MHT CET 2008 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ખુલ્લી બારી એક સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થ (perfectly black body) તરીકે વર્તે છે,કારણ કે બારીમાં પ્રવેશતું કોઈપણ વિકિરણ રૂમની અંદર શોષાઈ જાય છે અને પાછું પરાવર્તિત થતું નથી.
સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે,શોષણ ગુણાંક $(a)$ એ પદાર્થ પર આપાત થતી કુલ ઉર્જા અને શોષાયેલી ઉર્જાનો ગુણોત્તર છે.
કૃષ્ણ પદાર્થ તમામ આપાત વિકિરણોનું શોષણ કરતું હોવાથી,તેનો શોષણ ગુણાંક $a = 1$ હોય છે.

(B) વિકલ્પ $(a)$ ખોટો છે કારણ કે સ્વચ્છ રાત્રિઓ દરમિયાન,પૃથ્વીની સપાટી પરની વસ્તુઓ ગરમીનું ઉત્સર્જન કરે છે,જેના કારણે જમીનની નજીકનું તાપમાન ઘટે છે.
વિકલ્પ $(c)$ ખોટો છે કારણ કે બ્લેક બોડી દ્વારા એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ $E \propto T^4$ છે,$T^2$ નથી.
વિકલ્પ $(d)$ માટે,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $P = A \varepsilon \sigma T^4 = 4 \pi r^2 \varepsilon \sigma T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{4000}{2000} \right)^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1$.
અહીં $P_1 = P_2$ હોવાથી,વિકલ્પ $(d)$ ખોટો છે.
વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે કારણ કે ન્યુટનનો શીતલનનો નિયમ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમનું અંદાજિત સ્વરૂપ છે અને તે નાના તાપમાનના તફાવત માટે માન્ય છે,જે સામાન્ય રીતે કુદરતી સંવહનમાં જોવા મળે છે.

(C) ધાતુઓ આપાત પ્રકાશના તરંગના વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનના દોલનોને કારણે આપાત પ્રકાશનું પરાવર્તન કરે છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની અસ્તવ્યસ્ત ગતિ વધે છે,જેના કારણે લેટીસ આયનો સાથે તેમની અથડામણો વધે છે.
આ અથડામણોમાં વધારો થવાથી વિદ્યુત અવરોધ વધે છે અને પરિણામે ધાતુની વિદ્યુત વાહકતા ઘટે છે.
તેથી,આવા ઘન પદાર્થમાં બંધન ધાત્વિક હોય છે.

(A) જો સંયોજનમાં ઓછામાં ઓછો એક કાયરલ કાર્બન પરમાણુ (ચાર અલગ-અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ કાર્બન) હોય,તો તે કાયરલ ગણાય છે.
$1-$ક્લોરોપેન્ટેન: $CH_2(Cl)-CH_2-CH_2-CH_2-CH_3$. ક્લોરિન સાથે જોડાયેલ કાર્બન પરમાણુ બે સમાન હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તે અકાયરલ (achiral) છે.
$2-$ક્લોરોપેન્ટેન: $C-2$ કાર્બન ચાર અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તે કાયરલ છે.
$1-$ક્લોરો$-2-$મિથાઈલપેન્ટેન: $C-2$ કાર્બન ચાર અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તે કાયરલ છે.
$3-$ક્લોરો$-2-$મિથાઈલપેન્ટેન: $C-3$ કાર્બન ચાર અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તે કાયરલ છે.
આમ,$1-$ક્લોરોપેન્ટેન એ અકાયરલ સંયોજન છે.

(A) મોલારિટીને દ્રાવણના પ્રતિ લિટર દ્રાવ્યના મોલની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(M = \frac{n}{V(L)})$.
કદ $(V)$ તાપમાન પર આધારિત હોવાથી,મોલારિટી તાપમાન સાથે બદલાય છે.
મોલાલિટી,મોલ અંશ અને વજન અંશ દળ પર આધારિત છે,જે તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે.

(B) Chloramine-$T$ એ એક પૂતિરોધક (Antiseptic) છે.
પૂતિરોધક એવા રાસાયણિક પદાર્થો છે જે સૂક્ષ્મજીવોનો નાશ કરે છે અથવા તેમની વૃદ્ધિ અટકાવે છે અને તેને જીવંત પેશીઓ પર લગાવી શકાય છે.
ઉદાહરણોમાં ફિનોલનું $0.2$ ટકા દ્રાવણ,$KMnO_4$ અને Chloramine-$T$ નો સમાવેશ થાય છે.

(C) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $12x^2 + 7xy + ay^2 + 13x - y + 3 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 12$ અને $B = a$ મળે છે.
પરસ્પર લંબ રેખાઓ માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $A + B = 0$.
કિંમતો મૂકતા,$12 + a = 0$ મળે છે.
તેથી,$a = -12$.

(C) ધારો કે વ્યાસનું એક અંત્યબિંદુ $A = (1, 1)$ છે.
બીજું અંત્યબિંદુ $B$ એ રેખા $x + y = 3$ પર હોવાથી,$B$ ને $(t, 3 - t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ એ વ્યાસ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{1 + t}{2}$ અને $k = \frac{1 + (3 - t)}{2} = \frac{4 - t}{2}$.
આ સમીકરણો પરથી,$t = 2h - 1$ અને $t = 4 - 2k$ મળે.
$t$ ની બંને કિંમતોને સરખાવતા:
$2h - 1 = 4 - 2k$
$2h + 2k = 5$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $2x + 2y = 5$ મળે છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 13$ છે.
ધારો કે બિંદુ $(2, y')$ છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકતા:
$2^2 + (y')^2 = 13$
$4 + (y')^2 = 13$
$(y')^2 = 9$
$y' = \pm 3$.
તેથી,બિંદુઓ $(2, 3)$ અને $(2, -3)$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 = r^2$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ માટે: $2x + 3y = 13$.
બિંદુ $(2, -3)$ માટે: $2x - 3y = 13$.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $2x + 3y = 13$ અને $2x - 3y = 13$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે. $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 16$,તેથી $a = 4$ મળે.
ધારો કે પરવલય પરનું બિંદુ $(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે કોટિ એ ભુજ કરતા બમણો છે,તેથી $k = 2h$.
બિંદુ પરવલય પર હોવાથી,$k^2 = 16h$.
$k = 2h$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,$(2h)^2 = 16h$,જેનું સાદું રૂપ $4h^2 = 16h$ થાય.
આથી $4h^2 - 16h = 0$,અથવા $4h(h - 4) = 0$.
તેથી,$h = 0$ અથવા $h = 4$.
જો $h = 0$,તો $k = 0$. બિંદુ $(0, 0)$ છે. નાભિ અંતર $h + a = 0 + 4 = 4$ થાય.
જો $h = 4$,તો $k = 8$. બિંદુ $(4, 8)$ છે. નાભિ અંતર $h + a = 4 + 4 = 8$ થાય.
વિકલ્પોમાં $4$ ન હોવાથી,માંગેલ નાભિ અંતર $8$ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 8x$ માટે,$4a = 8$,તેથી $a = 2$.
પરવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx + \frac{a}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $mx - y + \frac{2}{m} = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
જો આ રેખા વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|2/m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4}{m^2} = 2(m^2 + 1)$,જે $2 = m^2(m^2 + 1)$ તરફ દોરી જાય છે.
$m^4 + m^2 - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા $(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$ મળે છે.
$m^2$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $m^2 = 1$,એટલે કે $m = \pm 1$.
$m = 1$ મૂકતા,$y = x + 2$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0)$,$A(a + b)$,અને $B(a - b)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશો મૂકતા,આપણને મળે છે $\text{Area} = \frac{1}{2} |(a + b) \times (a - b)|$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(a + b) \times (a - b) = a \times a - a \times b + b \times a - b \times b$.
કારણ કે $a \times a = 0$ અને $b \times b = 0$,અને $b \times a = -(a \times b)$,તેથી:
$(a + b) \times (a - b) = 0 - (a \times b) - (a \times b) - 0 = -2(a \times b) = 2(b \times a)$.
આમ,$\text{Area} = \frac{1}{2} |2(b \times a)| = |b \times a| = |b| |a| \sin(90^\circ)$.
$|a| = 2$ અને $|b| = 3$ આપેલ છે,અને સદિશો લંબ છે $(\theta = 90^\circ)$:
$\text{Area} = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P_1 = 6a - 4b + 4c$,$P_2 = -4c$,$P_3 = -a - 2b - 3c$,અને $P_4 = a + 2b - 5c$ છે.
$P_1$ અને $P_2$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $r = P_1 + m(P_2 - P_1) = 6a - 4b + 4c + m(-6a - 4b - 8c)$ ..... $(i)$ છે.
$P_3$ અને $P_4$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $r = P_3 + n(P_4 - P_3) = -a - 2b - 3c + n(2a + 4b - 2c)$ ..... $(ii)$ છે.
છેદબિંદુ માટે,સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ સમાન સ્થાન સદિશ $r$ આપવા જોઈએ.
$(i)$ અને $(ii)$ માંથી $a, b,$ અને $c$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$6 - 6m = -1 + 2n \implies 6m + 2n = 7$
$-4 - 4m = -2 + 4n \implies 4m + 4n = -2 \implies 2m + 2n = -1$
$4 - 8m = -3 - 2c \implies 8m - 2n = 7$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા: $(6m + 2n) - (2m + 2n) = 7 - (-1) \implies 4m = 8 \implies m = 2$.
$m = 2$ ને $2m + 2n = -1$ માં મૂકતા: $4 + 2n = -1 \implies 2n = -5 \implies n = -2.5$.
આ કિંમતોને ત્રીજા સમીકરણમાં તપાસતા: $8(2) - 2(-2.5) = 16 + 5 = 21 \neq 7$.
આમ,સમીકરણો સુસંગત નથી,તેથી રેખાઓ છેદતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે $a, b, c$ એ માંગેલી રેખાના દિક-ગુણોત્તર છે.
રેખા બંને સમતલોમાં હોવાથી,તેનો દિક-સદિશ બંને સમતલોના અભિલંબ $(3, 2, 1)$ અને $(1, 1, -2)$ ને લંબ છે.
તેથી,$3a + 2b + c = 0$ અને $a + b - 2c = 0$.
ચોકડી ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{(-4 - 1)} = \frac{b}{(1 + 6)} = \frac{c}{(3 - 2)}$,જે $\frac{a}{-5} = \frac{b}{7} = \frac{c}{1}$ આપે છે.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે,આપેલા સમીકરણોમાં $z = 0$ મૂકતા: $3x + 2y = 5$ અને $x + y = 3$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x = -1$ અને $y = 4$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $(-1, 4, 0)$ છે.
સંમિત સમીકરણ $\frac{x - (-1)}{-5} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z - 0}{1}$ છે,જે $\frac{x + 1}{-5} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z - 0}{1}$ તરીકે લખી શકાય.

