KVPY 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $\log _a b + \log _b a = c$.
$a, b > 1$ હોવાથી,$\log _a b$ અને $\log _b a$ બંને ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક $(AM-GM)$ અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ માટે,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$.
ધારો કે $x = \log _a b$ અને $y = \log _b a$.
તેથી $\frac{\log _a b + \log _b a}{2} \geq \sqrt{\log _a b \cdot \log _b a}$.
$\log _a b = \frac{1}{\log _b a}$ હોવાથી,$\log _a b \cdot \log _b a = 1$ થાય.
આમ,$\frac{c}{2} \geq \sqrt{1} = 1$.
આથી $c \geq 2$.
$c$ ની શક્ય ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $2$ છે.

(C) ધારો કે $S_n = i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n$ $(i)$
$i$ વડે ગુણતા,$iS_n = i^2 + 2i^3 + \ldots + (n-1)i^n + ni^{n+1}$ (ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$S_n(1 - i) = i + i^2 + i^3 + \ldots + i^n - ni^{n+1}$
$S_n(1 - i) = \frac{i(1 - i^n)}{1 - i} - ni^{n+1}$
$(1 - i)^2 = -2i$ હોવાથી:
$S_n = \frac{i(1 - i^n)}{-2i} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2} = \frac{i^n - 1}{2} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}$
મોટા $n$ માટે,$n$ વાળું પદ પ્રભાવી છે. $|S_n| = 18\sqrt{2}$ આપેલ હોવાથી:
$|S_n| \approx |\frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}| = \frac{n}{\sqrt{2}}$
તેથી $\frac{n}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$,જેનો અર્થ છે $n = 36$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^3+ax^2+bx+c$.
તેથી $f'(x) = 3x^2+2ax+b$.
દ્વિઘાત $f'(x)$ નો વિવેચક $D = (2a)^2 - 4(3)(b) = 4a^2 - 12b = 4(a^2-3b)$ છે.
જો $a^2-2b < 0$ હોય,તો $a^2 < 2b$.
આમ $D < 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) > 0$ તમામ $x$ માટે.
તેથી $f(x)$ એ સતત વધતું વિધેય છે.
એક સતત વધતા ઘન બહુપદીને બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ અને બે સંકર બીજ હોય છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2+2x \sin(xy)+1=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $x^2+2x \sin(xy)+\sin^2(xy)+1-\sin^2(xy)=0$
જેનું સાદું રૂપ: $(x+\sin(xy))^2+\cos^2(xy)=0$
બે વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$(x+\sin(xy))^2=0 \Rightarrow x+\sin(xy)=0$
$\cos^2(xy)=0 \Rightarrow \cos(xy)=0$
$\cos(xy)=0$ પરથી,$xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ મળે,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
$x+\sin(xy)=0$ માં $\sin(xy) = \pm 1$ મૂકતા,$x = \mp 1$ મળે.
જો $\sin(xy)=1$,તો $x=-1$. $xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$y = -(2n+1)\frac{\pi}{2}$ મળે.
જો $\sin(xy)=-1$,તો $x=1$. $xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$y = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ મળે.
આ સીધી રેખાઓની જોડી $x=1$ અને $x=-1$ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(4,0)$ અને $B(0,12)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $C(x, y)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
$18 = \frac{1}{2} |4(12 - y) + 0(y - 0) + x(0 - 12)|$
$18 = \frac{1}{2} |48 - 4y - 12x|$
$36 = |48 - 4y - 12x|$
$4$ વડે ભાગતા:
$36 = 4 |12 - y - 3x|$
$9 = |-(3x + y - 12)|$
$9 = |3x + y - 12|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(3x + y - 12)^2 = 81$
આમ,બિંદુપથ $(y + 3x - 12)^2 = 81$ છે.

(A) આપેલ છે કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2)$ અને $B(3, 6)$ છે.
પરિવૃતના એક વ્યાસનું સમીકરણ $2x - y + 4 = 0$ છે.
આ વ્યાસનો ઢાળ $m_1 = 2$ છે.
બાજુ $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ છે.
$AB$ નો ઢાળ અને વ્યાસનો ઢાળ સમાન હોવાથી,બાજુ $AB$ વ્યાસને સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ (વ્યાસ અને રેખા $AB$) વચ્ચેનું અંતર $d$ એ $AB$ પરના કોઈ પણ બિંદુ (દા.ત.,$A(1, 2)$) થી રેખા $2x - y + 4 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે:
$d = \frac{|2(1) - 1(2) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 2 + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
લંબચોરસમાં,પરિવૃતનું કેન્દ્ર એ વિકર્ણોનું છેદબિંદુ છે. કેન્દ્રથી બાજુ $AB$ સુધીનું અંતર એ બાજુ $BC$ ની લંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે. તેથી,$BC = 2d = 2 \times \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$.
બાજુ $AB$ ની લંબાઈ $\sqrt{(3 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $AB \times BC = 2\sqrt{5} \times \frac{8}{\sqrt{5}} = 16$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 6x$ છે,તેથી $4a = 6$,જે $a = \frac{3}{2}$ આપે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$a = \frac{3}{2}$ મૂકતા,અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 3m - \frac{3}{2}m^3$ બને છે.
અભિલંબ બિંદુ $(\lambda, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$0 = m\lambda - 3m - \frac{3}{2}m^3$.
$m \neq 0$ માટે (કારણ કે અભિલંબ એ પરવલયની અક્ષ નથી),આપણે $m$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$0 = \lambda - 3 - \frac{3}{2}m^2$.
$m^2$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{3}{2}m^2 = \lambda - 3$,અથવા $m^2 = \frac{2}{3}(\lambda - 3)$ મળે છે.
ત્રણ ભિન્ન અભિલંબ અસ્તિત્વ ધરાવવા માટે,$m$ માટે ત્રણ ભિન્ન વાસ્તવિક કિંમતો હોવી જોઈએ. $m^2 = \frac{2}{3}(\lambda - 3)$ હોવાથી,$m$ માટે ત્રણ ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો (અક્ષ માટે $m=0$ સહિત) મેળવવા માટે,આપણે $\lambda - 3 > 0$ ની જરૂર છે,જે સૂચવે છે કે $\lambda > 3$.

