KVPY 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है कि $\log _a b + \log _b a = c$.
चूंकि $a, b > 1$,इसलिए $\log _a b$ और $\log _b a$ दोनों धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका के अनुसार,किन्हीं दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$.
मान लीजिए $x = \log _a b$ और $y = \log _b a$.
तब $\frac{\log _a b + \log _b a}{2} \geq \sqrt{\log _a b \cdot \log _b a}$.
चूंकि $\log _a b = \frac{1}{\log _b a}$,इसलिए $\log _a b \cdot \log _b a = 1$ है।
अतः,$\frac{c}{2} \geq \sqrt{1} = 1$.
इससे $c \geq 2$ प्राप्त होता है।
$c$ का न्यूनतम संभव पूर्णांक मान $2$ है।

(C) माना $S_n = i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n$ $(i)$
$i$ से गुणा करने पर,$iS_n = i^2 + 2i^3 + \ldots + (n-1)i^n + ni^{n+1}$ (ii)
$(i)$ में से (ii) घटाने पर:
$S_n(1 - i) = i + i^2 + i^3 + \ldots + i^n - ni^{n+1}$
$S_n(1 - i) = \frac{i(1 - i^n)}{1 - i} - ni^{n+1}$
चूंकि $(1 - i)^2 = -2i$,इसलिए:
$S_n = \frac{i(1 - i^n)}{-2i} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2} = \frac{i^n - 1}{2} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}$
बड़े $n$ के लिए,$n$ वाला पद प्रभावी है। $|S_n| = 18\sqrt{2}$ दिया गया है:
$|S_n| \approx |\frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}| = \frac{n}{\sqrt{2}}$
अतः $\frac{n}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $n = 36$।

(A) माना $f(x) = x^3+ax^2+bx+c$.
तब $f'(x) = 3x^2+2ax+b$.
द्विघात $f'(x)$ का विविक्तकर $D = (2a)^2 - 4(3)(b) = 4a^2 - 12b = 4(a^2-3b)$ है।
यदि $a^2-2b < 0$ है,तो $a^2 < 2b$.
अतः $D < 0$ है,जिसका अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
इसलिए $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान त्रिघात बहुपद का ठीक एक वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र मूल होते हैं।
अतः,विकल्प $A$ में दिया गया कथन सही है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^2+2x \sin(xy)+1=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $x^2+2x \sin(xy)+\sin^2(xy)+1-\sin^2(xy)=0$
सरल करने पर: $(x+\sin(xy))^2+\cos^2(xy)=0$
चूंकि दो वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$(x+\sin(xy))^2=0 \Rightarrow x+\sin(xy)=0$
$\cos^2(xy)=0 \Rightarrow \cos(xy)=0$
$\cos(xy)=0$ से,$xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$x+\sin(xy)=0$ में $\sin(xy) = \pm 1$ रखने पर,$x = \mp 1$ प्राप्त होता है।
यदि $\sin(xy)=1$,तो $x=-1$। चूँकि $xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = -(2n+1)\frac{\pi}{2}$।
यदि $\sin(xy)=-1$,तो $x=1$। चूँकि $xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,इसलिए $y = (2n+1)\frac{\pi}{2}$।
ये सरल रेखाओं के एक युग्म $x=1$ और $x=-1$ को दर्शाते हैं।

(C) दिए गए बिंदु $A(4,0)$ और $B(0,12)$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $C(x, y)$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
$18 = \frac{1}{2} |4(12 - y) + 0(y - 0) + x(0 - 12)|$
$18 = \frac{1}{2} |48 - 4y - 12x|$
$36 = |48 - 4y - 12x|$
$4$ से विभाजित करने पर:
$36 = 4 |12 - y - 3x|$
$9 = |-(3x + y - 12)|$
$9 = |3x + y - 12|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3x + y - 12)^2 = 81$
अतः,बिंदुपथ $(y + 3x - 12)^2 = 81$ है।

(A) दिया गया है कि $ABCD$ एक आयत है जिसके शीर्ष $A(1, 2)$ और $B(3, 6)$ हैं।
परिवृत्त के एक व्यास का समीकरण $2x - y + 4 = 0$ है।
इस व्यास की ढाल $m_1 = 2$ है।
भुजा $AB$ की ढाल $m_{AB} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ है।
चूंकि $AB$ की ढाल और व्यास की ढाल समान है,इसलिए भुजा $AB$ व्यास के समानांतर है।
समानांतर रेखाओं (व्यास और रेखा $AB$) के बीच की दूरी $d$,$AB$ पर स्थित किसी भी बिंदु (जैसे $A(1, 2)$) से रेखा $2x - y + 4 = 0$ तक की लंबवत दूरी है:
$d = \frac{|2(1) - 1(2) + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 2 + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
आयत में,परिवृत्त का केंद्र विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। केंद्र से भुजा $AB$ तक की दूरी भुजा $BC$ की लंबाई की आधी होती है। अतः,$BC = 2d = 2 \times \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}}$.
भुजा $AB$ की लंबाई $\sqrt{(3 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ है।
आयत का क्षेत्रफल $AB \times BC = 2\sqrt{5} \times \frac{8}{\sqrt{5}} = 16$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 6x$ है,इसलिए $4a = 6$,जिससे $a = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ होता है।
$a = \frac{3}{2}$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $y = mx - 3m - \frac{3}{2}m^3$ हो जाता है।
चूंकि अभिलंब बिंदु $(\lambda, 0)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 = m\lambda - 3m - \frac{3}{2}m^3$.
$m \neq 0$ के लिए (क्योंकि अभिलंब परवलय का अक्ष नहीं है),हम $m$ से विभाजित कर सकते हैं:
$0 = \lambda - 3 - \frac{3}{2}m^2$.
$m^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{3}{2}m^2 = \lambda - 3$,या $m^2 = \frac{2}{3}(\lambda - 3)$ मिलता है।
तीन अलग-अलग अभिलंबों के अस्तित्व के लिए,$m$ के तीन अलग-अलग वास्तविक मान होने चाहिए। चूंकि $m^2 = \frac{2}{3}(\lambda - 3)$,$m$ के लिए तीन अलग-अलग वास्तविक हल (अक्ष के लिए $m=0$ सहित) प्राप्त करने के लिए,हमें $\lambda - 3 > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\lambda > 3$।