(C) રેખા $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z + 2) = 0$ છે,જ્યાં $-3a + 2b + c = 0$ (કારણ કે અભિલંબ સદિશ રેખાની દિશા $(-3, 2, 1)$ ને લંબ છે).
સમતલ બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$a(0 + 1) + b(7 - 3) + c(-7 + 2) = 0$
$a + 4b - 5c = 0$.
હવે આપણી પાસે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે:
$1) -3a + 2b + c = 0$
$2) a + 4b - 5c = 0$
$a, b, c$ ના ગુણોત્તર શોધવા માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{(2)(-5) - (1)(4)} = \frac{b}{(1)(1) - (-3)(-5)} = \frac{c}{(-3)(4) - (2)(1)}$
$\frac{a}{-14} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{-14}$
આથી $a = b = c$ મળે છે. ધારો કે $a = b = c = 1$.
તેથી સમતલનું સમીકરણ $1(x + 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0$ એટલે કે $x + y + z = 0$ થાય છે.

(C) આપણને $f(x) = \sqrt{\frac{x - \sin x}{x + \cos^2 x}}$ આપેલ છે.
$\lim_{x \to \infty} f(x)$ શોધવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $x$ વડે ભાગીશું:
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x - \sin x}{x + \cos^2 x}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sin x}{x}}{1 + \frac{\cos^2 x}{x}}}$
જેમ $x \to \infty$,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\sin x}{x} \to 0$ અને $\frac{\cos^2 x}{x} \to 0$ કારણ કે $-1 \le \sin x \le 1$ અને $0 \le \cos^2 x \le 1$.
તેથી,લક્ષની કિંમત $\sqrt{\frac{1 - 0}{1 + 0}} = \sqrt{1} = 1$ થાય છે.

(C) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,નીચેની શરત સંતોષાવી જોઈએ:
$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$
અહીં $f(0) = k$ આપેલ છે,તેથી આપણે લક્ષની કિંમત મેળવવી પડશે:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( x \sin \frac{1}{x} \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે દરેક $x \ne 0$ માટે,સાઈન વિધેયનું મૂલ્ય મર્યાદિત છે:
$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા ($x > 0$ માટે):
$-x \le x \sin \frac{1}{x} \le x$
$x \to 0$ લેતા,સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) મુજબ:
$\lim_{x \to 0} (-x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0} (x) = 0$
તેથી,$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$.
આમ,$f(0) = k$ હોવાથી,$k = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^3 + y^3 - 3axy = 0$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) - 3a \frac{d}{dx}(xy) = 0$
ચેઈન રૂલ અને ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 3a \left( x \frac{dy}{dx} + y \right) = 0$
આખા સમીકરણને $3$ વડે ભાગતા:
$x^2 + y^2 \frac{dy}{dx} - ax \frac{dy}{dx} - ay = 0$
$\frac{dy}{dx}$ વાળા પદોને અલગ કરતા:
$\frac{dy}{dx}(y^2 - ax) = ay - x^2$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{ay - x^2}{y^2 - ax}$.

(C) આપેલ વેગ $v = \frac{ds}{dt} = 6t - \frac{t^2}{6}$ છે.
અંતર $s$ શોધવા માટે,આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું સંકલન કરીએ છીએ:
$s = \int (6t - \frac{t^2}{6}) dt = 3t^2 - \frac{t^3}{18} + C$.
આપેલ છે કે $t = 0$ સમયે $s = 0$,તેથી અચળાંક $C$ શોધવા માટે આ કિંમતો મૂકતા:
$0 = 3(0)^2 - \frac{0^3}{18} + C \implies C = 0$.
આમ,અંતર માટેનું સમીકરણ $s = 3t^2 - \frac{t^3}{18}$ છે.
$3$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર શોધવા માટે,$t = 3$ મૂકતા:
$s = 3(3)^2 - \frac{3^3}{18} = 3(9) - \frac{27}{18} = 27 - \frac{3}{2} = \frac{54 - 3}{2} = \frac{51}{2}$.

(B) ધારો કે $f(x) = x^3 - 12x^2 + 36x + 17$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = 3x^2 - 24x + 36$.
$f'(x) = 0$ લેતા:
$3(x^2 - 8x + 12) = 0$
$3(x - 2)(x - 6) = 0$
તેથી,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = 2$ અને $x = 6$ છે.
હવે,આપણે અંતરાલ $[1, 10]$ ના અંતિમ બિંદુઓ અને ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ પર વિધેય $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(1) = (1)^3 - 12(1)^2 + 36(1) + 17 = 1 - 12 + 36 + 17 = 42$.
$f(2) = (2)^3 - 12(2)^2 + 36(2) + 17 = 8 - 48 + 72 + 17 = 49$.
$f(6) = (6)^3 - 12(6)^2 + 36(6) + 17 = 216 - 432 + 216 + 17 = 17$.
$f(10) = (10)^3 - 12(10)^2 + 36(10) + 17 = 1000 - 1200 + 360 + 17 = 177$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $x = 10$ પર $177$ મળે છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{\frac{dy}{dx}} - 4\frac{dy}{dx} - 7x = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{\frac{dy}{dx}} = 4\frac{dy}{dx} + 7x$ મળે છે.
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{dy}{dx} = (4\frac{dy}{dx} + 7x)^2$ મળે છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{dy}{dx} = 16(\frac{dy}{dx})^2 + 49x^2 + 56x\frac{dy}{dx}$ મળે છે.
અહીં સૌથી મોટું વિકલન $\frac{dy}{dx}$ છે,તેથી તેનો ક્રમ $1$ છે.
વિકલનના સ્વરૂપમાં સમીકરણને બહુપદી બનાવ્યા પછી,સૌથી મોટા વિકલનની મહત્તમ ઘાત $2$ છે,તેથી તેની ઘાત $2$ છે.
આમ,ક્રમ $1$ અને ઘાત $2$ છે.

(C) ધારો કે $x - y = v$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$1 - \frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત આપેલ વિકલ સમીકરણમાં મૂકતા: $1 - \frac{dv}{dx} = \frac{v + 3}{2v + 5}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dv}{dx} = 1 - \frac{v + 3}{2v + 5} = \frac{2v + 5 - v - 3}{2v + 5} = \frac{v + 2}{2v + 5}$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{2v + 5}{v + 2} dv = \int dx$.
સંકલ્યને સરળ બનાવતા: $\int \left( 2 + \frac{1}{v + 2} \right) dv = \int dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $2v + \log|v + 2| = x + c$.
$v = x - y$ પાછું મૂકતા: $2(x - y) + \log|x - y + 2| = x + c$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(3xy + y^2)dx + (x^2 + xy)dy = 0$ છે.
આને $\frac{dy}{dx} = - \frac{3xy + y^2}{x^2 + xy}$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તેથી $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $v + x\frac{dv}{dx} = - \frac{3x^2v + x^2v^2}{x^2 + x^2v} = - \frac{v^2 + 3v}{v + 1}$.
$x\frac{dv}{dx} = - \frac{v^2 + 3v}{v + 1} - v = - \frac{v^2 + 3v + v^2 + v}{v + 1} = - \frac{2v^2 + 4v}{v + 1} = - \frac{2v(v + 2)}{v + 1}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} dv = - \frac{2}{x} dx$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v + 1}{v(v + 2)} = \frac{A}{v} + \frac{B}{v + 2} \implies v + 1 = A(v + 2) + Bv$.
$v = 0$ માટે,$A = 1/2$. $v = -2$ માટે,$B = 1/2$.
તેથી,$\int (\frac{1}{2v} + \frac{1}{2(v + 2)}) dv = - \int \frac{2}{x} dx$.
$\frac{1}{2} \ln|v| + \frac{1}{2} \ln|v + 2| = - 2 \ln|x| + C$.
$\ln|v(v + 2)| = - 4 \ln|x| + C' \implies \ln|v(v + 2)x^4| = C'$.
$v(v + 2)x^4 = c^2$. $v = y/x$ મૂકતા: $\frac{y}{x}(\frac{y}{x} + 2)x^4 = c^2$.
$x^2(y^2 + 2xy) = c^2$.

