JEE Main 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) વાયુના અણુની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર: $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ છે કે $H_{2}$ ની $rms$ ઝડપ એ $N_{2}$ ની $rms$ ઝડપ જેટલી છે:
$V_{rms(H_{2})} = V_{rms(N_{2})}$
$\sqrt{\frac{3RT_{H_{2}}}{M_{H_{2}}}} = \sqrt{\frac{3RT_{N_{2}}}{M_{N_{2}}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સામાન્ય પદો $(3R)$ દૂર કરતા:
$\frac{T_{H_{2}}}{M_{H_{2}}} = \frac{T_{N_{2}}}{M_{N_{2}}}$
અહીં $T_{N_{2}} = 300^{\circ}C = 300 + 273 = 573 \ K$,$M_{N_{2}} = 28 \ g/mol$,અને $M_{H_{2}} = 2 \ g/mol$ છે:
$\frac{T_{H_{2}}}{2} = \frac{573}{28}$
$T_{H_{2}} = \frac{573 \times 2}{28} = \frac{573}{14} \approx 40.928 \ K$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,જવાબ $41 \ K$ મળે છે.

(C) અથડામણ દરમિયાન ધરી (pivot) પર લાગતું આઘાતી બળ શૂન્ય હોવાથી,ધરીને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m v L$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = I_{total} \omega$,જ્યાં $I_{total} = I_{rod} + I_{particle} = \frac{M L^2}{3} + m L^2$.
$L_i = L_f$ લેતા:
$m v L = \left( \frac{M L^2}{3} + m L^2 \right) \omega$
આપેલ કિંમતો $(M = 0.9\, kg, m = 0.1\, kg, L = 1\, m, v = 80\, m/s)$ મૂકતા:
$0.1 \times 80 \times 1 = \left( \frac{0.9 \times 1^2}{3} + 0.1 \times 1^2 \right) \omega$
$8 = (0.3 + 0.1) \omega$
$8 = 0.4 \omega$
$\omega = \frac{8}{0.4} = 20\, rad/s$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 2\, kg$,પાવર $P = 1\, J/s$,સમય $t = 9\, s$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
પાવરની વ્યાખ્યા મુજબ $P = F \cdot v = (m \cdot a) \cdot v = m \cdot \frac{dv}{dt} \cdot v$.
પદોને ગોઠવતા: $m \cdot v \cdot dv = P \cdot dt$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા (સ્થિર સ્થિતિમાંથી,$t=0$ સમયે $v=0$): $\int_{0}^{v} m \cdot v \cdot dv = \int_{0}^{t} P \cdot dt$.
$m \cdot \frac{v^2}{2} = P \cdot t \Rightarrow v^2 = \frac{2Pt}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2Pt}{m}}$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot t^{1/2}$.
અંતર $x$ શોધવા માટે સંકલન કરતા: $\int_{0}^{x} dx = \sqrt{\frac{2P}{m}} \int_{0}^{t} t^{1/2} dt$.
$x = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} = \sqrt{\frac{2P}{m}} \cdot \frac{2}{3} \cdot t^{3/2}$.
કિંમતો $m = 2$,$P = 1$,$t = 9$ મૂકતા: $x = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2}} \cdot \frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} = 1 \cdot \frac{2}{3} \cdot (3^2)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\, m$.

(A) બિંદુ $B$ પરની પ્રથમ સ્થિતિમાં,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે. તેથી,જમીન સાથેનો ખૂણો $90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ થશે.
$\tan 45^{\circ} = \frac{h_{1}}{d} \Rightarrow 1 = \frac{h_{1}}{d} \Rightarrow h_{1} = d$.
જ્યારે ફુગ્ગો $h_{1} + h_{2}$ ઊંચાઈ પર હોય,ત્યારે છોકરી બિંદુ $C$ પર છે. $A$ થી $C$ નું અંતર $d + 2.464d = 3.464d$ છે. શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી જમીન સાથેનો ખૂણો $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
$\tan 30^{\circ} = \frac{h_{1} + h_{2}}{3.464d}$.
આપેલ છે કે $\tan 30^{\circ} = 0.5774$,તેથી $0.5774 = \frac{d + h_{2}}{3.464d}$.
$d + h_{2} = 0.5774 \times 3.464d \approx 2d$.
$h_{2} = 2d - d = d$.

(C) રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં,બે ક્રમિક અનુનાદ સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઇના અડધા ભાગ જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2} = l_2 - l_1$.
આપેલ છે $l_1 = 17.0 \, cm$ અને $l_2 = 24.5 \, cm$.
$\frac{\lambda}{2} = 24.5 \, cm - 17.0 \, cm = 7.5 \, cm$.
તેથી,$\lambda = 2 \times 7.5 \, cm = 15.0 \, cm = 0.15 \, m$.
વેગ $(v)$,આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
આપેલ છે $v = 330 \, m/s$,તેથી $330 = f \times 0.15$.
$f = \frac{330}{0.15} = \frac{33000}{15} = 2200 \, Hz$.

(C) $1$. સૌ પ્રથમ,$h$ ઊંચાઈ પર હેલિકોપ્ટરનો વેગ શોધો. તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી $g$ પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી $v^2 = u^2 + 2as \Rightarrow v^2 = 0 + 2gh \Rightarrow v = \sqrt{2gh}$.
$2$. જ્યારે પેકેટ છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ ઉપરની તરફ $u = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
$3$. પેકેટ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે અને પછી જમીન પર પડે છે. પેકેટ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = \frac{u^2}{2g} = \frac{2gh}{2g} = h$ છે.
$4$. જમીનથી પેકેટની કુલ ઊંચાઈ $H_{total} = h + h = 2h$ છે.
$5$. નીચેની તરફની ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા (ઉપરની દિશા ધન લેતા,$s = -h$,$u = \sqrt{2gh}$,$a = -g$):
$-h = \sqrt{2gh} \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$
$\frac{1}{2}gt^2 - \sqrt{2gh} \cdot t - h = 0$
$2/g$ વડે ગુણતા: $t^2 - 2\sqrt{\frac{2h}{g}} \cdot t - \frac{2h}{g} = 0$.
$6$. દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $t$ શોધતા:
$t = \frac{2\sqrt{2h/g} + \sqrt{8h/g + 8h/g}}{2} = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \sqrt{\frac{4h}{g}} = (\sqrt{2} + 2) \sqrt{\frac{h}{g}} \approx (1.414 + 2) \sqrt{\frac{h}{g}} = 3.414 \sqrt{\frac{h}{g}}$.

(B) કવચ પાણીની સપાટીની બરાબર નીચે તરે તે માટે,કવચનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોવું જોઈએ.
કવચનું વજન = $V_{material} \times \rho_{material} \times g = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho_{material} g$.
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન = $V_{total} \times \rho_{water} \times g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{water} g$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho_{material} g = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{water} g$.
$(R^3 - r^3) \rho_{material} = R^3 \rho_{water}$.
આપેલ છે કે વિશિષ્ટ ઘનતા $\frac{\rho_{material}}{\rho_{water}} = \frac{27}{8}$.
તેથી,$(R^3 - r^3) \frac{27}{8} = R^3$.
$R^3 - r^3 = \frac{8}{27} R^3$.
$r^3 = R^3 - \frac{8}{27} R^3 = \frac{19}{27} R^3$.
$r = R \left( \frac{19}{27} \right)^{1/3} = \frac{R}{3} (19)^{1/3}$.
કારણ કે $(19)^{1/3} \approx 2.668$,તેથી $r \approx \frac{2.668}{3} R \approx 0.889 R$.

(C) $1$. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે: $\Delta U = nC_v \Delta T$. બધી પ્રક્રિયાઓ બિંદુ $A$ (તાપમાન $T_2$) થી શરૂ થાય છે અને અલગ-અલગ બિંદુઓ $B, C, D$ પર સમાપ્ત થાય છે જે અલગ-અલગ આઈસોથર્મ પર છે. બિંદુ $B$ એ $T_1$ આઈસોથર્મ પર છે. બિંદુઓ $C$ અને $D$ એ $T_1$ કરતા ઊંચા આઈસોથર્મ પર છે. તેથી,અંતિમ તાપમાન $T_B = T_1$ અને $T_C = T_D > T_1$ છે. આમ,$\Delta U_{AB} < \Delta U_{AC} = \Delta U_{AD}$.
$2$. થયેલ કાર્ય $W$ એ $P-V$ વક્રની નીચેનો વિસ્તાર છે. $A \rightarrow B$ માટે,કદ વધે છે,તેથી $W_{AB} > 0$. $A \rightarrow C$ માટે,તે આઈસોકોરિક પ્રક્રિયા (ઊભી રેખા) છે,તેથી $W_{AC} = 0$. $A \rightarrow D$ માટે,કદ ઘટે છે,તેથી $W_{AD} < 0$.
$3$. આ સરખામણી કરતા,આપણને $E_{AB} < E_{AC} = E_{AD}$ અને $W_{AB} > 0, W_{AC} = 0, W_{AD} < 0$ મળે છે.

(B) ધ્વનિ તરંગમાં દબાણ કંપવિસ્તાર $\Delta p$ અને સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર $s$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta p = B k s$ છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે અને $k$ એ તરંગ સંખ્યા છે.
કારણ કે $B = \rho v^2$ અને $k = \frac{\omega}{v} = \frac{2 \pi f}{v}$,તેથી $\Delta p = (\rho v^2) \times (\frac{2 \pi f}{v}) \times s$.
ગુણાકારનો અચળાંક $1$ લેતા ($2 \pi$ ને અવગણતા),સંબંધ $\Delta p = \rho v \omega s$ બને છે.
$s$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$s = \frac{\Delta p}{\rho v \omega} = \frac{\Delta p}{\rho v (2 \pi f)}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $s \approx \frac{10}{1 \times 300 \times 2 \pi \times 1000} \, m$.
સૂચના મુજબ $2 \pi$ ના અવયવને અવગણતા: $s \approx \frac{10}{300 \times 1000} \, m = \frac{1}{30000} \, m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $s \approx \frac{1}{30000} \times 1000 \, mm = \frac{1}{30} \, mm \approx 0.033 \, mm = \frac{3}{100} \, mm$.

(B) ગોળીની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
અહીં $m = 5\, g$ અને $v = 210\, m/s = 21000\, cm/s$ આપેલ છે.
$K = \frac{1}{2} \times 5 \times (21000)^2 = 1.1025 \times 10^9\, ergs$.
આ ઊર્જાનો અડધો ભાગ ગોળીમાં ઉષ્મા તરીકે રૂપાંતરિત થાય છે:
$Q = \frac{1}{2} K = \frac{1}{2} \times 1.1025 \times 10^9 = 5.5125 \times 10^8\, ergs$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $Q = m s \Delta T$,જ્યાં $s = 0.030\, cal/(g \cdot ^{\circ}C) = 0.030 \times 4.2 \times 10^7\, ergs/(g \cdot ^{\circ}C) = 1.26 \times 10^6\, ergs/(g \cdot ^{\circ}C)$.
કિંમતો મૂકતા:
$5.5125 \times 10^8 = 5 \times (1.26 \times 10^6) \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{5.5125 \times 10^8}{6.3 \times 10^6} = \frac{551.25}{6.3} = 87.5^{\circ}C$.

(C) દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h = 2\, cm$,$\rho = 13.6\, g/cm^{3}$,અને $g = 980\, cm/s^{2}$.
$P = 2 \times 13.6 \times 980 = 26656\, dyne/cm^{2}$.
કદ $V = 4\, cm^{3}$.
એકપરમાણ્વિક વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} kT = 4 \times 10^{-14}\, erg$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = NkT$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે.
આથી $N = \frac{PV}{kT}$.
અહીં $kT = \frac{2}{3} E = \frac{2}{3} \times 4 \times 10^{-14} = \frac{8}{3} \times 10^{-14}\, erg$.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{26656 \times 4}{\frac{8}{3} \times 10^{-14}} = \frac{106624 \times 3}{8 \times 10^{-14}} = 13328 \times 3 \times 10^{14} = 39984 \times 10^{14} \approx 4.0 \times 10^{18}$.

