JEE Main 2013 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $m = 70\, kg$ એ માણસનું દળ છે,$h_1 = 0.5\, m$ એ ધક્કા દરમિયાનનું સ્થાનાંતર છે,અને $h_2 = 1\, m$ એ કૂદકા પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ છે.
ધક્કાના તબક્કા દરમિયાન કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $(F - mg)h_1 = \frac{1}{2}mv^2$.
ઉડ્ડયન તબક્કા માટે ઊર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2}mv^2 = mgh_2$,જે આપે છે $v = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 10 \times 1} = \sqrt{20} \approx 4.47\, m/s$.
કાર્યના સમીકરણમાં $v^2 = 2gh_2$ મૂકતા: $(F - mg)h_1 = mgh_2 \implies F = mg(1 + h_2/h_1) = 70 \times 10 \times (1 + 1/0.5) = 700 \times 3 = 2100\, N$.
સ્નાયુઓ દ્વારા આપવામાં આવતી પાવર $P = Fv$ છે. કૂદકો મારતી વખતે,$v = \sqrt{20}$.
$P = 2100 \times \sqrt{20} \approx 2100 \times 4.472 = 9391\, W$.
જોકે,આ ચોક્કસ સમસ્યા માટે પ્રમાણભૂત મોડેલ ધારીએ જ્યાં $F = 2mg$ નો ઉપયોગ થાય છે,તો $P = 2mg \times \sqrt{2gh_2} = 2 \times 700 \times 4.472 = 6260.8\, W \approx 6.26 \times 10^3\, W$ કૂદકો મારતી વખતે મળે છે.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ $l$ છે અને સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે. જ્યારે પદાર્થને સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગ બળ $F = kx$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ વિસ્તરણ છે.
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = l + x$ છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F = m r \omega^2 = m(l + x) \omega^2$ છે.
કિસ્સો $1$: વિસ્તરણ $x_1 = 1\, cm$,કોણીય વેગ $\omega_1 = \omega$.
$k(1) = m(l + 1) \omega^2$ --- $(i)$
કિસ્સો $2$: વિસ્તરણ $x_2 = 5\, cm$,કોણીય વેગ $\omega_2 = 2\omega$.
$k(5) = m(l + 5) (2\omega)^2 = 4m(l + 5) \omega^2$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{5k}{k} = \frac{4m(l + 5) \omega^2}{m(l + 1) \omega^2}$
$5 = \frac{4(l + 5)}{l + 1}$
$5(l + 1) = 4(l + 5)$
$5l + 5 = 4l + 20$
$l = 15\, cm$.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt}$ એ પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે. પાત્ર,આસપાસનું વાતાવરણ અને તાપમાનનો ગાળો સમાન હોવાથી,બંને કિસ્સામાં ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સમાન રહેશે.
ધારો કે $m_w = 50\,g$ પાણીનું દળ છે,$C_w = 1\,cal/(g \cdot ^oC)$ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,$m_l = 100\,g$ પ્રવાહીનું દળ છે,$C_l$ પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,અને $W = 30\,g$ પાત્રનો પાણીનો તુલ્યાંક છે.
કુલ ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q = (mC + W) \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
સમય $t$ સમાન હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર:
$\frac{(m_w C_w + W) \Delta T}{t} = \frac{(m_l C_l + W) \Delta T}{t}$
બંને બાજુથી $\frac{\Delta T}{t}$ દૂર કરતા:
$m_w C_w + W = m_l C_l + W$
$m_w C_w = m_l C_l$
કિંમતો મૂકતા:
$50 \times 1 = 100 \times C_l$
$C_l = \frac{50}{100} = 0.5\,cal/(g \cdot ^oC) = 0.5\,kcal/(kg \cdot ^oC)$.

(D) ધારો કે નળાકારનું તેના સંતુલન સ્થાનથી નીચેની તરફનું સ્થાનાંતર $x$ છે.
જ્યારે નળાકારને $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉપરની તરફ લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = A \sigma g x$ છે.
ઉપરની તરફ લાગતું સ્પ્રિંગ બળ $F_s = kx$ છે.
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ $F_{net} = -(k + A \sigma g)x$ છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $F = -m \omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m \omega^2 = k + A \sigma g$ મળે છે.
આમ,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k + A \sigma g}{M}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k + A \sigma g}}$ છે.
નળાકાર અડધો ડૂબેલો હોવાથી,જ્યાં સુધી તે આંશિક રીતે ડૂબેલો રહે ત્યાં સુધી ઉત્પ્લાવક બળ અચળ રહે છે. તારવેલું સૂત્ર નાના દોલનો માટે સચોટ છે.

(B) સ્થિર કાર માટે,મહત્તમ અવધિ $R_0 = \frac{u^2}{g} = 10 \, m$ છે. $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ હોવાથી,$u^2 = 100$,તેથી $u = 10 \, m/s$.
જ્યારે કાર $v = 20 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે ગોળીનો સમક્ષિતિજ વેગ $(u \cos \theta + v)$ અને શિરોલંબ વેગ $u \sin \theta$ થાય છે.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = (u \cos \theta + v) T = (u \cos \theta + v) \left( \frac{2 u \sin \theta}{g} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $R = (10 \cos \theta + 20) (2 \sin \theta) = 10 \sin 2\theta + 40 \sin \theta$.
મહત્તમ અવધિ માટે,$\frac{dR}{d\theta} = 0$ લેતા:
$20 \cos 2\theta + 40 \cos \theta = 0 \Rightarrow 2 \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - 1 = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $\cos \theta = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta \approx 68.5^{\circ}$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$60^{\circ}$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(B) ગરગડી પરથી પસાર થતા દોરી વડે જોડાયેલા $m$ અને $M$ દળના તંત્ર માટે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ નીચે મુજબ છે: $T = \frac{2mM}{m + M}g$.
પ્રતિબળ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ. આ કિસ્સામાં,બળ એ તારમાં રહેલું તણાવબળ $T$ છે.
$\text{પ્રતિબળ} = \frac{T}{A} = \frac{2mM}{A(m + M)}g$.
આપેલ છે કે $M = 2m$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\text{પ્રતિબળ} = \frac{2m(2m)}{A(m + 2m)}g$
$\text{પ્રતિબળ} = \frac{4m^2}{A(3m)}g$
$\text{પ્રતિબળ} = \frac{4mg}{3A}$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે,જેનો અર્થ છે કે $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
આપેલ છે કે $\vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j} = 5\hat{i} + 12\hat{j}$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી બિંદુ $(x, y)$ સુધી સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $V(x, y) - V(0, 0) = -\int_{(0,0)}^{(x,y)} (E_x dx + E_y dy)$.
કારણ કે $V(0,0) = 0$,તેથી $V(x, y) = -(E_x x + E_y y) = -(5x + 12y)$.
બિંદુ $A(12\,m, 0)$ માટે,$V_A = -(5 \times 12 + 12 \times 0) = -60\,J/kg$.
બિંદુ $B(0, 5\,m)$ માટે,$V_B = -(5 \times 0 + 12 \times 5) = -60\,J/kg$.
બિંદુઓ પરના સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{-60}{-60} = 1$ છે.

