मान लीजिए f(x)=sin 2x + cos 2x और g(x)=x^2-1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sin 2x + \cos 2x$ और $g(x) = x^2 - 1$। सबसे पहले,संयुक्त फलन $g(f(x))$ की गणना करें: $g(f(x)) = (\sin 2x + \cos 2x)^2 - 1$ $g

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$x \in \left[\frac{-\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$

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(A) दिया गया है $f(x) = \sin 2x + \cos 2x$ और $g(x) = x^2 - 1$। सबसे पहले,संयुक्त फलन $g(f(x))$ की गणना करें: $g(f(x)) = (\sin 2x + \cos 2x)^2 - 1$ $g(f(x)) = (\sin^2 2x + \cos^2 2x + 2 \sin 2x \cos 2x) - 1$ चूंकि $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta = 1$ और $2 \sin 	heta \cos 	heta = \sin 2	heta$: $g(f(x)) = (1 + \sin 4x) - 1 = \sin 4x$। एक फलन व्युत्क्रमणीय होता है यदि वह दिए गए डोमेन में एकैकी (one-to-one) और आच्छादक (onto) हो। फलन $y = \sin 	heta$ अंतराल $	heta \in \left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}ight]$ में व्युत्क्रमणीय है। यहाँ,$	heta = 4x$,इसलिए हम रखते हैं: $\frac{-\pi}{2} \le 4x \le \frac{\pi}{2}$ $4$ से विभाजित करने पर: $\frac{-\pi}{8} \le x \le \frac{\pi}{8}$। अतः,$g(f(x))$ डोमेन $x \in \left[\frac{-\pi}{8}, \frac{\pi}{8}ight]$ में व्युत्क्रमणीय है।

मान लीजिए $f(x)=\sin 2x + \cos 2x$ और $g(x)=x^2-1$ है। तो $g(f(x))$ किस डोमेन में व्युत्क्रमणीय (invertible) है?

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निम्नलिखित में से कौन सा फलन व्युत्क्रमणीय (invertible) फलन है?

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$,$f(x) = 2x + 6$ द्वारा परिभाषित है,जो एक बाइजेक्टिव (एकैकी और आच्छादक) प्रतिचित्रण है,तो $f^{-1}(x)$ क्या होगा?

$f: (-\infty, 0] \rightarrow [0, \infty)$ को $f(x) = x^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके प्रतिलोम (inverse) का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f:[1, \infty) \to [1, \infty)$ को $f(x) = 2^{x(x - 1)}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $f^{-1}(x)$ है

यदि $f(x) = \int\limits_0^x {\frac{1}{{\sqrt {1 + {t^3}} }}\,} dt$ और $h(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम (inverse) है,तो $\frac{{h''(x)}}{{{h^2}(x)}}$ का मान है

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