(B) આપેલ સંબંધ $z = \frac{a^2 b^{2/3}}{c^{1/2} d^3}$ છે.
$z$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર: $\frac{\Delta z}{z} = 2 \frac{\Delta a}{a} + \frac{2}{3} \frac{\Delta b}{b} + \frac{1}{2} \frac{\Delta c}{c} + 3 \frac{\Delta d}{d}$ છે.
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ: $\frac{\Delta a}{a} \times 100 = 2\%$,$\frac{\Delta b}{b} \times 100 = 1.5\%$,$\frac{\Delta c}{c} \times 100 = 4\%$,અને $\frac{\Delta d}{d} \times 100 = 2.5\%$.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 2(2\%) + \frac{2}{3}(1.5\%) + \frac{1}{2}(4\%) + 3(2.5\%)$.
$\frac{\Delta z}{z} \times 100 = 4\% + 1\% + 2\% + 7.5\% = 14.5\%$.
આમ,$z$ માં થતી પ્રતિશત ત્રુટિ $14.5\%$ છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$I\omega + 3I \times 0 = (I + 3I)\omega'$
$I\omega = 4I\omega'$
$\omega' = \frac{\omega}{4}$
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $(KE)_i = \frac{1}{2}I\omega^2$
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $(KE)_f = \frac{1}{2}(I + 3I)(\omega')^2 = \frac{1}{2}(4I)\left(\frac{\omega}{4}\right)^2 = 2I \times \frac{\omega^2}{16} = \frac{I\omega^2}{8}$
ગતિ ઊર્જામાં ઘટાડો $\Delta KE = (KE)_i - (KE)_f = \frac{1}{2}I\omega^2 - \frac{1}{8}I\omega^2 = \frac{3}{8}I\omega^2$
ગતિ ઊર્જામાં આંશિક ઘટાડો = $\frac{\Delta KE}{(KE)_i} = \frac{\frac{3}{8}I\omega^2}{\frac{1}{2}I\omega^2} = \frac{3}{8} \times 2 = \frac{3}{4}$

(D) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_{h} = \frac{GM}{(R+h)^{2}}$ છે.
અહીં $h = \frac{R}{2}$ આપેલ છે,તેથી $g_{1} = \frac{GM}{(R + R/2)^{2}} = \frac{GM}{(3R/2)^{2}} = \frac{4GM}{9R^{2}} \ldots(1)$
$d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_{d} = g(1 - \frac{d}{R}) = \frac{GM}{R^{2}}(1 - \frac{d}{R}) = \frac{GM(R-d)}{R^{3}} \ldots(2)$
$g_{1} = g_{d}$ હોવાથી,સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{4GM}{9R^{2}} = \frac{GM(R-d)}{R^{3}}$
$\frac{4}{9} = \frac{R-d}{R}$
$\frac{4}{9} = 1 - \frac{d}{R}$
$\frac{d}{R} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

(B) બિંદુ $\vec{r}_2$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = (\vec{r}_1 - \vec{r}_2) \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,પરિભ્રમણ બિંદુની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશની ગણતરી કરો:
$\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (4\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(3) - (-2)(2)) - \hat{j}(3(3) - (-2)(1)) + \hat{k}(3(2) - 1(1))$
$= \hat{i}(3 + 4) - \hat{j}(9 + 2) + \hat{k}(6 - 1) = 7\hat{i} - 11\hat{j} + 5\hat{k}$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = \sqrt{7^2 + (-11)^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 121 + 25} = \sqrt{195}$.
આને $\sqrt{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 195$ મળે છે.

(B) નાના ગ્રહ સુધી પહોંચવા માટે,પદાર્થે બે ગ્રહો વચ્ચેના શૂન્ય ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર (તટસ્થ બિંદુ) ને પાર કરવું આવશ્યક છે.
ધારો કે નાના ગ્રહના કેન્દ્રથી તટસ્થ બિંદુનું અંતર $x$ છે.
આ બિંદુએ બંને ગ્રહો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોને સરખાવતા:
$\frac{GM}{x^2} = \frac{G(16M)}{(10a - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{4}{10a - x} \implies 10a - x = 4x \implies x = 2a$.
હવે,મોટા ગ્રહની સપાટી અને તટસ્થ બિંદુ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ કરતા.
મોટા ગ્રહની સપાટી પરનું પોટેન્શિયલ (ત્રિજ્યા $2a$,દળ $16M$) $V_L = -\frac{G(16M)}{2a} - \frac{GM}{8a} = -\frac{8GM}{a} - \frac{GM}{8a} = -\frac{65GM}{8a}$ છે.
તટસ્થ બિંદુ પરનું પોટેન્શિયલ (મોટા ગ્રહથી $8a$ અંતરે,નાના ગ્રહથી $2a$ અંતરે) $V_P = -\frac{G(16M)}{8a} - \frac{GM}{2a} = -\frac{2GM}{a} - \frac{GM}{2a} = -\frac{5GM}{2a}$ છે.
$KE_i + PE_i = KE_f + PE_f$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં તટસ્થ બિંદુ પર $KE_f = 0$ છે:
$\frac{1}{2}mv^2 + m V_L = 0 + m V_P$
$\frac{1}{2}v^2 = V_P - V_L = -\frac{5GM}{2a} - (-\frac{65GM}{8a}) = \frac{-20GM + 65GM}{8a} = \frac{45GM}{8a}$.
$v^2 = \frac{45GM}{4a} \implies v = \sqrt{\frac{45GM}{4a}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{5GM}{a}}$.

(A) સળિયા સમાન છે,એટલે કે તેમની લંબાઈ $(\ell)$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ સમાન છે.
સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બધા સળિયા માટે ઉષ્મા પ્રવાહ સમાન હોય છે.
ધારો કે ઉષ્મા પ્રવાહ $H = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$ છે.
$H = \frac{K_{1} A (100 - 70)}{\ell} = \frac{K_{2} A (70 - 20)}{\ell} = \frac{K_{3} A (20 - 0)}{\ell}$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$30 K_{1} = 50 K_{2} = 20 K_{3}$
$10$ વડે ભાગતા:
$3 K_{1} = 5 K_{2} = 2 K_{3}$
$3 K_{1} = 2 K_{3}$ પરથી,આપણને $\frac{K_{1}}{K_{3}} = \frac{2}{3}$ અથવા $K_{1}: K_{3} = 2: 3$ મળે છે.
$5 K_{2} = 2 K_{3}$ પરથી,આપણને $\frac{K_{2}}{K_{3}} = \frac{2}{5}$ અથવા $K_{2}: K_{3} = 2: 5$ મળે છે.
આમ,સાચો સંબંધ $K_{1}: K_{3} = 2: 3$ અને $K_{2}: K_{3} = 2: 5$ છે.

(C) આપેલ બળ $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a} = k(v_y \hat{i} + v_x \hat{j})$.
તેથી,$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{k}{m} v_y$ અને $a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{k}{m} v_x$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{dv_y}{dv_x} = \frac{v_x}{v_y} \implies v_y dv_y = v_x dv_x$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int v_y dv_y = \int v_x dv_x \implies v_y^2 = v_x^2 + C \implies v_y^2 - v_x^2 = \text{અચળ}$.
હવે,$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{a}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{a} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times \frac{k}{m}(v_y \hat{i} + v_x \hat{j})$
$= \frac{k}{m} [v_x^2 (\hat{i} \times \hat{j}) + v_y^2 (\hat{j} \times \hat{i})]$
$= \frac{k}{m} [v_x^2 \hat{k} - v_y^2 \hat{k}] = \frac{k}{m} (v_x^2 - v_y^2) \hat{k}$.
જેમ કે $v_y^2 - v_x^2$ અચળ છે,તેથી $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{a}$ સમય સાથે અચળ રહે છે.

(D) જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ મળે છે: $I = \int r^{2} dm = \int_{0}^{L} x^{2} \lambda(x) dx$.
$\lambda(x) = \lambda_{0}(1 + \frac{x}{L})$ મૂકતા:
$I = \int_{0}^{L} x^{2} \lambda_{0}(1 + \frac{x}{L}) dx = \lambda_{0} \int_{0}^{L} (x^{2} + \frac{x^{3}}{L}) dx$
$I = \lambda_{0} [\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4L}]_{0}^{L} = \lambda_{0} (\frac{L^{3}}{3} + \frac{L^{3}}{4}) = \frac{7}{12} \lambda_{0} L^{3} \quad ...(i)$
હવે,કુલ દળ $M$ ની ગણતરી કરીએ:
$M = \int_{0}^{L} \lambda(x) dx = \int_{0}^{L} \lambda_{0}(1 + \frac{x}{L}) dx = \lambda_{0} [x + \frac{x^{2}}{2L}]_{0}^{L} = \lambda_{0} (L + \frac{L}{2}) = \frac{3}{2} \lambda_{0} L$
આમ,$\lambda_{0} L = \frac{2}{3} M \quad ...(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$I = \frac{7}{12} (\lambda_{0} L) L^{2} = \frac{7}{12} (\frac{2}{3} M) L^{2} = \frac{14}{36} M L^{2} = \frac{7}{18} M L^{2}$
$I \approx 0.388 M L^{2}$.

(C) $1$. આપેલા અવલોકનો $5.50\, mm, 5.55\, mm, 5.45\, mm,$ અને $5.65\, mm$ છે. આ તમામ અવલોકનોમાં $3$ સાર્થક અંકો છે.
$2$. સરેરાશ મૂલ્ય $5.5375\, mm$ છે. સાર્થક અંકોના નિયમો મુજબ,પરિણામને માપેલા મૂલ્યો જેટલા જ સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરવું જોઈએ,જે $3$ છે. આમ,$5.5375$ ને $5.54\, mm$ તરીકે રાઉન્ડ ઓફ કરવામાં આવે છે.
$3$. પ્રમાણિત વિચલન $0.07395\, mm$ છે. અનિશ્ચિતતા (ભૂલ) સામાન્ય રીતે એક અથવા બે સાર્થક અંકોમાં દર્શાવવી જોઈએ. $0.07395$ ને એક સાર્થક અંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા $0.07\, mm$ મળે છે.
$4$. તેથી,વ્યાસને $(5.54 \pm 0.07)\, mm$ તરીકે નોંધવો જોઈએ.

(B) આપેલ ગતિનું સમીકરણ $y = y_{0} \sin^{2} \omega t$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^{2} \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = \frac{y_{0}}{2} (1 - \cos 2\omega t)$
$y - \frac{y_{0}}{2} = -\frac{y_{0}}{2} \cos 2\omega t$
આ સમીકરણ સંતુલન સ્થિતિ $y_{eq} = \frac{y_{0}}{2}$ ની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે,જેનો કંપવિસ્તાર $A = \frac{y_{0}}{2}$ છે.
ઉર્ધ્વ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,સંતુલન સ્થિતિ એ સ્પ્રિંગની ખેંચાયા વગરની સ્થિતિથી $y_{eq} = \frac{mg}{k}$ અંતરે હોય છે.
તેથી,$\frac{y_{0}}{2} = \frac{mg}{k}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{k}{m} = \frac{2g}{y_{0}}$.
દોલનની કોણીય આવૃત્તિ $\Omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમીકરણ $y = \frac{y_{0}}{2} - \frac{y_{0}}{2} \cos 2\omega t$ પરથી,ગતિની કોણીય આવૃત્તિ $2\omega$ છે.
આમ,$2\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{2g}{y_{0}}}$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\omega = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2g}{y_{0}}} = \sqrt{\frac{2g}{4y_{0}}} = \sqrt{\frac{g}{2y_{0}}}$.

(A) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
અચળ દબાણ $P$ માટે,$\lambda \propto T$ થાય.
અણુની સરેરાશ ઝડપ $v_{avg}$ નું સૂત્ર $v_{avg} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}$ છે,તેથી $v_{avg} \propto \sqrt{T}$ થાય.
ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય $t_0$ ને $t_0 = \frac{\lambda}{v_{avg}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ચલ પ્રમાણતા મૂકતા: $t_0 \propto \frac{T}{\sqrt{T}} = \sqrt{T}$.
તેથી,ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય $T$ સાથે $\sqrt{T}$ મુજબ બદલાય છે.

