मान लीजिए 2^{1-a} + 2^{1+a},f(a),3^a + 3^{-a} | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $2^{1-a} + 2^{1+a}$,$f(a)$,और $3^a + 3^{-a}$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$ है।$AM$-$GM$ असम

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$\frac{1}{4}\log_e\left(\frac{4}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $2^{1-a} + 2^{1+a}$,$f(a)$,और $3^a + 3^{-a}$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2f(a) = (2^{1-a} + 2^{1+a}) + (3^a + 3^{-a})$ है।$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करते हुए,$2^{1-a} + 2^{1+a} = 2(2^{-a} + 2^a) \geq 2(2) = 4$ और $3^a + 3^{-a} \geq 2$ है। दोनों $a=0$ पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं।अतः,$f(a)$ का न्यूनतम मान $\alpha = \frac{1}{2}(4 + 2) = 3$ है।समाकल $I = \int_{\log_e(2)}^{\log_e(3)} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}} = \int_{\log_e(2)}^{\log_e(3)} \frac{e^{2x} dx}{e^{4x} - 1}$ हो जाता है।मान लीजिए $t = e^{2x}$,तो $dt = 2e^{2x} dx$,इसलिए $e^{2x} dx = \frac{dt}{2}$ है।जब $x = \log_e(2)$,तब $t = e^{2\log_e(2)} = 4$ है। जब $x = \log_e(3)$,तब $t = e^{2\log_e(3)} = 9$ है।$I = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{dt}{t^2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} [\log_e|\frac{t-1}{t+1}|]_{4}^{9} = \frac{1}{4} [\log_e(\frac{8}{10}) - \log_e(\frac{3}{5})] = \frac{1}{4} \log_e(\frac{8/10}{3/5}) = \frac{1}{4} \log_e(\frac{4}{3})$.

मान लीजिए $2^{1-a} + 2^{1+a}$,$f(a)$,$3^a + 3^{-a}$ $A$.$P$. में हैं और $\alpha$ $f(a)$ का न्यूनतम मान है। तो समाकल $\int_{\log_e(\alpha-1)}^{\log_e(\alpha)} \frac{dx}{e^{2x} - e^{-2x}}$ का मान है:

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निश्चित समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{0}^{1} \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
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