GSEB 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) संबंध $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ के रूप में परिभाषित है।
प्रत्येक विकल्प की जाँच करते हैं:
$A$: $(2, 4)$ के लिए,$b = 4$ है। चूँकि $4 > 6$ सत्य नहीं है,इसलिए $(2, 4) \notin R$ है।
$B$: $(8, 7)$ के लिए,$a = 8$ और $b = 7$ है। यहाँ $a = b - 2$ का अर्थ है $8 = 7 - 2$,जो $8 = 5$ है (असत्य)।
$C$: $(3, 8)$ के लिए,$a = 3$ और $b = 8$ है। यहाँ $a = b - 2$ का अर्थ है $3 = 8 - 2$,जो $3 = 6$ है (असत्य)।
$D$: $(6, 8)$ के लिए,$a = 6$ और $b = 8$ है। यहाँ $b > 6$ का अर्थ है $8 > 6$ (सत्य),और $a = b - 2$ का अर्थ है $6 = 8 - 2$,जो $6 = 6$ है (सत्य)।
अतः,$(6, 8) \in R$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x) = (3 - x^5)^{\frac{1}{5}}$ है।
$(f \circ f)(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(f(x))$ की गणना करेंगे।
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})$.
फलन की परिभाषा में $f(x)$ का मान रखने पर:
$(f \circ f)(x) = (3 - ((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})^5)^{\frac{1}{5}}$.
आंतरिक पद को सरल करने पर: $((3 - x^5)^{\frac{1}{5}})^5 = 3 - x^5$.
अतः,$(f \circ f)(x) = (3 - (3 - x^5))^{\frac{1}{5}}$.
$(f \circ f)(x) = (3 - 3 + x^5)^{\frac{1}{5}}$.
$(f \circ f)(x) = (x^5)^{\frac{1}{5}} = x$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}(1-x)-2 \sin ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$.
माना $\sin ^{-1} x = \theta$,तो $x = \sin \theta$. जहाँ $x \in [-1, 1]$,इसलिए $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\sin ^{-1}(1-x) = \frac{\pi}{2} + 2\theta$.
दोनों तरफ $\sin$ लेने पर: $1-x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\theta) = \cos(2\theta)$.
सर्वसमिका $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $1-x = 1 - 2x^2$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $2x^2 - x = 0$,जिसका अर्थ है $x(2x-1) = 0$.
अतः,$x = 0$ या $x = \frac{1}{2}$.
$x = 0$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(1) - 2\sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$. यह एक हल है।
$x = \frac{1}{2}$ की जाँच करने पर: $\sin^{-1}(1-\frac{1}{2}) - 2\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \sin^{-1}(\frac{1}{2}) - 2(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2}$.
इसलिए,केवल $x = 0$ ही सही हल है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1} \frac{x}{5}+\sin ^{-1} \frac{4}{5}=\frac{\pi}{2}$
हम जानते हैं कि $y \in [-1, 1]$ के लिए $\sin ^{-1} y + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ होता है।
अतः,$\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{4}{5}$.
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \cos ^{-1} \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
माना $\cos ^{-1} \frac{4}{5} = \theta$,तो $\cos \theta = \frac{4}{5}$ होगा।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin ^{-1} \frac{x}{5} = \sin ^{-1} \frac{3}{5}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $\frac{x}{5} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 3$।

(C) हम जानते हैं कि $\tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.
साथ ही,हम गुणधर्म $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x)$ का उपयोग करते हैं।
इसलिए,$\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot^{-1}(\sqrt{3})$.
चूंकि $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \cot^{-1}(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}$.
हर समान करने पर:
$\frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए $x = \sec \theta$. चूँकि $x > 1$,हमारे पास $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है।
तब,$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\tan^2 \theta} = \tan \theta$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right) = \cot ^{-1}(\cot \theta)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cot ^{-1}(\cot \theta) = \theta$.
$\theta = \sec ^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें परिणाम $\sec ^{-1} x$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $A^2 = A$ है।
हमें $(I + A)^3 - 7A$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूहों के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(I + A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$ है।
चूँकि $I^n = I$ और $IA = AI = A$ होता है,हमारे पास है:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3A^2 + A^3$।
चूँकि $A^2 = A$ दिया गया है,इसलिए $A^3 = A^2 \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3A + A = I + 7A$।
अब,$7A$ घटाने पर:
$(I + A)^3 - 7A = (I + 7A) - 7A = I$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^T = A$ और $B^T = B$ है।
मान लीजिए आव्यूह $X = AB - BA$ है।
यह जांचने के लिए कि $X$ सममित है या विषम सममित,हम इसका परिवर्त आव्यूह ज्ञात करते हैं:
$X^T = (AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T$.
गुणधर्म $(PQ)^T = Q^T P^T$ का उपयोग करने पर:
$X^T = B^T A^T - A^T B^T$.
चूंकि $A^T = A$ और $B^T = B$ है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$X^T = BA - AB = -(AB - BA) = -X$.
चूंकि $X^T = -X$ है,इसलिए आव्यूह $AB - BA$ एक विषम सममित आव्यूह है।