(C) આપેલ છે $f(x) = \cos 5x + A \cos 4x + B \cos 3x + C \cos 2x + D \cos x + E$.
$f(x) = f(2\pi - x)$ હોવાથી,$f\left(\frac{\pi}{5}\right) = f\left(\frac{9\pi}{5}\right)$,$f\left(\frac{2\pi}{5}\right) = f\left(\frac{8\pi}{5}\right)$,$f\left(\frac{3\pi}{5}\right) = f\left(\frac{7\pi}{5}\right)$,અને $f\left(\frac{4\pi}{5}\right) = f\left(\frac{6\pi}{5}\right)$ થાય.
પદ $T$ ને $T = f(0) - 2f\left(\frac{\pi}{5}\right) + 2f\left(\frac{2\pi}{5}\right) - 2f\left(\frac{3\pi}{5}\right) + 2f\left(\frac{4\pi}{5}\right) - f(\pi)$ તરીકે લખી શકાય.
આ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમતો મૂકતા,$A, C, E$ વાળા પદો $\pi$ ની આસપાસ કોસાઇન વિધેયની સંમિતિને કારણે ઉડી જાય છે.
ખાસ કરીને,$f(0) - f(\pi) = 2(1 + B + D)$.
બાકીના પદોમાં પણ માત્ર $B$ અને $D$ સહગુણકો જ રહે છે.
આમ,$T$ એ $B$ અને $D$ પર આધાર રાખે છે પરંતુ $A, C, E$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$3 \sin A + 4 \cos B = 6$ $(i)$
$4 \sin B + 3 \cos A = 1$ $(ii)$
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3 \sin A + 4 \cos B)^2 + (4 \sin B + 3 \cos A)^2 = 6^2 + 1^2$
$9 \sin^2 A + 16 \cos^2 B + 24 \sin A \cos B + 16 \sin^2 B + 9 \cos^2 A + 24 \sin B \cos A = 37$
$9(\sin^2 A + \cos^2 A) + 16(\sin^2 B + \cos^2 B) + 24(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 37$
$9(1) + 16(1) + 24 \sin(A + B) = 37$
$25 + 24 \sin(A + B) = 37$
$24 \sin(A + B) = 12$
$\sin(A + B) = \frac{1}{2}$
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$A + B = 180^{\circ} - C$.
$\sin(180^{\circ} - C) = \frac{1}{2}$
$\sin C = \frac{1}{2}$
આમ,$C = 30^{\circ}$ અથવા $C = 150^{\circ}$.
મૂળ સમીકરણોમાં $C = 150^{\circ}$ ચકાસતા વિરોધાભાસ મળે છે,તેથી $C = 30^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = (2011+x)^n$.
$x=0$ ની આસપાસ $f(x)$ ના ટેલર વિસ્તરણ દ્વારા,આપણી પાસે છે:
$f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$.
કારણ કે $f(x) = (2011+x)^n$,દ્વિપદી વિસ્તરણ છે:
$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} x^k = (2011)^n + \binom{n}{1}(2011)^{n-1}x + \binom{n}{2}(2011)^{n-2}x^2 + \ldots + x^n$.
બંને વિસ્તરણમાં $x^k$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \binom{n}{k}(2011)^{n-k}$.
આપેલ પદાવલિ $S = f(0) + f^{\prime}(0) + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} + \ldots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}$ છે.
આ $(2011+1)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો છે,જેમાં છેલ્લા પદ ($x^n$ પદ જ્યાં $k=n$) નો સમાવેશ થતો નથી.
$S = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(2011+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k = S + \binom{n}{n}(2011)^0(1)^n$.
તેથી,$S = (2012)^n - 1$.

(C) ખેલાડી $A$ પાસે $\{3, 5, 6\}$ કાર્ડ છે. બે કાર્ડના સંભવિત ગુણાકાર:
$(3 \times 5) = 15$,$(3 \times 6) = 18$,$(5 \times 6) = 30$.
દરેક ગુણાકારની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.
ખેલાડી $B$ પાસે $\{8, 9, 10\}$ કાર્ડ છે. બે કાર્ડના સંભવિત સરવાળા:
$(8 + 9) = 17$,$(8 + 10) = 18$,$(9 + 10) = 19$.
દરેક સરવાળાની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.
જો ગુણાકાર સરવાળા કરતા મોટો હોય તો $A$ જીતે છે.
જો $P_A = 15$ (સંભાવના $\frac{1}{3}$): $A$ જીતે જો $S_B < 15$. કોઈ પરિણામ મળતું નથી.
જો $P_A = 18$ (સંભાવના $\frac{1}{3}$): $A$ જીતે જો $S_B < 18$. માત્ર $S_B = 17$ શક્ય છે (સંભાવના $\frac{1}{3}$). સંભાવના = $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
જો $P_A = 30$ (સંભાવના $\frac{1}{3}$): $A$ જીતે જો $S_B < 30$. બધા $S_B$ મૂલ્યો $(17, 18, 19)$ શક્ય છે (સંભાવના $1$). સંભાવના = $\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$.
કુલ સંભાવના = $\frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$.