(B) સમક્ષિતિજ પાઈપ માટે,ઊંચાઈ $h$ અચળ છે,તેથી $h_1 = h_2$. બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
અહીં $P_1 = P$,$v_1 = v$,$P_2 = \frac{P}{2}$,અને $v_2 = V$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \frac{P}{2} + \frac{1}{2}\rho V^2$
બંને બાજુથી $\frac{P}{2}$ બાદ કરતા:
$\frac{P}{2} + \frac{1}{2}\rho v^2 = \frac{1}{2}\rho V^2$
આખા સમીકરણને $\frac{2}{\rho}$ વડે ગુણતા:
$\frac{P}{\rho} + v^2 = V^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$V = \sqrt{\frac{P}{\rho} + v^2}$

(D) કણ $A$ નો પ્રારંભિક વેગ: $\vec{u}_{1} = (\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) \, m/s$.
કણ $B$ નો પ્રારંભિક વેગ: $\vec{u}_{2} = 0$.
આપેલ છે કે $m_{1} = 2m_{2}$.
અથડામણ પછી કણ $A$ નો વેગ: $\vec{V}_{1} = (\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) \, m/s$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_{1} \vec{u}_{1} + m_{2} \vec{u}_{2} = m_{1} \vec{V}_{1} + m_{2} \vec{V}_{2}$
$2m_{2}(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) + 0 = 2m_{2}(\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) + m_{2} \vec{V}_{2}$
$m_{2}$ વડે ભાગતા:
$2(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}) = 2(\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) + \vec{V}_{2}$
$\vec{V}_{2} = 2(\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j} - \hat{i} - \sqrt{3} \hat{j}) = 2[(\sqrt{3}-1) \hat{i} + (1-\sqrt{3}) \hat{j}] = 2(\sqrt{3}-1) (\hat{i} - \hat{j})$.
હવે,$\vec{V}_{1}$ અને $\vec{V}_{2}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2}}{|\vec{V}_{1}| |\vec{V}_{2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{V}_{1} \cdot \vec{V}_{2} = (\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}) \cdot [2(\sqrt{3}-1) (\hat{i} - \hat{j})] = 2(\sqrt{3}-1) (1 - \sqrt{3}) = -2(\sqrt{3}-1)^{2}$.
$|\vec{V}_{1}| = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = 2$.
$|\vec{V}_{2}| = 2(\sqrt{3}-1) \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}} = 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$.
$\cos \theta = \frac{-2(\sqrt{3}-1)^{2}}{2 \cdot 2\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)} = \frac{-(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\cos 105^{\circ} = \cos(60^{\circ} + 45^{\circ}) = \cos 60^{\circ} \cos 45^{\circ} - \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$,તેથી $\theta = 105^{\circ}$.

(D) ધારો કે વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = -v_r \hat{j}$ છે અને કારનો વેગ $\vec{v}_m = v_m \hat{i}$ છે.
જ્યારે કાર $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,ત્યારે કારની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{r/m} = \vec{v}_r - \vec{v}_m = -v_r \hat{j} - v \hat{i}$ થાય છે.
સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{|v_r|}{|v_m|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 60^{\circ}$ અને $v_m = v$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \frac{v_r}{v} = \sqrt{3}$,એટલે કે $v_r = v\sqrt{3}$.
જ્યારે કારની ઝડપ વધીને $(1+\beta)v$ થાય છે,ત્યારે નવો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
તેથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{v_r}{(1+\beta)v} = 1$.
$v_r = v\sqrt{3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{v\sqrt{3}}{(1+\beta)v} = 1$.
$\sqrt{3} = 1 + \beta$.
$\beta = \sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$.
તેથી,$\beta$ નું મૂલ્ય $0.73$ ની નજીક છે.

(A) ચક્ર દીઠ થયેલ કાર્ય એ $P-V$ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે:
$W = \text{Area} = (2V_0 - V_0) \times (3P_0 - P_0) = V_0 \times 2P_0 = 2P_0V_0$.
પ્રક્રિયા $AB$ અને $BC$ દરમિયાન ઉષ્માનું શોષણ થાય છે:
પ્રક્રિયા $AB$ (સમકદ) માટે: $Q_{AB} = nC_V \Delta T = n \left( \frac{3R}{2} \right) \left( \frac{P_B V_A}{nR} - \frac{P_A V_A}{nR} \right) = \frac{3}{2} V_A (P_B - P_A) = \frac{3}{2} V_0 (3P_0 - P_0) = 3P_0V_0$.
પ્રક્રિયા $BC$ (સમદાબ) માટે: $Q_{BC} = nC_P \Delta T = n \left( \frac{5R}{2} \right) \left( \frac{P_B V_C}{nR} - \frac{P_B V_B}{nR} \right) = \frac{5}{2} P_B (V_C - V_B) = \frac{5}{2} (3P_0) (2V_0 - V_0) = \frac{15}{2} P_0V_0$.
કુલ શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_{\text{in}} = Q_{AB} + Q_{BC} = 3P_0V_0 + 7.5P_0V_0 = 10.5P_0V_0 = \frac{21}{2} P_0V_0$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_{\text{in}}} \times 100 = \frac{2P_0V_0}{(21/2)P_0V_0} \times 100 = \frac{4}{21} \times 100 \approx 19.04\%$.
આમ,કાર્યક્ષમતા $19\%$ ની નજીક છે.

(B) નક્કર અર્ધગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું તેના સપાટ પાયાના કેન્દ્રથી અંતર શોધવાનું સૂત્ર $X = \frac{3R}{8}$ છે,જ્યાં $R$ એ અર્ધગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે,$R = 8 \, cm$.
સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$X = \frac{3 \times 8}{8} \, cm$
$X = 3 \, cm$.
તેથી,$X$ નું મૂલ્ય $3$ છે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન તેની કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
સૌથી નજીકના બિંદુ (periapsis) અને સૌથી દૂરના બિંદુ (apoapsis) પર,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે.
તેથી,$L = m r_{\min} V_{\max} = m r_{\max} V_{\min}$.
આ સમીકરણ $r_{\min} V_{\max} = r_{\max} V_{\min} \quad \dots(i)$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે સૌથી દૂરના બિંદુ પરનો વેગ,સૌથી નજીકના બિંદુ પરના વેગ કરતા $6$ ગણો ઓછો છે,તેથી $V_{\min} = \frac{V_{\max}}{6}$,અથવા $\frac{V_{\min}}{V_{\max}} = \frac{1}{6}$.
આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{r_{\min}}{r_{\max}} = \frac{V_{\min}}{V_{\max}} = \frac{1}{6}$ મળે છે.
આમ,અંતરનો ગુણોત્તર $1:6$ છે.

(B) સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$LC = \frac{\text{પિચ}}{\text{વર્તુળાકાર સ્કેલ પરના વિભાગોની સંખ્યા}}$
આપેલ છે,$\text{પિચ} = 0.5\, mm$ અને $\text{વિભાગોની સંખ્યા} = 50$.
$LC = \frac{0.5\, mm}{50} = 0.01\, mm = 10\, \mu m$.
વર્તુળાકાર સ્કેલ પિચ સ્કેલના નિશાનથી $4$ વિભાગ આગળ હોવાથી (વર્તુળાકાર સ્કેલનું શૂન્ય સંદર્ભ રેખાની ઉપર છે),શૂન્ય ત્રુટિ ધન છે.
તેથી,શૂન્ય ત્રુટિનો પ્રકાર ધન છે અને લઘુત્તમ માપ $10\, \mu m$ છે.

(A) એક સ્થિતિસ્થાપક તારને સ્પ્રિંગ તરીકે ગણી શકાય,જેનો બળ અચળાંક $k = \frac{YA}{L}$ છે.
દળ-સ્પ્રિંગ તંત્ર માટે દોલનની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{YA/L}{m}}$
તેથી,આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે જે બિંદુએ જીવજંતુ લપસવાનું શરૂ કરે છે ત્યાં ત્રિજ્યા શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. આ બિંદુએ,સ્પર્શકની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે.
$mg \sin \theta = f_{max} = \mu N$
લંબબળ $N = mg \cos \theta$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$mg \sin \theta = \mu mg \cos \theta$
$\tan \theta = \mu = 0.75 = \frac{3}{4}$
અર્ધગોળાની ભૂમિતિ પરથી,તળિયેથી ઊંચાઈ $h$ નીચે મુજબ મળે છે:
$h = R - R \cos \theta = R(1 - \cos \theta)$
અહીં $\tan \theta = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos \theta = \frac{4}{5}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$h = 1 \times (1 - \frac{4}{5}) = 1 \times \frac{1}{5} = 0.2\, m$.

(A) સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે,$R = 0.1\, m$.
સેકન્ડ કાંટા માટે આવર્તકાળ $T = 60\, s$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ નીચે મુજબ મળે: $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} \approx 0.105\, rad/s$.
કાંટાના છેડાનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a$ એ $a = \omega^2 R$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = (0.105)^2 \times 0.1$.
$a \approx 0.011025 \times 0.1 = 0.0011025\, m/s^2$.
આને $1.1 \times 10^{-3}\, m/s^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સરેરાશ પ્રવેગ $10^{-3}$ ના ક્રમનો છે.

(A) ધારો કે $M$ દળ,$H$ ઊંચાઈ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક પોલો શંકુ છે. તેની ત્રાંસી ઊંચાઈ $L = \sqrt{R^2 + H^2}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો છે,તેથી $\tan \theta = R/H$.
અક્ષ પર શિરોબિંદુથી $y$ અંતરે એક પાતળી વર્તુળાકાર રીંગ લો,જેની ત્રાંસી ઊંચાઈ પર જાડાઈ $dy$ છે.
આ રીંગની ત્રિજ્યા $r = y \tan \theta$ છે.
રીંગની ત્રાંસી લંબાઈ $dl = dy / \cos \theta$ છે.
શંકુનું પૃષ્ઠફળ $A = \pi R L = \pi R \sqrt{R^2 + H^2}$ છે.
એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ $\sigma = M / A = M / (\pi R \sqrt{R^2 + H^2})$ છે.
રીંગનું ક્ષેત્રફળ $dA = 2 \pi r dl = 2 \pi (y \tan \theta) (dy / \cos \theta)$ છે.
રીંગનું દળ $dm = \sigma dA = \frac{M}{\pi R \sqrt{R^2 + H^2}} \cdot 2 \pi (y \tan \theta) \frac{dy}{\cos \theta} = \frac{2M}{R \sqrt{R^2 + H^2}} \cdot \frac{\tan \theta}{\cos \theta} y dy$.
કારણ કે $\tan \theta = R/H$ અને $\cos \theta = H/L = H/\sqrt{R^2 + H^2}$,તેથી $\frac{\tan \theta}{\cos \theta} = \frac{R/H}{H/L} = \frac{RL}{H^2} = \frac{R\sqrt{R^2+H^2}}{H^2}$.
આમ,$dm = \frac{2M}{R\sqrt{R^2+H^2}} \cdot \frac{R\sqrt{R^2+H^2}}{H^2} y dy = \frac{2M}{H^2} y dy$.
આ રીંગની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $dI = dm \cdot r^2 = (\frac{2M}{H^2} y dy) (y \tan \theta)^2 = \frac{2M}{H^2} \tan^2 \theta \cdot y^3 dy$.
$y=0$ થી $y=H$ સુધી સંકલન કરતા:
$I = \int_0^H \frac{2M}{H^2} (R/H)^2 y^3 dy = \frac{2MR^2}{H^4} \int_0^H y^3 dy = \frac{2MR^2}{H^4} [\frac{y^4}{4}]_0^H = \frac{2MR^2}{H^4} \cdot \frac{H^4}{4} = \frac{MR^2}{2}$.

(C) સ્થિતિઊર્જા $U(r) = -\frac{A}{r^6} + \frac{B}{r^{12}}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,બળ $F = -\frac{dU}{dr} = 0$ થાય.
વિકલન કરતા: $\frac{dU}{dr} = -A(-6r^{-7}) + B(-12r^{-13}) = \frac{6A}{r^7} - \frac{12B}{r^{13}}$.
$\frac{dU}{dr} = 0$ લેતા: $\frac{6A}{r^7} = \frac{12B}{r^{13}} \Rightarrow r^6 = \frac{12B}{6A} = \frac{2B}{A}$.
આમ,સંતુલન અંતર $r = \left(\frac{2B}{A}\right)^{1/6}$ મળે છે.
આ કિંમતને સ્થિતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$U = -\frac{A}{(2B/A)} + \frac{B}{(2B/A)^2} = -\frac{A^2}{2B} + \frac{B \cdot A^2}{4B^2} = -\frac{A^2}{2B} + \frac{A^2}{4B} = -\frac{A^2}{4B}$.

(C) ધારો કે ચોરસના ખૂણાઓ $(0,0)$,$(\ell, 0)$,$(\ell, \ell)$,અને $(0, \ell)$ પર છે. અક્ષ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $(0, \ell)$ તથા $(\ell, 0)$ ને જોડતા વિકર્ણને સમાંતર છે. આ વિકર્ણનું સમીકરણ $x + y = \ell$ છે. રેખા $x + y - \ell = 0$ થી બિંદુ $(x, y)$ નું લંબ અંતર $r = \frac{|x + y - \ell|}{\sqrt{2}}$ છે.
ચાર દળો માટે:
$1$. $(0,0)$ પર: $r_1 = \frac{|0 + 0 - \ell|}{\sqrt{2}} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$.
$2$. $(\ell, 0)$ પર: $r_2 = \frac{|\ell + 0 - \ell|}{\sqrt{2}} = 0$.
$3$. $(0, \ell)$ પર: $r_3 = \frac{|0 + \ell - \ell|}{\sqrt{2}} = 0$.
$4$. $(\ell, \ell)$ પર: $r_4 = \frac{|\ell + \ell - \ell|}{\sqrt{2}} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$.
અક્ષની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum mr_i^2 = m \left( \left(\frac{\ell}{\sqrt{2}}\right)^2 + 0^2 + 0^2 + \left(\frac{\ell}{\sqrt{2}}\right)^2 \right) = m \left( \frac{\ell^2}{2} + \frac{\ell^2}{2} \right) = m\ell^2$.
કોણીય વેગમાન $L = I\omega = m\ell^2\omega$. તેથી,ખૂટતી કિંમત $1$ છે.

