक्रिया करके आइसोसाइनाइड (कार्बाइल एमाइन) बनाते हैं,जिनकी गंध बहुत दुर्गंधयुक्त होती है।
इस अभिक्रिया को कार्बाइल एमाइन अभिक्रिया के रूप में जाना जाता है।
रासायनिक समीकरण है:
$C_6H_5CH_2NH_2 + CHCl_3 + 3KOH (alc.) \rightarrow C_6H_5CH_2NC + 3KCl + 3H_2O$
अतः,प्राप्त उत्पाद बेंज़िल आइसोसाइनाइड है।

(D) ग्लूकोज की फेनिलहाइड्राज़िन के साथ अभिक्रिया तीन चरणों में होती है:
$1$. ग्लूकोज फेनिलहाइड्राज़िन के एक अणु के साथ अभिक्रिया करके फेनिलहाइड्राज़ोन बनाता है।
$2$. इसके बाद फेनिलहाइड्राज़ोन फेनिलहाइड्राज़िन के दूसरे अणु के साथ अभिक्रिया करता है,जो ऑक्सीकरण एजेंट के रूप में कार्य करता है और एक कीटो-इमाइन मध्यवर्ती बनाता है।
$3$. अंत में,यह मध्यवर्ती फेनिलहाइड्राज़िन के तीसरे अणु के साथ अभिक्रिया करके स्थिर ओसाज़ोन बनाता है।
इस प्रकार,ग्लूकोज के एक अणु से ओसाज़ोन बनाने के लिए कुल $3$ अणु फेनिलहाइड्राज़िन की आवश्यकता होती है।

(C) अभिक्रिया का क्रम इस प्रकार है:
$1$. पहला चरण हेल-वोलहार्ड-ज़ेलिंस्की $(HVZ)$ अभिक्रिया है,जहाँ प्रोपेनोइक एसिड लाल फास्फोरस की उपस्थिति में $Cl_2$ के साथ अभिक्रिया करके $\alpha$-क्लोरोप्रोपेनोइक एसिड $(X)$ बनाता है:
$CH_3-CH_2-COOH \xrightarrow[\text{red } P]{Cl_2} CH_3-CHCl-COOH \text{ (} X \text{)}$
$2$. दूसरा चरण अल्कोहलिक $KOH$ का उपयोग करके डीहाइड्रोहैलोजनीकरण अभिक्रिया है,जो $\alpha$-कार्बन और $\beta$-कार्बन से $HCl$ को हटाकर एक्रिलिक एसिड $(Y)$ बनाता है:
$CH_3-CHCl-COOH \xrightarrow{\text{Alc. KOH}} CH_2=CH-COOH \text{ (} Y \text{)}$
अतः,अंतिम उत्पाद $Y$ एक्रिलिक एसिड $(CH_2=CH-COOH)$ है।

(B) एक सामान्य अभिक्रिया $aA + bB \longrightarrow cC + dD$ के लिए,अभिक्रिया की दर इस प्रकार दी जाती है: $\text{Rate} = -\frac{1}{a} \frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b} \frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c} \frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d} \frac{d[D]}{dt}$.
अभिक्रिया $H_{2} + I_{2} \longrightarrow 2 HI$ के लिए,रससमीकरणमितीय गुणांक क्रमशः $1, 1,$ और $2$ हैं।
अतः,अवकल दर नियम है: $\text{Rate} = -\frac{d[H_{2}]}{dt} = -\frac{d[I_{2}]}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d[HI]}{dt}$।

(B) दर नियम व्यंजक इस प्रकार दिया गया है: $\text{Rate} = \frac{+d[C]}{dt} = k[A]^1[B]^1$.
$A$ के सापेक्ष अभिक्रिया की कोटि $1$ है।
$B$ के सापेक्ष अभिक्रिया की कोटि $1$ है।
अभिक्रिया की कुल कोटि दर नियम में सांद्रता पदों के घातांकों का योग है: $1 + 1 = 2$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ का सूत्र है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$।
दिया गया दर स्थिरांक $k = 1.155 \times 10^{-3} \ s^{-1}$ है।
सूत्र में $k$ का मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{1.155 \times 10^{-3}} \ s$।
$t_{1/2} = \frac{0.693}{1.155} \times 10^{3} \ s$।
$t_{1/2} = 0.6 \times 1000 \ s$।
$t_{1/2} = 600 \ s$।

(C) $\gamma$-विकिरण विद्युतचुंबकीय तरंगें हैं जिनका कोई द्रव्यमान और आवेश नहीं होता है।
अपनी उच्च ऊर्जा और उदासीन प्रकृति के कारण,$\alpha$-कणों,प्रोटॉन या पॉज़िट्रॉन जैसे आवेशित कणों की तुलना में इनकी भेदन क्षमता सबसे अधिक होती है।

(D) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{T}{t_{1/2}} = \frac{12 \ days}{3 \ days} = 4$.
रेडियोधर्मी क्षय सूत्र का उपयोग करते हुए: $N = N_0 \times (1/2)^n$.
यहाँ $N = 3 \ g$ और $n = 4$ दिया गया है:
$3 = N_0 \times (1/2)^4$.
$3 = N_0 \times (1/16)$.
$N_0 = 3 \times 16 = 48 \ g$.