(B) વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $PV$ આલેખ અને કદ અક્ષ વચ્ચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV$.
આપેલ $PV$ આલેખ પરથી,$V_1$ થી $V_2$ સુધીના સમાન કદના ફેરફાર માટે,સમતાપી અને એડિબેટિક પ્રક્રિયાઓની તુલનામાં સમદાબી પ્રક્રિયા માટે દબાણ $P$ સૌથી વધુ રહે છે.
આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સમદાબી પ્રક્રિયા માટે સૌથી વધુ હોવાથી,સમદાબી પ્રક્રિયા માટે થયેલું કાર્ય પણ સૌથી વધુ હોય છે.

(B) જ્યાં સુધી લાગુ પડતું બળ $F = kt$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોય ત્યાં સુધી બ્લોક સ્થિર રહે છે.
તેથી,$t \le \frac{\mu_s mg}{k}$ માટે,પ્રવેગ $a = 0$ છે.
એકવાર $t > \frac{\mu_s mg}{k}$ થાય,ત્યારે બ્લોક ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,અને તેના પર ગતિક ઘર્ષણ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ લાગે છે.
ગતિનું સમીકરણ $F - f_k = ma$ છે,જે $kt - \mu_k mg = ma$ આપે છે.
તેથી,પ્રવેગ $a = \frac{k}{m}t - \mu_k g$ છે.
આ દર્શાવે છે કે $t > \frac{\mu_s mg}{k}$ માટે,પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ સાથે ધન ઢાળ $\frac{k}{m}$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $(b)$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) સમાન ક્ષણે શૃંગ અને નજીકના ગર્ત વચ્ચેનું અંતર એ તરંગલંબાઈના અડધા $(\lambda/2)$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે $\lambda/2 = 4.0 \, cm$,તેથી $\lambda = 8.0 \, cm$.
સમાન સ્થાને શૃંગ અને ગર્ત વચ્ચેનું અંતર એ કંપવિસ્તારના બમણા $(2a)$ જેટલું હોય છે.
આપેલ છે કે $2a = 1.0 \, cm$,તેથી $a = 0.5 \, cm$.
સમાન સ્થાને બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનો સમયગાળો એ આવર્તકાળ $(T)$ છે.
આપેલ છે કે $T = 0.4 \, s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \, rad/s$ થાય.
કંપન કરતા કણોની મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{max} = 0.5 \times 5\pi = 2.5\pi = \frac{5\pi}{2} \, cm/s$.

(C) ધારો કે $W$ એ દડાનું વજન છે,$T$ એ ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) છે,અને $F$ એ સ્નિગ્ધતા બળ (viscous force) છે.
જ્યારે દડો $v_1 = 10\, cm/s$ ના અચળ ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડે છે,ત્યારે ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે:
$W - T - F_1 = 0 \implies F_1 = W - T = W_{eff}$,જ્યાં $W_{eff}$ એ અસરકારક વજન છે.
$F_1 = 6\pi\eta r v_1$ હોવાથી,$W_{eff} = 6\pi\eta r v_1$ મળે.
હવે,દડાને $F_{ext} = 2 W_{eff}$ જેટલા બાહ્ય બળથી ઉપર ખેંચવામાં આવે છે.
ધારો કે નવો ઉપરની તરફનો વેગ $v_2$ છે. દડા પર લાગતા બળો: બાહ્ય બળ $F_{ext}$ (ઉપર),ઉત્પ્લાવક બળ $T$ (ઉપર),વજન $W$ (નીચે),અને નવું સ્નિગ્ધતા બળ $F_2$ (નીચે,કારણ કે દડો ઉપર જાય છે).
અચળ વેગ $v_2$ માટે,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે:
$F_{ext} + T - W - F_2 = 0$
$F_{ext} - (W - T) = F_2$
$2 W_{eff} - W_{eff} = F_2$
$F_2 = W_{eff}$
$F_2 = 6\pi\eta r v_2$ હોવાથી,$6\pi\eta r v_2 = 6\pi\eta r v_1$ મળે.
તેથી,$v_2 = v_1 = 10\, cm/s$.

(C) રીંગની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_i = MR^2$ છે. પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = \omega$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} I_i \omega_i^2 = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
$I_i \omega_i = I_f \omega_f$.
$R$ અંતરે બે $m$ દળ જોડ્યા પછી નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = MR^2 + mR^2 + mR^2 = (M + 2m)R^2$ થાય છે.
તેથી,$\omega_f = \frac{I_i \omega_i}{I_f} = \frac{MR^2 \omega}{(M + 2m)R^2} = \frac{M \omega}{M + 2m}$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} I_f \omega_f^2 = \frac{1}{2} (M + 2m)R^2 \left( \frac{M \omega}{M + 2m} \right)^2 = \frac{1}{2} \frac{M^2 R^2 \omega^2}{M + 2m}$ છે.
ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta K = K_i - K_f = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 - \frac{1}{2} \frac{M^2 R^2 \omega^2}{M + 2m}$.
$\Delta K = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( 1 - \frac{M}{M + 2m} \right) = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( \frac{M + 2m - M}{M + 2m} \right) = \frac{1}{2} MR^2 \omega^2 \left( \frac{2m}{M + 2m} \right) = \frac{Mm}{(M + 2m)} \omega^2 R^2$.