(C) दिया गया है $f(x) = \cos 5x + A \cos 4x + B \cos 3x + C \cos 2x + D \cos x + E$.
चूंकि $f(x) = f(2\pi - x)$,इसलिए $f\left(\frac{\pi}{5}\right) = f\left(\frac{9\pi}{5}\right)$,$f\left(\frac{2\pi}{5}\right) = f\left(\frac{8\pi}{5}\right)$,$f\left(\frac{3\pi}{5}\right) = f\left(\frac{7\pi}{5}\right)$,और $f\left(\frac{4\pi}{5}\right) = f\left(\frac{6\pi}{5}\right)$ है।
व्यंजक $T$ को $T = f(0) - 2f\left(\frac{\pi}{5}\right) + 2f\left(\frac{2\pi}{5}\right) - 2f\left(\frac{3\pi}{5}\right) + 2f\left(\frac{4\pi}{5}\right) - f(\pi)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इन बिंदुओं पर $f(x)$ के मान रखने पर,$\pi$ के चारों ओर कोसाइन फलन की समरूपता के कारण $A, C, E$ वाले पद कट जाते हैं।
विशेष रूप से,$f(0) - f(\pi) = 2(1 + B + D)$।
शेष पदों में भी केवल $B$ और $D$ गुणांक ही रहते हैं।
अतः,$T$ केवल $B$ और $D$ पर निर्भर करता है लेकिन $A, C, E$ से स्वतंत्र है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$3 \sin A + 4 \cos B = 6$ $(i)$
$4 \sin B + 3 \cos A = 1$ $(ii)$
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3 \sin A + 4 \cos B)^2 + (4 \sin B + 3 \cos A)^2 = 6^2 + 1^2$
$9 \sin^2 A + 16 \cos^2 B + 24 \sin A \cos B + 16 \sin^2 B + 9 \cos^2 A + 24 \sin B \cos A = 37$
$9(\sin^2 A + \cos^2 A) + 16(\sin^2 B + \cos^2 B) + 24(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 37$
$9(1) + 16(1) + 24 \sin(A + B) = 37$
$25 + 24 \sin(A + B) = 37$
$24 \sin(A + B) = 12$
$\sin(A + B) = \frac{1}{2}$
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $A + B = 180^{\circ} - C$ है।
$\sin(180^{\circ} - C) = \frac{1}{2}$
$\sin C = \frac{1}{2}$
अतः,$C = 30^{\circ}$ या $C = 150^{\circ}$।
मूल समीकरणों में $C = 150^{\circ}$ की जांच करने पर विरोधाभास प्राप्त होता है,इसलिए $C = 30^{\circ}$।

(C) दिया गया है $f(x) = (2011+x)^n$.
$x=0$ के परितः $f(x)$ के टेलर विस्तार द्वारा,हमारे पास है:
$f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$.
चूंकि $f(x) = (2011+x)^n$,द्विपद विस्तार है:
$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} x^k = (2011)^n + \binom{n}{1}(2011)^{n-1}x + \binom{n}{2}(2011)^{n-2}x^2 + \ldots + x^n$.
दोनों विस्तारों में $x^k$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \binom{n}{k}(2011)^{n-k}$.
दिया गया व्यंजक $S = f(0) + f^{\prime}(0) + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} + \ldots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}$ है।
यह $(2011+1)^n$ के द्विपद विस्तार के पहले $n$ पदों का योग है,जिसमें अंतिम पद ($x^n$ पद जहाँ $k=n$) शामिल नहीं है।
$S = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k$.
हम जानते हैं कि $(2011+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k = S + \binom{n}{n}(2011)^0(1)^n$.
अतः,$S = (2012)^n - 1$.

(C) खिलाड़ी $A$ के पास $\{3, 5, 6\}$ कार्ड हैं। दो कार्डों के संभावित गुणनफल हैं:
$(3 \times 5) = 15$,$(3 \times 6) = 18$,$(5 \times 6) = 30$.
प्रत्येक गुणनफल की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।
खिलाड़ी $B$ के पास $\{8, 9, 10\}$ कार्ड हैं। दो कार्डों के संभावित योग हैं:
$(8 + 9) = 17$,$(8 + 10) = 18$,$(9 + 10) = 19$.
प्रत्येक योग की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।
$A$ जीतता है यदि गुणनफल योग से बड़ा हो।
यदि $P_A = 15$ (प्रायिकता $\frac{1}{3}$): $A$ जीतता है यदि $S_B < 15$. कोई परिणाम नहीं।
यदि $P_A = 18$ (प्रायिकता $\frac{1}{3}$): $A$ जीतता है यदि $S_B < 18$. केवल $S_B = 17$ संभव है (प्रायिकता $\frac{1}{3}$). प्रायिकता = $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
यदि $P_A = 30$ (प्रायिकता $\frac{1}{3}$): $A$ जीतता है यदि $S_B < 30$. सभी $S_B$ मान $(17, 18, 19)$ संभव हैं (प्रायिकता $1$). प्रायिकता = $\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$.
कुल प्रायिकता = $\frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$.