(B) ધારો કે $p$ વિધાન છે: "વરસાદ પડે છે".
ધારો કે $q$ વિધાન છે: "હું શાળાએ જઈશ".
આપેલ શરતી વિધાન $p \Rightarrow q$ છે.
શરતી વિધાન $p \Rightarrow q$ નું નિષેધ $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$p$ એટલે "વરસાદ પડે છે" અને $\sim q$ એટલે "હું શાળાએ જઈશ નહીં".
તેથી,નિષેધ "વરસાદ પડે છે અને હું શાળાએ જઈશ નહીં" થાય છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0$ છે અને અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = \frac{\omega_0}{2}$ છે. $36$ પરિભ્રમણ માટે કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_1 = 36 \times 2\pi = 72\pi \text{ rad}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{\omega_0}{2})^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(72\pi)$
$\frac{\omega_0^2}{4} - \omega_0^2 = 144\pi\alpha$
$-\frac{3\omega_0^2}{4} = 144\pi\alpha \implies \alpha = -\frac{3\omega_0^2}{576\pi} = -\frac{\omega_0^2}{192\pi}$.
હવે,બીજા ભાગ માટે,પંખો $\omega_i = \frac{\omega_0}{2}$ થી શરૂ થાય છે અને સ્થિર થાય છે $(\omega_f = 0)$:
$0^2 = (\frac{\omega_0}{2})^2 + 2\alpha\theta_2$
$0 = \frac{\omega_0^2}{4} + 2(-\frac{\omega_0^2}{192\pi})\theta_2$
$\frac{\omega_0^2}{4} = \frac{\omega_0^2}{96\pi}\theta_2$
$\theta_2 = \frac{96\pi}{4} = 24\pi \text{ rad}$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા = $\frac{\theta_2}{2\pi} = \frac{24\pi}{2\pi} = 12$ પરિભ્રમણ.

(C) કિરાલ સંયોજન તે છે જેમાં ઓછામાં ઓછો એક કિરાલ કાર્બન પરમાણુ (ચાર અલગ-અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ કાર્બન પરમાણુ) હોય.
$1-$ક્લોરોપેન્ટેન એ $CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CH_2Cl$ છે. અહીં,ક્લોરિન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ કાર્બન પરમાણુ બે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ છે,જે સમાન છે. તેથી,તે અકિરાલ છે.
$1-$ક્લોરો$-2-$મિથાઈલપેન્ટેનમાં $C-2$ પર કિરાલ કેન્દ્ર છે.
$2-$ક્લોરોપેન્ટેનમાં $C-2$ પર કિરાલ કેન્દ્ર છે.
$3-$ક્લોરો$-2-$મિથાઈલપેન્ટેનમાં $C-3$ પર કિરાલ કેન્દ્ર છે.

(A) જો કોઈ સંયોજનમાં ઓછામાં ઓછો એક કીરાલ કાર્બન પરમાણુ (ચાર અલગ અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ કાર્બન) હોય,તો તે સંયોજન કીરાલ કહેવાય છે.
$1$. $1$-ક્લોરોપેન્ટેન: $CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CH_2Cl$. $C_1$ કાર્બન બે હાઇડ્રોજન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તે અકીરાલ (achiral) છે.
$2$. $2$-ક્લોરોપેન્ટેન: $CH_3-CH(Cl)-CH_2-CH_2-CH_3$. $C_2$ કાર્બન $-H, -Cl, -CH_3, -CH_2CH_2CH_3$ સાથે જોડાયેલ છે. તે કીરાલ છે.
$3$. $1$-ક્લોરો-$2$-મિથાઇલપેન્ટેન: $CH_2(Cl)-CH(CH_3)-CH_2-CH_2-CH_3$. $C_2$ કાર્બન $-H, -CH_3, -CH_2Cl, -CH_2CH_2CH_3$ સાથે જોડાયેલ છે. તે કીરાલ છે.
$4$. $3$-ક્લોરો-$2$-મિથાઇલપેન્ટેન: $CH_3-CH(CH_3)-CH(Cl)-CH_2-CH_3$. $C_3$ કાર્બન $-H, -Cl, -CH_2CH_3, -CH(CH_3)_2$ સાથે જોડાયેલ છે. તે કીરાલ છે.
તેથી,$1$-ક્લોરોપેન્ટેન એ એકમાત્ર અકીરાલ સંયોજન છે.

(A) જો અણુમાં ઓછામાં ઓછો એક કિરાલ કાર્બન પરમાણુ (ચાર અલગ-અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ કાર્બન) હોય,તો તે અણુ કિરાલ કહેવાય છે.
$1-$ક્લોરોપેન્ટેન $(CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CH_2Cl)$: ક્લોરિન સાથે જોડાયેલ કાર્બન પરમાણુ બે હાઈડ્રોજન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ છે. તે ચાર અલગ-અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ ન હોવાથી,તે અકિરાલ છે.
$2-$ક્લોરોપેન્ટેન $(CH_3-CHCl-CH_2-CH_2-CH_3)$: $C-2$ કાર્બન $-H, -Cl, -CH_3,$ અને $-CH_2CH_2CH_3$ સાથે જોડાયેલ છે. તે કિરાલ છે.
$1-$ક્લોરો$-2-$મિથાઈલપેન્ટેન $(CH_3-CH_2-CH_2-CH(CH_3)-CH_2Cl)$: $C-2$ કાર્બન $-H, -CH_3, -CH_2CH_2CH_3,$ અને $-CH_2Cl$ સાથે જોડાયેલ છે. તે કિરાલ છે.
$3-$ક્લોરો$-2-$મિથાઈલપેન્ટેન $(CH_3-CH(CH_3)-CHCl-CH_2-CH_3)$: $C-3$ કાર્બન $-H, -Cl, -CH_2CH_3,$ અને $-CH(CH_3)_2$ સાથે જોડાયેલ છે. તે કિરાલ છે.
તેથી,$1-$ક્લોરોપેન્ટેન કિરાલ નથી.

(D) જ્યારે પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીની અંદરના અણુઓ સપાટી પર આવે છે.
જેમ જેમ આ અણુઓ સપાટી પર પહોંચે છે,તેમ તેમ આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળ (cohesive force) ની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
આ કાર્ય અણુઓમાં સ્થિતિ ઊર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
આમ,સપાટી પર રહેલા અણુઓની સ્થિતિ ઊર્જા પ્રવાહીની અંદર રહેલા અણુઓ કરતા વધારે હોય છે.

(D) પદાર્થ દ્વારા વિકિરણનું શોષણ થવા માટે આપાત ફોટોનની ઉર્જા બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $(E_g)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ.
આપેલ છે $E_g = 2.0\, eV$.
ઉર્જા અને આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $E = h\nu$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.63 \times 10^{-34}\, J\cdot s)$ છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
પ્રથમ,ઉર્જાને $eV$ માંથી જૂલમાં ફેરવો:
$E = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19}\, J = 3.2 \times 10^{-19}\, J$.
હવે,લઘુત્તમ આવૃત્તિ $\nu$ ની ગણતરી કરો:
$\nu = \frac{E}{h} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 0.4826 \times 10^{15}\, Hz$.
$\nu \approx 4.83 \times 10^{14}\, Hz$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $\nu \approx 5 \times 10^{14}\, Hz$ મળે છે.

(C) $1$. ઈથર ક્રિયાશીલ સમૂહ ધરાવતી સૌથી લાંબી કાર્બન શૃંખલા ઓળખો. બંધારણ $CH_3-CH(OC_3H_7)-C_3H_7$ છે.
$2$. સૌથી લાંબી શૃંખલામાં $5$ કાર્બન પરમાણુઓ છે,જે પેન્ટેન શૃંખલા છે.
$3$. આલ્કોક્સી સમૂહ $-OC_3H_7$ (પ્રોપોક્સી સમૂહ) પેન્ટેન શૃંખલાના બીજા કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ છે.
$4$. વિસ્થાપકની નજીકના છેડાથી શૃંખલાને નંબર આપતા પ્રોપોક્સી સમૂહ માટે $2$ સ્થાન મળે છે.
$5$. તેથી,$IUPAC$ નામ $2-$પ્રોપોક્સી પેન્ટેન છે.

(C) જો અણુમાં ઓછામાં ઓછો એક કાઈરલ કેન્દ્ર (અસમપ્રમાણ કાર્બન પરમાણુ જે ચાર અલગ અલગ સમૂહો સાથે જોડાયેલ હોય) હોય,તો તે અણુ કાઈરલ કહેવાય છે.
$1-$ક્લોરોપેન્ટેન $(CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CH_2Cl)$ માં કોઈ કાઈરલ કાર્બન પરમાણુ નથી કારણ કે $C_1$ કાર્બન બે સમાન હાઈડ્રોજન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ છે.
$2-$ક્લોરોપેન્ટેન,$1-$ક્લોરો$-2-$મિથાઈલપેન્ટેન અને $3-$ક્લોરો$-2-$મિથાઈલપેન્ટેન બધામાં ઓછામાં ઓછો એક કાઈરલ કાર્બન પરમાણુ છે.
તેથી,$1-$ક્લોરોપેન્ટેન કાઈરલ નથી.