(D) $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળ ધરાવતી હવા માટે ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$t$ સમયમાં $A$ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતા હવાનું દળ $m = \rho A v t$ છે,જ્યાં $\rho$ એ હવાની ઘનતા છે.
ગતિ ઊર્જાના વહનનો દર (પાવર) $P = \frac{dK}{dt} = \frac{1}{2} \left(\frac{dm}{dt}\right) v^2$ છે.
અહીં $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ હોવાથી,આપણે તેને પાવરના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$P = \frac{1}{2} (\rho A v) v^2 = \frac{1}{2} \rho A v^3$.
જનરેટર આ ઊર્જાના નિશ્ચિત અંશનું રૂપાંતર કરતું હોવાથી,વિદ્યુત પાવર આઉટપુટ $v^3$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = nRT \ln(V_2/V_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $W = 575\,J$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$,અને દળ $m = 10\,g = 0.01\,kg$.
$575 = nRT \ln(2V/V) = nRT \ln(2)$.
$nRT = PV$ હોવાથી,આપણને $PV = 575 / \ln(2) \approx 575 / 0.693 \approx 829.7\,J$ મળે છે.
વર્ગ-સરેરાશ-વર્ગ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{3PV/m}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{rms} = \sqrt{(3 \times 829.7) / 0.01} = \sqrt{248910} \approx 498.9\,m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $499\,m/s$ મળે છે.

(C) ક્રિટિકલ ફ્રીક્વન્સી $(f_c)$ ને સૌથી વધુ આવૃત્તિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે જ્યારે લંબરૂપે આપાત થાય ત્યારે આયનોસ્ફિયર દ્વારા પાછી પરાવર્તિત થાય છે. ક્રિટિકલ ફ્રીક્વન્સી કરતા વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા તરંગો આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થઈ જાય છે અને પરાવર્તિત થતા નથી. વિધાન $C$ દાવો કરે છે કે $30 \, MHz$ કરતા વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા તરંગો આયનોસ્ફિયરમાંથી પસાર થઈ શકતા નથી, જે ખોટું છે કારણ કે ક્રિટિકલ ફ્રીક્વન્સી (સામાન્ય રીતે આયનોસ્ફિયર માટે $3-30 \, MHz$) કરતા વધુ આવૃત્તિઓ સરળતાથી તેમાંથી પસાર થઈ જાય છે.

(D) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની ગતિઊર્જા $E = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$E_e = eV$.
પ્રોટોન માટે,$E_p = e(4V) = 4eV$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આથી,$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}}$ અને $\lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p (4eV)}} = \frac{h}{2\sqrt{2m_p eV}}$.
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$ લેતા:
$\frac{\lambda_e}{\lambda_p} = \frac{h}{\sqrt{2m_e eV}} \times \frac{2\sqrt{2m_p eV}}{h} = 2\sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$.

(B) પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે. ઉપરની શાખામાં $P = 2 \, \Omega$ અને $Q = 4 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેનો કુલ અવરોધ $R_1 = P + Q = 2 \, \Omega + 4 \, \Omega = 6 \, \Omega$ છે.
નીચેની શાખામાં $R = 1 \, \Omega$ અને $S = 2 \, \Omega$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેનો કુલ અવરોધ $R_2 = R + S = 1 \, \Omega + 2 \, \Omega = 3 \, \Omega$ છે.
શાખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે. ધારો કે ઉપરની શાખામાં પ્રવાહ $I_1$ છે અને નીચેની શાખામાં પ્રવાહ $I_2$ છે.
$I_1 R_1 = I_2 R_2 \implies I_1 (6 \, \Omega) = I_2 (3 \, \Omega) \implies I_2 = 2 I_1$.
અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ગરમી $H = I^2 R t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ માટે: $H_P = I_1^2 P t = I_1^2 (2) t = 2 I_1^2 t$.
$Q$ માટે: $H_Q = I_1^2 Q t = I_1^2 (4) t = 4 I_1^2 t$.
$R$ માટે: $H_R = I_2^2 R t = (2 I_1)^2 (1) t = 4 I_1^2 t$.
$S$ માટે: $H_S = I_2^2 S t = (2 I_1)^2 (2) t = 8 I_1^2 t$.
ગરમીના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$H_S = 8 I_1^2 t$ સૌથી વધુ છે. તેથી,અવરોધ $S$ સૌથી વધુ ગરમી ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) $LRC$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $(\omega_{0})$ અને બેન્ડવિડ્થ $(\Delta\omega = \omega_{2} - \omega_{1})$ નો ગુણોત્તર છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\omega_{0} = 5 \text{ kHz}$ છે.
હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સી $\omega_{1} = 3.75 \text{ kHz}$ અને $\omega_{2} = 6.25 \text{ kHz}$ છે.
બેન્ડવિડ્થ $\Delta\omega = \omega_{2} - \omega_{1} = 6.25 \text{ kHz} - 3.75 \text{ kHz} = 2.5 \text{ kHz}$ છે.
તેથી,ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{\omega_{0}}{\Delta\omega} = \frac{5}{2.5} = 2.0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) લૂપના ઉપરના ભાગ (લંબાઈ $a$) પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = i(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે પ્રવાહ $i$ ઉપરના ભાગમાં ડાબેથી જમણે વહે છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ છે,તેથી બળ $\overrightarrow{F}$ શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય $F = iBa$ છે.
આપેલ છે કે $i > mg/Ba$,તેથી $iBa > mg$,જેનો અર્થ છે કે ઉપરની તરફ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ કરતા વધારે છે.
પરિણામે,લૂપ પરનું પરિણામી બળ ઉપરની તરફ હોય છે,જેના કારણે દળ $m$ ઉપર જાય છે.
જેમ કે લૂપ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ ગતિ કરે છે,તેથી બાહ્ય સ્ત્રોત (જે પ્રવાહ $i$ ચલાવે છે) દ્વારા તંત્ર પર કાર્ય કરવામાં આવે છે.
તેથી,વજન ઉપર જાય છે અને તંત્ર પર કાર્ય થાય છે.