(D) $n$ कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्ध-आयु काल $(t_{1/2})$ का संबंध है: $t_{1/2} \propto \frac{1}{[A]_0^{n-1}}$,जहाँ $[A]_0$ प्रारंभिक सांद्रता है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$n = 1$.
समीकरण में $n = 1$ रखने पर: $t_{1/2} \propto \frac{1}{[A]_0^{1-1}} = \frac{1}{[A]_0^0} = \text{स्थिरांक}$.
अतः,प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल प्रारंभिक सांद्रता से स्वतंत्र होता है।

(A) नाभिकीय अभिक्रिया है: ${}^{238}_{92}U \longrightarrow {}^{206}_{82}Pb + m({}^{4}_{2}He) + n({}^{0}_{-1}e)$.
दोनों ओर द्रव्यमान संख्या की तुलना करने पर: $238 = 206 + 4m$ $\Rightarrow 4m = 32$ $\Rightarrow m = 8$.
दोनों ओर परमाणु क्रमांक की तुलना करने पर: $92 = 82 + 2m - n$.
$m = 8$ रखने पर: $92 = 82 + 2(8) - n$ $\Rightarrow 92 = 82 + 16 - n$ $\Rightarrow 92 = 98 - n$ $\Rightarrow n = 6$.
अतः,$8$ $\alpha$-कण और $6$ $\beta$-कण उत्सर्जित होते हैं।

(B) ट्रैंक्विलाइज़र वे दवाएं हैं जिनका उपयोग मानसिक रोगों से राहत पाने के लिए किया जाता है।
इन्हें साइकोथेराप्यूटिक ड्रग्स के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि ये केंद्रीय तंत्रिका तंत्र (central nervous system) पर कार्य करती हैं।

(A) एस्पिरिन (एसिटिलसैलिसिलिक एसिड) सैलिसिलिक एसिड के एसिटिलेशन द्वारा तैयार किया जाता है।
सैलिसिलिक एसिड को रासायनिक रूप से $o-$हाइड्रॉक्सीबेन्जोइक एसिड के रूप में जाना जाता है।
इस अभिक्रिया में एसिड उत्प्रेरक की उपस्थिति में सैलिसिलिक एसिड की अभिक्रिया एसिटिक एनहाइड्राइड के साथ कराई जाती है।

(B) पूतिरोधी (Antiseptics) वे रासायनिक पदार्थ हैं जो जीवित ऊतकों पर सूक्ष्मजीवों को मारते हैं या उनकी वृद्धि को रोकते हैं। $Chloramine-T$ एक प्रसिद्ध पूतिरोधी है जिसका उपयोग घावों और संक्रमणों के उपचार में किया जाता है। अन्य उदाहरणों में $Dettol$,$Savlon$,$Acriflavin$,$Boric \ acid$,$Phenol$,$Iodoform$,$KMnO_4$ और $Methylene \ blue$ शामिल हैं।

(A) $Cerium$ ($Ce$,$Z=58$) का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe] 4f^1 5d^1 6s^2$ है।
तीन इलेक्ट्रॉनों के नुकसान के कारण,यह $+3$ ऑक्सीकरण अवस्था बनाता है जो स्थिर है।
यह $+4$ ऑक्सीकरण अवस्था भी प्रदर्शित करता है क्योंकि चार इलेक्ट्रॉनों को हटाने से एक स्थिर उत्कृष्ट गैस विन्यास $([Xe])$ प्राप्त होता है।

(D) $Sc^{3+}$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 3d^0$ है।
चूंकि $d$-कक्षक में कोई इलेक्ट्रॉन नहीं है,इसलिए $d-d$ संक्रमण संभव नहीं है,जिससे यह आयन रंगहीन हो जाता है।