(B) माना सामान्य पद $T_r = (r^2 - r + 1)(r!)$ है।
इस श्रेणी का योग $S_n = (n-1)(n+1)! + 1$ होता है।

(B) फलन $f(x, A)$ समुच्चय $A$ का सूचक फलन (indicator function) है,जिसे $\chi_A(x)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,यदि $x \in A \cup B$ है तो $f(x, A \cup B) = 1$,और अन्यथा $0$ है।
हम जानते हैं कि $x \in A \cup B$ तभी होता है जब $x \in A$ या $x \in B$ हो।
सूचक फलनों के गुणों का उपयोग करते हुए:
$f(x, A \cup B) = \max(f(x, A), f(x, B))$.
वैकल्पिक रूप से,सूचक फलनों के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (inclusion-exclusion principle) का उपयोग करते हुए:
$f(x, A \cup B) = f(x, A) + f(x, B) - f(x, A \cap B)$.
चूंकि $f(x, A \cap B) = f(x, A) \cdot f(x, B)$,इसलिए हमें $f(x, A \cup B) = f(x, A) + f(x, B) - f(x, A)f(x, B)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $S = \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2n)^2}{1^2+3^2+5^2+\ldots+(2n-1)^2}$ है।
अंश $\sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$ है।
हर $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2 = \frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$ है।
अतः,$S = \frac{2(n+1)}{2n-1}$ है।
हमें दिया गया है $S < 1.01$,इसलिए $\frac{2n+2}{2n-1} < \frac{101}{100}$ है।
$200n + 200 < 202n - 101$ $\Rightarrow 2n > 301$ $\Rightarrow n > 150.5$ है।
अतः,$n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $151$ है।

(C) मान लीजिए कि समीकरण $x^3+a x^2+b x+a=0$ के मूल $\alpha - d, \alpha, \alpha + d$ हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का योग $(\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = 3\alpha = -a$ है,इसलिए $\alpha = -a/3$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करता है: $(-a/3)^3 + a(-a/3)^2 + b(-a/3) + a = 0$.
$-a^3/27 + a^3/9 - ab/3 + a = 0$.
$27$ से गुणा करने पर,$-a^3 + 3a^3 - 9ab + 27a = 0$ प्राप्त होता है,जो $2a^3 - 9ab + 27a = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $a \neq 0$ है,$a$ से विभाजित करने पर: $2a^2 - 9b + 27 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$2a^2 = 9b - 27$,या $b = \frac{2}{9}a^2 + 3$ है।
$(a, b)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $y = \frac{2}{9}x^2 + 3$ है,जो एक परवलय है जिसका शीर्ष $Y$-अक्ष पर $(0, 3)$ पर स्थित है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है,जिसे $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
ढाल $m$ और $y$-अंतःखंड $c$ वाली रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है। दिया गया है $c = 5$,अतः रेखा $y = mx + 5$ है।
इस रेखा का दीर्घवृत्त के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु होने के लिए,इसे या तो छेदक या स्पर्शरेखा होना चाहिए। रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
मान रखने पर,$5^2 = 16m^2 + 9$ प्राप्त होता है।
$25 = 16m^2 + 9$ $\Rightarrow 16m^2 = 16$ $\Rightarrow m^2 = 1$.
अतः,$m = \pm 1$ है।
धनात्मक ढाल $m = 1$ है। $m > 1$ के लिए रेखा दीर्घवृत्त को दो बिंदुओं पर काटेगी और $m < 1$ के लिए यह दीर्घवृत्त को नहीं काटेगी। इसलिए,न्यूनतम धनात्मक ढाल जिसके लिए रेखा का दीर्घवृत्त के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु हो,$1$ है।

(A) समुच्चय $A$ के लिए,$\cos^2(\sin \theta) + \sin^2(\cos \theta) = 1$ है।
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,यह समीकरण तभी सत्य है जब $\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ हो,जिसका अर्थ है $\tan^2 \theta = 1$,अतः $\tan \theta = \pm 1$।
इस प्रकार,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$।
समुच्चय $B$ के लिए,$\cos(\sin \theta) \sin(\cos \theta) = 0$ है।
इसका अर्थ है $\cos(\sin \theta) = 0$ या $\sin(\cos \theta) = 0$।
चूंकि $-1 \le \sin \theta \le 1$,$\cos(\sin \theta)$ कभी भी $0$ नहीं हो सकता क्योंकि $\cos x = 0$ का मान $x = \pm \frac{\pi}{2} \approx \pm 1.57$ पर होता है,जो $[-1, 1]$ के बाहर है।
इसी प्रकार,$\sin(\cos \theta) = 0$ का अर्थ है $\cos \theta = n\pi$। चूंकि $-1 \le \cos \theta \le 1$,एकमात्र संभव मान $\cos \theta = 0$ है।
अतः,$\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$।
दोनों समुच्चयों की तुलना करने पर,$A = \{n\pi \pm \frac{\pi}{4}\}$ और $B = \{(2n+1)\frac{\pi}{2}\}$,कोई भी उभयनिष्ठ मान नहीं है।
इसलिए,$A \cap B = \emptyset$।

(B) दी गई शर्त $|x+y|+|x-y|=4$ एक वर्ग को दर्शाती है।
हमें $f(x, y) = x^2+y^2-4x-6y = (x-2)^2 + (y-3)^2 - 13$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
यह व्यंजक बिंदु $(2, 3)$ से वर्ग पर स्थित किसी भी बिंदु $(x, y)$ की दूरी का वर्ग माइनस $13$ को दर्शाता है।
वर्ग के शीर्ष $(2, 2), (-2, 2), (-2, -2), (2, -2)$ हैं।
बिंदु $(2, 3)$ से शीर्षों तक की दूरी के वर्ग की गणना करने पर,अधिकतम दूरी $(-2, -2)$ पर $41$ प्राप्त होती है।
अतः,अधिकतम मान $41 - 13 = 28$ है।