(A) જ્યારે એક વીજભારરહિત વાહકને ધન વીજભારિત વાહકની નજીક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત પ્રેરણ (electrostatic induction) થાય છે.
પ્રેરણને કારણે,ધન વીજભારિત પદાર્થની નજીકની બાજુ પર ઋણ વીજભાર અને દૂરની બાજુ પર ધન વીજભાર પ્રેરિત થાય છે.
વીજભારરહિત વાહક પર અથવા તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન એ બાહ્ય ધન વીજભારિત વાહક અને પ્રેરિત વીજભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
વીજભારરહિત વાહક ધન વીજભારની નજીક હોવાથી,તેનું સ્થિતિમાન ધન હોય છે પરંતુ તે ધન વીજભારિત વાહકના સ્થિતિમાન કરતા ઓછું હોય છે.
જેમ આપણે અનંત અંતર તરફ જઈએ છીએ,તેમ તંત્રનું સ્થિતિમાન $0$ ની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,વીજભારરહિત પદાર્થનું સ્થિતિમાન ધન વીજભારિત વાહક કરતા ઓછું અને અનંત અંતરના સ્થિતિમાન (જે $0$ છે) કરતા વધારે હોય છે.

(C) વક્રીભૂત ટેલિસ્કોપ મોટા લેન્સનો ઉપયોગ કરે છે. લેન્સને ફક્ત તેમની કિનારીઓ પર જ ટેકો આપી શકાય છે,જેના કારણે જ્યારે તેઓ ખૂબ મોટા હોય ત્યારે તેમના પોતાના વજન હેઠળ તે નમી જાય છે,જે પ્રતિબિંબના વિકૃતિ તરફ દોરી જાય છે.
પરાવર્તિત ટેલિસ્કોપ મોટા અરીસાઓનો ઉપયોગ કરે છે. અરીસાઓને આખી પાછળની સપાટી પરથી ટેકો આપી શકાય છે,જેનાથી મોટા કદના લેન્સની સરખામણીમાં મોટા કદના અરીસાઓને યાંત્રિક ટેકો આપવો ખૂબ સરળ બને છે.
વધુમાં,અરીસાઓ રંગીન વિકૃતિ (chromatic aberration) થી મુક્ત હોય છે,જે મોટા ટેલિસ્કોપ માટે એક મોટો ફાયદો છે.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે,વિધાન-$2$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) કણ $x$-અક્ષ પર વિચલિત થયા વગર ગતિ કરે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ લોરેન્ઝ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
લોરેન્ઝ બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે.
બળ શૂન્ય થવા માટે,વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ: $qE = qvB$.
તેથી,$B = \frac{E}{v}$.
અહીં $E = 10^4 \, Vm^{-1}$ અને $v = 10 \, ms^{-1}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{10^4}{10} = 10^3 \, Wb \, m^{-2}$.

(D) બિંદુ $A$ પર,સ્નેલના નિયમ મુજબ:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu \cdot \sin r$
$\sin r = \frac{1}{\mu \sqrt{2}}$ ..... $(i)$
બિંદુ $B$ પર,ઉભી સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,આપાતકોણ $i_1$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$\sin i_1 = \frac{1}{\mu}$
ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$i_1 = 90^{\circ} - r$.
તેથી,$\sin(90^{\circ} - r) = \frac{1}{\mu} \Rightarrow \cos r = \frac{1}{\mu}$ ..... $(ii)$
નિત્યસમ $\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{1}{\mu \sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mu}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{2\mu^2} + \frac{1}{\mu^2} = 1$
$\frac{1 + 2}{2\mu^2} = 1$
$\frac{3}{2\mu^2} = 1 \Rightarrow \mu^2 = \frac{3}{2}$
$\mu = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(C) કેન્દ્રગામી બળ એ સ્થિત-વિદ્યુત બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{mv^2}{r} = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r^2} + \frac{\beta}{r^3} \right)$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$,તેથી $v = \frac{nh}{2\pi mr}$.
$v$ ની કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{m}{r} \left( \frac{nh}{2\pi mr} \right)^2 = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{r + \beta}{r^3} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m r^3} = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{r + \beta}{r^3} \right)$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m e^2} = r + \beta$.
આપેલ છે કે $a_0 = \frac{\varepsilon_0 h^2}{m \pi e^2}$,તેથી આપણને $a_0 n^2 = r + \beta$ મળે છે.
તેથી,$r_n = a_0 n^2 - \beta$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
આ કિસ્સામાં,પ્લેટો વચ્ચેનું માધ્યમ થોડું વાહક છે,જેનો અર્થ છે કે પ્લેટો વચ્ચે $I_c = -\frac{dq}{dt} = 2.5\times10^{-8}\, A$ જેટલો વહન પ્રવાહ વહે છે.
સુધારેલા એમ્પીયર-મેક્સવેલના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રવાહ $I_{total} = I_c + I_d$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સ્ત્રોત છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,વહન પ્રવાહ $I_c$ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે (અથવા આ ચોક્કસ આદર્શ પરિસ્થિતિમાં પ્લેટો વચ્ચે ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના સંદર્ભમાં એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે).
આમ,પ્લેટો વચ્ચેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.