(D) एक $3 \times 3$ आव्यूह में कुल $3 \times 3 = 9$ अवयव होते हैं।
प्रत्येक अवयव को $2$ तरीकों से चुना जा सकता है (या तो $2$ या $9$)।
चूंकि $9$ स्थान हैं और प्रत्येक स्थान के लिए $2$ विकल्प हैं,इसलिए ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या $2^9$ द्वारा दी जाती है।
$2^9$ की गणना करने पर,हमें $2^9 = 512$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि $n \times n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का गुणधर्म इस प्रकार है:
$|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$
यहाँ दिया गया है कि आव्यूह $A$ की कोटि $3 \times 3$ है,इसलिए $n = 3$ है।
सूत्र में $n = 3$ रखने पर:
$|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) सारणिक $A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 13 \\ 3 & 0 & 5 \\ 6 & 7 & 11 \end{vmatrix}$ दिया गया है।
किसी अवयव $a_{ij}$ का सह-खंड $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{ij}$ उपसारणिक है।
$1$. अवयव $13$ $(a_{13})$ के लिए: $p = C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} = (1)(21 - 0) = 21$.
$2$. अवयव $5$ $(a_{23})$ के लिए: $q = C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} = (-1)(7 - 12) = (-1)(-5) = 5$.
$3$. अवयव $11$ $(a_{33})$ के लिए: $r = C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0 - 6) = -6$.
अब,$p + 3q + 6r$ की गणना करें:
$p + 3q + 6r = 21 + 3(5) + 6(-6)$
$= 21 + 15 - 36$
$= 36 - 36 = 0$.

(B) फलन $f(x)$ के $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$x \to \frac{\pi}{2}$ पर $f(x)$ की सीमा $f(\frac{\pi}{2})$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $f(\frac{\pi}{2}) = 3$.
हम सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}$.
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$. जैसे $x \to \frac{\pi}{2}$,वैसे $h \to 0$.
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$\lim_{h \to 0} \frac{k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-k \sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$.
चूंकि $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,इसलिए सीमा $\frac{k}{2}$ है।
सीमा को फलन के मान के बराबर रखने पर: $\frac{k}{2} = 3 \implies k = 6$.

(B) दिया गया है कि $x = a(\theta + \sin \theta)$ और $y = a(1 - \cos \theta)$ है।
सबसे पहले,$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$.
इसके बाद,$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a(0 - (-\sin \theta)) = a \sin \theta$.
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{\theta}{2}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $y = 5 \cos x - 3 \sin x$.
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(5 \cos x - 3 \sin x) = -5 \sin x - 3 \cos x$.
अब,द्वितीय अवकलज प्राप्त करने के लिए पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d}{d x}(-5 \sin x - 3 \cos x) = -5 \cos x - 3(-\sin x) = -5 \cos x + 3 \sin x$.
$-1$ कॉमन लेने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -(5 \cos x - 3 \sin x)$.
चूंकि $y = 5 \cos x - 3 \sin x$,इसलिए:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = -y$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) अंतराल $[0, 1]$ पर फलन $f(x) = [x(x-1) + 1]^{\frac{1}{3}}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
माना $g(x) = x(x-1) + 1 = x^2 - x + 1$.
तब $f(x) = [g(x)]^{\frac{1}{3}}$.
$f'(x) = \frac{1}{3} [g(x)]^{-\frac{2}{3}} \cdot g'(x) = \frac{1}{3} [x^2 - x + 1]^{-\frac{2}{3}} (2x - 1)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2x - 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{2}$.
अब,हम क्रांतिक बिंदु और अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = [0(0-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(1) = [1(1-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$.
$f(\frac{1}{2}) = [\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1) + 1]^{\frac{1}{3}} = [-\frac{1}{4} + 1]^{\frac{1}{3}} = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$.
मानों $1$,$1$,और $(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $1$ है।