(D) ગ્રીગનાર્ડ પ્રક્રિયકો જેવા કે મિથાઈલ મેગ્નેશિયમ આયોડાઈડ $(CH_3MgI)$ પ્રબળ બેઈઝ તરીકે વર્તે છે અને એસિડિક હાઈડ્રોજન પરમાણુ ધરાવતા સંયોજનો સાથે પ્રક્રિયા કરે છે.
ટર્મિનલ આલ્કાઈન,જેમાં ટ્રિપલ બોન્ડ ધરાવતા કાર્બન પરમાણુ સાથે હાઈડ્રોજન જોડાયેલ હોય છે $(R-C \equiv C-H)$,તે એસિડિક હાઈડ્રોજન ધરાવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$CH_3CH_2CH_2C \equiv CH$ એ ટર્મિનલ આલ્કાઈન છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$CH_3CH_2CH_2C \equiv CH + CH_3MgI \rightarrow CH_3CH_2CH_2C \equiv CMgI + CH_4 \uparrow$
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) જે સ્પીસીઝ બ્રોન્સ્ટેડ એસિડ અને બેઇઝ બંને તરીકે વર્તે છે તેને ઉભયગુણી (amphoteric) સ્પીસીઝ કહેવાય છે. તે પ્રોટોન $(H^+)$ આપી શકે અને સ્વીકારી પણ શકે તેવી હોવી જોઈએ.
$HPO_4^{2-}$ પ્રોટોન સ્વીકારીને $H_2PO_4^-$ બનાવે છે (બેઇઝ તરીકે) અને પ્રોટોન આપીને $PO_4^{3-}$ બનાવે છે (એસિડ તરીકે).
$HPO_4^{2-} + H_2O \rightleftharpoons H_2PO_4^- + OH^-$
$HPO_4^{2-} + H_2O \rightleftharpoons PO_4^{3-} + H_3O^+$
$H_2PO_2^-$ એ $H_3PO_2$ (એક બેઝિક એસિડ) નો સંયુગ્મી બેઇઝ છે અને તે વધુ પ્રોટોન આપી શકતું નથી.
$HPO_3^{2-}$ એ $H_2PO_3^-$ નો સંયુગ્મી બેઇઝ છે (જે દ્વિ-બેઝિક એસિડ $H_3PO_3$ માંથી મળે છે) અને તે વધુ પ્રોટોન આપી શકતું નથી.

(C) નિર્બળ બેઇઝ માટે,હાઇડ્રોક્સિલ આયનોની સાંદ્રતા $[OH^{-}] = \sqrt{K_{b} \times C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$[OH^{-}] = \sqrt{1.0 \times 10^{-5} \times 0.1} = \sqrt{1.0 \times 10^{-6}} = 1.0 \times 10^{-3} \ M$.
પાણીના આયનીય ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા,$K_{w} = [H^{+}] [OH^{-}] = 1.0 \times 10^{-14}$.
$[H^{+}] = \frac{K_{w}}{[OH^{-}]} = \frac{1.0 \times 10^{-14}}{1.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^{-11} \ M$.
$pH$ ની ગણતરી $pH = -\log [H^{+}]$ તરીકે થાય છે.
$pH = -\log (1.0 \times 10^{-11}) = 11$.

(A) $Ca(OH)_{2}$ નું પાણીમાં વિયોજન નીચે મુજબ થાય છે:
$Ca(OH)_{2}(s) \rightleftharpoons Ca^{2+}(aq) + 2OH^{-}(aq)$
ધારો કે દ્રાવ્યતા $s \ mol \ L^{-1}$ છે.
સંતુલન સમયે,$[Ca^{2+}] = s$ અને $[OH^{-}] = 2s$ થાય.
દ્રાવ્યતા ગુણાકારનું સૂત્ર:
$K_{sp} = [Ca^{2+}][OH^{-}]^{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$K_{sp} = (s)(2s)^{2} = s \times 4s^{2} = 4s^{3}$

(A) આઈસોબાર (સમભારક) એટલે કે સમાન પરમાણ્વીય દળ ધરાવતા પરંતુ અલગ પરમાણ્વીય ક્રમાંક ધરાવતા તત્વો.
${ }_{20} Ca^{40}$ માટે,પરમાણ્વીય દળ $40$ છે અને પરમાણ્વીય ક્રમાંક $20$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,${ }_{18} Ar^{40}$ નું પરમાણ્વીય દળ $40$ છે પરંતુ પરમાણ્વીય ક્રમાંક $18$ છે.
તેથી,${ }_{18} Ar^{40}$ એ ${ }_{20} Ca^{40}$ નો આઈસોબાર છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$C_{(s)} + O_{2(g)} \longrightarrow CO_{2(g)}; \Delta H = r$ ...$(I)$
$CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \longrightarrow CO_{2(g)}; \Delta H = s$ ...$(II)$
આપણે $CO$ ની સર્જન ઉષ્મા શોધવાની છે,જે નીચે મુજબની પ્રક્રિયા છે:
$C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \longrightarrow CO_{(g)}; \Delta H = ?$
સમીકરણ $(I)$ માંથી સમીકરણ $(II)$ બાદ કરતા:
$(C_{(s)} + O_{2(g)}) - (CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)}) \longrightarrow CO_{2(g)} - CO_{2(g)}$
$C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} - CO_{(g)} \longrightarrow 0$
$C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \longrightarrow CO_{(g)}$
આ પ્રક્રિયા માટે એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H = r - s$ થશે.

(B) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta E)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta H = \Delta E + \Delta n_g RT$.
અહીં,$\Delta n_g$ એ વાયુરૂપ ઘટકોના મોલની સંખ્યામાં થતો ફેરફાર છે,જેની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $\Delta n_g = \sum n_{g, \text{products}} - \sum n_{g, \text{reactants}}$.
પ્રક્રિયા $C_2H_5OH_{(l)} + 3O_{2(g)} \longrightarrow 2CO_{2(g)} + 3H_2O_{(l)}$ માટે,વાયુરૂપ મોલ છે:
નીપજો: $2 \text{ મોલ } CO_2$.
પ્રક્રિયકો: $3 \text{ મોલ } O_2$.
$\Delta n_g = 2 - 3 = -1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $\Delta H = \Delta E + (-1)RT = \Delta E - RT$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^{2}=2(x-3)$ છે ...$(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{T} = \frac{1}{y}$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = -y$ છે.
આપેલ રેખા $y - 2x + 1 = 0$ છે,જેને $y = 2x - 1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = 2$ છે.
અભિલંબ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-y = 2 \Rightarrow y = -2$.
$y = -2$ ને વક્રના સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(-2)^{2} = 2(x - 3)$
$4 = 2(x - 3)$
$2 = x - 3 \Rightarrow x = 5$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(5, -2)$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,બે સમાંતર શાખાઓ છે.
દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં જોડાયેલ બે સ્વીચો છે.
ઉપરની શાખામાં $\sim p$ અને $q$ સ્વીચો શ્રેણીમાં છે,જે $(\sim p \wedge q)$ અભિવ્યક્તિને અનુરૂપ છે.
નીચેની શાખામાં $p$ અને $\sim q$ સ્વીચો શ્રેણીમાં છે,જે $(p \wedge \sim q)$ અભિવ્યક્તિને અનુરૂપ છે.
બે શાખાઓ સમાંતર હોવાથી,કુલ બુલિયન બહુપદી બંને અભિવ્યક્તિઓનો વિયોજન (disjunction) છે: $(\sim p \wedge q) \vee (p \wedge \sim q)$.

(D) ગેલ્વેનોમીટર સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે: $I = \frac{V}{R_{total}}$.
શરૂઆતમાં,કુલ અવરોધ $R_{total,1} = 50 \Omega + 2950 \Omega = 3000 \Omega$ છે.
$30$ કાપા માટેનો પ્રવાહ $I_1 = \frac{3 \text{ V}}{3000 \Omega} = 10^{-3} \text{ A}$ છે.
આવર્તન એ પ્રવાહના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,પ્રતિ કાપા પ્રવાહ $\frac{10^{-3} \text{ A}}{30}$ થાય.
$20$ કાપાનું આવર્તન મેળવવા માટે,જરૂરી પ્રવાહ $I_2 = 20 \times \left( \frac{10^{-3}}{30} \right) = \frac{2}{3} \times 10^{-3} \text{ A}$ છે.
ધારો કે નવો કુલ અવરોધ $R_{total,2}$ છે. તેથી $I_2 = \frac{3 \text{ V}}{R_{total,2}}$.
$\frac{2}{3} \times 10^{-3} = \frac{3}{R_{total,2}} \implies R_{total,2} = \frac{3 \times 3}{2 \times 10^{-3}} = 4500 \Omega$.
પરિપથમાં કુલ અવરોધ $R_{total,2} = R_G + R_{series}$ છે.
$4500 \Omega = 50 \Omega + R_{series} \implies R_{series} = 4450 \Omega$.

(B) ધારો કે $i_{a}$ એ એમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ છે અને $i$ એ કુલ પ્રવાહ છે. તેથી,શંટ અવરોધમાંથી $(i - i_{a})$ જેટલો પ્રવાહ વહેશે.
એમીટર અને શંટ અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે.
તેથી,$i_{a} \times R = (i - i_{a}) \times S$
$S$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$S = \frac{i_{a} R}{i - i_{a}}$
આપેલ કિંમતો: $i_{a} = 100 \text{ A}$,$i = 750 \text{ A}$,અને $R = 13 \Omega$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$S = \frac{100 \times 13}{750 - 100}$
$S = \frac{1300}{650}$
$S = 2 \Omega$
આમ,શંટ અવરોધનું મૂલ્ય $2 \Omega$ છે.