(D) સુસંબદ્ધ વ્યતિકરણ માટે, કંપવિસ્તારોનો સરવાળો થાય છે। પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_{res} = nA_0$ છે, જ્યાં $A_0$ એ એક તરંગનો કંપવિસ્તાર છે। તીવ્રતા $I \propto A^2$ હોવાથી, મહત્તમ તીવ્રતા $I_{coh} = (nA_0)^2 = n^2 I_0$ થાય.
અસુસંબદ્ધ વ્યતિકરણ માટે, તીવ્રતાઓનો સીધો સરવાળો થાય છે। પરિણામી તીવ્રતા $I_{incoh} = n I_0$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_{coh}}{I_{incoh}} = \frac{n^2 I_0}{n I_0} = n$ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને પ્રસરવા માટે કોઈ માધ્યમની જરૂર હોતી નથી; તેઓ શૂન્યાવકાશમાં મુસાફરી કરી શકે છે.
તેઓ સ્વભાવે લંબગત (transverse) છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના દોલનો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો પ્રવેગિત વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે,સમાન વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારો દ્વારા નહીં.
તેઓ અવકાશમાં પ્રસરણ દરમિયાન ઉર્જા અને વેગમાન બંનેનું વહન કરે છે,જે આ તરંગોનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે.

(B) પ્રવાહીના ટીપાને સ્થિર રાખવા માટે,વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $qE = mg$.
અહીં,$q = ne = 6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, C = 9.6 \times 10^{-19} \, C$.
$E = 25.5 \times 10^3 \, Vm^{-1}$.
દળ $m = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આ કિંમતોને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા: $qE = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g$.
$r^3$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $r^3 = \frac{3qE}{4 \pi \rho g}$.
કિંમતો મૂકતા: $r^3 = \frac{3 \times (9.6 \times 10^{-19}) \times (25.5 \times 10^3)}{4 \times 3.14 \times (1.26 \times 10^3) \times 9.8}$.
$r^3 = \frac{734.4 \times 10^{-16}}{155.13} \approx 4.73 \times 10^{-19} \, m^3$.
$r = \sqrt[3]{473 \times 10^{-21}} \approx 7.8 \times 10^{-7} \, m$.

(A) સાચો પરિપથ શોધવા માટે,આપણે દરેક ઇનપુટ સંયોજન $(A, B)$ માટે આઉટપુટ $C$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $(A=0, B=0)$ માટે,$C=0$.
$2$. $(A=0, B=1)$ માટે,$C=0$.
$3$. $(A=1, B=0)$ માટે,$C=1$.
$4$. $(A=1, B=1)$ માટે,$C=0$.
આ સત્યતા કોષ્ટક બુલિયન અભિવ્યક્તિ $C = A \cdot \overline{B}$ ને અનુરૂપ છે.
હવે,વિકલ્પ $A$ (ઇમેજ $823-a813$) માં આપેલ પરિપથનું વિશ્લેષણ કરીએ:
- ઇનપુટ $A$ એ $AND$ ગેટમાં જાય છે અને $NOT$ ગેટમાંથી પણ પસાર થાય છે.
- ઇનપુટ $B$ એ $AND$ ગેટમાં જાય છે.
- $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
- $NOT$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A}$ છે.
- આ બંનેને $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જેથી $C = \overline{(A \cdot B) + \overline{A}} = \overline{A \cdot B} \cdot A = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot A = A \cdot \overline{B}$ મળે છે.
આ જરૂરી સત્યતા કોષ્ટક સાથે મેળ ખાય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ માં આપેલ પરિપથ સાચો છે.

(C) જ્યારે બે સમાંતર વર્તુળાકાર કોઈલમાં એક જ દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તેઓ એકબીજાને આકર્ષે છે. તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,બંનેમાં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન રહે છે. બે ચુંબકીય ડાયપોલ વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $F$ જે $d$ અંતરે રહેલા છે,તે સામાન્ય રીતે $d^{-4}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,પરંતુ નજીકના ક્ષેત્રના અંદાજમાં બે સમાંતર પ્રવાહ ધરાવતી લૂપ્સ વચ્ચેનું બળ $d^{-2}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,બળ $d^{-1}$ ના પ્રમાણમાં છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(C) વિધાન-$1$ સાચું છે: વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એ એવું પૃષ્ઠ છે જ્યાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ તમામ બિંદુઓ પર સમાન હોય છે. બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે વિદ્યુતભાર $q$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર $V_A = V_B$ હોવાથી,$W = 0$ થાય છે.
વિધાન-$2$ ખોટું છે: વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબ હોય છે,એકબીજાને નહીં. વિધાનમાં દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો પર વિદ્યુત બળ રેખાઓ એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય છે,જે ખોટું છે.

(D) કાચની પ્લેટ દાખલ કરતા પહેલા,સ્લિટ્સથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુએ પથ તફાવત $0$ હોય છે. તેથી,કળા તફાવત $0$ છે અને તીવ્રતા $I_{max} = 4I_0$ છે (જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે).
કાચની પ્લેટ દાખલ કર્યા પછી,ઉદ્ભવતો પથ તફાવત $\Delta x = (\mu - 1)t$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = (1.5 - 1) \times \frac{2500}{3} \lambda = 0.5 \times \frac{2500}{3} \lambda = \frac{1}{2} \times \frac{2500}{3} \lambda = \frac{1250}{3} \lambda$.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{1250}{3} \lambda = \frac{2500\pi}{3} = 833\pi + \frac{\pi}{3} = 833\pi + 60^\circ$.
$833\pi$ એ $\pi$ નો એકી ગુણાંક હોવાથી,અસરકારક કળા તફાવત $\pi + 60^\circ$ અથવા સરળ રીતે $60^\circ$ થાય છે.
તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = 4I_0 \cos^2(60^\circ / 2) = 4I_0 \cos^2(30^\circ) = 4I_0 (\sqrt{3}/2)^2 = 4I_0 \times \frac{3}{4} = 3I_0$.
તેથી,પહેલા અને પછીની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{4I_0}{3I_0} = 4:3$ થાય છે.