(D) મુક્તિના અંશોની કુલ સંખ્યા $(f)$ એ સ્થાનાંતરિત અને ભ્રમણીય મુક્તિના અંશોનો સરવાળો છે: $f = 3 + 2 = 5$.
આદર્શ વાયુના એક મોલ માટે કુલ આંતરિક ઉર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} RT$ છે. $f = 5$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{5}{2} RT$ મળે છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ને મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$.
$\gamma$ ના સૂત્રમાં $f = 5$ મૂકતા,આપણને $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ મળે છે.

(D) અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f = f_{0} \left( \frac{v_{s}}{v_{s} - v \cos \theta} \right)$,જ્યાં $v_{s}$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે,$v$ એ સ્ત્રોતની ઝડપ છે,અને $\theta$ એ સ્ત્રોતના વેગ સદિશ અને સ્ત્રોતને અવલોકનકાર સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે સ્ત્રોત નજીકના બિંદુએ પહોંચે તે પહેલાં $(t < t_{0})$,સ્ત્રોત અવલોકનકારની નજીક આવી રહ્યો છે,તેથી $\theta$ લઘુકોણ છે,$\cos \theta > 0$,અને અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f > f_{0}$ છે. જેમ જેમ સ્ત્રોત નજીકના બિંદુ તરફ આગળ વધે છે,તેમ $\theta$ વધીને $90^{\circ}$ તરફ જાય છે,તેથી $\cos \theta$ ઘટે છે,અને $f$ ઘટીને $f_{0}$ તરફ જાય છે.
નજીકના બિંદુએ $(t = t_{0})$,$\theta = 90^{\circ}$,$\cos \theta = 0$,અને $f = f_{0}$ થાય છે.
જ્યારે સ્ત્રોત નજીકના બિંદુને પસાર કરે છે $(t > t_{0})$,ત્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી $\theta$ ગુરુકોણ છે,$\cos \theta < 0$,અને અવલોકન કરેલી આવૃત્તિ $f < f_{0}$ છે. જેમ જેમ સ્ત્રોત વધુ દૂર જાય છે,તેમ $\theta$ વધે છે,$\cos \theta$ વધુ ઋણ બને છે,અને $f$ એ $f_{0}$ થી નીચે વધુ ઘટે છે.
આમ,આવૃત્તિ $f$ એ $f_{0}$ થી ઉપરથી શરૂ થાય છે,$t = t_{0}$ પર $f_{0}$ સુધી ઘટે છે,અને $t > t_{0}$ માટે $f_{0}$ થી નીચે ઘટવાનું ચાલુ રાખે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $D$ દ્વારા શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) ધારો કે બે પદાર્થોનું દળ $m$ અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_0$ છે. ધારો કે તેમના પ્રારંભિક વેગ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,સંયુક્ત દળ $2m$ એ પ્રારંભિક વેગ સદિશોના ખૂણાના દ્વિભાજકની દિશામાં $v_f = v_0/2$ ની અંતિમ ઝડપ સાથે ગતિ કરશે.
અંતિમ વેગની દિશામાં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m v_0 \cos \theta + m v_0 \cos \theta = (2m) v_f$
$2 m v_0 \cos \theta = 2 m (v_0/2)$
$2 m v_0 \cos \theta = m v_0$
$\cos \theta = 1/2$
$\theta = 60^\circ$
પ્રારંભિક વેગ વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$ છે.

(D) ગોળાની ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi (D/2)^3} = \frac{6M}{\pi D^3}$ છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln \rho = \ln(6/\pi) + \ln M - 3 \ln D$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ શોધવા માટે બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{dM}{M} - 3 \frac{dD}{D}$.
મહત્તમ પ્રતિશત ત્રુટિ માટે,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિઓના નિરપેક્ષ મૂલ્યોનો સરવાળો કરીએ છીએ: $\left( \frac{d\rho}{\rho} \times 100 \right)_{\text{max}} = \left( \frac{dM}{M} \times 100 \right) + 3 \left( \frac{dD}{D} \times 100 \right)$.
આપેલ છે કે $\frac{dM}{M} \times 100 = 6.0 \%$ અને $\frac{dD}{D} \times 100 = 1.5 \%$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\text{મહત્તમ ત્રુટિ} = 6.0 + 3(1.5) = 6.0 + 4.5 = 10.5 \%$.
આપણને ત્રુટિ $\left(\frac{x}{100}\right) \% = 10.5 \%$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
તેથી,$\frac{x}{100} = 10.5 \implies x = 1050$.

(A) ધારો કે શરૂઆતના મોલની સંખ્યા $n$ છે. શરૂઆતની સ્થિતિ $P_{1}V_{1} = nRT_{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{1} = 250\, K$ છે.
જ્યારે $25\%$ દ્વિપરમાણ્વીય અણુઓ $(X_{2})$ નું વિયોજન થાય,ત્યારે પ્રક્રિયા $X_{2} \rightarrow 2X$ થાય છે. જો $n$ મોલના $25\%$ વિયોજન પામે,તો બાકી રહેલા $X_{2}$ ના મોલ $0.75n$ છે અને ઉત્પન્ન થયેલા $X$ ના મોલ $2 \times 0.25n = 0.5n$ છે.
અંતિમ સ્થિતિમાં કુલ મોલની સંખ્યા $n' = 0.75n + 0.5n = 1.25n = \frac{5n}{4}$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ $P_{2}V_{2} = n'RT_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_{2} = 2V_{1}$ અને $T_{2} = 2000\, K$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_{2}(2V_{1}) = \left(\frac{5n}{4}\right)R(2000)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{P_{2}(2V_{1})}{P_{1}V_{1}} = \frac{(5n/4)R(2000)}{n R(250)}$.
$2 \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{5}{4} \times \frac{2000}{250} = \frac{5}{4} \times 8 = 10$.
તેથી,$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{10}{2} = 5$.

(C) ધારો કે સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ $\Delta x$ છે. સ્પ્રિંગની કુલ લંબાઈ $l = l_{0} + \Delta x$ થાય છે.
$m$ દળના પદાર્થની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગ બળ $F_{s} = k \Delta x$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગ બળને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા: $k \Delta x = m \omega^{2} (l_{0} + \Delta x)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $k \Delta x = m \omega^{2} l_{0} + m \omega^{2} \Delta x$.
$\Delta x$ માટે ઉકેલવા પદોને ગોઠવતા: $k \Delta x - m \omega^{2} \Delta x = m \omega^{2} l_{0}$.
$\Delta x (k - m \omega^{2}) = m \omega^{2} l_{0}$.
તેથી,વિસ્તરણ $\Delta x = \frac{m \omega^{2} l_{0}}{k - m \omega^{2}}$ થશે.

(D) ધારો કે પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપર અને નીચે $h$ અંતરે પદાર્થનું વજન સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g_h)$ અને $h$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g_d)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = \frac{g R^2}{(R+h)^2}$ છે.
$h$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g_d = g \left( 1 - \frac{h}{R} \right)$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{g R^2}{(R+h)^2} = g \left( 1 - \frac{h}{R} \right)$.
$\frac{1}{(1 + h/R)^2} = 1 - \frac{h}{R}$.
ધારો કે $x = \frac{h}{R}$. તો $\frac{1}{(1+x)^2} = 1 - x$.
$1 = (1-x)(1+x)^2 = (1-x)(1 + 2x + x^2) = 1 + x - x^2 - x^3$.
$x^3 + x^2 - x = 0$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$x^2 + x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
તેથી,$h = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} R = \frac{\sqrt{5} R - R}{2}$.

(A) જ્યારે ગજિયો ચુંબક અચળ ઝડપે ગૂંચળામાં પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે અને $e.m.f.$ પ્રેરિત થાય છે,જેના કારણે ગેલ્વેનોમીટર એક દિશામાં (દા.ત.,ધન) કોણાવર્તન દર્શાવે છે.
જ્યારે ચુંબક સંપૂર્ણપણે ગૂંચળાની અંદર હોય છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે,તેથી ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે અને ગેલ્વેનોમીટરનું રીડિંગ શૂન્ય મળે છે.
જ્યારે ગજિયો ચુંબક ગૂંચળામાંથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ ફરીથી બદલાય છે અને પ્રવેશ સમય કરતા વિરુદ્ધ દિશામાં $e.m.f.$ પ્રેરિત થાય છે,જેના કારણે ગેલ્વેનોમીટર વિરુદ્ધ દિશામાં (દા.ત.,ઋણ) કોણાવર્તન દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે:
ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $E = 3.0 \ V$
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = 2.5 \ V$
બાહ્ય અવરોધ દ્વારા વ્યય થતો પાવર $P_R = 0.5 \ W$
આપણે જાણીએ છીએ કે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E - ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $r$ એ આંતરિક અવરોધ છે.
$2.5 = 3.0 - ir$
$ir = 0.5 \ V$
આંતરિક અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P_r = i^2r = (ir) \cdot i$ છે.
કારણ કે $V = iR = 2.5 \ V$,તેથી $i = \frac{2.5}{R}$.
વળી,$P_R = i^2R = 0.5 \ W$.
$i = \frac{2.5}{R}$ ને $P_R = i^2R$ માં મૂકતા:
$0.5 = (\frac{2.5}{R})^2 \cdot R = \frac{6.25}{R}$
$R = \frac{6.25}{0.5} = 12.5 \ \Omega$.
હવે,પ્રવાહ $i$ શોધો:
$i = \frac{V}{R} = \frac{2.5}{12.5} = 0.2 \ A$.
છેલ્લે,આંતરિક અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P_r$ ગણો:
$P_r = i^2r = i(ir) = 0.2 \ A \times 0.5 \ V = 0.10 \ W$.

(C) કોઈ બિંદુ પર વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ સ્થિર વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતસ્થિતિમાન છે.
પ્રારંભિક સ્થાન: $x_i = 0$. $4q$ અને $-q$ થી અંતર $r_1 = d/2$ અને $r_2 = d/2$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_i = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{4q}{d/2} + \frac{-q}{d/2} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{3q}{d/2} \right) = \frac{6q}{4\pi\varepsilon_0 d}$.
અંતિમ સ્થાન: $x_f = d$. $4q$ અને $-q$ થી અંતર $r_1' = d + d/2 = 3d/2$ અને $r_2' = d - d/2 = d/2$ છે.
અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{4q}{3d/2} + \frac{-q}{d/2} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{8q}{3d} - \frac{2q}{d} \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{8q - 6q}{3d} \right) = \frac{2q}{12\pi\varepsilon_0 d} = \frac{q}{6\pi\varepsilon_0 d}$.
સ્થિતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = q(V_f - V_i) = q \left( \frac{q}{6\pi\varepsilon_0 d} - \frac{6q}{4\pi\varepsilon_0 d} \right) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} \left( \frac{2}{3} - 6 \right) = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d} \left( -\frac{16}{3} \right) = -\frac{4q^2}{3\pi\varepsilon_0 d}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સ્થિતિઊર્જામાં $\frac{4q^2}{3\pi\varepsilon_0 d}$ જેટલો ઘટાડો થાય છે.

(A) પાતળા અનંત સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત સમતલો સમાન વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ સમાંતર સીધી રેખાઓ હોવી જોઈએ,જે વિકલ્પ $B$ અને $C$ ને ખોટા સાબિત કરે છે કારણ કે તે વક્ર ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવે છે.
ધન વિદ્યુતભારીત શીટને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર તેનાથી દૂરની દિશામાં હોય છે,અને ઋણ વિદ્યુતભારીત શીટને કારણે ક્ષેત્ર તેની તરફની દિશામાં હોય છે. વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $\left|\sigma_{+}\right| > \left|\sigma_{-}\right|$,ધન વિદ્યુતભારીત શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય ઋણ વિદ્યુતભારીત શીટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ક્ષેત્ર કરતા વધારે છે. આનો અર્થ એ છે કે ધન શીટમાંથી નીકળતી ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા ઋણ શીટ પર સમાપ્ત થતી ક્ષેત્ર રેખાઓની ઘનતા કરતા વધારે છે. વિકલ્પ $A$ યોગ્ય રીતે ધન શીટમાંથી નીકળતી અને ઋણ શીટ પર સમાપ્ત થતી ક્ષેત્ર રેખાઓને યોગ્ય સાપેક્ષ ઘનતા સાથે દર્શાવે છે,તેથી તે સાચું નિરૂપણ છે.