(A) ટેકરીની ટોચ પર, સવાર પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ (નીચેની તરફ) અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ (ઉપરની તરફ) છે.
ચોખ્ખું કેન્દ્રગામી બળ આ બળોના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$Mg - N = M \frac{v^2}{R}$
"ભારહીનતા" ની સ્થિતિ માટે, લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ શૂન્ય હોવી જોઈએ $(N = 0)$.
સમીકરણમાં $N = 0$ મૂકતા:
$Mg = M \frac{v^2}{R}$
$g = \frac{v^2}{R}$
$v = \sqrt{Rg}$
અહીં $R = 20 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$ લેતા:
$v = \sqrt{20 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \, m/s$
તેથી, ટેકરીની ટોચ પર કારની ઝડપ $14 \, m/s$ અને $15 \, m/s$ ની વચ્ચે છે.

(B) ચુંબકના દોલનનો સમયગાળો $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ (moment of inertia) છે,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,અને $H$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક છે.
મૂળ ચુંબક માટે જેનું દળ $m$ અને લંબાઈ $L$ છે,$I = \frac{mL^2}{12}$ અને $M = q_m L$ (જ્યાં $q_m$ એ ધ્રુવની શક્તિ છે).
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈની દિશામાં ત્રણ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું દળ $m' = m/3$,લંબાઈ $L' = L/3$ અને ધ્રુવની શક્તિ $q_m' = q_m$ થાય છે.
જ્યારે આ ત્રણેય ભાગોને સમાન ધ્રુવો સાથે એકબીજા પર ગોઠવવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની આઘૂર્ણ $I'$ એ ત્રણેય ભાગોની જડત્વની આઘૂર્ણનો સરવાળો છે: $I' = 3 \times \frac{m'(L')^2}{12} = 3 \times \frac{(m/3)(L/3)^2}{12} = \frac{mL^2}{12 \times 9} = \frac{I}{9}$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ ત્રણેય ભાગોની ચુંબકીય મોમેન્ટનો સરવાળો છે: $M' = 3 \times (q_m \times L/3) = q_m L = M$.
નવો સમયગાળો $T'$ એ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M'H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/9}{MH}} = \frac{1}{3} \times 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}} = \frac{T}{3}$ છે.
આપેલ છે કે $T = 2 ~s$,તેથી $T' = 2/3 ~s$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\max} = \omega^{2} A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે બંને ગતિઓ માટે કંપવિસ્તાર $A$ સમાન છે,તેથી તેમના મહત્તમ પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{(a_{\max})_{1}}{(a_{\max})_{2}} = \frac{\omega_{1}^{2} A}{\omega_{2}^{2} A} = \frac{\omega_{1}^{2}}{\omega_{2}^{2}}$
આપેલ કિંમતો $\omega_{1} = 100 \ rad \ s^{-1}$ અને $\omega_{2} = 1000 \ rad \ s^{-1}$ મૂકતા:
$\frac{(a_{\max})_{1}}{(a_{\max})_{2}} = \frac{(100)^{2}}{(1000)^{2}} = \left(\frac{100}{1000}\right)^{2} = \left(\frac{1}{10}\right)^{2} = \frac{1}{100} = 1: 10^{2}$

(C) ધારો કે પાતળા ગોળીય કવચ અને નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે $R_{1}$ અને $R_{2}$ છે.
પાતળા ગોળીય કવચની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{2}{3} M R_{1}^{2}$ છે.
નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2} = \frac{2}{5} M R_{2}^{2}$ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થોના દળ $M$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ સમાન છે,તેથી $I_{1} = I_{2}$.
તેથી,$\frac{2}{3} M R_{1}^{2} = \frac{2}{5} M R_{2}^{2}$.
બંને બાજુથી $M$ અને $2$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{R_{1}^{2}}{3} = \frac{R_{2}^{2}}{5}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}} = \frac{3}{5}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ મળે છે.
આમ,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\sqrt{3}: \sqrt{5}$ છે.

(B) $p-n$ ફોટોડાયોડ એ એક સેમિકન્ડક્ટર ઉપકરણ છે જે પ્રકાશ દ્વારા પ્રકાશિત થાય ત્યારે વિદ્યુત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે। સેમિકન્ડક્ટર પદાર્થ દ્વારા ફોટોનનું શોષણ થવા માટે, તેની ઉર્જા $E$ એ બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $E_g$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ.
આપેલ છે, $E_g = 2.0 \text{ eV}$.
ઉર્જા અને આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $E = h\nu$ છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક $(6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s})$ છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
બેન્ડ ગેપ ઉર્જાને જુલમાં ફેરવતા: $E_g = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$h\nu = E_g$ લેતા, આપણને મળે છે $\nu = \frac{E_g}{h} = \frac{3.2 \times 10^{-19} \text{ J}}{6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}$.
ગણતરી કરતા: $\nu \approx 0.482 \times 10^{15} \text{ Hz} = 4.82 \times 10^{14} \text{ Hz}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, $\nu \approx 5 \times 10^{14} \text{ Hz}$ મળે છે.

(A) આલ્કોહોલનું ઉત્કલનબિંદુ આંતરઆણ્વીય હાઇડ્રોજન બંધ અને અણુના સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે.
જેમ પ્રાથમિક $(1^{\circ})$ થી દ્વિતીયક $(2^{\circ})$ અને તૃતીયક $(3^{\circ})$ આલ્કોહોલ તરફ જતાં શાખાઓ વધે છે,તેમ અણુનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે.
નાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વાન ડર વાલ્સ આકર્ષણ બળોને નબળા બનાવે છે.
વધુમાં,તૃતીયક આલ્કોહોલમાં અવકાશી અવરોધ (steric hindrance) આંતરઆણ્વીય હાઇડ્રોજન બંધની અસરકારકતા ઘટાડે છે.
તેથી,ઉત્કલનબિંદુનો ક્રમ $1^{\circ} > 2^{\circ} > 3^{\circ}$ છે.

(C) નિર્જળ $ZnCl_2$ અને સાંદ્ર $HCl$ ના મિશ્રણને લ્યુકાસ પ્રક્રિયક કહેવામાં આવે છે.
લ્યુકાસ કસોટીનો ઉપયોગ પ્રાથમિક,દ્વિતીયક અને તૃતીયક આલ્કોહોલ વચ્ચેનો તફાવત પારખવા માટે થાય છે.
તૃતીયક આલ્કોહોલ લ્યુકાસ પ્રક્રિયક સાથે તરત જ પ્રક્રિયા કરીને ધૂંધળાપણું ઉત્પન્ન કરે છે.
દ્વિતીયક આલ્કોહોલ $5-10 \ \text{min}$ માં ધૂંધળાપણું આપે છે અને પ્રાથમિક આલ્કોહોલ ઓરડાના તાપમાને બિલકુલ ધૂંધળાપણું આપતા નથી.
આપેલા વિકલ્પોમાં,$2-\text{hydroxy}-2-\text{methylpropane}$ એ $3^{\circ}$ આલ્કોહોલ છે,તેથી તે સૌથી વધુ સક્રિય છે.

(C) આપેલ પ્રક્રિયામાં,ટર્ટ-બ્યુટાઇલ બ્રોમાઇડમાં રહેલા બ્રોમીન પરમાણુ $(-Br)$ નું સ્થાન પાણીમાંથી મળતા હાઇડ્રોક્સિલ સમૂહ $(-OH)$ દ્વારા લેવામાં આવે છે.
આવનાર સમૂહ કેન્દ્રાનુરાગી $(-OH^-)$ હોવાથી,આ કેન્દ્રાનુરાગી વિસ્થાપન પ્રક્રિયા છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,આ $S_N1$ ક્રિયાવિધિને અનુસરે છે કારણ કે પ્રક્રિયક તૃતીયક આલ્કાઇલ હેલાઇડ છે.

(C) આલ્કાઇલ હેલાઇડ $(R-X)$ ની સૂકા સિલ્વર ઓક્સાઇડ $(Ag_2O)$ સાથે ગરમ કરવાથી ઈથર મળે છે.
રાસાયણિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$2 R-X + Ag_2O \xrightarrow{\Delta} R-O-R + 2 AgX$
આપેલ પ્રક્રિયા $2 A + \text{dry silver oxide} \xrightarrow{\Delta} \text{ether} + 2 \operatorname{Ag} X$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે કહી શકીએ કે $A$ એ આલ્કાઇલ હેલાઇડ $(R-X)$ છે.