(A) ડિસ્કના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ છે.
ડિસ્કની અક્ષ પર $x$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $E' = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}\right)$ છે.
અહીં $x = R$ આપેલ છે,તેથી:
$E' = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{R}{\sqrt{R^2 + R^2}}\right) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \left(1 - \frac{R}{\sqrt{2}R}\right) = E \left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$ હોવાથી,$E' = E(1 - 0.707) = 0.293E$.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઘટાડો $E - E' = E - 0.293E = 0.707E$ થાય છે.
ટકાવારીમાં ઘટાડો $\frac{0.707E}{E} \times 100\% = 70.7\%$ છે.

(B) ધારો કે દરેક અવરોધ $r$ છે. પરિપથ $P, Q$ અને $R$ નોડ્સ વચ્ચે ત્રણ શાખાઓ ધરાવે છે.
શાખા $PQ$ માં એક અવરોધ $r$ છે.
શાખા $QR$ માં બે અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા છે,તેથી તેનો સમતુલ્ય અવરોધ $r_{QR} = r/2$ છે.
શાખા $PR$ માં બે અવરોધો સમાંતર જોડાયેલા છે,તેથી તેનો સમતુલ્ય અવરોધ $r_{PR} = r/2$ છે.
$1$. $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો અવરોધ $(R_{PQ})$:
$R_{PQ}$ એ શાખા $PQ$ (અવરોધ $r$) અને શાખાઓ $PR$ તથા $QR$ ના શ્રેણી જોડાણ (અવરોધ $r/2 + r/2 = r$) નું સમાંતર જોડાણ છે.
$R_{PQ} = \frac{r \times r}{r + r} = \frac{r}{2} = 0.5r$.
$2$. $Q$ અને $R$ વચ્ચેનો અવરોધ $(R_{QR})$:
$R_{QR}$ એ શાખા $QR$ (અવરોધ $r/2$) અને શાખાઓ $PQ$ તથા $PR$ ના શ્રેણી જોડાણ (અવરોધ $r + r/2 = 1.5r$) નું સમાંતર જોડાણ છે.
$R_{QR} = \frac{(r/2) \times (1.5r)}{(r/2) + (1.5r)} = \frac{0.75r^2}{2r} = 0.375r$.
$3$. $P$ અને $R$ વચ્ચેનો અવરોધ $(R_{PR})$:
$R_{PR}$ એ શાખા $PR$ (અવરોધ $r/2$) અને શાખાઓ $PQ$ તથા $QR$ ના શ્રેણી જોડાણ (અવરોધ $r + r/2 = 1.5r$) નું સમાંતર જોડાણ છે.
$R_{PR} = \frac{(r/2) \times (1.5r)}{(r/2) + (1.5r)} = 0.375r$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $R_{PQ} = 0.5r$,$R_{QR} = 0.375r$,અને $R_{PR} = 0.375r$.
આમ,$P$ અને $Q$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ મહત્તમ છે.

(D) આપેલ છે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 8 \times 10^{22} \text{ Am}^2$.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_e = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$.
ચુંબકીય ડાયપોલ માટે વિષુવવૃત્ત પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{R_e^3}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = 10^{-7} \times \frac{8 \times 10^{22}}{(6.4 \times 10^6)^3}$
$B = \frac{8 \times 10^{15}}{262.144 \times 10^{18}}$
$B \approx 0.0305 \times 10^{-3} \text{ T}$
કારણ કે $1 \text{ T} = 10^4 \text{ Gauss}$,
$B \approx 0.0305 \times 10^{-3} \times 10^4 \text{ Gauss} = 0.305 \text{ Gauss}$.
નજીકના વિકલ્પને ધ્યાનમાં લેતા,મૂલ્ય આશરે $0.32 \text{ Gauss}$ છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓરડાના તાપમાને,હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માં હોય છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=2$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=3$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_3 - E_1 = -1.51 - (-13.6) = 12.09 \ eV$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનને $n=1$ થી $n=4$ માં ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $E_4 - E_1 = -0.85 - (-13.6) = 12.75 \ eV$ છે.
આપેલ ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઉર્જા $12.5 \ eV$ હોવાથી,તે હાઇડ્રોજન પરમાણુઓને $n=3$ ઉર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત કરી શકે છે.
જ્યારે આ ઉત્તેજિત પરમાણુઓ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં પાછા ફરે છે,ત્યારે શક્ય સંક્રમણો નીચે મુજબ છે:
$n=3 \rightarrow n=2$ (બામર શ્રેણી)
$n=3 \rightarrow n=1$ (લાઇમન શ્રેણી)
$n=2 \rightarrow n=1$ (લાઇમન શ્રેણી)
આમ,લાઇમન શ્રેણીમાં $2$ રેખાઓ અને બામર શ્રેણીમાં $1$ રેખા મળે છે.

(B) હોલ ઇફેક્ટ મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_y$ એ $E_y = R_H J_x B_z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_H$ એ હોલ અચળાંક છે.
સમપ્રમાણતા અચળાંક $K$ એ $R_H = \frac{E_y}{J_x B_z}$ છે.
$E_y$ નો $SI$ એકમ $V/m$ છે.
$J_x$ નો $SI$ એકમ $A/m^2$ છે.
$B_z$ નો $SI$ એકમ $T$ (ટેસ્લા) છે,જ્યાં $1 \ T = 1 \ N/(A \cdot m)$.
એકમો મૂકતા:
$K = \frac{V/m}{(A/m^2) \cdot (N/(A \cdot m))} = \frac{V/m}{N/m^3} = \frac{V \cdot m^2}{N}$.
કારણ કે $V = (N \cdot m)/(A \cdot s)$,તેથી:
$K = \frac{(N \cdot m / (A \cdot s)) \cdot m^2}{N} = \frac{m^3}{A \cdot s}$.

