GSEB 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) समुच्चय $A$ पर एक संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य,सममित और संक्रामक हो।
$1$. स्वतुल्य: प्रत्येक $a \in A$ के लिए,$(a, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(1, 1), (2, 2), (3, 3) \in R$ है,इसलिए यह स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। चूँकि सभी अवयव $(a, a)$ के रूप में हैं,उन्हें बदलने पर समान युग्म प्राप्त होता है,इसलिए यह सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। इस संबंध के लिए,यह शर्त पूरी होती है क्योंकि यहाँ कोई अलग $(a, b)$ और $(b, c)$ युग्म नहीं हैं जिनके लिए किसी अन्य $(a, c)$ की आवश्यकता हो।
अतः,$R$ तीनों गुणों को संतुष्ट करता है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(D) दिया गया है $f(x) = (3 - x^3)^{\frac{1}{3}}$.
सबसे पहले,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f((3 - x^3)^{\frac{1}{3}})$ ज्ञात करें।
$f(x)$ को फलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(f(x)) = (3 - ((3 - x^3)^{\frac{1}{3}})^3)^{\frac{1}{3}}$.
सरल करने पर: $f(f(x)) = (3 - (3 - x^3))^{\frac{1}{3}} = (3 - 3 + x^3)^{\frac{1}{3}} = (x^3)^{\frac{1}{3}} = x$.
अब,$f \circ (f \circ f)(x) = f(f(f(x))) = f(x)$ ज्ञात करें।
अतः,$f \circ (f \circ f)(x) = (3 - x^3)^{\frac{1}{3}}$.

(D) प्रति-कोसाइन फलन (inverse cosine function) की मुख्य मान शाखा,जिसे $\cos^{-1} x$ द्वारा दर्शाया जाता है,अंतराल $[0, \pi]$ के रूप में परिभाषित है।
इसलिए,यदि $\cos^{-1} x = y$ है,तो $y$ का परिसर $0 \leq y \leq \pi$ होना चाहिए।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$। इसलिए,$\cos(-680^{\circ}) = \cos(680^{\circ})$।
हम $680^{\circ}$ को $720^{\circ} - 40^{\circ}$ के रूप में लिख सकते हैं,जो $4\pi - 40^{\circ}$ है।
चूंकि $\cos(2n\pi - \theta) = \cos(\theta)$,इसलिए $\cos(680^{\circ}) = \cos(40^{\circ})$।
$\cos^{-1}(x)$ की मुख्य मान शाखा $[0, \pi]$ है।
अतः,$\cos^{-1}[\cos(40^{\circ})] = 40^{\circ}$।
$40^{\circ}$ को रेडियन में बदलने पर: $40 \times \frac{\pi}{180} = \frac{4\pi}{18} = \frac{2\pi}{9}$।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए सर्वसमिका जानते हैं: $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जहाँ $|x| \geq 1$ है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \left[\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x\right] = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$.
चूँकि $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ होता है,इसलिए व्यंजक का मान $0$ है।

(B) माना $y = \cot^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)$ है।
तब $\cot y = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\cot^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $(0, \pi)$ है।
चूंकि $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\cot\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ होगा।
अतः,$\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{-1}{\sqrt{3}}$ है।
चूंकि $\frac{2\pi}{3} \in (0, \pi)$,इसलिए मुख्य मान $\frac{2\pi}{3}$ है।

(A) माना कि $\theta = \tan^{-1} x$.
तब,$\tan \theta = x = \frac{x}{1}$.
हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में,$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$.
यहाँ,लंब $x$ है और आधार $1$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,कर्ण $\sqrt{x^2 + 1^2} = \sqrt{1+x^2}$ है।
अब,$\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
अतः,$\cos (\tan^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है.

(C) हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot ^{-1}(-x) = \pi - \cot ^{-1}(x)$ होता है।
दिया गया व्यंजक $\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) - \tan ^{-1}(\sqrt{3})$ है।
गुणधर्म का उपयोग करने पर,$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) = \pi - \cot ^{-1}(\sqrt{3})$।
चूंकि $\cot ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ और $\tan ^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ है,
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cot ^{-1}(-\sqrt{3}) - \tan ^{-1}(\sqrt{3}) = (\pi - \frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{3}$।
$= \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi - 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sin^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ है।
दिया गया व्यंजक $\sin^{-1}\left(\sin \frac{7 \pi}{6}\right)$ है।
चूंकि $\frac{7 \pi}{6}$ अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में स्थित नहीं है,इसलिए हम व्यंजक को सरल करते हैं।
$\sin \frac{7 \pi}{6} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
अब,$\sin^{-1}\left(\sin \frac{7 \pi}{6}\right) = \sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$.
चूंकि $-\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$,इसलिए मान $-\frac{\pi}{6}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि $A^2 = A$.
हमें $(I + A)^3 - 8A$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूह के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(I + A)^3 = I^3 + 3I^2A + 3IA^2 + A^3$.
चूंकि $I^n = I$ और $I \times A = A$,यह $I + 3A + 3A^2 + A^3$ में सरल हो जाता है।
$A^2 = A$ दिया गया है,इसलिए हम $A^2$ को $A$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$A^3 = A^2 \times A = A \times A = A^2 = A$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(I + A)^3 = I + 3A + 3(A) + A = I + 7A$.
अब,$8A$ घटाने पर:
$(I + 7A) - 8A = I - A$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
तब परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A + A^{\prime} = I$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ और $A^{\prime}$ को जोड़ने पर:
$A + A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha + \sin \alpha & -\cos \alpha + \cos \alpha \\ \cos \alpha - \cos \alpha & \sin \alpha + \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix}$.
इसे $I$ के बराबर रखने पर:
$\begin{bmatrix} 2 \sin \alpha & 0 \\ 0 & 2 \sin \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इसका अर्थ है $2 \sin \alpha = 1$,अतः $\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
$\sin \alpha = \frac{1}{2}$ के लिए $\alpha$ का मुख्य मान $\alpha = \frac{\pi}{6}$ है।