(A) આ સર્કિટમાં બે ઝેનર ડાયોડ શ્રેણીમાં વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતામાં જોડાયેલા છે।
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{in}$ ધન હોય, ત્યારે પ્રથમ ઝેનર ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં અને બીજો ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે।
જ્યારે $V_{in}$ એ $6\, V$ ના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ કરતા વધી જાય, ત્યારે પ્રથમ ઝેનર ડાયોડ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરે છે, જે $6\, V$ નો અચળ આઉટપુટ વોલ્ટેજ જાળવી રાખે છે।
જ્યારે $V_{in}$ એ $0\, V$ અને $6\, V$ ની વચ્ચે હોય, ત્યારે આઉટપુટ વોલ્ટેજ ઇનપુટ વોલ્ટેજને અનુસરે છે।
તે જ રીતે, જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{in}$ ઋણ હોય, ત્યારે બીજો ઝેનર ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં અને પ્રથમ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે।
જ્યારે $V_{in}$ એ $-6\, V$ કરતા વધુ ઋણ બને છે, ત્યારે બીજો ઝેનર ડાયોડ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરે છે, જે $-6\, V$ નો અચળ આઉટપુટ વોલ્ટેજ જાળવી રાખે છે।
આમ, આઉટપુટ વોલ્ટેજ $+6\, V$ અને $-6\, V$ પર ક્લિપ થાય છે, જેના પરિણામે એક તરંગ સ્વરૂપ મળે છે જે $-6\, V$ અને $+6\, V$ ની વચ્ચે ઇનપુટ સાઈન તરંગને અનુસરે છે અને આ શ્રેણીની બહાર $\pm 6\, V$ પર અચળ રહે છે।
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચો આલેખ વિકલ્પ $A$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે।

(A) ધારો કે ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સથી વસ્તુનું અંતર $u_1$ છે. આપેલ છે $f_o = 1 \, cm$. ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ માટે લેન્સના સૂત્ર મુજબ પ્રતિબિંબ અંતર $v_1$: $\frac{1}{v_1} - \frac{1}{-u_1} = \frac{1}{f_o} \Rightarrow \frac{1}{v_1} = 1 - \frac{1}{u_1} = \frac{u_1 - 1}{u_1} \Rightarrow v_1 = \frac{u_1}{u_1 - 1}$.
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની મોટવણી $m_o = \frac{v_1}{u_1} = \frac{1}{u_1 - 1}$ છે.
ટ્યુબની લંબાઈ $L = v_1 + |u_e| = 20 \, cm$,જ્યાં $u_e$ એ આઈ-પીસ માટે વસ્તુનું અંતર છે. તેથી,$|u_e| = 20 - v_1 = 20 - \frac{u_1}{u_1 - 1} = \frac{20u_1 - 20 - u_1}{u_1 - 1} = \frac{19u_1 - 20}{u_1 - 1}$.
આઈ-પીસની મોટવણી $m_e = \frac{D}{|u_e|} = \frac{25}{|u_e|} = \frac{25(u_1 - 1)}{19u_1 - 20}$ છે.
કુલ મોટવણી $M = m_o \times m_e = 100 \Rightarrow \left(\frac{1}{u_1 - 1}\right) \times \left(\frac{25(u_1 - 1)}{19u_1 - 20}\right) = 100$.
$\frac{25}{19u_1 - 20} = 100 \Rightarrow 19u_1 - 20 = 0.25 \Rightarrow 19u_1 = 20.25 \Rightarrow u_1 = \frac{20.25}{19} \approx 1.0658 \, cm$.
હવે,$|u_e| = 20 - v_1 = 20 - \frac{1.0658}{1.0658 - 1} = 20 - \frac{1.0658}{0.0658} \approx 20 - 16.2 = 3.8 \, cm$.
આઈ-પીસ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e} \Rightarrow \frac{1}{-25} - \frac{1}{-3.8} = \frac{1}{f_e} \Rightarrow \frac{1}{f_e} = \frac{1}{3.8} - \frac{1}{25} \approx 0.263 - 0.04 = 0.223$.
$f_e \approx \frac{1}{0.223} \approx 4.48 \, cm$. નજીકનો વિકલ્પ $4.5 \, cm$ છે.

(A) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે. ધારો કે $C = \frac{1}{R}$. તેથી $\lambda = C \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)^{-1}$.
લાયમન શ્રેણી માટે $(n_1 = 1)$:
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $\lambda_{L,s} = C \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)^{-1} = C$.
સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $\lambda_{L,l} = C \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)^{-1} = \frac{4C}{3}$.
તફાવત $\Delta \lambda_L = \frac{4C}{3} - C = \frac{C}{3} = 304\,\mathring{A} \implies C = 912\,\mathring{A}$.
પાશ્ચન શ્રેણી માટે $(n_1 = 3)$:
સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઇ $\lambda_{P,s} = C \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right)^{-1} = 9C$.
સૌથી મોટી તરંગલંબાઇ $\lambda_{P,l} = C \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right)^{-1} = C \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right)^{-1} = \frac{144C}{7}$.
તફાવત $\Delta \lambda_P = \frac{144C}{7} - 9C = \frac{81C}{7}$.
$C = 912\,\mathring{A}$ મૂકતા:
$\Delta \lambda_P = \frac{81 \times 912}{7} \approx 10553.14\,\mathring{A}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_A = 0 \ V$ છે.
જંકશન $C$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
બેટરી શાખામાંથી આવતો પ્રવાહ $i_1 = 1 \ A$ છે.
$2 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_3$ છે ($D$ થી $C$ તરફ નીચેની દિશામાં).
$F$ તરફ જતો પ્રવાહ $i_2 = 2 \ A$ છે.
જંકશન $C$ પર $KCL$ મુજબ: $i_1 + i_3 = i_2$.
કિંમતો મૂકતા: $1 \ A + i_3 = 2 \ A$,જેથી $i_3 = 1 \ A$ મળે છે.
હવે,$A$ થી $C$ થઈને $D$ સુધી જઈને $D$ પાસેનું સ્થિતિમાન શોધીએ:
$V_D = V_A + 1 \ V - i_3 \times (2 \ \Omega) = 0 + 1 - (1 \times 2) = -1 \ V$.
હવે,$D$ થી $B$ તરફ જઈને $B$ પાસેનું સ્થિતિમાન શોધીએ:
$V_B = V_D + 2 \ V = -1 + 2 = 1 \ V$.
આમ,બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $B$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_B - V_A = 1 - 0 = 1 \ V$ છે.

(C) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_i = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 (lw)}{d}$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_i V^2$.
$x$ લંબાઈની સ્લેબ દાખલ કર્યા પછી,કેપેસિટર સમાંતરમાં બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે: એક ડાયલેક્ટ્રિક સાથે (લંબાઈ $x$) અને એક હવા સાથે (લંબાઈ $l-x$).
$C_f = C_1 + C_2 = \frac{k \varepsilon_0 (xw)}{d} + \frac{\varepsilon_0 ((l-x)w)}{d}$.
આપેલ છે કે $U_f = 2 U_i$,અને $V$ અચળ હોવાથી,$C_f = 2 C_i$.
$\frac{\varepsilon_0 w}{d} [kx + l - x] = 2 \frac{\varepsilon_0 lw}{d}$.
$kx + l - x = 2l$.
$k = 4$ મૂકતા: $4x + l - x = 2l$.
$3x = l \Rightarrow x = \frac{l}{3}$.

(C) કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે: $V = \sum \frac{kq_i}{R} = \frac{k}{R} \sum q_i$. અહીં પાંચ $(+q)$ અને પાંચ $(-q)$ વિદ્યુતભારો હોવાથી, કુલ વિદ્યુતભાર $\sum q_i = 5(+q) + 5(-q) = 0$ થાય. તેથી, $V = 0$.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માટે, દરેક $(+q)$ વિદ્યુતભાર તેનાથી દૂર જતી દિશામાં $\vec{E}_0$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે, અને દરેક $(-q)$ વિદ્યુતભાર પોતાની તરફ આવતી દિશામાં $\vec{E}_0$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે। $36^\circ$ ના સમાન કોણીય અંતરે ગોઠવાયેલા દસ વિદ્યુતભારોની સંમિતિને કારણે, દરેક વિદ્યુતભારની સામે વ્યાસાંતે સમાન મૂલ્યનો પણ વિરુદ્ધ ચિહ્નનો વિદ્યુતભાર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યુતભાર $1$ $(+q)$ અને વિદ્યુતભાર $6$ $(-q)$ વ્યાસાંતે સામસામે છે. વિદ્યુતભાર $1$ ને કારણે ક્ષેત્ર $\vec{E}_1$ (તેનાથી દૂર) અને વિદ્યુતભાર $6$ ને કારણે ક્ષેત્ર $\vec{E}_6$ (તેની તરફ) છે. $1$ અને $6$ સામસામે હોવાથી, $\vec{E}_1$ અને $\vec{E}_6$ એક જ દિશામાં હોય છે અને તેમનો સરવાળો $2\vec{E}_0$ થાય છે. આના પરિણામે $72^\circ$ ના ખૂણે રહેલા $2E_0$ મૂલ્યના પાંચ સદિશો મળે છે. સમાન ખૂણે રહેલા આ પાંચ સમાન સદિશોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે. તેથી, $E = 0$.

(D) સોલેનોઈડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0 = \mu_0 n i$ છે.
જ્યારે લોખંડનો સળિયો અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_r B_0 = \mu_r \mu_0 n i$ થાય છે.
મેગ્નેટાઈઝેશન $M_z = \frac{B - \mu_0 H}{\mu_0} = (\mu_r - 1) H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\mu_r = 1000 \gg 1$ હોવાથી,આપણે $M_z \approx \mu_r H = \mu_r n i$ લઈ શકીએ.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $m = M_z \times V$ છે,જ્યાં $V$ એ સળિયાનું કદ છે.
આપેલ છે: $V = 10^{-3} \ m^3$,$\mu_r = 1000$,$n = 10 \ turns/cm = 1000 \ turns/m$,$i = 0.5 \ A$.
$m = (\mu_r n i) V = 1000 \times 1000 \times 0.5 \times 10^{-3}$.
$m = 10^6 \times 0.5 \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^3 = 500 \ Am^2$.
$m = 5 \times 10^2 \ Am^2$.

(B) અનંત લંબાઈના સીધા તારમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ ને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે છે:
$B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$
$l$ લંબાઈનો વાહક $v$ વેગથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ ગતિ કરે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય $EMF$:
$e = Bvl$
$B$ ની કિંમત $e$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \left( \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} \right) vl = \frac{\mu_{0} Ivl}{2 \pi r}$
ઓહ્મના નિયમ મુજબ લૂપમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{e}{R}$:
$i = \frac{1}{R} \left( \frac{\mu_{0} Ivl}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_{0} Ivl}{2 \pi Rr}$

(A) જ્યારે કોઈ રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ ક્ષય અચળાંકો ધરાવતી બે અલગ-અલગ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામે છે,ત્યારે કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_1 + \lambda_2$ થાય છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ હોવાથી,અર્ધ-આયુષ્ય માટેનો સંબંધ આ મુજબ લખી શકાય:
$\frac{\ln 2}{T_{\text{eff}}} = \frac{\ln 2}{T_1} + \frac{\ln 2}{T_2}$
$\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$
અહીં $T_1 = 10 \ s$ અને $T_2 = 100 \ s$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{100} = \frac{10 + 1}{100} = \frac{11}{100}$
$T_{\text{eff}} = \frac{100}{11} \approx 9.09 \ s$
આમ,અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $9 \ s$ ની નજીક છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $O$ નું સ્થિતિમાન $V_{O} = 0 \, V$ છે.
ધારો કે ઉપરના જંકશનનું સ્થિતિમાન $x$ છે.
કેપેસિટરો બેટરી સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જોડાયેલા છે. $2\, \mu F$ કેપેસિટરની ડાબી પ્લેટનું સ્થિતિમાન $6\, V$ છે અને $4\, \mu F$ કેપેસિટરની જમણી પ્લેટનું સ્થિતિમાન $6\, V$ છે.
ઉપરના જંકશન $x$ પર નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા:
જંકશન $x$ સાથે જોડાયેલી પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે: $q_{1} + q_{2} + q_{3} = 0$.
$2(x - 6) + 4(x - 6) + 5(x - 0) = 0$.
$2x - 12 + 4x - 24 + 5x = 0$.
$11x = 36$.
$x = \frac{36}{11} \, V$.
$5\, \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_{3} = C_{3} \cdot V_{3} = 5 \cdot (x - 0) = 5 \cdot \frac{36}{11} = \frac{180}{11} \, \mu C$.
$q_{3} \approx 16.36 \, \mu C$.