(C) माना दो पूर्णांक $A = 10a+b$ और $G = 10b+a$ हैं,जहाँ $A$ समांतर माध्य है और $G$ गुणोत्तर माध्य है।
दिया गया है,$\frac{x+y}{2} = 10a+b$ और $\sqrt{xy} = 10b+a$.
अतः,$x+y = 2(10a+b)$ और $xy = (10b+a)^2$.
हम जानते हैं कि $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$.
मान रखने पर,$(x-y)^2 = 4(10a+b)^2 - 4(10b+a)^2$.
$(x-y)^2 = 4[(10a+b)^2 - (10b+a)^2] = 4(10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)$.
$(x-y)^2 = 4(9a-9b)(11a+11b) = 4 \times 9 \times 11(a-b)(a+b) = 396(a-b)(a+b)$.
$(x-y)^2$ के पूर्ण वर्ग होने के लिए,$(a-b)(a+b)$ को $11 \times k^2$ के रूप में होना चाहिए।
चूंकि $a$ और $b$ अंक हैं,$a+b \leq 18$ और $a-b < 10$। एकमात्र संभावना $a+b=11$ और $a-b=1$ है।
$a+b=11$ और $a-b=1$ को हल करने पर $2a=12 \Rightarrow a=6$ और $b=5$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y = 2(10(6)+5) = 2(65) = 130$.

(A) दी गई व्यंजक $P(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$ है।
$x=a$ पर $P(a) = \frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)} + 0 + 0 = 1$ प्राप्त होता है।
$x=b$ पर $P(b) = 0 + \frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)} + 0 = 1$ प्राप्त होता है।
$x=c$ पर $P(c) = 0 + 0 + \frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)} = 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P(x)$ अधिकतम $2$ घात का बहुपद है और यह $x = a, b, c$ के तीन भिन्न मानों के लिए $1$ मान लेता है,इसलिए यह एक अचर बहुपद $P(x) = 1$ होना चाहिए।
अतः,सरल रूप $1$ है।

(A) दिया गया है,$x+\frac{1}{x}=a$ और $x^2+\frac{1}{x^3}=b$.
$x+\frac{1}{x}=a$ का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2+\frac{1}{x^2}+2=a^2 \Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2$.
$x+\frac{1}{x}=a$ का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^3+\frac{1}{x^3}+3(x+\frac{1}{x})=a^3 \Rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=a^3-3a$.
अब,योग पर विचार करें:
$(x^2+\frac{1}{x^2}) + (x^3+\frac{1}{x^3}) = (a^2-2) + (a^3-3a)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(x^2+\frac{1}{x^3}) + (x^3+\frac{1}{x^2}) = a^3+a^2-3a-2$.
$x^2+\frac{1}{x^3}=b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$b + (x^3+\frac{1}{x^2}) = a^3+a^2-3a-2$.
अतः,$x^3+\frac{1}{x^2} = a^3+a^2-3a-2-b$.

(B) दिया गया है कि $|a-b|=2$,$|b-c|=3$,और $|c-d|=4$ है।
हम लिख सकते हैं कि $a-d = (a-b) + (b-c) + (c-d)$।
चूंकि $|a-b|=2$,$|b-c|=3$,और $|c-d|=4$ है,इसलिए $(a-b)$,$(b-c)$,और $(c-d)$ के संभावित मान क्रमशः $\pm 2$,$\pm 3$,और $\pm 4$ हैं।
$a-d$ के संभावित मान इन संयोजनों के योग से प्राप्त होते हैं:
$2+3+4 = 9$
$2+3-4 = 1$
$2-3+4 = 3$
$2-3-4 = -5$
$-2+3+4 = 5$
$-2+3-4 = -3$
$-2-3+4 = -1$
$-2-3-4 = -9$
अतः,$|a-d|$ के संभावित मान $|9|, |1|, |3|, |-5|, |5|, |-3|, |-1|, |-9|$ हैं,जो समुच्चय $\{9, 5, 3, 1\}$ देते हैं।
$|a-d|$ के सभी संभावित मानों का योग $9 + 5 + 3 + 1 = 18$ है।

(B) दिए गए समीकरण $a^x = \frac{9}{5}$ के रूप में हैं,जहाँ $a$ आधार है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,$x \ln(a) = \ln(1.8)$,जिसका अर्थ है $x = \frac{\ln(1.8)}{\ln(a)}$।
चूंकि $\ln(1.8) > 0$ है,इसलिए $x$ तब सबसे बड़ा होगा जब $\ln(a)$ सबसे छोटा और धनात्मक हो,जो तब होता है जब आधार $a$,$1$ के सबसे करीब हो (लेकिन $1$ से बड़ा)।
मान लीजिए आधार $a_1 = 1 + \frac{r}{\pi}$,$a_2 = 1 + \frac{r}{17}$,$a_3 = 1 + 2r$,और $a_4 = 1 + \frac{1}{r}$ हैं।
$0 < r < 4$ दिया गया है,हम मानों की तुलना करते हैं:
$a_2 = 1 + \frac{r}{17}$ सबसे छोटा मान है क्योंकि $r \in (0, 4)$ के लिए $\frac{r}{17}$ सबसे छोटी वृद्धि है।
चूंकि $a_2$ सबसे छोटा आधार है जो $1$ से बड़ा है,इसलिए $\frac{9}{5}$ का मान प्राप्त करने के लिए आवश्यक घातांक $x$ सबसे बड़ा होना चाहिए।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) $\triangle ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है। $AD$,$\angle A$ का कोण समद्विभाजक है।
$D$ से $AC$ पर एक लंब खींचिए,इसे $DE$ मानिए। चूँकि $AD$ कोण समद्विभाजक है,इसलिए $DE = DB$ (समद्विभाजक से भुजाओं की दूरी)।
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AC \times DE = 10$।
दिया गया है $AC = 6 \text{ cm}$,इसलिए $\frac{1}{2} \times 6 \times DE = 10$।
$3 \times DE = 10 \implies DE = \frac{10}{3} \text{ cm}$।
चूँकि $DB = DE$,इसलिए $BD$ की लंबाई $\frac{10}{3} \text{ cm}$ है।

(A) शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ त्रिज्यखंड की त्रिज्या के बराबर होती है,जो $l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ है।
शंकु के आधार की परिधि त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई के बराबर होती है।
शंकु के आधार की परिधि $= 2 \pi r = 2 \pi (5) = 10 \pi$.
त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई $= l \theta = 13 \theta$.
दोनों को बराबर करने पर,हमें $13 \theta = 10 \pi$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \frac{10 \pi}{13}$.

