ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ $xyz$-અવકાશમાં ત્રણ સદિશો છે જેથી $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \neq 0$ થાય. જો $A, B, C$ એ અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓ હોય,તો $\triangle ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના શક્ય સ્થાનની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $\vec{a}_n = (\tan \theta_n)\hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b}_n = \hat{i} - (\cot \theta_n)\hat{j}$,જ્યાં $\theta_n = \frac{2^{n-1}\pi}{2^n+1}$,કોઈ $n \in N, n > 5$ માટે. તો $\frac{\sum_{k=1}^n |\vec{a}_k|^2}{\sum_{k=1}^n |\vec{b}_k|^2}$ નું મૂલ્ય . . . . . . છે.

જે સદિશ $2 \hat{i} - 2 \hat{j} - 4 \hat{k}$ ને સમાંતર હોય અને સદિશો $\hat{i} + \hat{j}$ તથા $\hat{j} + \hat{k}$ સાથે એક જ સમતલમાં હોય તે સદિશ કયો છે?

ધારો કે $\vec{w}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,અને $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ બે સદિશો છે જેથી $\vec{u} \times \vec{v}=\vec{w}$ અને $\vec{v} \times \vec{w}=\vec{u}$. ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ અને $t$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\vec{u}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}$,$-t \alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha-t \beta+\gamma=0$,અને $\alpha+\beta-t \gamma=0$. List-$I$ ની દરેક એન્ટ્રીને List-$II$ ની સાચી એન્ટ્રી સાથે જોડો અને સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $|\vec{v}|^2$ બરાબર છે	$(1)$ $0$
$(Q)$ જો $\alpha=\sqrt{3}$,તો $\gamma^2$ બરાબર છે	$(2)$ $1$
$(R)$ જો $\alpha=\sqrt{3}$,તો $(\beta+\gamma)^2$ બરાબર છે	$(3)$ $2$
$(S)$ જો $\alpha=\sqrt{2}$,તો $t+3$ બરાબર છે	$(4)$ $3$
	$(5)$ $5$

જો બિંદુઓ $D, E, F$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA, AB$ નું અનુક્રમે $1:4, 3:2, 3:7$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે અને બિંદુ $K$ એ $AB$ નું કોઈ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો $(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CF}) : \overrightarrow{CK} = ......$

ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,બિંદુ $P$ એ $DC$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે અને $Q$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. જો $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{PQ}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.