જો f(x)=(2011+x)^n હોય,જ્યાં x એ વાસ્તવિક ચલ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $f(x) = (2011+x)^n$. $x=0$ ની આસપાસ $f(x)$ ના ટેલર વિસ્તરણ દ્વારા,આપણી પાસે છે: $f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime}

Vedclass · Accepted Answer

$(2012)^n-1$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $f(x) = (2011+x)^n$. $x=0$ ની આસપાસ $f(x)$ ના ટેલર વિસ્તરણ દ્વારા,આપણી પાસે છે: $f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$. કારણ કે $f(x) = (2011+x)^n$,દ્વિપદી વિસ્તરણ છે: $f(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} x^k = (2011)^n + \binom{n}{1}(2011)^{n-1}x + \binom{n}{2}(2011)^{n-2}x^2 + \ldots + x^n$. બંને વિસ્તરણમાં $x^k$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \binom{n}{k}(2011)^{n-k}$. આપેલ પદાવલિ $S = f(0) + f^{\prime}(0) + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} + \ldots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}$ છે. આ $(2011+1)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો છે,જેમાં છેલ્લા પદ ($x^n$ પદ જ્યાં $k=n$) નો સમાવેશ થતો નથી. $S = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k$. આપણે જાણીએ છીએ કે $(2011+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k = S + \binom{n}{n}(2011)^0(1)^n$. તેથી,$S = (2012)^n - 1$.

જો $f(x)=(2011+x)^n$ હોય,જ્યાં $x$ એ વાસ્તવિક ચલ છે અને $n$ એ ધન પૂર્ણાંક છે,તો $f(0)+f^{\prime}(0)+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}+\ldots+\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1) !}$ નું મૂલ્ય શું છે?

Similar Questions

$|x| < 1$ માટે,$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}$ ના વિસ્તરણમાં અચળ પદ કયું છે?

$(1 + x - 3x^2)^{2134}$ માં સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$(1+x+x^2)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$(1 + 0.0001)^{10000}$ થી તરત જ મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module