(A) माना $\angle BAE = \theta$ है। $\triangle ABE$ में $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle AEB = 90^{\circ} - \theta$ है।
दिया गया है कि $\angle AEC = 90^{\circ}$,इसलिए $\angle CED = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \theta) - 90^{\circ} = \theta$ है।
$\triangle CDE$ में,$\angle CED = \theta$ और $\angle CDE = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\angle ECD = 90^{\circ} - \theta$ है।
अतः,$\triangle ABE \sim \triangle ECD$ ($AA$ समरूपता द्वारा)।
इसलिए,$\frac{AB}{BE} = \frac{ED}{CD}$ है।
$AB = 12$,$CD = 8$,$BD = 20$,और $BE = x$ दिया गया है,इसलिए $ED = 20 - x$ है।
मान रखने पर: $\frac{12}{x} = \frac{20 - x}{8}$ है।
$96 = 20x - x^2$ है।
$x^2 - 20x + 96 = 0$ है।
$(x - 12)(x - 8) = 0$ है।
अतः,$x = 8$ या $x = 12$ है।
दोनों मानों का अंतर $|12 - 8| = 4$ है।

(A) मान लीजिए कि तीनों वृत्तों के केंद्र $O$,$A$ और $B$ हैं। चूँकि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $1$ है और वे एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए किन्हीं भी दो केंद्रों के बीच की दूरी $1+1=2$ है। अतः,$\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई $2$ है।
शीर्ष $O$ से आधार $AB$ तक इस त्रिभुज की ऊँचाई $h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ है।
दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d$,ऊपरी वृत्त की त्रिज्या,त्रिभुज $OAB$ की ऊँचाई और निचले वृत्तों की त्रिज्या का योग है।
$d = r + h + r = 1 + \sqrt{3} + 1 = 2 + \sqrt{3}$.

(C) माना $a = 512$,$b = -253$,और $c = -259$ है।
तब $a + b + c = 512 - 253 - 259 = 0$ है।
हम जानते हैं कि यदि $a + b + c = 0$ है,तो $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ होता है।
अतः,$(512)^3 + (-253)^3 + (-259)^3 = 3(512)(-253)(-259) = 3 \times 512 \times 253 \times 259$ है।
अब,प्रत्येक पद का गुणनखंड करें:
$3 = 3^1$
$512 = 2^9$
$253 = 11 \times 23$
$259 = 7 \times 37$
अतः,व्यंजक $3^1 \times 2^9 \times 11^1 \times 23^1 \times 7^1 \times 37^1$ है।
भिन्न अभाज्य विभाजक $2, 3, 7, 11, 23, 37$ हैं।
इस प्रकार,कुल $6$ भिन्न अभाज्य विभाजक हैं।

(B) पिरामिड में $18$ परतें हैं,जिसमें शीर्ष परत के प्रत्येक तरफ $13$ गेंदें हैं। वर्गाकार आधार वाले पिरामिड के लिए,परतों में गेंदों की संख्या $13^2, 14^2, 15^2, \dots, 30^2$ है।
गेंदों की कुल संख्या $N = \sum_{k=13}^{30} k^2 = \sum_{k=1}^{30} k^2 - \sum_{k=1}^{12} k^2$ है।
सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=1}^{30} k^2 = 9455$ और $\sum_{k=1}^{12} k^2 = 650$।
अतः,$N = 9455 - 650 = 8805$।
चूंकि $8000 < 8805 < 9000$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) मेंढक $(0,0)$ से शुरू होता है और प्रत्येक कूद में $5$ इकाई की दूरी तय करके $(0,1)$ तक पहुँचने की आवश्यकता है।
मान लीजिए कि कूद को एक सदिश $(x, y)$ द्वारा दर्शाया गया है ताकि $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}$।
संभावित पूर्णांक जोड़े $(x, y)$ $(\pm 3, \pm 4)$ या $(\pm 4, \pm 3)$ या $(\pm 5, 0)$ या $(0, \pm 5)$ हैं।
न्यूनतम कूद में $(0,1)$ तक पहुँचने के लिए:
$1$. पहली कूद: $(0,0)$ से $(4,3)$ तक ($5$ इकाई दूरी)।
$2$. दूसरी कूद: $(4,3)$ से $(0,6)$ तक ($5$ इकाई दूरी)।
$3$. तीसरी कूद: $(0,6)$ से $(0,1)$ तक ($5$ इकाई दूरी)।
अतः,आवश्यक न्यूनतम कूद की संख्या $3$ है।