(C) ગ્રીગનાર્ડ પ્રક્રિયક $(RMgX)$ ની કાર્બોનિલ સંયોજન સાથેની પ્રક્રિયા અને ત્યારબાદ જળવિભાજન કરવાથી આલ્કોહોલ મળે છે.
$\text{tert-pentyl alcohol}$ $(CH_3CH_2C(CH_3)_2OH)$ મેળવવા માટે,આપણે કીટોનની ગ્રીગનાર્ડ પ્રક્રિયક સાથે પ્રક્રિયા કરવી પડે.
અહીં,ગ્રીગનાર્ડ પ્રક્રિયક $C_2H_5MgI$ (ઈથાઈલ મેગ્નેશિયમ આયોડાઈડ) છે.
જ્યારે $C_2H_5MgI$ એ $A$ (એસિટોન,$CH_3COCH_3$) સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે ન્યુક્લિયોફિલિક ઈથાઈલ સમૂહ એસિટોનના કાર્બોનિલ કાર્બન પર હુમલો કરે છે.
$CH_3COCH_3 + C_2H_5MgI \rightarrow CH_3C(OMgI)(CH_3)(C_2H_5)$.
$H_2O/H^+$ સાથે જળવિભાજન કરવાથી,આ $CH_3C(OH)(CH_3)(C_2H_5)$ બનાવે છે,જે $2-$મિથાઈલબ્યુટેન$-2-$ઓલ છે,જેને સામાન્ય રીતે $\text{tert-pentyl alcohol}$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,સંયોજન $A$ એ એસિટોન છે.

(D) નિનહાઇડ્રિન કસોટીનો ઉપયોગ એમિનો એસિડ અને પ્રોટીનની હાજરી ચકાસવા માટે થાય છે,જે વાદળી કે જાંબલી રંગ આપે છે.
બેનેડિક્ટનું દ્રાવણ રિડ્યુસિંગ શર્કરા (મોનોસેકેરાઇડ અને કેટલીક ડાયસેકેરાઇડ) ની હાજરી ચકાસવા માટે વપરાય છે.
પ્રોટીન રિડ્યુસિંગ શર્કરા નથી,તેથી તે બેનેડિક્ટ કસોટીમાં ઋણ પરિણામ આપે છે.
તેથી,પ્રોટીન એ સાચો જવાબ છે.

(A) ફિનોલની $CHCl_3$ અને $KOH$ સાથેની પ્રક્રિયા રાઈમર-ટીમેન પ્રક્રિયા છે,જે મધ્યવર્તી $X$ તરીકે સેલિસાઈલાલ્ડિહાઈડ ($2$-હાઈડ્રોક્સીબેન્ઝાલ્ડિહાઈડ) આપે છે.
સેલિસાઈલાલ્ડિહાઈડમાં આલ્ડિહાઈડ સમૂહ હોય છે પરંતુ તેમાં કોઈ $\alpha$-હાઈડ્રોજન પરમાણુ હોતા નથી.
જ્યારે તેને $50 \%$ $KOH$ ના દ્રાવણ સાથે પ્રક્રિયા કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે કેનિઝારો પ્રક્રિયા (વિષમીકરણ પ્રક્રિયા) અનુભવે છે.
સેલિસાઈલાલ્ડિહાઈડનો એક અણુ અનુરૂપ આલ્કોહોલ ($2$-હાઈડ્રોક્સીબેન્ઝાઈલ આલ્કોહોલ) માં રિડક્શન પામે છે અને બીજો અણુ અનુરૂપ કાર્બોક્સિલિક એસિડ ક્ષાર (પોટેશિયમ $2$-હાઈડ્રોક્સીબેન્ઝોએટ) માં ઓક્સિડેશન પામે છે.

(D) આયોડોફોર્મ કસોટી એવા સંયોજનો દ્વારા આપવામાં આવે છે જે $CH_{3}CO-$ ગ્રુપ અથવા $CH_{3}CH(OH)-$ ગ્રુપ ધરાવે છે.
$2-$પેન્ટેનોન $(CH_{3}COCH_{2}CH_{2}CH_{3})$ માં $CH_{3}CO-$ ગ્રુપ હોય છે.
ઇથેનાલ $(CH_{3}CHO)$ માં $CH_{3}CO-$ ગ્રુપ હોય છે.
ઇથેનોલ $(CH_{3}CH_{2}OH)$ માં $CH_{3}CH(OH)-$ ગ્રુપ હોય છે.
જોકે,$3-$પેન્ટેનોન $(CH_{3}CH_{2}COCH_{2}CH_{3})$ માં આમાંથી કોઈ પણ ગ્રુપ હોતું નથી,તેથી તે આયોડોફોર્મ કસોટી આપતું નથી.

(A) $1$. એસ્ટર $(A)$ એ $C_6H_5COOC_2H_5$ (ઇથાઇલ બેન્ઝોએટ) છે.
$2$. વધારાના $CH_3MgBr$ સાથેની પ્રક્રિયા અને ત્યારબાદ એસિડિક વર્કઅપથી તૃતીયક આલ્કોહોલ $C_6H_5C(OH)(CH_3)_2$ મળે છે.
$3$. $H_2SO_4$ સાથે આ આલ્કોહોલના નિર્જલીકરણથી ઓલેફિન $(B)$ મળે છે,જે $C_6H_5-C(CH_3)=CH_2$ ($2$-ફિનાઇલપ્રોપીન) છે.
$4$. $(B)$ $(C_6H_5-C(CH_3)=CH_2)$ ના ઓઝોનોલિસિસથી એસિટોફિનોન $(C_6H_5COCH_3)$ મળે છે,જેનું સૂત્ર $C_8H_8O$ છે.
$5$. એસિટોફિનોનમાં મિથાઇલ કીટોન સમૂહ $(-COCH_3)$ હોય છે,જે ધન આયોડોફોર્મ કસોટી આપે છે.
$6$. તેથી,એસ્ટર $(A)$ એ $C_6H_5COOC_2H_5$ છે.

(A) એસીટાલ્ડિહાઈડ $(CH_{3}CHO)$ અને ફોર્માલ્ડિહાઈડ $(HCHO)$ વચ્ચેની ક્રોસ્ડ આલ્ડોલ કન્ડેન્સેશન પ્રક્રિયામાં,બેઝ $(OH^{-})$ એસીટાલ્ડિહાઈડના અણુમાંથી એક $\alpha$-હાઈડ્રોજન પરમાણુ દૂર કરે છે કારણ કે કાર્બોનિલ ગ્રુપની ઇલેક્ટ્રોન-આકર્ષક અસરને કારણે $\alpha$-હાઈડ્રોજન એસિડિક હોય છે.
આ પ્રક્રિયાના પરિણામે એનોલેટ આયન (કાર્બેનાયન) મધ્યવર્તી બને છે,જેને $: \overline{C}H_{2}CHO$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(B) એમાઇન્સની બેઝિક પ્રબળતા નાઇટ્રોજન પરમાણુ પરના ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની ઉપલબ્ધતા પર આધાર રાખે છે.
આલ્કાઇલ સમૂહો ઇલેક્ટ્રોન મુક્ત કરતા સમૂહો છે જે ધન પ્રેરક અસર $(+I)$ દર્શાવે છે,જે નાઇટ્રોજન પરમાણુ પર ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા વધારે છે,જેનાથી બેઝિકતા વધે છે.
$NH_3$ (એમોનિયા) માં,નાઇટ્રોજન પરમાણુ સાથે કોઈ આલ્કાઇલ સમૂહ જોડાયેલ નથી.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાં $NH_3$ સૌથી નિર્બળ બેઇઝ છે.

(C) એમાઇડ્સ બ્રોમિન અને કોસ્ટિક સોડા સાથે પ્રક્રિયા કરીને તેમના અનુરૂપ પ્રાથમિક એમાઇન્સ આપે છે. આ પ્રક્રિયાને હોફમેન બ્રોમામાઇડ ડિગ્રેડેશન પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
રાસાયણિક સમીકરણ:
$CH_{3}CONH_{2} + Br_{2} + 4KOH \xrightarrow{343K} CH_{3}NH_{2} + 2KBr + K_{2}CO_{3} + 2H_{2}O$
આમ,એસીટામાઇડ $(CH_{3}CONH_{2})$ મિથેનેમાઇન $(CH_{3}NH_{2})$ આપે છે.

(D) બેન્ઝાઇલ એમાઇન $(C_6H_5CH_2NH_2)$ એ પ્રાથમિક $(1^{\circ})$ એમાઇન છે.
પ્રાથમિક એમાઇન ક્લોરોફોર્મ $(CHCl_3)$ અને ઇથેનોલિક પોટેશિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડ $(KOH)$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને આઇસોસાયનાઇડ (કાર્બાઇલ એમાઇન) બનાવે છે,જે દુર્ગંધયુક્ત હોય છે.
આ પ્રક્રિયાને કાર્બાઇલ એમાઇન કસોટી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
રાસાયણિક સમીકરણ:
$C_6H_5CH_2NH_2 + CHCl_3 + 3KOH (alc.) \rightarrow C_6H_5CH_2NC + 3KCl + 3H_2O$
આમ,મળતી નીપજ બેન્ઝાઇલ આઇસોસાયનાઇડ છે.

(D) ગ્લુકોઝની ફિનાઈલહાઈડ્રાઝિન સાથેની પ્રક્રિયા ત્રણ તબક્કામાં થાય છે:
$1$. ગ્લુકોઝ ફિનાઈલહાઈડ્રાઝિનના એક અણુ સાથે પ્રક્રિયા કરીને ફિનાઈલહાઈડ્રાઝોન બનાવે છે.
$2$. ત્યારબાદ ફિનાઈલહાઈડ્રાઝોન ફિનાઈલહાઈડ્રાઝિનના બીજા અણુ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,જે ઓક્સિડેશનકર્તા તરીકે વર્તે છે અને કીટો-ઈમાઈન મધ્યવર્તી સંયોજન બનાવે છે.
$3$. અંતે,આ મધ્યવર્તી સંયોજન ફિનાઈલહાઈડ્રાઝિનના ત્રીજા અણુ સાથે પ્રક્રિયા કરીને સ્થાયી ઓસાઝોન બનાવે છે.
આમ,ગ્લુકોઝના એક અણુમાંથી ઓસાઝોન બનાવવા માટે કુલ $3$ અણુ ફિનાઈલહાઈડ્રાઝિનની જરૂર પડે છે.