(D) समाकलन $I = \int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम पहले समाकल्य को सरल करते हैं:
$I = \int \frac{dx}{e^x + \frac{1}{e^x}} = \int \frac{e^x dx}{(e^x)^2 + 1}$.
माना $u = e^x$. तब $du = e^x dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{du}{u^2 + 1}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{u^2 + 1} = \tan^{-1}(u) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \tan^{-1}(e^x) + C$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,
$I = \int_0^1 x(1-x)^n dx$
$I = \int_0^1 (1-x)(1-(1-x))^n dx$
$I = \int_0^1 (1-x)x^n dx$
$I = \int_0^1 (x^n - x^{n+1}) dx$
अब,पदवार समाकलन करने पर:
$I = [\frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2}]_0^1$
$I = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$
$I = \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)}$
$I = \frac{1}{n^2 + 3n + 2}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना $I = \int_a^b x f(x) d x$.
गुणधर्म $\int_a^b g(x) d x = \int_a^b g(a+b-x) d x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_a^b (a+b-x) f(a+b-x) d x$.
चूंकि $f(a+b-x) = f(x)$,यह समीकरण इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int_a^b (a+b-x) f(x) d x$.
$I = (a+b) \int_a^b f(x) d x - \int_a^b x f(x) d x$.
$I = (a+b) \int_a^b f(x) d x - I$.
$2I = (a+b) \int_a^b f(x) d x$.
$I = \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) d x$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) समाकलन $\int \sqrt{x^2-8 x+7} \, dx$ को हल करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$x^2 - 8x + 7 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 7 = (x-4)^2 - 3^2$.
अब समाकलन $\int \sqrt{(x-4)^2 - 3^2} \, dx$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{t^2 - a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2 - a^2} - \frac{a^2}{2} \log \left|t + \sqrt{t^2 - a^2}\right| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = x-4$ और $a = 3$ है:
$= \frac{x-4}{2} \sqrt{(x-4)^2 - 3^2} - \frac{3^2}{2} \log \left|(x-4) + \sqrt{(x-4)^2 - 3^2}\right| + C$
$= \frac{x-4}{2} \sqrt{x^2-8x+7} - \frac{9}{2} \log \left|x-4 + \sqrt{x^2-8x+7}\right| + C$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $D$ है।

(D) हमें समाकलन $I = \int \frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3} d x$ का मान ज्ञात करना है।
अंश को $(x-1-2)$ के रूप में लिखें:
$I = \int \frac{(x-1-2) e^x}{(x-1)^3} d x$
$I = \int \left( \frac{x-1}{(x-1)^3} - \frac{2}{(x-1)^3} \right) e^x d x$
$I = \int \left( \frac{1}{(x-1)^2} - \frac{2}{(x-1)^3} \right) e^x d x$
मानक समाकलन रूप $\int e^x [f(x) + f'(x)] d x = e^x f(x) + C$ को याद करें।
मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} = (x-1)^{-2}$ है।
तब $f'(x) = -2(x-1)^{-3} = -\frac{2}{(x-1)^3}$ होगा।
चूंकि समाकल्य $e^x [f(x) + f'(x)]$ के रूप में है,इसलिए समाकलन $e^x f(x) + C$ होगा।
अतः,$I = \frac{e^x}{(x-1)^2} + C$।

(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx$ को हल करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -( (x-1)^2 - 1 ) = 1 - (x-1)^2$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x-1$ और $a = 1$ है:
$I = \sin^{-1}(\frac{x-1}{1}) + C = \sin^{-1}(x-1) + C$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) समाकल $I = \int \frac{1}{x+x \log x} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर से $x$ को उभयनिष्ठ (common) लेते हैं:
$I = \int \frac{1}{x(1+\log x)} dx$
माना $u = 1+\log x$. तब,इसका अवकलन $du = \frac{1}{x} dx$ होगा।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u} du$
$I = \log |u| + C$
अब $u = 1+\log x$ वापस रखने पर:
$I = \log |1+\log x| + C$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
इसका अर्थ है कि $a = 4$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi ab$ होता है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर,हमें $A = \pi \times 4 \times 3 = 12 \pi$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) अवकल समीकरण का विशिष्ट हल वह हल है जो व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,एक विशिष्ट हल में कोई भी स्वेच्छ अचर नहीं होता है।
इसलिए,विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या $0$ होती है।