(A) $12$-घंटे की घड़ी $12$ घंटे और $60$ मिनट के चक्र में चलती है। एक पूरा दिन $24$ घंटे या $1440$ मिनट का होता है।
सबसे पहले,एक घंटे में उन मिनटों की पहचान करें जिनमें अंक $1$ दिखाई देता है: $01, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51$। ऐसे $15$ मिनट हैं।
प्रत्येक घंटे में,घड़ी इन $15$ मिनटों के लिए गलत समय दिखाती है। इसके अतिरिक्त,$01, 10, 11, 12$ घंटों में,घड़ी सभी $60$ मिनटों के लिए गलत समय दिखाती है।
$12$-घंटे के चक्र में कुल गलत मिनट:
उन $8$ घंटों के लिए जहाँ घंटे के अंक में $1$ नहीं दिखाई देता है $(02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09)$,घड़ी प्रति घंटे $15$ मिनट के लिए गलत है: $8 \times 15 = 120$ मिनट।
उन $4$ घंटों के लिए जहाँ $1$ दिखाई देता है $(01, 10, 11, 12)$,घड़ी सभी $60$ मिनटों के लिए गलत है: $4 \times 60 = 240$ मिनट।
$12$ घंटों में कुल गलत मिनट = $120 + 240 = 360$ मिनट।
चूंकि एक दिन में दो $12$-घंटे के चक्र होते हैं,इसलिए एक दिन में कुल गलत मिनट = $360 \times 2 = 720$ मिनट।
एक दिन में कुल मिनट = $24 \times 60 = 1440$ मिनट।
सही मिनट = $1440 - 720 = 720$ मिनट।
सही समय दिखाने वाले दिन का भाग = $\frac{720}{1440} = \frac{1}{2}$।

(C) माना $x$ सही उत्तरों की संख्या है,$y$ गलत उत्तरों की संख्या है और $z$ अनुत्तरित प्रश्नों की संख्या है।
कुल प्रश्नों की संख्या $30$ है,इसलिए $x + y + z = 30$ है।
कुल अंक $4x + 0y + 1z = 60$ हैं,जो $4x + z = 60$ हो जाता है।
दूसरे समीकरण से,$z = 60 - 4x$ है।
चूंकि $z \ge 0$,इसलिए $60 - 4x \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \le 15$।
साथ ही,$x + y + z = 30$ में $z = 60 - 4x$ रखने पर,$x + y + (60 - 4x) = 30$,जो $y = 3x - 30$ हो जाता है।
चूंकि $y \ge 0$,इसलिए $3x - 30 \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \ge 10$।
अतः,$10 \le x \le 15$ है।
$x$ के संभावित पूर्णांक मान $10, 11, 12, 13, 14, 15$ हैं।
इस प्रकार,$x$ के लिए कुल $6$ संभावित मान हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$ जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
$f(1) = 0$ होने के कारण,$a + b + c = 0$,जिसका अर्थ है $c = -a - b$.
$f(x)$ में $c$ का मान रखने पर,$f(x) = ax^2 + bx - a - b = (x - 1)(ax + a + b)$.
$40 < f(6) < 50 \implies 40 < 5(7a + b) < 50 \implies 8 < 7a + b < 10$.
चूंकि $a, b$ पूर्णांक हैं,$7a + b = 9$.
$60 < f(7) < 70 \implies 60 < 6(8a + b) < 70 \implies 10 < 8a + b < 11.66$.
अतः,$8a + b = 11$.
दोनों समीकरणों को हल करने पर: $a = 2$ और $b = -5$.
अतः $c = 3$ और $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$.
$f(50) = 2(50)^2 - 5(50) + 3 = 4753$.
$1000t < 4753 < 1000(t + 1)$ होने के कारण,$t = 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना $S = \sum_{r=2}^{2011} \frac{r^2+1}{r^2-1}$.
हम सामान्य पद $T_r$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$T_r = \frac{r^2-1+2}{r^2-1} = 1 + \frac{2}{(r-1)(r+1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:
$T_r = 1 + \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.
$r=2$ से $2011$ तक योग करने पर:
$S = \sum_{r=2}^{2011} 1 + \sum_{r=2}^{2011} \left(\frac{1}{r-1} - \frac{1}{r+1}\right)$.
पहला भाग $\sum_{r=2}^{2011} 1 = 2010$ है।
दूसरा भाग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2009} - \frac{1}{2011}\right) + \left(\frac{1}{2010} - \frac{1}{2012}\right)$.
कटौती के बाद,हमें प्राप्त होता है:
$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2011} - \frac{1}{2012} = \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.
अतः,$S = 2010 + 1.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) = 2011.5 - \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right)$.
चूंकि $0 < \left(\frac{1}{2011} + \frac{1}{2012}\right) < 1$,इसलिए $S$ का मान $\left(2011, 2011 \frac{1}{2}\right)$ अंतराल में स्थित है।

(D) दिया गया है कि $P^2 = P$ है। यह एक आइडेंपोटेंट (idempotent) आव्यूह है।
हम $(I+P)^n$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हैं:
$(I+P)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} I^{n-k} P^k$
चूंकि किसी भी $m \ge 1$ के लिए $I^m = I$ और सभी $k \ge 1$ के लिए $P^k = P$ होता है (क्योंकि $P^2=P, P^3=P^2P=PP=P$,आदि),इसलिए:
$(I+P)^n = I + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} P$
$(I+P)^n = I + P \left( \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} \right)$
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$,इसलिए $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - \binom{n}{0} = 2^n - 1$ है।
अतः,$(I+P)^n = I + (2^n - 1)P$।

