मान लीजिए कि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया है जो $R$ पर $a * b = \frac{a+b}{4}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $a, b \in R$ है। तो संक्रिया $*$ है:

हम सभी $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूहों के समुच्चय पर एक द्विआधारी संबंध $\sim$ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं: $A \sim B$ यदि और केवल यदि ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह $P$ और $Q$ मौजूद हैं कि $B = P A Q^{-1}$। यह द्विआधारी संबंध $\sim$ है

एक अरिक्त समुच्चय $X$ के घात समुच्चय $P(X)$ में,एक द्विआधारी संक्रिया $*$ को $A * B = A \cup B, \forall A, B \in P(X)$ द्वारा परिभाषित किया गया है। $*$ के अंतर्गत,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

द्वि-संक्रियाओं $^*: R \times R \rightarrow R$ और $o: R \times R \rightarrow R$ पर विचार करें,जो $a \,^*\, b = |a-b|$ और $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ के रूप में परिभाषित हैं। सिद्ध कीजिए कि $^*$ क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है,और $o$ साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$। [यदि ऐसा है,तो हम कहते हैं कि संक्रिया $^*$ संक्रिया $o$ पर वितरित होती है]। क्या $o$,$^*$ पर वितरित होता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

मान लीजिए कि $^*$ पर $N$ में एक द्विआधारी संक्रिया $a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा दी गई है। क्या $^*$ क्रमविनिमेय है?

एक समूह $(G, *)$ में,$G$ के किसी अवयव $a$ के लिए,यदि $a^{2}=e$ है,जहाँ $e$ तत्समक अवयव है,तो