एक समूह $(G, *)$ में $10$ अवयव हैं। $G$ के अवयवों की न्यूनतम संख्या,जो स्वयं के प्रतिलोम हैं,है

मान लीजिए कि $P$ एक दिए गए समुच्चय $X$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है। दर्शाइए कि $(A, B) \rightarrow A \cup B$ द्वारा परिभाषित $\cup: P \times P \rightarrow P$ और $(A, B) \rightarrow A \cap B$ द्वारा परिभाषित $\cap: P \times P \rightarrow P$ समुच्चय $P$ पर द्विआधारी संक्रियाएं हैं।

मान लीजिए कि $^*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a * b = (a - b)^2$ द्वारा परिभाषित है। निर्धारित करें कि क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय और साहचर्य है।

नीचे परिभाषित प्रत्येक द्वि-आधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Q$ पर,$a ^* b = \frac{ab}{2}$ परिभाषित करें।

समुच्चय $\{-1, 0, 1\}$ एक गुणात्मक समूह (multiplicative group) नहीं है,क्योंकि इसमें किस नियम का पालन नहीं होता है?

क्या समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा परिभाषित $^*$ एक द्विआधारी संक्रिया है? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।