(B) $x = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[x] = [L^{1}T^{-1}]$ છે.
$y = \frac{E}{B}$ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ દર્શાવે છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[y] = [L^{1}T^{-1}]$ છે.
$z = \frac{l}{CR}$ જ્યાં $RC$ એ ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $(\tau)$ છે,તેથી $z = \frac{l}{\tau}$. તેનું પરિમાણ $[z] = \frac{[L]}{[T]} = [L^{1}T^{-1}]$ છે.
આમ,ત્રણેય રાશિઓના પરિમાણ સમાન $[L^{1}T^{-1}]$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગેલ્વેનોમીટરની ફિગર ઓફ મેરિટ $(k)$ એટલે કે એકમ વિચલન ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી વિદ્યુત પ્રવાહ.
તેનું સૂત્ર છે: $k = \frac{I}{\theta}$
આપેલ છે:
વિદ્યુત પ્રવાહ $I = 6 \, mA = 6 \times 10^{-3} \, A$
વિચલન $\theta = 2^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{6 \times 10^{-3} \, A}{2^{\circ}} = 3 \times 10^{-3} \, A/\text{div}$
તેથી,ફિગર ઓફ મેરિટ $3 \times 10^{-3} \, A/\text{div}$ છે.

(A) $1$. $V_{\text{in}} < 4\, V$ માટે: ઝેનર ડાયોડ $A$ $(6\, V)$ કે $B$ $(4\, V)$ માંથી કોઈ પણ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં નથી. તેથી,આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{0}$ એ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{\text{in}}$ ને અનુસરે છે,એટલે કે $V_{0} = V_{\text{in}}$.
$2$. $4\, V < V_{\text{in}} < 6\, V$ માટે: ઝેનર ડાયોડ $B$ તેના $4\, V$ ના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ સુધી પહોંચે છે. તે લોડ સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{0}$ એ $4\, V$ પર ક્લેમ્પ (સ્થિર) થાય છે. વધારાનો વોલ્ટેજ $(V_{\text{in}} - 4\, V)$ એ ડાયોડ $B$ સાથે જોડાયેલા શ્રેણી અવરોધ પર ડ્રોપ થાય છે.
$3$. $V_{\text{in}} > 6\, V$ માટે: ઝેનર ડાયોડ $A$ પણ તેના $6\, V$ ના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ સુધી પહોંચે છે. $A$ લોડ સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{0}$ હવે $6\, V$ પર ક્લેમ્પ થાય છે. વધારાનો વોલ્ટેજ સ્ત્રોત અથવા સર્કિટના શ્રેણી અવરોધ પર ડ્રોપ થાય છે.
$4$. તેથી,$V_{0}$ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ $4\, V$ સુધી રેખીય વધારો,$4\, V$ પર અચળ પ્લેટુ અને ત્યારબાદ $6\, V$ પર અચળ પ્લેટુ સુધીનો સ્ટેપ વધારો દર્શાવશે.

(D) આપેલ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો માટે તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર નીચે મુજબ છે:
$(a)$ માઇક્રોવેવ: તેની તરંગલંબાઈ આશરે $10^{-3} \, m$ થી $0.3 \, m$ હોય છે. તેથી, $(a) \rightarrow (iv)$.
$(b)$ ગેમા કિરણો: આ કિરણોની તરંગલંબાઈ સૌથી ઓછી હોય છે, જે સામાન્ય રીતે $10^{-13} \, m$ થી ઓછી હોય છે (આ સંદર્ભમાં $10^{-15} \, m$ તરીકે દર્શાવેલ છે). તેથી, $(b) \rightarrow (ii)$.
$(c)$ $A.M.$ રેડિયો તરંગો: આ તરંગોની તરંગલંબાઈ ખૂબ લાંબી હોય છે, જે સામાન્ય રીતે $100 \, m$ થી $1000 \, m$ ની વચ્ચે હોય છે. તેથી, $(c) \rightarrow (i)$.
$(d)$ $X$-કિરણો: આ કિરણોની તરંગલંબાઈ $10^{-8} \, m$ થી $10^{-12} \, m$ ની વચ્ચે હોય છે (આ સંદર્ભમાં $10^{-10} \, m$ તરીકે દર્શાવેલ છે). તેથી, $(d) \rightarrow (iii)$.
તેથી, સાચી જોડી $(a)-(iv), (b)-(ii), (c)-(i), (d)-(iii)$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K = E - \phi$ છે,જ્યાં $E$ એ ફોટોનની ઉર્જા છે અને $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $K_{1} = E_{1} - \phi = 4 - \phi$.
બીજા કિસ્સા માટે: $K_{2} = E_{2} - \phi = 2.5 - \phi$.
કારણ કે $K = \frac{1}{2}mv_{max}^{2}$,ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{1}}{K_{2}} = \left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{v_{1}}{v_{2}} = 2$,તેથી $\frac{K_{1}}{K_{2}} = 2^{2} = 4$,એટલે કે $K_{1} = 4K_{2}$.
$K_{1}$ અને $K_{2}$ ના સમીકરણો મૂકતા: $4 - \phi = 4(2.5 - \phi)$.
$4 - \phi = 10 - 4\phi$.
$3\phi = 6$.
$\phi = 2 \ eV$.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_{\min}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\delta_{\min} = (\mu - 1)A$
આપેલ છે:
પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 1^{\circ}$
વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$
કિંમતો મૂકતા:
$\delta_{\min} = (1.5 - 1) \times 1^{\circ}$
$\delta_{\min} = 0.5^{\circ}$
આપણને આપેલ છે કે $\delta_{\min} = N/10$.
તેથી,$0.5 = N/10$
$N = 0.5 \times 10 = 5$
આમ,$N$ નું મૂલ્ય $5$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $R = R_{0} e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln R = \ln R_{0} - \lambda t$ મળે છે.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\lambda$ છે.
આલેખ પરથી,દરેક પદાર્થ માટે ઢાળ $\lambda$ નીચે મુજબ છે:
$A$ માટે: $\lambda_{A} = \frac{6 - 0}{10 - 0} = 0.6 = \frac{3}{5}$.
$B$ માટે: $\lambda_{B} = \frac{4 - 0}{5 - 0} = 0.8 = \frac{4}{5}$.
$C$ માટે: $\lambda_{C} = \frac{2 - 0}{5 - 0} = 0.4 = \frac{2}{5}$.
અર્ધ-આયુષ્ય $T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$T_{\frac{1}{2}}(A) : T_{\frac{1}{2}}(B) : T_{\frac{1}{2}}(C) = \frac{1}{\lambda_{A}} : \frac{1}{\lambda_{B}} : \frac{1}{\lambda_{C}} = \frac{5}{3} : \frac{5}{4} : \frac{5}{2}$.
છેદના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(12)$ વડે ગુણતા,આપણને $20 : 15 : 30$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4 : 3 : 6$ થાય છે.

(A) તંત્રની કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. ગોળાની સપાટી પર (કેન્દ્રથી $R$ અંતરે) $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા નાના ટુકડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{kQq}{R} + mgy_0$ છે (ગોળાના તળિયે સંદર્ભ સ્તર લેતા).
જ્યારે ટુકડો $y$ ઊંચાઈ નીચે પડે છે,ત્યારે તેનું ગોળાના કેન્દ્રથી અંતર $(R+y)$ થાય છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_f + K_f = \frac{kQq}{R+y} + mg(y_0 - y) + \frac{1}{2}mv^2$ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ ઉર્જાને સરખાવતા:
$\frac{kQq}{R} + mgy_0 = \frac{kQq}{R+y} + mg(y_0 - y) + \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{R} - \frac{kQq}{R+y} + mgy$
$\frac{1}{2}mv^2 = kQq \left[ \frac{R+y-R}{R(R+y)} \right] + mgy$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQqy}{R(R+y)} + mgy$
$v^2 = 2 \left[ \frac{kQqy}{mR(R+y)} + gy \right] = 2y \left[ \frac{kQq}{mR(R+y)} + g \right]$
$k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ મૂકતા:
$v^2 = 2y \left[ \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 mR(R+y)} + g \right]$.

(A) ફોટોડાયોડ રિવર્સ બાયસ મોડમાં કાર્ય કરે છે. જ્યારે બેન્ડગેપ ઉર્જા કરતા વધારે ઉર્જા ધરાવતો પ્રકાશ ફોટોડાયોડ પર પડે છે,ત્યારે ડેપ્લેશન રીજનમાં ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીઓ ઉત્પન્ન થાય છે.
જેમ જેમ રિવર્સ બાયસિંગ વોલ્ટેજ વધારવામાં આવે છે,તેમ ડેપ્લેશન રીજનમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર વધે છે,જે ઉત્પન્ન થયેલા ચાર્જ કેરિયર્સને જંકશનની આરપાર વધુ અસરકારક રીતે ખેંચવામાં મદદ કરે છે,જેનાથી ફોટોકરંટ વધે છે.
જો કે,એકવાર બધા ઉત્પન્ન થયેલા ચાર્જ કેરિયર્સ એકત્રિત થઈ જાય પછી,રિવર્સ બાયસ વોલ્ટેજમાં વધુ વધારો કરવાથી ફોટોકરંટમાં નોંધપાત્ર વધારો થતો નથી અને તે સંતૃપ્તિ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે. આ ફોટોડાયોડના $I-V$ લાક્ષણિકતા વક્રમાં દર્શાવેલ છે.

(D) લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ છે.
અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ઋણ હોય છે,તેથી ધારો કે $f = -|f|$.
આમ,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = -\frac{1}{|f|}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{v} = \frac{1}{u} - \frac{1}{|f|} = \frac{|f|-u}{u|f|}$ થાય છે.
તેથી,$v = \frac{u|f|}{|f|-u}$.
જ્યારે $u \to 0$,ત્યારે $v \to 0$.
જ્યારે $u \to |f|$,ત્યારે $v \to \infty$.
જ્યારે $u \to \infty$,ત્યારે $v \to -|f|$.
પ્રશ્નમાં આલેખ માટે $u$ અને $v$ ના મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હોવાથી,આપણે અંતર્ગોળ લેન્સ દ્વારા રચાતા આભાસી પ્રતિબિંબને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ,જ્યાં $v$ હંમેશા $0$ અને $f$ ની વચ્ચે હોય છે. પ્રતિબિંબ અંતર $v$ ના મૂલ્ય અને વસ્તુ અંતર $u$ ના મૂલ્ય માટેનો સાચો આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) આપેલ પાવર $P_{out} = 1 \, kW = 1000 \, W$ અને વોલ્ટેજ $V = 220 \, V$ છે.
લાઇનમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{P_{out}}{V} = \frac{1000}{220} = \frac{50}{11} \, A$ થાય.
લાઇનના અવરોધ $R = 2 \, \Omega$ ને કારણે થતો પાવર વ્યય $P_{loss} = I^2 R$ છે.
$P_{loss} = \left( \frac{50}{11} \right)^2 \times 2 = \frac{2500}{121} \times 2 = \frac{5000}{121} \approx 41.32 \, W$.
સ્ત્રોત પર ઉત્પન્ન થતો કુલ પાવર $P_{in} = P_{out} + P_{loss} = 1000 + 41.32 = 1041.32 \, W$ છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \left( \frac{P_{out}}{P_{in}} \right) \times 100$ દ્વારા મળે છે.
$\eta = \left( \frac{1000}{1041.32} \right) \times 100 \approx 96.03 \%$.
તેથી, કાર્યક્ષમતા આશરે $96 \%$ છે.

(A) લાંબા તાર દ્વારા લૂપના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi b}$ છે.
ચોરસ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times \text{Area} = I \times (2a)^2 = 4a^2 I$ છે.
લૂપ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = M \times B \times \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ $y$-અક્ષ પર છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
તેથી,$\tau = (4a^2 I) \times (\frac{\mu_{0} I}{2 \pi b}) \times \sin(90^{\circ}) = \frac{2 \mu_{0} I^{2} a^{2}}{\pi b}$.