(B) ધારો કે સામાન્ય પદ $T_r = (r^2 - r + 1)(r!)$ છે.
આ શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = (n-1)(n+1)! + 1$ થાય છે.

(B) વિધેય $f(x, A)$ એ ગણ $A$ નું સૂચક વિધેય છે,જેને $\chi_A(x)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો $x \in A \cup B$ હોય તો $f(x, A \cup B) = 1$,અને અન્યથા $0$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in A \cup B$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $x \in A$ અથવા $x \in B$ હોય.
સૂચક વિધેયોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x, A \cup B) = \max(f(x, A), f(x, B))$.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂચક વિધેયો માટે સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x, A \cup B) = f(x, A) + f(x, B) - f(x, A \cap B)$.
કારણ કે $f(x, A \cap B) = f(x, A) \cdot f(x, B)$,તેથી આપણને $f(x, A \cup B) = f(x, A) + f(x, B) - f(x, A)f(x, B)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $S = \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2}{1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2}$.
અંશ $\sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ છે.
છેદ $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$ છે.
તેથી,$S = \frac{2(n+1)}{2n-1}$.
આપેલ છે કે $S < 1.01$,તેથી $\frac{2n+2}{2n-1} < \frac{101}{100}$.
$200n + 200 < 202n - 101$ $\Rightarrow 2n > 301$ $\Rightarrow n > 150.5$.
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $151$ છે.

(C) ધારો કે $x^3+a x^2+b x+a=0$ ના બીજ $\alpha - d, \alpha, \alpha + d$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $(\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = 3\alpha = -a$ થાય,તેથી $\alpha = -a/3$.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $(-a/3)^3 + a(-a/3)^2 + b(-a/3) + a = 0$.
$-a^3/27 + a^3/9 - ab/3 + a = 0$.
$27$ વડે ગુણતા,$-a^3 + 3a^3 - 9ab + 27a = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2a^3 - 9ab + 27a = 0$ થાય.
$a \neq 0$ હોવાથી,$a$ વડે ભાગતા: $2a^2 - 9b + 27 = 0$.
આમ,$2a^2 = 9b - 27$,અથવા $b = \frac{2}{9}a^2 + 3$.
$(a, b)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y = \frac{2}{9}x^2 + 3$ મળે,જે એક પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $Y$-અક્ષ પર $(0, 3)$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે,જેને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
$m$ ઢાળ અને $c$ $y$-અંતઃખંડ વાળી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે. આપેલ છે કે $c = 5$,તેથી રેખા $y = mx + 5$ છે.
આ રેખા ઉપવલય સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે તે માટે,તે છેદિકા અથવા સ્પર્શક હોવી જોઈએ. રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$5^2 = 16m^2 + 9$ મળે છે.
$25 = 16m^2 + 9$ $\Rightarrow 16m^2 = 16$ $\Rightarrow m^2 = 1$.
આમ,$m = \pm 1$.
ધન ઢાળ $m = 1$ છે. $m > 1$ માટે રેખા ઉપવલયને બે બિંદુઓમાં છેદશે અને $m < 1$ માટે તે ઉપવલયને છેદશે નહીં. તેથી,રેખા ઉપવલય સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવે તે માટેનો સૌથી નાનો ધન ઢાળ $1$ છે.

(A) ગણ $A$ માટે,$\cos^2(\sin \theta) + \sin^2(\cos \theta) = 1$ છે.
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\tan^2 \theta = 1$,તેથી $\tan \theta = \pm 1$.
આમ,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.
ગણ $B$ માટે,$\cos(\sin \theta) \sin(\cos \theta) = 0$ છે.
આનો અર્થ છે કે $\cos(\sin \theta) = 0$ અથવા $\sin(\cos \theta) = 0$.
$-1 \le \sin \theta \le 1$ હોવાથી,$\cos(\sin \theta)$ ક્યારેય $0$ ન હોઈ શકે કારણ કે $\cos x = 0$ એ $x = \pm \frac{\pi}{2} \approx \pm 1.57$ પર થાય છે,જે $[-1, 1]$ ની બહાર છે.
તે જ રીતે,$\sin(\cos \theta) = 0$ નો અર્થ છે કે $\cos \theta = n\pi$. $-1 \le \cos \theta \le 1$ હોવાથી,માત્ર શક્ય કિંમત $\cos \theta = 0$ છે.
આમ,$\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$.
બંને ગણોની સરખામણી કરતા,$A = \{n\pi \pm \frac{\pi}{4}\}$ અને $B = \{(2n+1)\frac{\pi}{2}\}$,કોઈ સામાન્ય કિંમત મળતી નથી.
તેથી,$A \cap B = \emptyset$.

(B) આપેલ શરત $|x+y|+|x-y|=4$ એ $xy$-સમતલમાં એક ચોરસ દર્શાવે છે.
આપણે $f(x, y) = x^2+y^2-4x-6y = (x-2)^2 + (y-3)^2 - 13$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી છે.
આ પદ બિંદુ $(2, 3)$ થી ચોરસ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ ના અંતરનો વર્ગ ઓછા $13$ દર્શાવે છે.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(2, 2), (-2, 2), (-2, -2), (2, -2)$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ થી શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતરના વર્ગની ગણતરી કરતા,મહત્તમ અંતર $(-2, -2)$ બિંદુ પર મળે છે,જે $41$ છે.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $41 - 13 = 28$ થાય છે.

