$LPP$ के लिए,$z = x_{1} + x_{2}$ का न्यूनतमीकरण करें,जिसके प्रतिबंध $5x_{1} + 10x_{2} \geq 0$,$x_{1} + x_{2} \leq 1$,$x_{2} \leq 4$ और $x_{1}, x_{2} \geq 0$ हैं।

निम्नलिखित छायांकित क्षेत्र के लिए,रैखिक अवरोध क्या हैं?

रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या ($L$.$P$.$P$.) के लिए,$z = 4x_1 + 2x_2$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जिसके लिए प्रतिबंध $3x_1 + 2x_2 \geq 9$,$x_1 - x_2 \leq 3$,$x_1 \geq 0$,$x_2 \geq 0$ हैं। इस समस्या का:

$x + y \geq 5$,$0 \leq x \leq 4$,$y \geq 2$ के अधीन $Z = 5x + 8y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:

एक निर्माता के पास अपनी फैक्ट्री में तीन मशीनें $I, II$ और $III$ हैं। मशीन $I$ और $II$ को अधिकतम $12 \, \text{घंटे}$ तक चलाया जा सकता है,जबकि मशीन $III$ को दिन में कम से कम $5 \, \text{घंटे}$ चलाना आवश्यक है। वह केवल दो वस्तुएं $M$ और $N$ बनाती है,जिनमें से प्रत्येक को तीनों मशीनों के उपयोग की आवश्यकता होती है। तीनों मशीनों पर $M$ और $N$ की $1$ इकाई बनाने के लिए आवश्यक घंटों की संख्या नीचे दी गई तालिका में दी गई है:

वस्तुएं	मशीन $I$	मशीन $II$	मशीन $III$
$M$	$1$	$2$	$1$
$N$	$2$	$1$	$1.25$

वह वस्तुओं $M$ और $N$ पर क्रमशः $Rs. \, 600$ और $Rs. \, 400$ का लाभ कमाती है। उसे प्रत्येक वस्तु की कितनी इकाइयों का उत्पादन करना चाहिए ताकि उसका लाभ अधिकतम हो,यह मानते हुए कि वह उत्पादित सभी वस्तुओं को बेच सकती है? अधिकतम लाभ क्या होगा?

उद्देश्य फलन $Z = 3x + 2y$ का न्यूनतमीकरण कीजिए,जिसके लिए प्रतिबंध हैं: $x + y \geq 8$,$x + y \leq 5$,$x \geq 0$,$y \geq 0$.