cot ^{-1}left[frac{sqrt{1-sin x}+sqrt{1+sin x | vedclass

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Question

(C) माना $y = \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{1+\sin x}}\right]$.कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का परिमेयकरण कर

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$\pi-\frac{x}{2}$

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(C) माना $y = \cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{1+\sin x}}\right]$.कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का परिमेयकरण करने पर:$\frac{(\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x})^2}{(1-\sin x)-(1+\sin x)} = \frac{1-\sin x + 1+\sin x + 2\sqrt{(1-\sin x)(1+\sin x)}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\sqrt{1-\sin^2 x}}{-2\sin x} = \frac{2 + 2\cos x}{-2\sin x} = -\frac{1+\cos x}{\sin x}$.अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$ और $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:$-\frac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = -\cot\frac{x}{2}$.अतः,$y = \cot^{-1}(-\cot\frac{x}{2})$.हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(-z) = \pi - \cot^{-1}(z)$,इसलिए $y = \pi - \cot^{-1}(\cot\frac{x}{2})$.दिया गया है कि $x \in (0, \frac{\pi}{4})$,इसलिए $\frac{x}{2} \in (0, \frac{\pi}{8})$,अतः $y = \pi - \frac{x}{2}$.

$\cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1-\sin x}-\sqrt{1+\sin x}}\right]$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ है।

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$\sin \left\{ {{\sin }^{ - 1}}\frac{1}{2} + {{\cos }^{ - 1}}\frac{1}{2} \right\} = $

$\tan ^{-1} x+2 \cot ^{-1} x=\frac{2 \pi}{3}$ का हल है

यदि $\sin ^{-1}\left(\frac{2 a}{1+a^2}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$ जहाँ $a, x \in(0,1)$,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+1 \cdot 2}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+2 \cdot 3}\right]+\cdots+\tan ^{-1}\left[\frac{1}{1+n(n+1)}\right]=\tan ^{-1}[x]$ है,तो $x=$

यदि $\cos^{-1} x - \cos^{-1} \frac{y}{2} = \alpha$ है,तो $4x^2 - 4xy \cos \alpha + y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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