(C) ધારો કે બે પૂર્ણાંકો $A = 10a+b$ અને $G = 10b+a$ છે,જ્યાં $A$ સમાંતર મધ્યક છે અને $G$ ગુણોત્તર મધ્યક છે.
આપેલ છે કે,$\frac{x+y}{2} = 10a+b$ અને $\sqrt{xy} = 10b+a$.
તેથી,$x+y = 2(10a+b)$ અને $xy = (10b+a)^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$.
કિંમતો મૂકતા,$(x-y)^2 = 4(10a+b)^2 - 4(10b+a)^2$.
$(x-y)^2 = 4[(10a+b)^2 - (10b+a)^2] = 4(10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)$.
$(x-y)^2 = 4(9a-9b)(11a+11b) = 4 \times 9 \times 11(a-b)(a+b) = 396(a-b)(a+b)$.
$(x-y)^2$ પૂર્ણવર્ગ હોવા માટે,$(a-b)(a+b)$ એ $11 \times k^2$ સ્વરૂપમાં હોવું જોઈએ.
$a$ અને $b$ અંકો હોવાથી,$a+b \leq 18$ અને $a-b < 10$. એકમાત્ર શક્યતા $a+b=11$ અને $a-b=1$ છે.
$a+b=11$ અને $a-b=1$ ઉકેલતા $2a=12 \Rightarrow a=6$ અને $b=5$ મળે છે.
તેથી,$x+y = 2(10(6)+5) = 2(65) = 130$.

(A) આપેલ પદાવલિ $P(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$ છે.
$x=a$ માટે $P(a) = \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + 0 + 0 = 1$ મળે છે.
$x=b$ માટે $P(b) = 0 + \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + 0 = 1$ મળે છે.
$x=c$ માટે $P(c) = 0 + 0 + \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)} = 1$ મળે છે.
$P(x)$ એ મહત્તમ $2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદી છે અને તે $x = a, b, c$ એમ ત્રણ ભિન્ન કિંમતો માટે $1$ મૂલ્ય ધારણ કરે છે,તેથી તે અચળ બહુપદી $P(x) = 1$ હોવી જોઈએ.
તેથી,સાદું રૂપ $1$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$x+\frac{1}{x}=a$ અને $x^2+\frac{1}{x^3}=b$.
$x+\frac{1}{x}=a$ નો વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$x^2+\frac{1}{x^2}+2=a^2 \Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2$.
$x+\frac{1}{x}=a$ નો ઘન કરતા,આપણને મળે:
$x^3+\frac{1}{x^3}+3(x+\frac{1}{x})=a^3 \Rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=a^3-3a$.
હવે,સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$(x^2+\frac{1}{x^2}) + (x^3+\frac{1}{x^3}) = (a^2-2) + (a^3-3a)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$(x^2+\frac{1}{x^3}) + (x^3+\frac{1}{x^2}) = a^3+a^2-3a-2$.
$x^2+\frac{1}{x^3}=b$ મૂકતા:
$b + (x^3+\frac{1}{x^2}) = a^3+a^2-3a-2$.
તેથી,$x^3+\frac{1}{x^2} = a^3+a^2-3a-2-b$.

(B) આપેલ છે કે $|a-b|=2$,$|b-c|=3$,અને $|c-d|=4$.
આપણે લખી શકીએ કે $a-d = (a-b) + (b-c) + (c-d)$.
$|a-b|=2$,$|b-c|=3$,અને $|c-d|=4$ હોવાથી,$(a-b)$,$(b-c)$,અને $(c-d)$ ની શક્ય કિંમતો અનુક્રમે $\pm 2$,$\pm 3$,અને $\pm 4$ છે.
$a-d$ માટેની શક્ય કિંમતો આ સંયોજનોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$2+3+4 = 9$
$2+3-4 = 1$
$2-3+4 = 3$
$2-3-4 = -5$
$-2+3+4 = 5$
$-2+3-4 = -3$
$-2-3+4 = -1$
$-2-3-4 = -9$
આમ,$|a-d|$ માટેની શક્ય કિંમતો $|9|, |1|, |3|, |-5|, |5|, |-3|, |-1|, |-9|$ છે,જે $\{9, 5, 3, 1\}$ ગણ આપે છે.
$|a-d|$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $9 + 5 + 3 + 1 = 18$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણો $a^x = \frac{9}{5}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a$ એ આધાર છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$x \ln(a) = \ln(1.8)$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{\ln(1.8)}{\ln(a)}$.
ચૂંક $\ln(1.8) > 0$ છે,તેથી $x$ ત્યારે સૌથી મોટો હશે જ્યારે $\ln(a)$ સૌથી નાનો અને ધન હોય,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે આધાર $a$ એ $1$ ની સૌથી નજીક હોય (પરંતુ $1$ કરતા મોટો).
ધારો કે આધાર $a_1 = 1 + \frac{r}{\pi}$,$a_2 = 1 + \frac{r}{17}$,$a_3 = 1 + 2r$,અને $a_4 = 1 + \frac{1}{r}$ છે.
$0 < r < 4$ આપેલ હોવાથી,આપણે કિંમતોની સરખામણી કરીએ છીએ:
$a_2 = 1 + \frac{r}{17}$ એ સૌથી નાની કિંમત છે કારણ કે $r \in (0, 4)$ માટે $\frac{r}{17}$ એ સૌથી નાનો વધારો છે.
ચૂંક $a_2$ એ $1$ કરતા મોટો સૌથી નાનો આધાર છે,તેથી $\frac{9}{5}$ ની કિંમત મેળવવા માટે જરૂરી ઘાતાંક $x$ સૌથી મોટો હોવો જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) $\triangle ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે. $AD$ એ $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે.
$D$ માંથી $AC$ પર લંબ દોરો,તેને $DE$ કહો. $AD$ એ ખૂણાનો દ્વિભાજક હોવાથી,$DE = DB$ (દ્વિભાજકથી બાજુઓનું અંતર).
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AC \times DE = 10$.
આપેલ છે કે $AC = 6 \text{ cm}$,તેથી $\frac{1}{2} \times 6 \times DE = 10$.
$3 \times DE = 10 \implies DE = \frac{10}{3} \text{ cm}$.
$DB = DE$ હોવાથી,$BD$ ની લંબાઈ $\frac{10}{3} \text{ cm}$ છે.

