int_0^1 x(1-x)^n dx = . . . . . . . | vedclass

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Question

(C) निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$I = \int_0^1 x(1-x)^n dx$ $I = \int_0^1 (1-x)(1-(1-x))^n dx$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{n^2+3n+2}$

Vedclass · Answer

(C) निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$I = \int_0^1 x(1-x)^n dx$ $I = \int_0^1 (1-x)(1-(1-x))^n dx$ $I = \int_0^1 (1-x)x^n dx$ $I = \int_0^1 (x^n - x^{n+1}) dx$ अब,पदवार समाकलन करने पर: $I = [\frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2}]_0^1$ $I = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$ $I = \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)}$ $I = \frac{1}{n^2 + 3n + 2}$ अतः,सही विकल्प $C$ है।

$\int_0^1 x(1-x)^n dx = $ . . . . . . .

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समाकलन $\int \limits_{-\log _{e} 2}^{\log _e 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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