मान लीजिए कि y = y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ है।चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dy}{y^2-y+1} = \int (1+x^2) dx$ प्राप्त होता है।हर में

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$\sqrt{3}	an \left(\frac{11\sqrt{3}}{12}ight)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ है।चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dy}{y^2-y+1} = \int (1+x^2) dx$ प्राप्त होता है।हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2-y+1 = (y-1/2)^2 + 3/4$.अतः,$\int \frac{dy}{(y-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = x + \frac{x^3}{3} + C$.सूत्र $\int \frac{du}{u^2+a^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{u}{a})$ का उपयोग करने पर,$\frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}ight) = x + \frac{x^3}{3} + C$ प्राप्त होता है।चूँकि $y(0) = 1/2$ दिया गया है,$\frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(0) = 0 + 0 + C$,जिसका अर्थ है $C = 0$.अतः,$\frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left(\frac{2y-1}{\sqrt{3}}ight) = x + \frac{x^3}{3}$.$x = 1$ पर,$\frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}ight) = 1 + 1/3 = 4/3$.$	an^{-1} \left(\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}}ight) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.इसलिए,$\frac{2y(1)-1}{\sqrt{3}} = 	an \left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight)$,जिससे $2y(1)-1 = \sqrt{3} 	an \left(\frac{2}{\sqrt{3}}ight)$ प्राप्त होता है।

मान लीजिए कि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (1+x^2)(1-y+y^2)$ का हल है,जहाँ $y(0) = \frac{1}{2}$ है। तो $(2y(1) - 1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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