वह बिंदु,जहाँ फलन $f(x) = \max\{6x, 2+3x^2\} + |x-1| |\cos(x^2 - 1/4)|, x \in (-\pi, \pi)$,अवकलनीय नहीं है,उनकी संख्या ———— है।

माना $f: R \to R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $m$ में द्विघात समीकरण $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ के प्रत्येक $x \in R$ के लिए दो समान मूल हैं। यदि $f(0)=1$,$f^{\prime}(0)=2$ और $(\alpha, \beta)$ वह सबसे बड़ा अंतराल है जिसमें फलन $g(x) = f(\log_{e}x-x)$ वर्धमान है,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)$ और $S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$ है। यदि $4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta$ है,तो $f(\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जो $f(x) = \begin{cases} \max_{t \leq x} \{t^3 - 3t\} & x \leq 2 \\ x^2 + 2x - 6 & 2 < x < 3 \\ [x-3] + 9 & 3 \leq x \leq 5 \\ 2x + 1 & x > 5 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $[t]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $t$ से कम या उसके बराबर है। मान लीजिए $m$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f$ अवकलनीय नहीं है और $I = \int_{-2}^{2} f(x) dx$ है। तो क्रमित युग्म $(m, I)$ बराबर है:

मान लीजिए $f(x) = ax^2 - b|x|$,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं। तो $x = 0$ पर,$f(x)$ के पास

मान लीजिए $y = f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$. तो निम्नलिखित में से कौन सा $y = f(x)$ के ग्राफ का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है?