निम्नलिखित में से कौन सा एक रिक्त समुच्चय है?

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Question

(A) विकल्प $A$ के लिए: $x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या $x \in \mathbb{R}$ का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक $(x^2 \ge 0)$ होता है,

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$\left\{x: x^2+1=0, x \in \mathbb{R}\right\}$

Vedclass · Answer

(A) विकल्प $A$ के लिए: $x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या $x \in \mathbb{R}$ का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक $(x^2 \ge 0)$ होता है,इसलिए ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो $x^2=-1$ को संतुष्ट करे। अतः,यह समुच्चय एक रिक्त समुच्चय है।विकल्प $B$ के लिए: $x^2-9=0$ $\Rightarrow x^2=9$ $\Rightarrow x = \pm 3$। यह समुच्चय $\{3, -3\}$ है,जो रिक्त नहीं है।विकल्प $C$ के लिए: $x^2-x-2=0$ $\Rightarrow (x-2)(x+1)=0$ $\Rightarrow x=2, -1$। यह समुच्चय $\{2, -1\}$ है,जो रिक्त नहीं है।विकल्प $D$ के लिए: $x^2-1=0$ $\Rightarrow x^2=1$ $\Rightarrow x = \pm 1$। यह समुच्चय $\{1, -1\}$ है,जो रिक्त नहीं है।अतः,सही विकल्प $A$ है।

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बताइए कि निम्नलिखित समुच्चय परिमित (finite) है या अपरिमित (infinite):
अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का समुच्चय।

मान लीजिए $A, B$ और $C$ तीन समुच्चय हैं। यदि $A \in B$ और $B \subset C$ है,तो क्या यह सत्य है कि $A \subset C$? यदि नहीं,तो एक उदाहरण दीजिए।

दिखाइए कि $A \cap B = A \cap C$ का अर्थ यह नहीं है कि $B = C$ हो।

यदि $y = 3[x] + 1 = 4[x - 1] - 10$ है,तो $[x + 2y]$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ $Greatest$ $Integer$ $Function$ है)

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