(A) શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l$ એ વૃતાંશની ત્રિજ્યા જેટલી હોય છે,જે $l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ છે.
શંકુના પાયાનો પરિઘ એ વૃતાંશની ચાપની લંબાઈ જેટલો હોય છે.
શંકુના પાયાનો પરિઘ $= 2 \pi r = 2 \pi (5) = 10 \pi$.
વૃતાંશની ચાપની લંબાઈ $= l \theta = 13 \theta$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $13 \theta = 10 \pi$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \frac{10 \pi}{13}$.

(A) ધારો કે $\angle BAE = \theta$. $\triangle ABE$ માં $\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle AEB = 90^{\circ} - \theta$.
આપેલ છે કે $\angle AEC = 90^{\circ}$,તેથી $\angle CED = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \theta) - 90^{\circ} = \theta$.
$\triangle CDE$ માં,$\angle CED = \theta$ અને $\angle CDE = 90^{\circ}$,તેથી $\angle ECD = 90^{\circ} - \theta$.
આમ,$\triangle ABE \sim \triangle ECD$ (ખૂ-ખૂ સમરૂપતા).
તેથી,$\frac{AB}{BE} = \frac{ED}{CD}$.
$AB = 12$,$CD = 8$,$BD = 20$,અને $BE = x$ આપેલ છે,તેથી $ED = 20 - x$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{x} = \frac{20 - x}{8}$.
$96 = 20x - x^2$.
$x^2 - 20x + 96 = 0$.
$(x - 12)(x - 8) = 0$.
તેથી,$x = 8$ અથવા $x = 12$.
બંને કિંમતોનો તફાવત $|12 - 8| = 4$ છે.

(A) ધારો કે ત્રણ વર્તુળોના કેન્દ્રો $O$,$A$ અને $B$ છે. દરેક વર્તુળની ત્રિજ્યા $1$ હોવાથી અને તેઓ એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કોઈપણ બે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $1+1=2$ થાય. આમ,$\triangle OAB$ એ $2$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
શિરોબિંદુ $O$ થી પાયા $AB$ સુધીની આ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ ઉપરના વર્તુળની ત્રિજ્યા,ત્રિકોણ $OAB$ ની ઊંચાઈ અને નીચેના વર્તુળોની ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે.
$d = r + h + r = 1 + \sqrt{3} + 1 = 2 + \sqrt{3}$.

(C) ધારો કે $a = 512$,$b = -253$,અને $c = -259$.
તો $a + b + c = 512 - 253 - 259 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $a + b + c = 0$ હોય,તો $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ થાય.
તેથી,$(512)^3 + (-253)^3 + (-259)^3 = 3(512)(-253)(-259) = 3 \times 512 \times 253 \times 259$.
હવે,દરેક પદના અવયવ પાડો:
$3 = 3^1$
$512 = 2^9$
$253 = 11 \times 23$
$259 = 7 \times 37$
આમ,પદાવલિ $3^1 \times 2^9 \times 11^1 \times 23^1 \times 7^1 \times 37^1$ છે.
ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવો $2, 3, 7, 11, 23, 37$ છે.
આમ,કુલ $6$ ભિન્ન અવિભાજ્ય અવયવો છે.

(B) પિરામિડમાં $18$ સ્તરો છે,જેમાં ઉપરના સ્તરની દરેક બાજુ પર $13$ દડાઓ છે. ચોરસ પાયાના પિરામિડ માટે,સ્તરોમાં દડાઓની સંખ્યા $13^2, 14^2, 15^2, \dots, 30^2$ છે.
દડાઓની કુલ સંખ્યા $N = \sum_{k=13}^{30} k^2 = \sum_{k=1}^{30} k^2 - \sum_{k=1}^{12} k^2$ છે.
સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=1}^{30} k^2 = 9455$ અને $\sum_{k=1}^{12} k^2 = 650$.
તેથી,$N = 9455 - 650 = 8805$.
આમ,$8000 < 8805 < 9000$,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) દેડકો $(0,0)$ થી શરૂઆત કરે છે અને દરેક કૂદકામાં $5$ એકમનું અંતર કાપીને $(0,1)$ સુધી પહોંચવાની જરૂર છે.
ધારો કે કૂદકો સદિશ $(x, y)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેથી $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}$.
શક્ય પૂર્ણાંક જોડીઓ $(x, y)$ એ $(\pm 3, \pm 4)$ અથવા $(\pm 4, \pm 3)$ અથવા $(\pm 5, 0)$ અથવા $(0, \pm 5)$ છે.
લઘુત્તમ કૂદકામાં $(0,1)$ સુધી પહોંચવા માટે:
$1$. પ્રથમ કૂદકો: $(0,0)$ થી $(4,3)$ સુધી ($5$ એકમ અંતર).
$2$. બીજો કૂદકો: $(4,3)$ થી $(0,6)$ સુધી ($5$ એકમ અંતર).
$3$. ત્રીજો કૂદકો: $(0,6)$ થી $(0,1)$ સુધી ($5$ એકમ અંતર).
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ કૂદકાની સંખ્યા $3$ છે.

