मान लीजिए कि बिंदु P(0, -5, 0) का रेखा frac{x | vedclass

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Question

(A) $1$. बिंदु $P(0, -5, 0)$ और रेखा $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-2} = \lambda$ के लिए,लंबपाद $F_1$ $(2\lambda+1, \lambda, -2\lambd

Vedclass · Accepted Answer

$162$

Vedclass · Answer

(A) $1$. बिंदु $P(0, -5, 0)$ और रेखा $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-2} = \lambda$ के लिए,लंबपाद $F_1$ $(2\lambda+1, \lambda, -2\lambda-1)$ है। सदिश $\vec{PF_1} = (2\lambda+1, \lambda+5, -2\lambda-1)$ है। चूंकि $\vec{PF_1} \cdot (2, 1, -2) = 0$,हमें $2(2\lambda+1) + 1(\lambda+5) - 2(-2\lambda-1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $9\lambda + 9 = 0$ हो जाता है,इसलिए $\lambda = -1$। अतः $F_1 = (-1, -1, 1)$। प्रतिबिंब $R = 2F_1 - P = 2(-1, -1, 1) - (0, -5, 0) = (-2, 3, 2)$।
$2$. बिंदु $Q(0, -1/2, 0)$ और रेखा $L_2: \frac{x-1}{-1} = \frac{y+9}{4} = \frac{z+1}{1} = \mu$ के लिए,लंबपाद $F_2$ $(-\mu+1, 4\mu-9, \mu-1)$ है। सदिश $\vec{QF_2} = (-\mu+1, 4\mu-8.5, \mu-1)$ है। चूंकि $\vec{QF_2} \cdot (-1, 4, 1) = 0$,हमें $1(\mu-1) + 16\mu - 34 + \mu - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $18\mu - 36 = 0$ हो जाता है,इसलिए $\mu = 2$। अतः $F_2 = (-1, -1, 1)$। प्रतिबिंब $S = 2F_2 - Q = 2(-1, -1, 1) - (0, -0.5, 0) = (-2, -1.5, 2)$।
$3$. सदिश: $\vec{PQ} = (0, 4.5, 0)$ और $\vec{PS} = (-2, 3.5, 2)$।
$4$. समांतर चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल = $|\vec{PQ} 	imes \vec{PS}| = |(0, 4.5, 0) 	imes (-2, 3.5, 2)| = |(9, 0, 9)| = \sqrt{81 + 0 + 81} = \sqrt{162}$।
$5$. क्षेत्रफल का वर्ग = $162$।

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रेखाओं $\overline{r} = (4\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$ और $\overline{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाओं $\frac{x-\lambda}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $\frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{13}{\sqrt{29}}$ है,तो $\lambda$ का एक मान है:

बिंदु $(1, 2, 3)$ से रेखा $\frac{x - 6}{3} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 7}{-2}$ पर डाले गए लंब की लंबाई है

बिंदु $(1, 2, 3)$ से रेखा $\frac{x - 6}{3} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 7}{-2}$ पर खींचे गए लंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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