(C) સ્લેબના સંયોજન માટે આભાસી સ્થાનાંતર $\Delta x$ નું સૂત્ર: $\Delta x = \sum d_i \left(1 - \frac{1}{\mu_i}\right)$ છે.
અહીં,આપણી પાસે બે સ્તરો છે: ગ્લાસ $(d_1 = 1\, cm, \mu_1 = 1.5)$ અને પાણી $(d_2 = 5\, cm, \mu_2 = 1.33)$.
ગ્લાસને કારણે સ્થાનાંતર: $\Delta x_1 = 1 \times (1 - \frac{1}{1.5}) = 1 \times (1 - 0.6667) = 0.3333\, cm$.
પાણીને કારણે સ્થાનાંતર: $\Delta x_2 = 5 \times (1 - \frac{1}{1.33}) = 5 \times (1 - 0.7519) = 5 \times 0.2481 = 1.2405\, cm$.
કુલ સ્થાનાંતર = $\Delta x_1 + \Delta x_2 = 0.3333 + 1.2405 = 1.5738\, cm$.

(B) કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમમાં,નોઈઝ મુખ્યત્વે સિગ્નલના એમ્પ્લિટ્યુડને અસર કરે છે. ફ્રીક્વન્સી મોડ્યુલેશન $(FM)$ સામાન્ય રીતે એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશન $(AM)$ કરતા નોઈઝ સામે વધુ સહનશીલ હોય છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$Short-wave$ સિગ્નલો (જે ઘણીવાર ચોક્કસ પ્રસરણ લાક્ષણિકતાઓ અને મોડ્યુલેશન તકનીકો સાથે સંકળાયેલા હોય છે) ઐતિહાસિક રીતે $Long-wave$ અથવા $Medium-wave$ સિગ્નલોની તુલનામાં લાંબા અંતરના કોમ્યુનિકેશનમાં વધુ સારું પ્રદર્શન કરવા માટે જાણીતા છે,કારણ કે તે વાતાવરણીય નોઈઝ અને હસ્તક્ષેપ સામે વધુ સુરક્ષિત હોય છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનું ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર હોય છે,તેથી $X_L - X_C = 0$.
તેથી,ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ થાય છે,જે સર્કિટ માટે લઘુત્તમ શક્ય મૂલ્ય છે.
$Z$ લઘુત્તમ હોવાથી,પ્રવાહ $I = V/Z$ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે,કળા તફાવત $\phi = \tan^{-1}((X_L - X_C)/R) = 0$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ લાગુ પડેલા વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં છે.
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I X_C = (V/R) X_C$ છે. જો $R$ ઘટાડવામાં આવે,તો $I$ વધે છે,તેથી $V_C$ વધે છે.
આમ,ઇમ્પિડન્સ મહત્તમ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે દ્રવ્ય બદલવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
પ્રથમ કેપેસિટરનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{1}{3}A$,ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_1 = 2K$ અને અંતર $d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A_1}{d} = \frac{(2K) \epsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{2}{3} \frac{K \epsilon_0 A}{d} = \frac{2}{3} C_0$ થાય.
બીજા કેપેસિટરનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{2}{3}A$,ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_2 = K$ અને અંતર $d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A_2}{d} = \frac{K \epsilon_0 (2A/3)}{d} = \frac{2}{3} \frac{K \epsilon_0 A}{d} = \frac{2}{3} C_0$ થાય.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ કેપેસિટન્સ $C = C_1 + C_2 = \frac{2}{3} C_0 + \frac{2}{3} C_0 = \frac{4}{3} C_0$ થાય.
તેથી,$\frac{C}{C_0} = \frac{4}{3}$.

(D) $LR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $X_L = 2R$,તેથી જૂનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{5R^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય.
જ્યારે $X_C = R$ ધરાવતું કેપેસિટર શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ઇમ્પિડન્સ $Z_{new} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$Z_{new} = \sqrt{R^2 + (2R - R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$ મળે.
નવો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi_2 = \frac{R}{Z_{new}} = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
નવા પાવર ફેક્ટર અને જૂના પાવર ફેક્ટરનો ગુણોત્તર $\frac{\cos \phi_2}{\cos \phi_1} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ થાય.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $V_0 = \frac{hc}{e} \left(\frac{1}{\lambda}\right) - \frac{\phi}{e}$.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં ઢાળ $m = \frac{hc}{e}$ બંને ધાતુઓ માટે સમાન છે,અને x-અંતઃખંડ $\frac{1}{\lambda_0} = \frac{\phi}{hc}$ છે.
આલેખ પરથી,ધાતુ $A$ માટે x-અંતઃખંડ એ ધાતુ $B$ માટેના x-અંતઃખંડ કરતા નાનો છે. કારણ કે x-અંતઃખંડ એ કાર્ય વિધેય $\phi$ ના સમપ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\phi = hc \cdot (1/\lambda_0)$),તેથી નાનો x-અંતઃખંડ એ નાનું કાર્ય વિધેય સૂચવે છે.
તેથી,$\phi_A < \phi_B$,જેનો અર્થ છે કે ધાતુ $B$ નું કાર્ય વિધેય ધાતુ $A$ કરતા વધારે છે.

(D) તરંગલંબાઇ $\lambda$ માટે,$n$-મી મહત્તમ તીવ્રતા માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ છે,અને $m$-મી ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટેની શરત પથ તફાવત $\Delta x = (m + 1/2)\lambda$ છે.
ધારો કે પથ તફાવત $\Delta x$ છે. ઇન્ટરફરન્સ પેટર્ન અસ્પષ્ટ થવાની શરત એ છે કે $\lambda_1$ ની મહત્તમ તીવ્રતા $\lambda_2$ ની ન્યૂનતમ તીવ્રતા સાથે સંપાત થાય.
કિસ્સો $1$: $\lambda_1$ ની મહત્તમ તીવ્રતા $\lambda_2$ ની ન્યૂનતમ તીવ્રતા સાથે સંપાત થાય:
$\Delta x = n\lambda_1 = (m + 1/2)\lambda_2$
$n(500) = (m + 1/2)(600)$
$5n = 6m + 3$
સૌથી નાની પૂર્ણાંક કિંમતો માટે,જો $m = 2$ લઈએ,તો $5n = 15 \Rightarrow n = 3$.
આમ,$\Delta x = 3 \times 500 = 1500\,nm$.
કિસ્સો $2$: $\lambda_2$ ની મહત્તમ તીવ્રતા $\lambda_1$ ની ન્યૂનતમ તીવ્રતા સાથે સંપાત થાય:
$\Delta x = n\lambda_2 = (m + 1/2)\lambda_1$
$n(600) = (m + 1/2)(500)$
$6n = 5m + 2.5 \Rightarrow 12n = 10m + 5$.
આ કિસ્સો પૂર્ણાંક $n, m$ માટે શક્ય નથી.
તેથી,અસ્પષ્ટતાનું પ્રથમ બિંદુ $\Delta x = 1500\,nm$ પર મળે છે.