(C) फलन $f(x) = \log_{\{x\}}[x] + \log_{[x]}\{x\}$ निम्नलिखित शर्तों के तहत परिभाषित है:
$1$. $\log_{\{x\}}[x]$ को परिभाषित होने के लिए:
आधार $\{x\} > 0$ और $\{x\} \neq 1$ होना चाहिए। चूँकि $\{x\} = x - [x]$,$\{x\} \in [0, 1)$। अतः,$\{x\} \in (0, 1)$।
तर्क $[x] > 0$,जिसका अर्थ है $x \geq 1$। चूँकि $\{x\} \neq 0$,$x$ पूर्णांक नहीं हो सकता।
$2$. $\log_{[x]}\{x\}$ को परिभाषित होने के लिए:
आधार $[x] > 0$ और $[x] \neq 1$ होना चाहिए। इसका अर्थ है $[x] \geq 2$,अतः $x \geq 2$।
तर्क $\{x\} > 0$,जिसका अर्थ है $x$ पूर्णांक नहीं है।
इन शर्तों को मिलाने पर,हमें $x \geq 2$ और $x \notin \mathbb{Z}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से,अंतराल $(2, 3)$ शर्त $x > 2$ और $x$ पूर्णांक नहीं है,को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) वक्र $y=e^x$ और $y=\log_e x$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन हैं,जिसका अर्थ है कि वे रेखा $y=x$ के सापेक्ष सममित हैं।
माना $A$,$y=e^x$ पर एक बिंदु है जिसके निर्देशांक $(h, e^h)$ हैं। बिंदु $A$ से रेखा $y=x$ (या $x-y=0$) की दूरी $AB = \frac{|h-e^h|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|h-e^h|}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि वक्र $y=x$ के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए दोनों वक्रों के बीच की न्यूनतम दूरी $AC = 2AB$ होगी,जहाँ $B$,रेखा $y=x$ पर $A$ का प्रक्षेप है।
$AB$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $f(h) = e^h - h$ को न्यूनतम करते हैं (क्योंकि सभी $h$ के लिए $e^h > h$ है)।
$f'(h) = e^h - 1$। $f'(h) = 0$ रखने पर $e^h = 1$ प्राप्त होता है,अतः $h=0$ है।
$h=0$ पर,न्यूनतम दूरी $AB = \frac{|0-e^0|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,वक्रों के बीच की न्यूनतम दूरी $AC = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x) = [x]$ का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड है।
हमें $I = \int_{2}^{8} f(x) \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $[x]$ अंतराल $[n, n+1)$ पर अचर है,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित करते हैं:
$I = \int_{2}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{6} f(x) \, dx + \int_{6}^{7} f(x) \, dx + \int_{7}^{8} f(x) \, dx$.
$x \in [2, 3)$ के लिए,$[x] = 2$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $2$ है।
$x \in [3, 4)$ के लिए,$[x] = 3$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $3$ है।
$x \in [4, 5)$ के लिए,$[x] = 4$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $2$ है।
$x \in [5, 6)$ के लिए,$[x] = 5$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $5$ है।
$x \in [6, 7)$ के लिए,$[x] = 6$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $3$ है।
$x \in [7, 8)$ के लिए,$[x] = 7$,सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड $7$ है।
अतः,$I = \int_{2}^{3} 2 \, dx + \int_{3}^{4} 3 \, dx + \int_{4}^{5} 2 \, dx + \int_{5}^{6} 5 \, dx + \int_{6}^{7} 3 \, dx + \int_{7}^{8} 7 \, dx$.
$I = 2(1) + 3(1) + 2(1) + 5(1) + 3(1) + 7(1) = 2 + 3 + 2 + 5 + 3 + 7 = 22$.

(B) मान लीजिए $I = \int \limits_0^{2012} \frac{e^{\cos (\pi\{x\})}}{e^{\cos (\pi\{x\})}+e^{-\cos (\pi\{x\})}} d x$ है।
चूंकि फलन $f(x) = \frac{e^{\cos (\pi\{x\})}}{e^{\cos (\pi\{x\})}+e^{-\cos (\pi\{x\})}}$ का आवर्तकाल $1$ है,हम लिख सकते हैं:
$I = 2012 \int \limits_0^1 \frac{e^{\cos (\pi x)}}{e^{\cos (\pi x)}+e^{-\cos (\pi x)}} d x$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 2012 \int \limits_0^1 \frac{e^{\cos (\pi(1-x))}}{e^{\cos (\pi(1-x))}+e^{-\cos (\pi(1-x))}} d x$.
चूंकि $\cos(\pi - \pi x) = -\cos(\pi x)$,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = 2012 \int \limits_0^1 \frac{e^{-\cos (\pi x)}}{e^{-\cos (\pi x)}+e^{\cos (\pi x)}} d x$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = 2012 \int \limits_0^1 \frac{e^{\cos (\pi x)} + e^{-\cos (\pi x)}}{e^{\cos (\pi x)} + e^{-\cos (\pi x)}} d x = 2012 \int \limits_0^1 1 d x = 2012$.
अतः,$I = 1006$.

(D) माना $I = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{1}{\sqrt{4n^2-r^2}}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1}{\sqrt{4 - (\frac{r}{n})^2}}$.
यह निश्चित समाकलन के लिए रीमान योग है:
$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \left[ \sin^{-1}(\frac{x}{2}) \right]_{0}^{1}$.
$I = \sin^{-1}(\frac{1}{2}) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} = \vec{v} \neq 0$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$ से,हमें $(\vec{a} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $k_1$ के लिए $\vec{a} - \vec{c} = k_1 \vec{b}$ है।
इसी प्रकार,$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$ से,हमें $(\vec{b} - \vec{a}) \times \vec{c} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $k_2$ के लिए $\vec{b} - \vec{a} = k_2 \vec{c}$ है।
इन शर्तों के तहत,केंद्रक $\vec{G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ के लिए केवल $1$ संभावित स्थिति प्राप्त होती है।