(A) $12$-કલાકની ઘડિયાળ $12$ કલાક અને $60$ મિનિટના ચક્રમાં ચાલે છે. એક આખો દિવસ $24$ કલાક અથવા $1440$ મિનિટનો હોય છે.
પ્રથમ,એક કલાકમાં આવતી મિનિટો શોધો જેમાં અંક $1$ દેખાય છે: $01, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51$. આવી $15$ મિનિટ છે.
દરેક કલાકમાં,ઘડિયાળ આ $15$ મિનિટ માટે ખોટો સમય બતાવે છે. વધુમાં,$01, 10, 11, 12$ કલાકમાં,ઘડિયાળ તમામ $60$ મિનિટ માટે ખોટો સમય બતાવે છે.
$12$-કલાકના ચક્રમાં કુલ ખોટી મિનિટો:
$8$ કલાક માટે જ્યાં કલાકના અંકમાં $1$ દેખાતો નથી $(02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09)$,ઘડિયાળ પ્રતિ કલાક $15$ મિનિટ માટે ખોટી છે: $8 \times 15 = 120$ મિનિટ.
$4$ કલાક માટે જ્યાં $1$ દેખાય છે $(01, 10, 11, 12)$,ઘડિયાળ તમામ $60$ મિનિટ માટે ખોટી છે: $4 \times 60 = 240$ મિનિટ.
$12$ કલાકમાં કુલ ખોટી મિનિટો = $120 + 240 = 360$ મિનિટ.
દિવસમાં બે $12$-કલાકના ચક્ર હોવાથી,દિવસમાં કુલ ખોટી મિનિટો = $360 \times 2 = 720$ મિનિટ.
દિવસની કુલ મિનિટો = $24 \times 60 = 1440$ મિનિટ.
સાચી મિનિટો = $1440 - 720 = 720$ મિનિટ.
સાચો સમય બતાવતો દિવસનો ભાગ = $\frac{720}{1440} = \frac{1}{2}$.

(C) ધારો કે $x$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે,$y$ એ ખોટા જવાબોની સંખ્યા છે અને $z$ એ ન ગણેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા છે.
કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $30$ હોવાથી,$x + y + z = 30$.
કુલ ગુણ $4x + 0y + 1z = 60$ છે,જે $4x + z = 60$ થાય છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$z = 60 - 4x$.
$z \ge 0$ હોવાથી,$60 - 4x \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \le 15$.
વળી,$x + y + z = 30$ માં $z = 60 - 4x$ મૂકતા,$x + y + (60 - 4x) = 30$,જેનું સાદું રૂપ $y = 3x - 30$ થાય છે.
$y \ge 0$ હોવાથી,$3x - 30 \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \ge 10$.
આમ,$10 \le x \le 15$.
$x$ ના શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $10, 11, 12, 13, 14, 15$ છે.
આમ,$x$ માટે કુલ $6$ શક્ય મૂલ્યો છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = ax^2 + bx + c$ જ્યાં $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
$f(1) = 0$ હોવાથી,$a + b + c = 0$,જેનો અર્થ છે $c = -a - b$.
$f(x)$ માં $c$ ની કિંમત મૂકતા,$f(x) = ax^2 + bx - a - b = (x - 1)(ax + a + b)$.
$40 < f(6) < 50 \implies 40 < 5(7a + b) < 50 \implies 8 < 7a + b < 10$.
$a, b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$7a + b = 9$.
$60 < f(7) < 70 \implies 60 < 6(8a + b) < 70 \implies 10 < 8a + b < 11.66$.
તેથી,$8a + b = 11$.
બંને સમીકરણો ઉકેલતા: $a = 2$ અને $b = -5$.
તેથી $c = 3$ અને $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$.
$f(50) = 2(50)^2 - 5(50) + 3 = 4753$.
$1000t < 4753 < 1000(t + 1)$ હોવાથી,$t = 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે $S = \sum_{r=2}^{2011} \frac{r^2+1}{r^2-1}$.
સામાન્ય પદ $T_r$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$T_r = \frac{r^2-1+2}{r^2-1} = 1 + \frac{2}{(r-1)(r+1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા:
$T_r = 1 + \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.
$r=2$ થી $2011$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S = \sum_{r=2}^{2011} 1 + \sum_{r=2}^{2011} \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.
પ્રથમ ભાગ $\sum_{r=2}^{2011} 1 = 2010$ છે.
બીજો ભાગ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2009} - \frac{1}{2011}\right) + \left(\frac{1}{2010} - \frac{1}{2012}\right)$.
છેદ ઉડાડતા,આપણને મળે છે:
$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2011} - \frac{1}{2012} = \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.
આમ,$S = 2010 + 1.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) = 2011.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.
કારણ કે $0 < \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) < 1$,તેથી $S$ ની કિંમત $\left(2011, 2011 \frac{1}{2}\right)$ અંતરાલમાં આવે છે.

(D) આપેલ છે કે $P^2 = P$. આ એક આઈડેમપોટન્ટ (idempotent) શ્રેણિક છે.
આપણે $(I+P)^n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(I+P)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} I^{n-k} P^k$
કારણ કે કોઈપણ $m \ge 1$ માટે $I^m = I$ અને બધા $k \ge 1$ માટે $P^k = P$ થાય (કારણ કે $P^2=P, P^3=P^2P=PP=P$,વગેરે),તેથી:
$(I+P)^n = I + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} P$
$(I+P)^n = I + P \left( \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$,તેથી $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - \binom{n}{0} = 2^n - 1$.
તેથી,$(I+P)^n = I + (2^n - 1)P$.