(D) संक्रमण तत्वों को उन तत्वों के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें उनकी मूल अवस्था या उनकी किसी भी ऑक्सीकरण अवस्था में $d$-कक्षक अपूर्ण रूप से भरे होते हैं।
सामान्यतः,$d$-ब्लॉक तत्वों को संक्रमण तत्व कहा जाता है।
इन तत्वों का सामान्य इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $(n-1) d^{1-10}, n s^{1-2}$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(D) लैंथेनाइड्स और एक्टिनाइड्स दोनों को आंतरिक संक्रमण तत्व माना जाता है और वे सामान्यतः $+3$ ऑक्सीकरण अवस्था प्रदर्शित करते हैं।
हालाँकि,असमानता का मुख्य बिंदु उनकी रेडियोधर्मिता है।
सभी एक्टिनाइड्स प्रकृति में रेडियोधर्मी होते हैं,जबकि लैंथेनाइड्स में केवल प्रोमेथियम $(Pm)$ रेडियोधर्मी है और बाकी गैर-रेडियोधर्मी हैं।

(A) किसी पदार्थ की अपचायक क्षमता उसके मानक अपचयन विभव $(E^{\circ}_{red})$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अधिक ऋणात्मक $E^{\circ}_{red}$ मान ऑक्सीकरण (इलेक्ट्रॉन खोने) की अधिक प्रवृत्ति को दर्शाता है,जिससे वह पदार्थ एक प्रबल अपचायक बन जाता है।
दिए गए मानों की तुलना करने पर:
$E^{\circ}_{Zn^{2+}/Zn} = -0.762 \ V$
$E^{\circ}_{Cr^{3+}/Cr} = -0.74 \ V$
$E^{\circ}_{H^{+}/H_2} = 0.00 \ V$
$E^{\circ}_{Fe^{3+}/Fe^{2+}} = 0.77 \ V$
चूंकि $Zn_{(s)}$ का मानक अपचयन विभव सबसे अधिक ऋणात्मक $(-0.762 \ V)$ है,इसलिए यह दिए गए विकल्पों में सबसे प्रबल अपचायक है।

(A) दी गई अभिक्रिया एक असमानुपातन (disproportionation) अभिक्रिया है: $2 Cu^{+}_{(aq)} \rightarrow Cu^{2+}_{(aq)} + Cu_{(s)}$.
इसे दो अर्ध-अभिक्रियाओं में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. ऑक्सीकरण: $Cu^{+}_{(aq)} \rightarrow Cu^{2+}_{(aq)} + e^{-}$,जहाँ $E^{\circ}_{ox} = -E^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu^{+}} = -0.15 \ V$.
$2$. अपचयन: $Cu^{+}_{(aq)} + e^{-} \rightarrow Cu_{(s)}$,जहाँ $E^{\circ}_{red} = E^{\circ}_{Cu^{+}/Cu}$.
$E^{\circ}_{Cu^{+}/Cu}$ ज्ञात करने के लिए,हम संबंध का उपयोग करते हैं: $\Delta G^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu} = \Delta G^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu^{+}} + \Delta G^{\circ}_{Cu^{+}/Cu}$.
$-(2)F(E^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu}) = -(1)F(E^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu^{+}}) + -(1)F(E^{\circ}_{Cu^{+}/Cu})$.
$2(0.34) = 0.15 + E^{\circ}_{Cu^{+}/Cu} \implies E^{\circ}_{Cu^{+}/Cu} = 0.68 - 0.15 = 0.53 \ V$.
अब,$E^{\circ}_{cell} = E^{\circ}_{ox} + E^{\circ}_{red} = -0.15 \ V + 0.53 \ V = +0.38 \ V$.

(C) एक स्वतःप्रवर्तित सेल अभिक्रिया के लिए,गिब्स मुक्त ऊर्जा परिवर्तन $(\Delta G)$ ऋणात्मक होना चाहिए।
संबंध $\Delta G = -nFE^{\circ}_{cell}$ के अनुसार,$\Delta G$ के ऋणात्मक होने के लिए $E^{\circ}_{cell}$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$\Delta G^{\circ} < 0$ और $E^{\circ}_{cell} > 0$ दोनों स्वतःप्रवर्तितता को दर्शाते हैं।
हालाँकि,स्वतःप्रवर्तितता के लिए मानक ऊष्मागतिक मानदंडों के संदर्भ में,$\Delta G^{\circ}$ का ऋणात्मक होना एक मूलभूत शर्त है।

(C) $C_4H_{10}O$ आण्विक सूत्र के लिए समवयवी ईथर निम्नलिखित हैं:
$1$. डाईएथिल ईथर: $CH_3CH_2OCH_2CH_3$
$2$. मेथिल प्रोपिल ईथर: $CH_3OCH_2CH_2CH_3$
$3$. मेथिल आइसोप्रोपिल ईथर: $CH_3OCH(CH_3)_2$
अतः,कुल $3$ समवयवी ईथर संभव हैं.

