मान लीजिए f(x) = begin{cases} e^{x-1}; x

Question

(D) दिया गया है कि $x < 0$ के लिए $f(x) = e^{x-1}$ और $x \ge 0$ के लिए $f(x) = x^2 - 5x + 6$ है। $x = 0$ पर,$f(0^-) = e^{-1} \approx 0.368$ और $f(0^+)

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$4$

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(D) दिया गया है कि $x $x = 0$ पर,$f(0^-) = e^{-1} \approx 0.368$ और $f(0^+) = 0^2 - 5(0) + 6 = 6$ है। चूँकि $f(0^-) 
eq f(0^+)$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर असंतत है। अब,$g(x) = f(|x|) + |f(x)|$ है। $x $x \ge 0$ के लिए,$g(x) = f(x) + |f(x)|$ है। यदि $f(x) \ge 0$ (अर्थात $x \in [0, 2] \cup [3, \infty)$),तो $g(x) = 2f(x) = 2(x^2 - 5x + 6)$ है। यदि $f(x) सांतत्य की जाँच: $x = 0$ पर,$g(0^-) = 0^2 + 5(0) + 6 + e^{-1} = 6 + e^{-1}$ और $g(0^+) = 2(6) = 12$ है। चूँकि $6 + e^{-1} 
eq 12$,इसलिए $g(x)$,$x = 0$ पर असंतत है। अतः,$\alpha = 1$ है। अवकलनीयता की जाँच: $g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है (असंतत होने के कारण)। $x > 0$ के लिए,$g(x)$ को $x \in [0, 2] \cup [3, \infty)$ के लिए $2(x^2 - 5x + 6)$ और $x \in (2, 3)$ के लिए $0$ के रूप में परिभाषित किया गया है। $x = 2$ पर,$g(2^-) = 2(4 - 10 + 6) = 0$ और $g(2^+) = 0$ है। $g'(2^-) = 2(2x - 5)|_{x=2} = -2$,जबकि $g'(2^+) = 0$ है। अतः $x = 2$ पर अवकलनीय नहीं है। $x = 3$ पर,$g(3^-) = 0$ और $g(3^+) = 2(9 - 15 + 6) = 0$ है। $g'(3^-) = 0$,जबकि $g'(3^+) = 2(2x - 5)|_{x=3} = 2$ है। अतः $x = 3$ पर अवकलनीय नहीं है। इस प्रकार,$g(x)$,$x = 0, 2, 3$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः $\beta = 3$ है। इसलिए,$\alpha + \beta = 1 + 3 = 4$ है।

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$f(x) = \begin{cases} \max(4 - x^2, 1 + x^2), & -2 < x < 0 \\ \min(4 - x^2, 1 + x^2), & 0 < x < 2 \end{cases}$
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