int_{pi / 4}^{pi / 2} e^{x}(log sin x+cot x) | vedclass

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Question

(C) हम मानक परिणाम $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हैं। माना $f(x) = \log \sin x$. तब $f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x

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$\frac{1}{2} e^{\pi / 4} \log 2$

Vedclass · Answer

(C) हम मानक परिणाम $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करते हैं। माना $f(x) = \log \sin x$. तब $f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ होता है। अतः,समाकलन $\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} e^x (f(x) + f'(x)) dx = [e^x f(x)]_{\pi / 4}^{\pi / 2}$ हो जाता है। सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $= [e^x \log \sin x]_{\pi / 4}^{\pi / 2} = e^{\pi / 2} \log \sin(\pi / 2) - e^{\pi / 4} \log \sin(\pi / 4)$. चूंकि $\sin(\pi / 2) = 1$ और $\log(1) = 0$ है,इसलिए पहला पद $0$ हो जाता है। $= 0 - e^{\pi / 4} \log(1 / \sqrt{2}) = -e^{\pi / 4} \log(2^{-1/2})$. $= -e^{\pi / 4} \cdot (-1/2) \log 2 = \frac{1}{2} e^{\pi / 4} \log 2$.

$\int_{\pi / 4}^{\pi / 2} e^{x}(\log \sin x+\cot x) d x$ का मान है

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