(C) પ્રક્રિયાનો ક્રમ નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રથમ તબક્કો હેલ-વોલહાર્ડ-ઝેલિન્સ્કી $(HVZ)$ પ્રક્રિયા છે,જેમાં પ્રોપેનોઇક એસિડ લાલ ફોસ્ફરસની હાજરીમાં $Cl_2$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને $\alpha$-ક્લોરોપ્રોપેનોઇક એસિડ $(X)$ બનાવે છે:
$CH_3-CH_2-COOH \xrightarrow[\text{red } P]{Cl_2} CH_3-CHCl-COOH \text{ (} X \text{)}$
$2$. બીજો તબક્કો આલ્કોહોલિક $KOH$ નો ઉપયોગ કરીને ડિહાઇડ્રોહેલોજનેશન પ્રક્રિયા છે,જે $\alpha$-કાર્બન અને $\beta$-કાર્બનમાંથી $HCl$ દૂર કરીને એક્રિલિક એસિડ $(Y)$ બનાવે છે:
$CH_3-CHCl-COOH \xrightarrow{\text{Alc. KOH}} CH_2=CH-COOH \text{ (} Y \text{)}$
તેથી,અંતિમ નીપજ $Y$ એ એક્રિલિક એસિડ $(CH_2=CH-COOH)$ છે.

(B) સામાન્ય પ્રક્રિયા $aA + bB \longrightarrow cC + dD$ માટે,પ્રક્રિયાનો વેગ આ મુજબ આપવામાં આવે છે: $\text{Rate} = -\frac{1}{a} \frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b} \frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c} \frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d} \frac{d[D]}{dt}$.
પ્રક્રિયા $H_{2} + I_{2} \longrightarrow 2 HI$ માટે,તત્વયોગમિતિય સહગુણકો અનુક્રમે $1, 1,$ અને $2$ છે.
તેથી,વિકલનીય વેગ નિયમ: $\text{Rate} = -\frac{d[H_{2}]}{dt} = -\frac{d[I_{2}]}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d[HI]}{dt}$ છે.

(B) વેગના નિયમનું સમીકરણ આ મુજબ છે: $\text{Rate} = \frac{+d[C]}{dt} = k[A]^1[B]^1$.
$A$ ની સાપેક્ષમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $1$ છે.
$B$ ની સાપેક્ષમાં પ્રક્રિયાનો ક્રમ $1$ છે.
પ્રક્રિયાનો કુલ ક્રમ એ વેગના નિયમમાં રહેલા સાંદ્રતાના પદોના ઘાતાંકોનો સરવાળો છે: $1 + 1 = 2$.

(A) પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ નું સૂત્ર: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ છે.
આપેલ વેગ અચળાંક $k = 1.155 \times 10^{-3} \ s^{-1}$ છે.
સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{1.155 \times 10^{-3}} \ s$.
$t_{1/2} = \frac{0.693}{1.155} \times 10^{3} \ s$.
$t_{1/2} = 0.6 \times 1000 \ s$.
$t_{1/2} = 600 \ s$.

(C) $\gamma$-વિકિરણો એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે જે દળ અને વીજભાર ધરાવતા નથી.
તેમની ઉચ્ચ ઉર્જા અને તટસ્થ પ્રકૃતિને કારણે,$\alpha$-કણો,પ્રોટોન અથવા પોઝિટ્રોન જેવા વીજભારિત કણોની તુલનામાં તેમની વેધન શક્તિ સૌથી વધુ હોય છે.

(D) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $n = \frac{T}{t_{1/2}} = \frac{12 \ days}{3 \ days} = 4$.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $N = N_0 \times (1/2)^n$.
અહીં $N = 3 \ g$ અને $n = 4$ આપેલ છે:
$3 = N_0 \times (1/2)^4$.
$3 = N_0 \times (1/16)$.
$N_0 = 3 \times 16 = 48 \ g$.

(D) $n$ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(t_{1/2})$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $t_{1/2} \propto \frac{1}{[A]_0^{n-1}}$,જ્યાં $[A]_0$ એ પ્રારંભિક સાંદ્રતા છે.
પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,$n = 1$.
સમીકરણમાં $n = 1$ મૂકતા: $t_{1/2} \propto \frac{1}{[A]_0^{1-1}} = \frac{1}{[A]_0^0} = \text{અચળ}$.
તેથી,પ્રથમ ક્રમની પ્રક્રિયા માટે,અર્ધ-આયુષ્ય સમય પ્રારંભિક સાંદ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.

(A) ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા: ${}^{238}_{92}U \longrightarrow {}^{206}_{82}Pb + m({}^{4}_{2}He) + n({}^{0}_{-1}e)$.
બંને બાજુ દળ ક્રમાંકની સરખામણી કરતા: $238 = 206 + 4m$ $\Rightarrow 4m = 32$ $\Rightarrow m = 8$.
બંને બાજુ પરમાણુ ક્રમાંકની સરખામણી કરતા: $92 = 82 + 2m - n$.
$m = 8$ મૂકતા: $92 = 82 + 2(8) - n$ $\Rightarrow 92 = 82 + 16 - n$ $\Rightarrow 92 = 98 - n$ $\Rightarrow n = 6$.
તેથી,$8$ $\alpha$-કણો અને $6$ $\beta$-કણો ઉત્સર્જિત થાય છે.

(B) ટ્રાન્ક્વીલાઈઝર્સ એ માનસિક બીમારીઓને દૂર કરવા માટે વપરાતી દવાઓ છે.
તેમને સાયકોથેરાપ્યુટિક ડ્રગ્સ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે તે મધ્યસ્થ ચેતાતંત્ર (central nervous system) પર કાર્ય કરે છે.

(A) એસ્પિરિન (એસેટિલસેલિસિલિક એસિડ) એ સેલિસિલિક એસિડના એસિટિલેશન દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવે છે.
સેલિસિલિક એસિડને રાસાયણિક રીતે $o-$હાઇડ્રોક્સિબેન્ઝોઇક એસિડ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં એસિડ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં સેલિસિલિક એસિડની પ્રક્રિયા એસિટિક એનહાઇડ્રાઇડ સાથે કરવામાં આવે છે.

(B) પૂતિરોધક (Antiseptics) એવા રાસાયણિક પદાર્થો છે જે સજીવ પેશીઓ પરના સૂક્ષ્મજીવોનો નાશ કરે છે અથવા તેમની વૃદ્ધિ અટકાવે છે. $Chloramine-T$ એ એક જાણીતું પૂતિરોધક છે જેનો ઉપયોગ ઘા અને ચેપની સારવારમાં થાય છે. અન્ય ઉદાહરણોમાં $Dettol$,$Savlon$,$Acriflavin$,$Boric \ acid$,$Phenol$,$Iodoform$,$KMnO_4$ અને $Methylene \ blue$ નો સમાવેશ થાય છે.

(A) $Cerium$ ($Ce$,$Z=58$) ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Xe] 4f^1 5d^1 6s^2$ છે.
ત્રણ ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવવાને કારણે,તે $+3$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા પ્રાપ્ત કરે છે જે સ્થાયી છે.
તે $+4$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા પણ દર્શાવે છે કારણ કે ચાર ઇલેક્ટ્રોન દૂર થવાથી તે નિષ્ક્રિય વાયુ જેવી સ્થાયી રચના $([Xe])$ પ્રાપ્ત કરે છે.

(D) $Sc^{3+}$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $[Ar] 3d^0$ છે.
$d$-કક્ષકમાં કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ન હોવાથી,$d-d$ સંક્રમણ શક્ય નથી,જે આ આયનને રંગહીન બનાવે છે.

(D) સંક્રાંતિ તત્વો એવા તત્વો તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે તેમની ધરા અવસ્થામાં અથવા તેમની કોઈપણ ઓક્સિડેશન અવસ્થામાં અપૂર્ણ રીતે ભરાયેલી $d$-કક્ષકો ધરાવે છે.
સામાન્ય રીતે,$d$-વિભાગના તત્વોને સંક્રાંતિ તત્વો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ તત્વોની સામાન્ય ઇલેક્ટ્રોનીય રચના $(n-1) d^{1-10}, n s^{1-2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(D) લેન્થેનાઇડ્સ અને એક્ટિનાઇડ્સ બંનેને આંતરિક સંક્રાંતિ તત્વો ગણવામાં આવે છે અને તેઓ સામાન્ય રીતે $+3$ ઓક્સિડેશન અવસ્થા દર્શાવે છે.
જોકે,અસમાનતાનો મુખ્ય મુદ્દો તેમની કિરણોત્સર્ગીતા છે.
બધા જ એક્ટિનાઇડ્સ સ્વભાવે કિરણોત્સર્ગી છે,જ્યારે લેન્થેનાઇડ્સમાં માત્ર પ્રોમિથિયમ $(Pm)$ કિરણોત્સર્ગી છે અને બાકીના બિન-કિરણોત્સર્ગી છે.

