એક આદર્શ વાયુને ઉભી નળાકાર પાત્રમાં રાખેલ છે જે $M$ દળના મુક્ત રીતે ગતિ કરતા પિસ્ટનને ટેકો આપે છે। પિસ્ટન અને નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે। જ્યારે પિસ્ટન સંતુલનમાં હોય, ત્યારે વાયુનું કદ $V_0$ અને તેનું દબાણ $P_0$ છે। પિસ્ટનને સંતુલન સ્થિતિમાંથી થોડું સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે। ધારો કે સિસ્ટમ તેના આસપાસના વાતાવરણથી સંપૂર્ણપણે અલગ છે, તો પિસ્ટન કઈ આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે?

એક વર્ટિકલ સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ નાના દોલનો કરતા સાદા લોલક જેટલો જ છે. હવે, આ બંનેને $a = 5 \,m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ જતી લિફ્ટમાં મૂકવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રના આવર્તકાળ અને લોલકના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર કેટલો થશે? (ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$ લો)

બે કણો,$1$ અને $2$,દરેકનું દળ $m$ છે,જે એક દળરહિત સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા છે અને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમક્ષિતિજ ઘર્ષણરહિત સપાટી પર છે. શરૂઆતમાં,બંને કણો,જેમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_0$ પર છે,તે $a$ કંપવિસ્તાર અને $\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે. તેથી,સમય $t$ પર તેમના સ્થાન $x_1(t) = (x_0 + d) + a \sin \omega t$ અને $x_2(t) = (x_0 - d) - a \sin \omega t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d > 2a$. $m$ દળનો કણ $3$,$u_0 = a \omega / 2$ ઝડપ સાથે આ તંત્ર તરફ ગતિ કરે છે અને સમય $t_0$ પર કણ $2$ સાથે ત્વરિત સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે. અંતે,કણો $1$ અને $2$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ $v_{cm}$ પ્રાપ્ત કરે છે અને સમાન કોણીય આવૃત્તિ સાથે $b$ કંપવિસ્તારથી દોલન કરે છે.
$(1)$ જો અથડામણ સમય $t_0 = 0$ પર થાય,તો $v_{cm} / (a \omega)$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
$(2)$ જો અથડામણ સમય $t_0 = \pi / (2 \omega)$ પર થાય,તો $4b^2 / a^2$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?

બે સમાન નળાકારો (દરેકનું દળ $m$,ઘનતા $\rho_0$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $s$) સંતુલનમાં છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $\rho_1$ અને $\rho_2$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરેલા બે પાત્રોમાં આંશિક રીતે ડૂબેલા છે. આ તંત્રના સંતુલન સ્થાનની આસપાસ થતા નાના દોલનોનો આવર્તકાળ શોધો. પાત્રોમાં પ્રવાહીના સ્તરમાં થતા ફેરફારોને અવગણો. દોરીનું દળ અવગણો. ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે. ($v$ એ દરેક બ્લોકનું કદ છે).

ખાલી જગ્યા પૂરો:
$1.$ જો પૃથ્વીના વ્યાસ પર એક ટનલ ખોદવામાં આવે અને તેમાં એક પદાર્થને મુક્તપણે છોડવામાં આવે,તો આ પદાર્થની ગતિ ......... છે,જો તેના પર માધ્યમનું કોઈ ઘર્ષણ બળ લાગતું ન હોય.
$2.$ જ્યારે કોઈ પદાર્થ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે અને $\frac{1}{2\pi}$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે તેનો કળા (phase) ......... $rad$ જેટલો વધે છે.
$3.$ સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કળા દર સેકન્ડે ......... જેટલી વધે છે.
$4.$ બે સ્પ્રિંગના બળ અચળાંકોનો ગુણોત્તર $1:2$ છે અને તેમની યાંત્રિક ઉર્જાનો ગુણોત્તર $2:9$ છે,તો સ્પ્રિંગના છેડે લટકાવેલા બે પદાર્થોના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર ......... છે.

$t=0$ સમયે,$3 \ s$ ના આવર્તકાળ સાથે $SHM$ કરતો એક કણ બીજા $SHM$ કરતા કણ સાથે સમાન કળામાં છે. બીજા કણનો આવર્તકાળ $T$ ($3 \ s$ કરતા ઓછો) છે. જો તેઓ $45 \ s$ પછી ત્રીજી વાર ફરીથી સમાન કળામાં હોય,તો $T$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે ($s$ માં)?