(B) अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में मौजूद उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। दिए गए समीकरण में,उच्चतम अवकलज $\frac{d^2 y}{d x}^{2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की वह घात होती है जब समीकरण को उसके अवकलजों में एक बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
दिए गए समीकरण में $\sin \left(\frac{d y}{d x}\right)$ पद शामिल है,जो अवकलज का एक पारलौकिक (transcendental) फलन है।
चूंकि समीकरण को उसके अवकलजों में बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए घात परिभाषित नहीं है।
अतः,कोटि $2$ है और घात परिभाषित नहीं है।

(A) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,हमें $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|$ प्राप्त होता है।
चूंकि कोसाइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए निरपेक्ष मान $|\cos \theta|$,$0 \leq |\cos \theta| \leq 1$ को संतुष्ट करता है।
$|\vec{a}| |\vec{b}|$ (जो कि ऋणेतर है) से गुणा करने पर,हमें $0 \leq |\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\vec{a}| |\vec{b}| \geq |\vec{a} \cdot \vec{b}|$। इसे कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के रूप में जाना जाता है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,हमें मिलता है $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
दिए गए परिमाण $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=5$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$4 + 9 + 25 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$38 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -38$।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -19$।

(D) हम जानते हैं कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में इकाई सदिशों के गुणधर्म हैं:
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) + \hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{k} \cdot \hat{k} + \hat{i} \cdot \hat{i}$
चूंकि एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ डॉट गुणनफल $1$ होता है:
$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$
$\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$
अतः,$1 + 1 = 2$.
यदि प्रश्न में $\hat{i} \cdot (\hat{k} \times \hat{j})$ हो,तो $1 - 1 = 0$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए सही उत्तर $0$ है।

(C) दिया गया है कि $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = \frac{\sqrt{2}}{3}$,और $|\vec{a} \times \vec{b}| = 1$ (क्योंकि यह एक इकाई सदिश है)।
हम जानते हैं कि सदिश गुणनफल के परिमाण का सूत्र: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin(\theta)$.
इसे सरल करने पर: $1 = \sqrt{2} \sin(\theta)$.
अतः,$\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।

(A) ,$B$ और $C$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$।
दिए गए शीर्ष $A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ और $C(2, 3, 1)$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} = \langle 0, 1, 2 \rangle$।
$\vec{AC} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k} = \langle 1, 2, 0 \rangle$।
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करें:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$।
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \sqrt{21} = \frac{\sqrt{21}}{2}$ है।

(C) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{p}=\vec{a}-\vec{b} = (1-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = 0\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}$ की गणना करें।
इसके बाद,$\vec{q}=\vec{a}+\vec{b} = (1+1)\hat{i} + (-1+2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = 2\hat{i}+1\hat{j}-2\hat{k}$ की गणना करें।
$\vec{p}$ और $\vec{q}$ दोनों के लंबवत सदिश $\vec{n} = \vec{p} \times \vec{q}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & 4 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-4) - \hat{j}(0-8) + \hat{k}(0-(-6)) = 2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}$।
इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{2^2+8^2+6^2}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{4+64+36}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{\sqrt{104}} = \frac{2\hat{i}+8\hat{j}+6\hat{k}}{2\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{26}}\hat{i}+\frac{4}{\sqrt{26}}\hat{j}+\frac{3}{\sqrt{26}}\hat{k}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(NONE) अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})$ को सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$,और $\vec{c}$ के घटकों से बने सारणिक द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$= 2((-2)(2) - (1)(-1)) - (-1)((1)(2) - (1)(3)) + 3((1)(-1) - (-2)(3))$
$= 2(-4 + 1) + 1(2 - 3) + 3(-1 + 6)$
$= 2(-3) + 1(-1) + 3(5)$
$= -6 - 1 + 15$
$= 8$.