(B) दिया गया है कि $A B = B A$,$A^k = I$,और $B^l = 0$ कुछ धनात्मक पूर्णांकों $k$ और $l$ के लिए।
चूंकि $B^l = 0$,दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $\operatorname{det}(B^l) = \operatorname{det}(0) = 0$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\operatorname{det}(B^l) = (\operatorname{det}(B))^l$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $(\operatorname{det}(B))^l = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $\operatorname{det}(B) = 0$ है।
अब,गुणनफल $A B$ का सारणिक देखें:
$\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}(A) \times \operatorname{det}(B)$।
चूंकि $\operatorname{det}(B) = 0$,इसलिए $\operatorname{det}(A B) = \operatorname{det}(A) \times 0 = 0$ होता है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.
चूँकि $f(2) = 0$,हमारे पास $8 + 4a + 2b + c = 0$ ... $(i)$ है।
अवकलन करने पर $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x)$ के क्रांतिक बिंदु $x = 1$ और $x = -\frac{1}{3}$ पर हैं,$f'(1) = 0$ और $f'(-\frac{1}{3}) = 0$ होगा।
$f'(1) = 3 + 2a + b = 0$ ... (ii).
$f'(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2a(-\frac{1}{3}) + b = \frac{1}{3} - \frac{2a}{3} + b = 0$,जिसका अर्थ है $1 - 2a + 3b = 0$ ... (iii).
(ii) और (iii) को हल करने पर: $b = -2a - 3$. (iii) में रखने पर: $1 - 2a + 3(-2a - 3) = 0 \Rightarrow 1 - 2a - 6a - 9 = 0 \Rightarrow -8a = 8 \Rightarrow a = -1$.
तब $b = -2(-1) - 3 = -1$.
$(i)$ से,$8 + 4(-1) + 2(-1) + c = 0 \Rightarrow 8 - 4 - 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2$.
अतः,$f(x) = x^3 - x^2 - x - 2$.
हमें $\int_{-1}^1 (x^3 - x^2 - x - 2) dx$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $x^3$ और $-x$ विषम फलन हैं,$[-1, 1]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है।
इसलिए,$\int_{-1}^1 f(x) dx = \int_{-1}^1 (-x^2 - 2) dx = -2 \int_0^1 (x^2 + 2) dx$.
$= -2 [\frac{x^3}{3} + 2x]_0^1 = -2 (\frac{1}{3} + 2) = -2 (\frac{7}{3}) = -\frac{14}{3}$.

(D) दिया गया है $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$।
सबसे पहले,जाँचें कि क्या $f$ एकैकी है: $f(0) = 1$ और $f(1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$। चूँकि $f(0) = f(1)$,इसलिए $f$ एकैकी नहीं है।
अब,जाँचें कि क्या $f$ केवल धनात्मक मान लेता है:
स्थिति $1$: यदि $x \leq 0$ है,तो $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$। चूँकि $x^{12} \geq 0$,$-x^9 \geq 0$,$x^4 \geq 0$,और $-x \geq 0$ है,इसलिए $f(x) \geq 1 > 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $x > 1$ है,तो $f(x) = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$। चूँकि $x > 1$ है,इसलिए $x^3 - 1 > 0$ है,अतः $f(x) > 1 > 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $3$: यदि $0 < x < 1$ है,तो $f(x) = (1 - x) + x^4(1 - x^5) + x^{12}$। चूँकि $0 < x < 1$ है,इसलिए $1 - x > 0$,$1 - x^5 > 0$,और $x^{12} > 0$ है,अतः $f(x) > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x) > 0$ है,इसलिए $f$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है। अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(A) दिया गया है $f_n(x) = \min\left(\frac{x^n}{n!}, \frac{(1-x)^n}{n!}\right)$ जहाँ $x \in [0, 1]$ है।
चूँकि $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ के लिए $\frac{x^n}{n!} \leq \frac{(1-x)^n}{n!}$ और $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ के लिए $\frac{(1-x)^n}{n!} \leq \frac{x^n}{n!}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$I_n = \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{n!} dx + \int_{1/2}^{1} \frac{(1-x)^n}{n!} dx$.
सममिति द्वारा,$I_n = 2 \int_{0}^{1/2} \frac{x^n}{n!} dx = 2 \left[ \frac{x^{n+1}}{(n+1)n!} \right]_{0}^{1/2} = 2 \frac{(1/2)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{2}{(n+1)! 2^{n+1}} = \frac{1}{(n+1)! 2^n}$.
अब,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)! 2^n}$.
मान लीजिए $k = n+1$,तो $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^{k-1}}{k!} = 2 \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^k}{k!}$.
चूँकि $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$,इसलिए $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(1/2)^k}{k!} = e^{1/2} - (1 + 1/2) = \sqrt{e} - \frac{3}{2}$.
अतः,$\sum_{n=1}^{\infty} I_n = 2(\sqrt{e} - \frac{3}{2}) = 2\sqrt{e} - 3$.

(B) माना कि पहले आधार की त्रिज्या $R_1 = 50 \, mm$ है और दूसरे आधार की त्रिज्या $R_2 = r \, mm$ है। ऊंचाई $h$ है। शंकु के छिन्नक का आयतन $V = \frac{\pi h}{3} (R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $R_1 = 50 \, mm$। नई त्रिज्या $R_1' = R_1 + 0.21 R_1 = 1.21 R_1 = 1.21 \times 50 = 60.5 \, mm$।
नया आयतन $V' = 1.21 V$ है। मान रखने पर:
$1.21 \times \frac{\pi h}{3} (50^2 + 50r + r^2) = \frac{\pi h}{3} (60.5^2 + 60.5r + r^2)$।
दोनों पक्षों को $\frac{\pi h}{3}$ से विभाजित करने पर:
$1.21 (2500 + 50r + r^2) = 3660.25 + 60.5r + r^2$।
$3025 + 60.5r + 1.21r^2 = 3660.25 + 60.5r + r^2$।
दोनों पक्षों से $60.5r$ घटाने पर:
$3025 + 1.21r^2 = 3660.25 + r^2$।
$0.21r^2 = 635.25$।
$r^2 = \frac{635.25}{0.21} = 3025$।
$r = \sqrt{3025} = 55 \, mm$।