(B) ज़ोन रिफाइनिंग एक तकनीक है जिसका उपयोग बहुत उच्च शुद्धता वाली धातुएं प्राप्त करने के लिए किया जाता है। यह इस सिद्धांत पर आधारित है कि अशुद्धियाँ धातु की ठोस अवस्था की तुलना में पिघली हुई अवस्था में अधिक घुलनशील होती हैं। यह विधि $Zn$,$Ge$,$Si$,$B$,$Ga$ और $In$ जैसी धातुओं के अति-शुद्ध नमूने प्राप्त करने के लिए विशेष रूप से प्रभावी है।

(C) कैलेमाइन जिंक का कार्बोनेट अयस्क है,जिसे रासायनिक सूत्र $ZnCO_{3}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(C) रेयॉन लकड़ी की लुगदी से प्राप्त एक अर्ध-संश्लेषित बहुलक है,इसीलिए इसे पुनर्जनित रेशा (regenerated fibre) के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। इसे आमतौर पर कृत्रिम रेशम के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि इसकी बनावट और स्वरूप प्राकृतिक रेशम के समान होता है।

(C) $n HOCH_2-CH_2OH + n HOOC-C_6H_4-COOH \rightarrow HOCH_2CH_2O[OC-C_6H_4-CO-O-CH_2-CH_2-O]_{n-1} OC-C_6H_4-COOH + n H_2O$
टेरिलीन (जिसे $Dacron$ या $Terene$ के रूप में भी जाना जाता है) एथिलीन ग्लाइकॉल और टेरेफ्थैलिक एसिड के बीच अभिक्रिया द्वारा निर्मित एक संघनन बहुलक है। इसका उपयोग कृत्रिम रेशे के रूप में व्यापक रूप से किया जाता है।

(A) मोलरता को विलयन के प्रति इकाई आयतन में विलेय के मोलों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है $(M = \frac{n}{V})$।
चूंकि तापमान में परिवर्तन के साथ विलयन का आयतन $(V)$ बदलता है,इसलिए मोलरता तापमान पर निर्भर करती है।
इसके विपरीत,मोललता,मोल अंश और भार अंश द्रव्यमान पर आधारित होते हैं,जो तापमान परिवर्तन के साथ नहीं बदलते हैं।

(A) समपरासरी विलयनों में विलेय कणों की मोलर सांद्रता समान होती है।
विलयन में कणों की मोलर सांद्रता (वांट हॉफ कारक $i \times M$):
$A$ (ग्लूकोज) के लिए: $1 \times 0.1 \ M = 0.1 \ M$.
$B$ $(NaCl)$ के लिए: $2 \times 0.05 \ M = 0.1 \ M$.
$C$ $(BaCl_{2})$ के लिए: $3 \times 0.05 \ M = 0.15 \ M$.
$D$ $(AlCl_{3})$ के लिए: $4 \times 0.1 \ M = 0.4 \ M$.
अतः,विलयन $A$ और $B$ में कणों की सांद्रता समान $(0.1 \ M)$ है,इसलिए वे समपरासरी हैं।

(C) दिया गया है,शुद्ध बेंजीन का वाष्प दाब,$p^{\circ} = 640 \ mm \ Hg$.
विलयन का वाष्प दाब,$p = 600 \ mm \ Hg$.
विलेय का भार,$w = 2.175 \ g$.
विलायक (बेंजीन) का भार,$W = 39.08 \ g$.
बेंजीन का आणविक द्रव्यमान,$M = 78 \ g/mol$.
माना विलेय का आणविक द्रव्यमान $m$ है।
राउल्ट के नियम के अनुसार:
$\frac{p^{\circ} - p}{p^{\circ}} = \frac{w \times M}{m \times W}$
मान रखने पर:
$\frac{640 - 600}{640} = \frac{2.175 \times 78}{m \times 39.08}$
$\frac{40}{640} = \frac{169.65}{m \times 39.08}$
$\frac{1}{16} = \frac{169.65}{m \times 39.08}$
$m = \frac{16 \times 169.65}{39.08} \approx 69.60 \ g/mol$.

(A) क्वथनांक में उन्नयन एक अणुसंख्यक गुणधर्म है,जो कणों या आयनों की संख्या पर निर्भर करता है।
$0.1 \ M \ FeCl_3$ के लिए $i = 4$ $(Fe^{3+} + 3Cl^-)$ है।
$0.1 \ M \ BaCl_2$ के लिए $i = 3$ $(Ba^{2+} + 2Cl^-)$ है।
$0.1 \ M \ NaCl$ के लिए $i = 2$ $(Na^+ + Cl^-)$ है।
$0.1 \ M \ \text{urea}$ के लिए $i = 1$ (अन-अपघट्य) है।
चूंकि $0.1 \ M \ FeCl_3$ अधिकतम आयन देता है,इसलिए इसका क्वथनांक उच्चतम होगा।