(B) ધારો કે $i_{g}$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,શ્રેણીમાં $R_{1}$ અવરોધ સાથે રેન્જ $0-1\, V$ છે:
$1 = i_{g}(G + R_{1}) \quad \dots(1)$
બીજા કિસ્સામાં,શ્રેણીમાં વધારાના $R_{2}$ અવરોધ સાથે રેન્જ $0-2\, V$ છે:
$2 = i_{g}(G + R_{1} + R_{2}) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{1} = \frac{i_{g}(G + R_{1} + R_{2})}{i_{g}(G + R_{1})}$
$2 = \frac{G + R_{1} + R_{2}}{G + R_{1}}$
$2(G + R_{1}) = G + R_{1} + R_{2}$
$2G + 2R_{1} = G + R_{1} + R_{2}$
$R_{2} = G + R_{1}$
આમ,જરૂરી વધારાનો અવરોધ $G + R_{1}$ છે.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = E_0 \sin(kx - \omega t) \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0 = 30 \, V/m$,$\omega = 1.5 \times 10^7 \, rad/s$,અને $k = 5 \times 10^{-2} \, rad/m$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E_0$ સાથે $B_0 = \frac{E_0}{c}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
$B_0 = \frac{30}{3 \times 10^8} = 10^{-7} \, T$.
ઇલેક્ટ્રોન $y$-અક્ષ પર $\overrightarrow{v} = 0.1 c \hat{j} = 0.1 \times 3 \times 10^8 \hat{j} = 3 \times 10^7 \hat{j} \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}_{mag} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $\overrightarrow{v}$ એ $y$-અક્ષ પર છે અને $\overrightarrow{E}$ એ $y$-અક્ષ પર છે,તરંગ $x$-અક્ષ પર પ્રસરણ પામે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એ પ્રસરણની દિશા ($x$-અક્ષ) અને વિદ્યુત ક્ષેત્ર ($y$-અક્ષ) બંનેને લંબ હોવું જોઈએ,તેથી $\overrightarrow{B}$ એ $z$-અક્ષ પર છે.
$F_{max} = q v B_0 = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (3 \times 10^7 \, m/s) \times (10^{-7} \, T)$.
$F_{max} = 1.6 \times 3 \times 10^{-19} = 4.8 \times 10^{-19} \, N$.

(D) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$Q_1 = C \times V = CV$
$Q_2 = 2C \times 2V = 4CV$
તેમને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા (ધન થી ઋણ) સાથે જોડવામાં આવ્યા હોવાથી,કુલ ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર:
$Q_{net} = Q_2 - Q_1 = 4CV - CV = 3CV$
સમાંતર જોડાણમાં,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_{eq} = C + 2C = 3C$
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_c$:
$V_c = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$
આ ગોઠવણીમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f$:
$U_f = \frac{1}{2} C_{eq} V_c^2 = \frac{1}{2} \times (3C) \times V^2 = 1.5 CV^2$

(B) ગૂંચળા $C_{2}$ ના કેન્દ્ર પર પ્રવાહ $I$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} N_{2} I}{2 R_{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગૂંચળા $C_{1}$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A_{1} \cdot N_{1} = \left( \frac{\mu_{0} N_{2} I}{2 R_{2}} \right) (\pi r_{1}^{2}) N_{1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $N_{1} = 500$,$r_{1} = 0.01\; m$,$N_{2} = 200$,$R_{2} = 0.2\; m$,$\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\; T\cdot m/A$.
$\phi = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 200 \times (5t^{2} - 2t + 3)}{2 \times 0.2} \times \pi \times (0.01)^{2} \times 500$.
$\phi = \frac{4\pi^{2} \times 10^{-7} \times 200 \times 500 \times 10^{-4}}{0.4} \times (5t^{2} - 2t + 3) = (10\pi^{2} \times 10^{-6}) \times (5t^{2} - 2t + 3)$.
પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -10\pi^{2} \times 10^{-6} \times (10t - 2)$ છે.
$t = 1\; s$ સમયે,$\varepsilon = -10\pi^{2} \times 10^{-6} \times (10(1) - 2) = -80\pi^{2} \times 10^{-6}\; V$.
મૂલ્ય લેતા,$|\varepsilon| = 80\pi^{2} \times 10^{-6}\; V = 80\pi^{2} \times 10^{-3}\; mV \approx 80 \times 9.87 \times 10^{-3} \approx 0.789\; mV$.
આપેલ છે કે $|\varepsilon| = \frac{4}{x} = 0.5\; mV$ ($\pi^{2} \approx 10$ લેતા),તેથી $x = 8$.

(C) બ્રેગના વિવર્તનના નિયમ મુજબ, $2d \sin \theta = n\lambda$. પ્રથમ મહત્તમ માટે, $n = 1$, તેથી $2d \sin \theta = \lambda$.
અહીં $d = 1 \, Å = 10^{-10} \, m$ અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
તેથી, $\lambda = 2 \times 10^{-10} \times \sin(60^{\circ}) = 2 \times 10^{-10} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{-10} \, m$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$, તેથી $\sqrt{2mE} = \frac{h}{\lambda}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $2mE = \frac{h^2}{\lambda^2}$, તેથી $E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{(6.64 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (\sqrt{3} \times 10^{-10})^2} = \frac{44.0896 \times 10^{-68}}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^{-20}} = \frac{44.0896 \times 10^{-68}}{54.6 \times 10^{-51}} \approx 0.8075 \times 10^{-17} \, J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરવા માટે, $1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{0.8075 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 50.47 \, eV$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $E \approx 50 \, eV$.

(D) ધારો કે $m = 200 \, MeV/c^2$ એ કણનું દળ છે અને $M = 1000 \, MeV/c^2$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુનું દળ છે.
ધારો કે $v$ એ કણનો પ્રારંભિક વેગ છે અને $V$ એ પરમાણુનો રિકોઇલ વેગ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $mv = MV = p$,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુને તેની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા $\Delta E = 13.6 \, eV \times (1 - 1/4) = 10.2 \, eV$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K_{initial} = K_{final} + \Delta E$.
$K_{initial} = \frac{p^2}{2m}$ અને $K_{final} = \frac{p^2}{2M}$.
તેથી,$\frac{p^2}{2m} - \frac{p^2}{2M} = 10.2 \, eV$.
$\frac{p^2}{2m} (1 - \frac{m}{M}) = 10.2 \, eV$.
અહીં $m/M = 200/1000 = 0.2$ આપેલ છે,તેથી $K_{initial} (1 - 0.2) = 10.2 \, eV$.
$K_{initial} (0.8) = 10.2 \, eV$.
$K_{initial} = \frac{10.2}{0.8} = 12.75 \, eV$.
આપણને $K_{initial} = \frac{N}{4}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{N}{4} = 12.75$.
$N = 12.75 \times 4 = 51$.

(A) આંખ પર ન્યૂનતમ તાણ માટે,અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત પર રચાય છે.
આઈપીસ માટે,વસ્તુ તેની કેન્દ્રલંબાઈ પર હોવી જોઈએ,તેથી $u_e = -f_e = -5 \, cm$.
લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $L = 10 \, cm$ છે. ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ $(v_o)$ આઈપીસ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,$v_o = L - |u_e| = 10 \, cm - 5 \, cm = 5 \, cm$.
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ માટે લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{f_o}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{5} - \frac{1}{u_o} = \frac{1}{1} \Rightarrow -\frac{1}{u_o} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$u_o = -\frac{5}{4} \, cm$. અંતર $|u_o| = \frac{5}{4} \, cm = \frac{50}{40} \, cm$ છે.
આને $\frac{n}{40} \, cm$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 50$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_0$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_0 = c B_0$ છે.
અહીં $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ અને $B_0 = 1.2 \times 10^{-7} \text{ T}$ આપેલ છે,તેથી $E_0 = 3 \times 10^{8} \times 1.2 \times 10^{-7} = 36 \text{ V/m}$.
તરંગ $-x$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે કારણ કે સાઈન વિધેયનો તર્ક $(kx + \omega t)$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\hat{k}$ દિશામાં ($z$-અક્ષ) છે.
પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ દ્વારા મળે છે,અને પ્રસરણ $-\hat{i}$ દિશામાં હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$. તેથી $-\hat{i}$ મેળવવા માટે,આપણે $(-\hat{j}) \times \hat{k} = -\hat{i}$ લેવું પડે.
આમ,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{ E }( x , t ) = [-36 \sin (0.5 \times 10^{3} x + 1.5 \times 10^{11} t) \hat{ j }] \text{ V/m}$ થશે.

(D) દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે. લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, પાવર $P$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right) \quad ...(i)$
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે, વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1' = R'$ અને $R_2' = \infty$ છે. પાવર $P'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P' = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R'} - \frac{1}{\infty} \right) = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R'} \right) \quad ...(ii)$
આપેલ છે કે $P' = 1.5P = \frac{3}{2}P$, તેથી સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની કિંમતો મુકતા:
$(\mu - 1) \left( \frac{1}{R'} \right) = \frac{3}{2} \left[ (\mu - 1) \left( \frac{2}{R} \right) \right]$
$\frac{1}{R'} = \frac{3}{R}$
તેથી, $R' = \frac{R}{3} \approx 0.33R$.

(A) $Ohm$ ના નિયમની ચકાસણી કરવા માટે,આપણે અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ અને તેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપવો પડે છે.
$1$. એમીટર: એમીટર સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ માપવા માટે રચાયેલ છે. સર્કિટના ઘટકમાંથી જેટલો પ્રવાહ વહે છે તેટલો જ પ્રવાહ એમીટરમાંથી વહે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,તેને અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડવું આવશ્યક છે.
$2$. વોલ્ટમીટર: વોલ્ટમીટર બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) માપવા માટે રચાયેલ છે. ચોક્કસ અવરોધની આસપાસનો વોલ્ટેજ માપવા માટે,તેને તે અવરોધ સાથે સમાંતર જોડવું આવશ્યક છે.
તેથી,સાચી ગોઠવણી એ છે કે એમીટર શ્રેણીમાં અને વોલ્ટમીટર સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલ હોય છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,$R$ ત્રિજ્યા અને કુલ $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન વિદ્યુતભારિત ગોલીય કવચ માટે:
$1$. કવચની બહારના બિંદુઓ $(r > R)$ માટે,કવચ એવું વર્તે છે કે જાણે તેનો તમામ વિદ્યુતભાર તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત હોય. તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}$ છે. $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Qq}{r^{2}}$ થાય છે.
$2$. કવચની અંદરના બિંદુઓ $(r < R)$ માટે,કવચને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે. તેથી,અંદર મૂકવામાં આવેલા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = qE = 0$ થાય છે.
આ પરિણામોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિધાન $A$ સાચું છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ કોઈ પ્રક્રિયા શક્ય બનવા માટે,પ્રક્રિયકોનું કુલ દળ નીપજોના કુલ દળ કરતા વધારે અથવા સમાન હોવું જોઈએ.
ચાલો $A$ તપાસીએ: $n + p \rightarrow d + \gamma$.
પ્રક્રિયકોનું દળ: $m_{n} + m_{p} = 1.0087 + 1.0072 = 2.0159 \ u$.
નીપજનું દળ: $m_{d} = 2.0141 \ u$.
અહીં $2.0159 \ u > 2.0141 \ u$ હોવાથી,દળનો તફાવત ઉર્જા (ફોટોન $\gamma$) તરીકે મુક્ત થાય છે,જે સંરક્ષણના નિયમોનું પાલન કરે છે.
$B$ તપાસતા: $e^{+} + e^{-} \rightarrow \gamma$ એ વેગમાન સંરક્ષણનું ઉલ્લંઘન કરે છે (એક ફોટોન ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ કરી શકતો નથી).
$D$ તપાસતા: $p \rightarrow n + e^{+} + \bar{v}$ મુક્ત પ્રોટોન માટે શક્ય નથી કારણ કે $m_{p} < m_{n} + m_{e}$.
આમ,સાચી પ્રક્રિયા $A$ છે.

(C) $x$-અક્ષ પર $'r'$ અંતરે રહેલા બે ડાયપોલ $\overrightarrow{p}_{1}$ અને $\overrightarrow{p}_{2}$ ની સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{\overrightarrow{p}_{1} \cdot \overrightarrow{p}_{2} - 3(\overrightarrow{p}_{1} \cdot \hat{r})(\overrightarrow{p}_{2} \cdot \hat{r})}{r^{3}} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\overrightarrow{p}_{1} = p\hat{i}$,$\overrightarrow{p}_{2} = -p\hat{i}$,અને $\hat{r} = \hat{i}$.
તેથી,$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{(p\hat{i}) \cdot (-p\hat{i}) - 3(p\hat{i} \cdot \hat{i})(-p\hat{i} \cdot \hat{i})}{a^{3}} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{-p^{2} - 3(p)(-p)}{a^{3}} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \left[ \frac{2p^{2}}{a^{3}} \right] = \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}a^{3}}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$KE_{i} + PE_{i} = KE_{f} + PE_{f}$.
શરૂઆતમાં,$KE_{i} = 0$ અને $PE_{i} = \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}a^{3}}$.
અંતે,અનંત અંતરે,$PE_{f} = 0$ અને $KE_{f} = 2 \times (\frac{1}{2}mv^{2}) = mv^{2}$.
આમ,$0 + \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}a^{3}} = mv^{2} + 0$.
$v^{2} = \frac{p^{2}}{2\pi\varepsilon_{0}ma^{3}}$.
$v = \frac{p}{a} \sqrt{\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}ma}}$.