(C) વિધેય $f(x) = \log_{\{x\}}[x] + \log_{[x]}\{x\}$ નીચેની શરતો હેઠળ વ્યાખ્યાયિત છે:
$1$. $\log_{\{x\}}[x]$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
આધાર $\{x\} > 0$ અને $\{x\} \neq 1$. $\{x\} = x - [x]$ હોવાથી,$\{x\} \in [0, 1)$. તેથી,$\{x\} \in (0, 1)$.
દલીલ $[x] > 0$,જે સૂચવે છે કે $x \geq 1$. $\{x\} \neq 0$ હોવાથી,$x$ પૂર્ણાંક હોઈ શકે નહીં.
$2$. $\log_{[x]}\{x\}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
આધાર $[x] > 0$ અને $[x] \neq 1$. આ સૂચવે છે કે $[x] \geq 2$,તેથી $x \geq 2$.
દલીલ $\{x\} > 0$,જે સૂચવે છે કે $x$ પૂર્ણાંક નથી.
આ શરતોને જોડતા,આપણને $x \geq 2$ અને $x \notin \mathbb{Z}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,અંતરાલ $(2, 3)$ એ $x > 2$ અને $x$ પૂર્ણાંક નથી તે શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) વક્રો $y=e^x$ અને $y=\log_e x$ એકબીજાના વ્યસ્ત વિધેયો છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ રેખા $y=x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ધારો કે $A$ એ $y=e^x$ પરનું બિંદુ છે જેના યામ $(h, e^h)$ છે. બિંદુ $A$ થી રેખા $y=x$ (અથવા $x-y=0$) સુધીનું અંતર $AB = \frac{|h-e^h|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|h-e^h|}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વક્રો $y=x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,બે વક્રો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $AC = 2AB$ થાય,જ્યાં $B$ એ રેખા $y=x$ પર $A$ નો પ્રક્ષેપ છે.
$AB$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $f(h) = e^h - h$ ને ન્યૂનતમ કરીએ છીએ (કારણ કે તમામ $h$ માટે $e^h > h$ છે).
$f'(h) = e^h - 1$. $f'(h) = 0$ લેતા $e^h = 1$ મળે,તેથી $h=0$.
$h=0$ પર,લઘુત્તમ અંતર $AB = \frac{|0-e^0|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,વક્રો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $AC = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = [x]$ નો સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ.
આપણે $I = \int_{2}^{8} f(x) \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $[x]$ એ અંતરાલ $[n, n+1)$ પર અચળ છે,આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_{2}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{7} f(x) \, dx + \int_{7}^{8} f(x) \, dx$.
$x \in [2, 3)$ માટે,$[x] = 2$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે.
$x \in [3, 4)$ માટે,$[x] = 3$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે.
$x \in [4, 5)$ માટે,$[x] = 4$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $2$ છે.
$x \in [5, 6)$ માટે,$[x] = 5$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $5$ છે.
$x \in [6, 7)$ માટે,$[x] = 6$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે.
$x \in [7, 8)$ માટે,$[x] = 7$,સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $7$ છે.
તેથી,$I = \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{4} 3 \, dx + \int_{4}^{5} 2 \, dx + \int_{5}^{6} 5 \, dx + \int_{6}^{7} 3 \, dx + \int_{7}^{8} 7 \, dx$.
$I = 2(1) + 3(1) + 2(1) + 5(1) + 3(1) + 7(1) = 2 + 3 + 2 + 5 + 3 + 7 = 22$.

(B) ધારો કે $I = \int \limits_0^{2012} \frac{e^{\cos (\pi\{x\})}}{e^{\cos (\pi\{x\})}+e^{-\cos (\pi\{x\})}} d x$.
કારણ કે વિધેય $f(x) = \frac{e^{\cos (\pi\{x\})}}{e^{\cos (\pi\{x\})}+e^{-\cos (\pi\{x\})}}$ એ $1$ આવર્તમાન ધરાવે છે,આપણે લખી શકીએ:
$I = 2012 \int \limits_0^1 \frac{e^{\cos (\pi x)}}{e^{\cos (\pi x)}+e^{-\cos (\pi x)}} d x$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2012 \int \limits_0^1 \frac{e^{\cos (\pi(1-x))}}{e^{\cos (\pi(1-x))}+e^{-\cos (\pi(1-x))}} d x$.
કારણ કે $\cos(\pi - \pi x) = -\cos(\pi x)$,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = 2012 \int \limits_0^1 \frac{e^{-\cos (\pi x)}}{e^{-\cos (\pi x)}+e^{\cos (\pi x)}} d x$.
$I$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$2I = 2012 \int \limits_0^1 \frac{e^{\cos (\pi x)} + e^{-\cos (\pi x)}}{e^{\cos (\pi x)} + e^{-\cos (\pi x)}} d x = 2012 \int \limits_0^1 1 d x = 2012$.
તેથી,$I = 1006$.