(A) दिया गया है कि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ है।
दिया गया समीकरण: $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 15$ है।
अदिश गुणन (dot product) के गुणधर्म $(A-B) \cdot (A+B) = |A|^2 - |B|^2$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 15$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\vec{a}| = 1$ है,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 1$ होगा।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{x}|^2 - 1 = 15$ है।
$|\vec{x}|^2 = 16$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\vec{x}| = 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
$\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप सदिश का सूत्र: $\left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$.
इसके बाद,$\vec{b}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|\vec{b}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\text{प्रक्षेप सदिश} = \frac{10}{14} (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{5}{7} (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{15}{7}\hat{i} - \frac{10}{7}\hat{j} + \frac{5}{7}\hat{k}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x-1}{0}=\frac{y+1}{5}=\frac{z-3}{0}$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ से तुलना करने पर,हमें दिक अनुपात $(a, b, c) = (0, 5, 0)$ प्राप्त होते हैं।
दिक कोसाइन $(l, m, n)$ इस प्रकार दिए जाते हैं: $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
यहाँ,$\sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{0^2+5^2+0^2} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,$l = \frac{0}{5} = 0$,$m = \frac{5}{5} = 1$,और $n = \frac{0}{5} = 0$.
इसलिए,दिक कोसाइन $(0, 1, 0)$ हैं।

(A) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (2, 3, 6)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (10, 2, -11)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
अतः,$\cos \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(B) उद्देश्य फलन $Z = 8000x + 12000y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 8000(0) + 12000(0) = 0$
$2$. $(20,0)$ पर: $Z = 8000(20) + 12000(0) = 160000$
$3$. $(12,6)$ पर: $Z = 8000(12) + 12000(6) = 96000 + 72000 = 168000$
$4$. $(0,10)$ पर: $Z = 8000(0) + 12000(10) = 120000$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $168000$ है,जो बिंदु $(12,6)$ पर प्राप्त होता है।

(B) उद्देश्य फलन $Z = 10500x + 9000y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 10500(0) + 9000(0) = 0$
$2$. $(40,0)$ पर: $Z = 10500(40) + 9000(0) = 4,20,000$
$3$. $(30,20)$ पर: $Z = 10500(30) + 9000(20) = 3,15,000 + 1,80,000 = 4,95,000$
$4$. $(0,50)$ पर: $Z = 10500(0) + 9000(50) = 4,50,000$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $4,95,000$ है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $Z = qx + py$ का अधिकतम मान दो कोणीय बिंदुओं $(3,4)$ और $(0,5)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
$Z(3,4) = q(3) + p(4) = 3q + 4p$
$Z(0,5) = q(0) + p(5) = 5p$
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3q + 4p = 5p$
$3q = 5p - 4p$
$3q = p$
अतः,अभीष्ट शर्त $p = 3q$ है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(B) कुल बल्बों की संख्या = $100$ है।
खराब बल्बों की संख्या = $10$ है।
सही बल्बों की संख्या = $100 - 10 = 90$ है।
एक बार में सही बल्ब चुनने की प्रायिकता $p = \frac{90}{100} = \frac{9}{10}$ है।
चूंकि हम $5$ बल्ब चुन रहे हैं,और यह मानते हुए कि चयन प्रतिस्थापन के साथ किया गया है (या नमूना आकार जनसंख्या के सापेक्ष छोटा है),तो $5$ बल्बों में से कोई भी खराब न होने की प्रायिकता द्विपद प्रायिकता $P(X=0) = \left(\frac{9}{10}\right)^5$ द्वारा दी जाती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $P(B \mid A) = 1$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ होता है।
चूंकि $P(B \mid A) = 1$ है,इसलिए $\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1$,जिसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = P(A)$।
यह समानता $P(A \cap B) = P(A)$ तभी संभव है जब $A \subseteq B$ हो।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र होती हैं यदि और केवल यदि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ हो।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cap B' = (A \cup B)'$ होता है।
इसलिए,$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$ होता है।
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$ होता है।
इस मान को $P(A' \cap B')$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A' \cap B') = 1 - [P(A) + P(B) - P(A)P(B)]$
$P(A' \cap B') = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$
$P(A' \cap B') = [1 - P(A)] - P(B)[1 - P(A)]$
$P(A' \cap B') = [1 - P(A)][1 - P(B)]$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।