(C) $10 \, V$ ની બેટરીમાં પ્રવાહ શોધવા માટે,આપણે થેવેનિનના પ્રમેય અથવા નોડલ વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. ધારો કે $5 \, \Omega$ અને $10 \, \Omega$ અવરોધ વચ્ચેનો નોડ $A$ છે અને નીચેનો નોડ $B$ છે.
$10 \, \Omega$ અવરોધની ઉપરના નોડ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ લાગુ પાડતા,ધારો કે સ્થિતિમાન $V$ છે.
$\frac{V - 20}{5 + 2} + \frac{V}{10} + \frac{V - 10}{4} = 0$
$\frac{V - 20}{7} + \frac{V}{10} + \frac{V - 10}{4} = 0$
$140$ વડે ગુણતા ($7, 10, 4$ નો લ.સા.અ.):
$20(V - 20) + 14V + 35(V - 10) = 0$
$20V - 400 + 14V + 35V - 350 = 0$
$69V = 750$
$V = \frac{750}{69} \approx 10.87 \, V$
$10 \, V$ ની બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V - 10}{4} = \frac{10.87 - 10}{4} = \frac{0.87}{4} = 0.2175 \, A$ છે.
અહીં સ્થિતિમાન $V$ એ $10 \, V$ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રવાહ ધન ટર્મિનલથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ વહે છે.

(B) વાયુના અણુનો $r.m.s.$ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ડી$-$બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$v$ ની જગ્યાએ $v_{rms}$ મૂકતા, આપણને $\lambda = \frac{h}{m \sqrt{\frac{3kT}{m}}} = \frac{h}{\sqrt{3kTm}}$ મળે છે।
આપેલ કિંમતો: $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$, $k = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$, $T = 400 \ K$, અને $m = 4.64 \times 10^{-26} \ kg$.
છેદની ગણતરી કરતા: $\sqrt{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 400 \times 4.64 \times 10^{-26}} = \sqrt{7.68768 \times 10^{-45}} \approx 2.77 \times 10^{-22} \ kg \cdot m/s$.
હવે, $\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.77 \times 10^{-22}} \approx 2.39 \times 10^{-11} \ m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $2.39 \times 10^{-11} \ m = 0.239 \ \mathring{A} \approx 0.24 \ \mathring{A}$.

(D) પ્રવાહ લૂપની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા કણ માટે,આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ છે.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{qv}{2 \pi r}$ છે.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આમ,ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $M = iA = \left( \frac{qv}{2 \pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{qvr}{2}$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
$M$ ના સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M = \frac{qv}{2} \times \left( \frac{mv}{qB} \right) = \frac{mv^2}{2B}$ મળે છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા ધન વિદ્યુતભારિત કણ માટે ચુંબકીય મોમેન્ટની દિશા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી,સદિશ સ્વરૂપમાં,$\overrightarrow{M} = -\frac{mv^2}{2B} \hat{B}$ થાય.
$\hat{B} = \frac{\vec{B}}{B}$ હોવાથી,આપણને $\overrightarrow{M} = -\frac{mv^2}{2B} \left( \frac{\vec{B}}{B} \right) = -\frac{mv^2 \vec{B}}{2B^2}$ મળે છે.

(A) લાંબા તાર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપની $z$-અક્ષને સમાંતર બે બાજુઓ માટે,તારથી અંતર $r = \sqrt{b^2 + a^2}$ છે.
આ દરેક બાજુ પર લાગતું બળ $F = B I (2a) = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi \sqrt{b^2 + a^2}} \cdot I \cdot 2a = \frac{\mu_{0} I^2 a}{\pi \sqrt{b^2 + a^2}}$ છે.
$z$-અક્ષની આસપાસ ટોર્ક $\tau$ આ બળોના લંબ ઘટકો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. લિવર આર્મને લંબ બળનો ઘટક $F \cos \theta$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{b}{\sqrt{b^2 + a^2}}$ છે.
કુલ ટોર્ક $\tau = 2 \cdot (F \cos \theta) \cdot a = 2 \cdot \left( \frac{\mu_{0} I^2 a}{\pi \sqrt{b^2 + a^2}} \right) \cdot \left( \frac{b}{\sqrt{b^2 + a^2}} \right) \cdot a$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\tau = \frac{2 \mu_{0} I^2 a^2 b}{\pi (a^2 + b^2)}$ મળે છે.

(C) $AC$ કરંટ ગેઈન $\beta_{ac}$ એ અચળ કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $V_{CE}$ પર કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર $\Delta I_{C}$ અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફાર $\Delta I_{B}$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આલેખ પરથી,$V_{CE} = 10\, V$ પર,કલેક્ટર કરંટ $I_{C} = 4.0\, mA$ એ $I_{B} = 30\, \mu A$ ના બેઝ કરંટને અનુરૂપ છે.
આ ઓપરેટિંગ પોઈન્ટની આસપાસ $\beta_{ac}$ શોધવા માટે,આપણે $I_{B} = 20\, \mu A$ અને $I_{B} = 40\, \mu A$ માટેના નજીકના વક્રોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$V_{CE} = 10\, V$ પર:
$I_{B} = 20\, \mu A$ માટે,$I_{C} = 3.0\, mA$.
$I_{B} = 40\, \mu A$ માટે,$I_{C} = 6.0\, mA$.
તેથી,બેઝ કરંટમાં થતો ફેરફાર $\Delta I_{B} = 40\, \mu A - 20\, \mu A = 20\, \mu A = 20 \times 10^{-6}\, A$.
કલેક્ટર કરંટમાં થતો ફેરફાર $\Delta I_{C} = 6.0\, mA - 3.0\, mA = 3.0\, mA = 3.0 \times 10^{-3}\, A$.
$AC$ કરંટ ગેઈન $\beta_{ac} = \frac{\Delta I_{C}}{\Delta I_{B}} = \frac{3.0 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-6}} = \frac{3000}{20} = 150$.

(D) આપેલ છે: $P = 400 \ W$,$V_{rms} = 250 \ V$,$f = 50 \ Hz$,$\cos \phi = 0.8$.
$1$. ઈમ્પીડન્સ $Z$ ની ગણતરી:
$P = \frac{V_{rms}^2}{Z} \cos \phi$
$400 = \frac{250^2}{Z} \times 0.8$
$Z = \frac{62500 \times 0.8}{400} = 125 \ \Omega$.
$2$. અવરોધ $R$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી:
$R = Z \cos \phi = 125 \times 0.8 = 100 \ \Omega$.
$X_L = Z \sin \phi = 125 \times 0.6 = 75 \ \Omega$.
$3$. પાવર ફેક્ટર એકમ કરવા માટે,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) માં હોવી જોઈએ,તેથી $X_C = X_L = 75 \ \Omega$.
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = 75$
$C = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times 75} = \frac{1}{7500 \pi} \ F = \frac{10^6}{7500 \pi} \ \mu F = \frac{400}{3 \pi} \ \mu F$.
$(\frac{n}{3 \pi}) \ \mu F$ સાથે સરખાવતા,$n = 400$ મળે છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે પથ તફાવત $\lambda$ હોય ત્યારે તીવ્રતા $K$ છે,અને પથ તફાવત $\lambda$ એ $2\pi$ ના કળા તફાવતને અનુરૂપ હોવાથી,મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = 4I_0 = K$ થાય,જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે.
તેથી,$I_0 = K/4$.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos(\frac{\pi}{3}) = 2I_0 + 2I_0 \cos(\frac{\pi}{3})$ છે.
$I_0 = K/4$ અને $\cos(\frac{\pi}{3}) = 1/2$ મૂકતા,આપણને $I = 2(K/4) + 2(K/4)(1/2) = K/2 + K/4 = 3K/4$ મળે છે.
આપણને $I = \frac{nK}{12}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{3K}{4} = \frac{nK}{12}$.
$n$ માટે ઉકેલતા,$n = \frac{3 \times 12}{4} = 9$ મળે છે.

(A) $RC$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC = (1 \times 10^3 \ \Omega) \times (10 \times 10^{-9} \ \text{F}) = 10 \ \mu\text{s}$ છે.
પ્રથમ $5 \ \mu\text{s}$ $(0 \le t \le 5 \ \mu\text{s})$ દરમિયાન,કેપેસિટર $0 \ \text{V}$ થી $5 \ \text{V}$ સુધી $V_0(t) = 5(1 - e^{-t/\tau})$ મુજબ ચાર્જ થાય છે.
$t = 5 \ \mu\text{s}$ પર,$V_0(5 \ \mu\text{s}) = 5(1 - e^{-0.5}) \approx 1.9675 \ \text{V} \approx 2 \ \text{V}$.
આગામી $5 \ \mu\text{s}$ $(5 \ \mu\text{s} \le t \le 10 \ \mu\text{s})$ દરમિયાન,ઇનપુટ $0 \ \text{V}$ છે,તેથી કેપેસિટર $2 \ \text{V}$ થી $0 \ \text{V}$ તરફ $V_0(t) = 2e^{-(t-5)/\tau}$ મુજબ ડિસ્ચાર્જ થાય છે.
$t = 10 \ \mu\text{s}$ પર,$V_0(10 \ \mu\text{s}) = 2e^{-0.5} \approx 1.213 \ \text{V}$.
આગામી $5 \ \mu\text{s}$ $(10 \ \mu\text{s} \le t \le 15 \ \mu\text{s})$ દરમિયાન,કેપેસિટર $1.213 \ \text{V}$ થી $5 \ \text{V}$ તરફ $V_0(t) = 5 - 3.787e^{-(t-10)/\tau}$ મુજબ ચાર્જ થાય છે.
$t = 15 \ \mu\text{s}$ પર,$V_0(15 \ \mu\text{s}) = 5 - 3.787e^{-0.5} \approx 2.703 \ \text{V} \approx 2.7 \ \text{V}$.
આ વર્તણૂકને વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ ગણતરી કરેલ મૂલ્યો સાથે ચાર્જિંગ અને ડિસ્ચાર્જિંગ સાયકલને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $A$ પરના વિદ્યુતભાર $Q_{1}$ ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{1}$ છે અને $B$ પરના વિદ્યુતભાર $Q_{2}$ ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{2}$ છે.
$E_{1} = \frac{k|Q_{1}|}{x_{1}^{2}}$ ($OA$ ની દિશામાં).
$E_{2} = \frac{k|Q_{2}|}{x_{2}^{2}}$ ($OB$ ની દિશામાં).
ધારો કે $\angle OAB = \alpha$. તો $\angle OBA = 90^{\circ} - \alpha$.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net}$ એ કર્ણ $AB$ ને લંબ છે.
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,પરિણામી ક્ષેત્ર $E_{net}$ એ $E_{1}$ સાથે $\alpha$ ખૂણો અને $E_{2}$ સાથે $90^{\circ} - \alpha$ ખૂણો બનાવે છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,$\tan(\alpha) = \frac{E_{2}}{E_{1}}$.
ત્રિકોણ $OAB$ પરથી,$\tan(\alpha) = \frac{OB}{OA} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$.
$\tan(\alpha)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$
$\frac{k|Q_{2}| / x_{2}^{2}}{k|Q_{1}| / x_{1}^{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$
$\frac{|Q_{2}| x_{1}^{2}}{|Q_{1}| x_{2}^{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$
$\frac{|Q_{1}|}{|Q_{2}|} = \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}} \cdot \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{x_{1}^{3}}{x_{2}^{3}}$
આમ,$Q_{1} / Q_{2}$ એ $\frac{x_{1}^{3}}{x_{2}^{3}}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{mv}{qB_{0}}$ છે.
કણ તેના પ્રારંભિક સ્થાનથી $d$ અંતરે મૂકેલા પડદાને ન અથડાય તે માટે,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $d$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$R \leq d$.
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{mv}{qB_{0}} \leq d$ મળે છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v \leq \frac{q B_{0} d}{m}$ મળે છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં $v$ નું તે ન્યૂનતમ મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું છે જેના માટે કણ પડદાને અથડાશે નહીં. જો કણનો માર્ગ પડદાને સ્પર્શક હોય,તો તે અથડાયા વગર પસાર થઈ જશે. આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે $R = d$ હોય.
આમ,$v = \frac{q B_{0} d}{m}$ એ જરૂરી મૂલ્ય છે.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર: $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2m(KE)}}$ છે.
અહીં ગતિઊર્જા $(KE)$ અને પ્લાન્કનો અચળાંક $(h)$ બધા કણો માટે સમાન હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ મળે છે.
કણોના દળની સરખામણી કરતા: $m_{He^{++}} > m_{P} > m_{e}$.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,સૌથી ઓછું દળ ધરાવતા કણની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હશે.
તેથી,સાચો સંબંધ: $\lambda_{e} > \lambda_{P} > \lambda_{He^{++}}$ છે.