(D) ધારો કે $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{1}{\sqrt{4n^2-r^2}}$.
આ પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1}{\sqrt{4 - (\frac{r}{n})^2}}$.
આ નિશ્ચિત સંકલન માટે રીમાન સરવાળો છે:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \left[ \sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{0}^{1}$.
$I = \sin^{-1}(\frac{1}{2}) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} = \vec{v} \neq 0$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$ પરથી,આપણને $(\vec{a} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} - \vec{c} = k_1 \vec{b}$ કોઈ અદિશ $k_1$ માટે.
તે જ રીતે,$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ પરથી,આપણને $(\vec{b} - \vec{a}) \times \vec{c} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} - \vec{a} = k_2 \vec{c}$ કોઈ અદિશ $k_2$ માટે.
આ શરતો હેઠળ,મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ માટે માત્ર $1$ શક્ય સ્થાન મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $A B = B A$,$A^k = I$,અને $B^l = 0$ અમુક ધન પૂર્ણાંકો $k$ અને $l$ માટે.
$B^l = 0$ હોવાથી,બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $\operatorname{det}(B^l) = \operatorname{det}(0) = 0$ મળે છે.
$\operatorname{det}(B^l) = (\operatorname{det}(B))^l$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $(\operatorname{det}(B))^l = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{det}(B) = 0$.
હવે,ગુણાકાર $A B$ નો નિશ્ચાયક ધ્યાનમાં લો:
$\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}(A) \times \operatorname{det}(B)$.
કારણ કે $\operatorname{det}(B) = 0$,તેથી $\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}(A) \times 0 = 0$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.
$f(2) = 0$ હોવાથી,$8 + 4a + 2b + c = 0$ ... $(i)$.
વિકલન કરતા $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ મળે.
$f(x)$ ને $x = 1$ અને $x = -\frac{1}{3}$ આગળ ક્રાંતિક બિંદુઓ હોવાથી,$f'(1) = 0$ અને $f'(-\frac{1}{3}) = 0$.
$f'(1) = 3 + 2a + b = 0$ ... (ii).
$f'(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2a(-\frac{1}{3}) + b = \frac{1}{3} - \frac{2a}{3} + b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 - 2a + 3b = 0$ ... (iii).
(ii) અને (iii) ઉકેલતા: $b = -2a - 3$. (iii) માં મૂકતા: $1 - 2a + 3(-2a - 3) = 0 \Rightarrow 1 - 2a - 6a - 9 = 0 \Rightarrow -8a = 8 \Rightarrow a = -1$.
તેથી $b = -2(-1) - 3 = -1$.
$(i)$ પરથી,$8 + 4(-1) + 2(-1) + c = 0 \Rightarrow 8 - 4 - 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$.
આમ,$f(x) = x^3 - x^2 - x - 2$.
આપણે $\int_{-1}^1 (x^3 - x^2 - x - 2) dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$x^3$ અને $-x$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$[-1, 1]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય.
તેથી,$\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 (-x^2 - 2) dx = -2 \int_0^1 (x^2 + 2) dx$.
$= -2 [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^1 = -2 (\frac{1}{3} + 2) = -2 (\frac{7}{3}) = -\frac{14}{3}$.

(D) આપેલ છે $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$.
પ્રથમ,તપાસો કે શું $f$ એક-એક છે: $f(0) = 1$ અને $f(1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$. કારણ કે $f(0) = f(1)$,તેથી $f$ એક-એક નથી.
હવે,તપાસો કે શું $f$ માત્ર ધન કિંમતો ધારણ કરે છે:
કિસ્સો $1$: જો $x \leq 0$ હોય,તો $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$. અહીં $x^{12} \geq 0$,$-x^9 \geq 0$,$x^4 \geq 0$,અને $-x \geq 0$ હોવાથી,$f(x) \geq 1 > 0$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x > 1$ હોય,તો $f(x) = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$. $x > 1$ હોવાથી,$x^3 - 1 > 0$ થાય,તેથી $f(x) > 1 > 0$ મળે છે.
કિસ્સો $3$: જો $0 < x < 1$ હોય,તો $f(x) = (1 - x) + x^4(1 - x^5) + x^{12}$. $0 < x < 1$ હોવાથી,$1 - x > 0$,$1 - x^5 > 0$,અને $x^{12} > 0$ થાય,તેથી $f(x) > 0$ મળે છે.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x) > 0$ હોવાથી,$f$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $f_n(x) = \min\left(\frac{x^n}{n!}, \frac{(1-x)^n}{n!}\right)$ જ્યાં $x \in [0, 1]$.
$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ માટે $\frac{x^n}{n!} \leq \frac{(1-x)^n}{n!}$ અને $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ માટે $\frac{(1-x)^n}{n!} \leq \frac{x^n}{n!}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I_n = \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{n!} dx + \int_{1/2}^{1} \frac{(1-x)^n}{n!} dx$.
સંમિતિ દ્વારા,$I_n = 2 \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{n!} dx = 2 \left[ \frac{x^{n+1}}{(n+1)n!} \right]_{0}^{1/2} = 2 \frac{(1/2)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{2}{(n+1)! 2^{n+1}} = \frac{1}{(n+1)! 2^n}$.
હવે,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)! 2^n}$.
ધારો કે $k = n+1$,તો $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^{k-1}}{k!} = 2 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^k}{k!}$.
$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ હોવાથી,$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^k}{k!} = e^{1/2} - (1 + 1/2) = \sqrt{e} - \frac{3}{2}$.
આમ,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n = 2(\sqrt{e} - \frac{3}{2}) = 2\sqrt{e} - 3$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પાયાની ત્રિજ્યા $R_1 = 50 \, mm$ છે અને બીજા પાયાની ત્રિજ્યા $R_2 = r \, mm$ છે. ઊંચાઈ $h$ છે. શંકુના આડછેદનું ઘનફળ $V = \frac{\pi h}{3} (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R_1 = 50 \, mm$. નવી ત્રિજ્યા $R_1' = R_1 + 0.21 R_1 = 1.21 R_1 = 1.21 \times 50 = 60.5 \, mm$.
નવું ઘનફળ $V' = 1.21 V$. કિંમતો મૂકતા:
$1.21 \times \frac{\pi h}{3} (50^2 + 50r + r^2) = \frac{\pi h}{3} (60.5^2 + 60.5r + r^2)$.
બંને બાજુ $\frac{\pi h}{3}$ વડે ભાગતા:
$1.21 (2500 + 50r + r^2) = 3660.25 + 60.5r + r^2$.
$3025 + 60.5r + 1.21r^2 = 3660.25 + 60.5r + r^2$.
બંને બાજુથી $60.5r$ બાદ કરતા:
$3025 + 1.21r^2 = 3660.25 + r^2$.
$0.21r^2 = 635.25$.
$r^2 = \frac{635.25}{0.21} = 3025$.
$r = \sqrt{3025} = 55 \, mm$.