(A) પદાર્થની રિડક્શન કરવાની ક્ષમતા તેના પ્રમાણિત રિડક્શન પોટેન્શિયલ $(E^{\circ}_{red})$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વધુ ઋણ $E^{\circ}_{red}$ મૂલ્ય ઓક્સિડેશન (ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવવાની) થવાની વધુ વૃત્તિ સૂચવે છે,જે તેને પ્રબળ રિડક્શનકર્તા બનાવે છે.
આપેલા મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$E^{\circ}_{Zn^{2+}/Zn} = -0.762 \ V$
$E^{\circ}_{Cr^{3+}/Cr} = -0.74 \ V$
$E^{\circ}_{H^{+}/H_2} = 0.00 \ V$
$E^{\circ}_{Fe^{3+}/Fe^{2+}} = 0.77 \ V$
અહીં $Zn_{(s)}$ નું પ્રમાણિત રિડક્શન પોટેન્શિયલ સૌથી વધુ ઋણ $(-0.762 \ V)$ હોવાથી,તે આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી પ્રબળ રિડક્શનકર્તા છે.

(A) આપેલ પ્રક્રિયા વિષમપ્રમાણીકરણ (disproportionation) પ્રક્રિયા છે: $2 Cu^{+}_{(aq)} \rightarrow Cu^{2+}_{(aq)} + Cu_{(s)}$.
આ પ્રક્રિયાને બે અર્ધ-પ્રક્રિયાઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. ઓક્સિડેશન: $Cu^{+}_{(aq)} \rightarrow Cu^{2+}_{(aq)} + e^{-}$,જ્યાં $E^{\circ}_{ox} = -E^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu^{+}} = -0.15 \ V$.
$2$. રિડક્શન: $Cu^{+}_{(aq)} + e^{-} \rightarrow Cu_{(s)}$,જ્યાં $E^{\circ}_{red} = E^{\circ}_{Cu^{+}/Cu}$.
$E^{\circ}_{Cu^{+}/Cu}$ શોધવા માટે,આપણે સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\Delta G^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu} = \Delta G^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu^{+}} + \Delta G^{\circ}_{Cu^{+}/Cu}$.
$-(2)F(E^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu}) = -(1)F(E^{\circ}_{Cu^{2+}/Cu^{+}}) + -(1)F(E^{\circ}_{Cu^{+}/Cu})$.
$2(0.34) = 0.15 + E^{\circ}_{Cu^{+}/Cu} \implies E^{\circ}_{Cu^{+}/Cu} = 0.68 - 0.15 = 0.53 \ V$.
હવે,$E^{\circ}_{cell} = E^{\circ}_{ox} + E^{\circ}_{red} = -0.15 \ V + 0.53 \ V = +0.38 \ V$.

(C) સ્વયંભૂ કોષ પ્રક્રિયા માટે,ગિબ્સ મુક્ત ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta G)$ ઋણ હોવો જોઈએ.
સંબંધ $\Delta G = -nFE^{\circ}_{cell}$ મુજબ,$\Delta G$ ઋણ હોવા માટે $E^{\circ}_{cell}$ ધન હોવો જોઈએ.
આમ,$\Delta G^{\circ} < 0$ અને $E^{\circ}_{cell} > 0$ બંને સ્વયંભૂતા દર્શાવે છે.
જોકે,સ્વયંભૂતા માટેના પ્રમાણિત થર્મોડાયનેમિક માપદંડના સંદર્ભમાં,$\Delta G^{\circ}$ ઋણ હોવું એ મૂળભૂત શરત છે.

(C) $C_4H_{10}O$ આણ્વીય સૂત્ર માટેના આઇસોમેરિક ઇથર્સ નીચે મુજબ છે:
$1$. ડાયઇથાઇલ ઇથર: $CH_3CH_2OCH_2CH_3$
$2$. મિથાઇલ પ્રોપાઇલ ઇથર: $CH_3OCH_2CH_2CH_3$
$3$. મિથાઇલ આઇસોપ્રોપાઇલ ઇથર: $CH_3OCH(CH_3)_2$
આમ,કુલ $3$ આઇસોમેરિક ઇથર્સ શક્ય છે.

(B) ઝોન રિફાઇનિંગ એ અત્યંત ઉચ્ચ શુદ્ધતા ધરાવતી ધાતુઓ મેળવવા માટે વપરાતી તકનીક છે. તે એ સિદ્ધાંત પર આધારિત છે કે અશુદ્ધિઓ ધાતુની ઘન અવસ્થા કરતા પીગળેલી અવસ્થામાં વધુ દ્રાવ્ય હોય છે. આ પદ્ધતિ $Zn$,$Ge$,$Si$,$B$,$Ga$ અને $In$ જેવી ધાતુઓના અતિ-શુદ્ધ નમૂનાઓ મેળવવા માટે ખાસ કરીને અસરકારક છે.

(C) કેલેમાઇન એ ઝિંકની કાર્બોનેટ અયસ્ક છે,જેનું રાસાયણિક સૂત્ર $ZnCO_{3}$ છે.

(C) રેયોન એ લાકડાના માવામાંથી મેળવવામાં આવતો અર્ધ-સંશ્લેષિત પોલિમર છે,તેથી તેને પુનઃપ્રાપ્ત રેસા (regenerated fibre) તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. તેને સામાન્ય રીતે કૃત્રિમ રેશમ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે તેનો દેખાવ અને સ્પર્શ કુદરતી રેશમ જેવો હોય છે.

(C) $n HOCH_2-CH_2OH + n HOOC-C_6H_4-COOH \rightarrow HOCH_2CH_2O[OC-C_6H_4-CO-O-CH_2-CH_2-O]_{n-1} OC-C_6H_4-COOH + n H_2O$
ટેરિલીન (જેને $Dacron$ અથવા $Terene$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ ઇથિલીન ગ્લાયકોલ અને ટેરેફ્થેલિક એસિડ વચ્ચેની પ્રક્રિયા દ્વારા બનતું સંઘનન પોલિમર છે. તેનો ઉપયોગ કૃત્રિમ રેસા તરીકે વ્યાપકપણે થાય છે.

(A) મોલારિટી એ દ્રાવણના એકમ કદ દીઠ દ્રાવ્યના મોલની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે $(M = \frac{n}{V})$.
તાપમાનમાં ફેરફાર સાથે દ્રાવણનું કદ $(V)$ બદલાતું હોવાથી,મોલારિટી તાપમાન પર આધારિત છે.
તેની સામે,મોલાલિટી,મોલ અંશ અને વજન અંશ દળ પર આધારિત છે,જે તાપમાનના ફેરફાર સાથે બદલાતું નથી.

(A) આઈસોટોનિક દ્રાવણોમાં દ્રાવ્ય કણોની મોલર સાંદ્રતા સમાન હોય છે.
દ્રાવણમાં કણોની મોલર સાંદ્રતા (વોન્ટ હોફ અવયવ $i \times M$):
$A$ (ગ્લુકોઝ) માટે: $1 \times 0.1 \ M = 0.1 \ M$.
$B$ $(NaCl)$ માટે: $2 \times 0.05 \ M = 0.1 \ M$.
$C$ $(BaCl_{2})$ માટે: $3 \times 0.05 \ M = 0.15 \ M$.
$D$ $(AlCl_{3})$ માટે: $4 \times 0.1 \ M = 0.4 \ M$.
આમ,દ્રાવણ $A$ અને $B$ સમાન કણ સાંદ્રતા $(0.1 \ M)$ ધરાવે છે,તેથી તેઓ આઈસોટોનિક છે.

(C) આપેલ છે,શુદ્ધ બેન્ઝીનનું બાષ્પદબાણ,$p^{\circ} = 640 \ mm \ Hg$.
દ્રાવણનું બાષ્પદબાણ,$p = 600 \ mm \ Hg$.
દ્રાવ્યનું વજન,$w = 2.175 \ g$.
દ્રાવક (બેન્ઝીન) નું વજન,$W = 39.08 \ g$.
બેન્ઝીનનું આણ્વીય દળ,$M = 78 \ g/mol$.
ધારો કે દ્રાવ્યનું આણ્વીય દળ $m$ છે.
રાઉલ્ટના નિયમ મુજબ:
$\frac{p^{\circ} - p}{p^{\circ}} = \frac{w \times M}{m \times W}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{640 - 600}{640} = \frac{2.175 \times 78}{m \times 39.08}$
$\frac{40}{640} = \frac{169.65}{m \times 39.08}$
$\frac{1}{16} = \frac{169.65}{m \times 39.08}$
$m = \frac{16 \times 169.65}{39.08} \approx 69.60 \ g/mol$.

(A) ઉત્કલનબિંદુમાં ઉન્નયન એ સંખ્યાત્મક ગુણધર્મ છે,જે કણો અથવા આયનોની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે.
$0.1 \ M \ FeCl_3$ માટે $i = 4$ $(Fe^{3+} + 3Cl^-)$.
$0.1 \ M \ BaCl_2$ માટે $i = 3$ $(Ba^{2+} + 2Cl^-)$.
$0.1 \ M \ NaCl$ માટે $i = 2$ $(Na^+ + Cl^-)$.
$0.1 \ M \ \text{urea}$ માટે $i = 1$ (અવિદ્યુતવિભાજ્ય).
$0.1 \ M \ FeCl_3$ સૌથી વધુ આયનો આપે છે,તેથી તેનું ઉત્કલનબિંદુ સૌથી વધુ હશે.