(C) રેડિયો તરંગોની તરંગલંબાઇ માઇક્રોવેવ્સ કરતા વધારે હોય છે. આવૃત્તિ $f$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(f = c/\lambda)$,રેડિયો તરંગોની આવૃત્તિ માઇક્રોવેવ્સ કરતા ઓછી હોય છે. તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે.
જ્યારે તરંગની તરંગલંબાઇ અવરોધ અથવા છિદ્રના કદ જેટલી હોય ત્યારે વિવર્તન વધુ સ્પષ્ટ થાય છે. રેડિયો તરંગોની તરંગલંબાઇ માઇક્રોવેવ્સ કરતા મોટી હોવાથી,તેઓ વધુ વિવર્તન અનુભવે છે. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{12400}{\lambda(\text{in } \mathring{A})} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = 2500\, \mathring{A}$ મૂકતા,$E = \frac{12400}{2500} = 4.96\, eV$ મળે છે.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \Phi$ છે,જ્યાં $\Phi = 4.47\, eV$ વર્ક ફંક્શન છે.
$K_{max} = 4.96 - 4.47 = 0.49\, eV$.
જેમ જેમ ગોળો ઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન કરે છે,તેમ તે ધન વીજભારિત બને છે,જે એક પોટેન્શિયલ $V$ ઉત્પન્ન કરે છે જે વધુ ઉત્સર્જનને અટકાવે છે. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V = K_{max}/e$ હોવાથી,$V = 0.49\, V$ મળે છે.
વીજભારિત ગોળાનું પોટેન્શિયલ $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r} = k \frac{Q}{r}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9\, N\cdot m^2/C^2$ અને $r = 0.01\, m$ છે.
$0.49 = \frac{9 \times 10^9 \times Q}{0.01}$.
$Q = \frac{0.49 \times 0.01}{9 \times 10^9} = \frac{0.0049}{9 \times 10^9} \approx 5.44 \times 10^{-13}\, C$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$Q = 5.5 \times 10^{-13}\, C$.

(B) ડિસ્ટોર્શન વગર એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલના યોગ્ય ડિટેક્શન માટેની શરત એ છે કે ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC$ એ સંબંધ $\tau \le \frac{1}{\omega_m m_a}$ નું પાલન કરવું જોઈએ,જ્યાં $\omega_m = 2\pi f_m$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલની કોણીય આવૃત્તિ છે અને $m_a$ એ મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ છે.
આપેલ છે:
$R = 100\, k\Omega = 10^5\, \Omega$
$C = 250\, pF = 250 \times 10^{-12}\, F$
$m_a = 60\% = 0.6$
શોધી શકાય તેવી મહત્તમ આવૃત્તિ $f_m$ નીચે મુજબ છે:
$f_m = \frac{1}{2\pi m_a RC}$
ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટની ગણતરી:
$\tau = RC = 10^5 \times 250 \times 10^{-12} = 2.5 \times 10^{-5}\, s$
કિંમતો મૂકતા:
$f_m = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 0.6 \times 2.5 \times 10^{-5}}$
$f_m = \frac{1}{9.4248 \times 10^{-5}}$
$f_m \approx 10610\, Hz = 10.61\, kHz$

(A) નાના લૂપને કારણે મોટા લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\phi = \frac{\mu_{0} I \pi R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{2(R_{1}^{2} + x^{2})^{3/2}}$
અહીં,$R_{1} = 0.3 \times 10^{-2} \, m$ (નાના લૂપની ત્રિજ્યા),
$R_{2} = 0.2 \, m$ (મોટા લૂપની ત્રિજ્યા),
$x = 0.15 \, m$ (કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર),
$I = 20 \, A$ (પ્રવાહ).
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 20 \times \pi \times (0.3 \times 10^{-2})^{2} \times (0.2)^{2}}{2((0.3 \times 10^{-2})^{2} + (0.15)^{2})^{3/2}}$
ગણતરી કરતા:
$\phi \approx 9.1 \times 10^{-11} \, Wb$.

(B) ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $C = \overline{A+B}$ છે.
આ સિગ્નલ $C$ ને અનુક્રમે ઇનપુટ $A$ અને $B$ સાથે પછીના બે $NOR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
આ બે ગેટના આઉટપુટ $D = \overline{A+C} = \overline{A+\overline{A+B}}$ અને $E = \overline{B+C} = \overline{B+\overline{A+B}}$ છે.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$D = \overline{A} \cdot (A+B) = \overline{A}A + \overline{A}B = 0 + \overline{A}B = \overline{A}B$.
તે જ રીતે,$E = \overline{B} \cdot (A+B) = \overline{B}A + \overline{B}B = A\overline{B} + 0 = A\overline{B}$.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ એ $D$ અને $E$ નો $NOR$ છે: $Y = \overline{D+E} = \overline{\overline{A}B + A\overline{B}}$.
આ $XOR$ ગેટ માટેનું સમીકરણ છે,જે $A \oplus B$ છે.
$A \oplus B$ માટેનું સત્યતા કોષ્ટક નીચે મુજબ છે:

$A, B$	$Y$
$0, 0$	$0$
$0, 1$	$1$
$1, 0$	$1$
$1, 1$	$0$