(C) यहाँ हमें आव्यूह $A$ और $B$ दिए गए हैं। हमें $A - B$ ज्ञात करना है।
$A - B = \frac{1}{\pi} \left[ \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} \right]$
संगत अवयवों को घटाने पर:
$A - B = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) - (-\cos^{-1}(\pi x)) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) - \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) - (-\tan^{-1}(\pi x)) \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ और $\tan^{-1}(\theta) + \cot^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$A - B = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \frac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\pi}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} = \frac{1}{2} I$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{ll}3 & x \\ x & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 4 & 1\end{array}\right|$
दोनों पक्षों के सारणिकों का विस्तार करने पर:
$(3 \times 1) - (x \times x) = (3 \times 1) - (2 \times 4)$
$3 - x^2 = 3 - 8$
$3 - x^2 = -5$
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर:
$-x^2 = -8$
$x^2 = 8$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x = \pm \sqrt{8}$
$x = \pm 2\sqrt{2}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ शीर्ष $(-2, 0)$,$(0, 4)$ और $(0, k)$ दिए गए हैं और क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$4 = \frac{1}{2} |-2(4 - k) + 0(k - 0) + 0(0 - 4)|$
$4 = \frac{1}{2} |-8 + 2k|$
$8 = |-8 + 2k|$
इसके दो मामले बनते हैं:
स्थिति $1$: $-8 + 2k = 8 \implies 2k = 16 \implies k = 8$
स्थिति $2$: $-8 + 2k = -8 \implies 2k = 0 \implies k = 0$
अतः,$k$ के संभावित मान $0$ और $8$ हैं।

(C) आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने के लिए,हम पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं:
$\operatorname{det}(A) = 1(1 - (-\cos^2 \theta)) - (-\cos \theta)(\cos \theta - (-1)) + (-1)(\cos^2 \theta - 1)$
$\operatorname{det}(A) = 1(1 + \cos^2 \theta) + \cos \theta(\cos \theta + 1) - 1(\cos^2 \theta - 1)$
$\operatorname{det}(A) = 1 + \cos^2 \theta + \cos^2 \theta + \cos \theta - \cos^2 \theta + 1$
$\operatorname{det}(A) = \cos^2 \theta + \cos \theta + 2$
दिया गया है कि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < \cos \theta < 1$ है।
मान लीजिए $f(x) = x^2 + x + 2$ जहाँ $x = \cos \theta$ है।
चूँकि $x \in (0, 1)$,इसलिए $f(x)$ का परिसर $(0^2 + 0 + 2, 1^2 + 1 + 2) = (2, 4)$ होगा।
अतः,$\operatorname{det}(A) \in (2, 4)$।

(D) आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम पहले इसका सारणिक $|A| = ad - bc$ निकालते हैं।
यहाँ $A = \begin{bmatrix} 8 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}$ दिया गया है,इसलिए सारणिक $|A| = (8)(1) - (-2)(-4) = 8 - 8 = 0$ है।
चूंकि आव्यूह का सारणिक $0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है।
एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम अस्तित्व में नहीं होता है।
अतः,$A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।

(A) माना $y = \cos^{-1}(\sin x)$ है।
हम जानते हैं कि $\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = \cos^{-1}(\cos(\frac{\pi}{2} - x))$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos^{-1}(\cos \theta) = \theta$ जहाँ $\theta \in [0, \pi]$ है,इसलिए $y = \frac{\pi}{2} - x$ होगा।
अब,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2} - x) = 0 - 1 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,अवकलज $-1$ है।

(D) दिया गया समीकरण $e^y(x+1)=1$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(e^y) + \ln(x+1) = \ln(1)$.
$y + \ln(x+1) = 0$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x+1} = 0$.
अतः,$\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1} = -(x+1)^{-1}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2 y}{d x^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.
चूंकि $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$,इसलिए $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2}$.
अतः,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.

(A) समाकल $I = \int x^2 e^{x^3} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $u = x^3$ है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $du = 3x^2 dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x^2 dx = \frac{1}{3} du$ है।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^u \cdot \frac{1}{3} du$
$I = \frac{1}{3} \int e^u du$
$I = \frac{1}{3} e^u + c$
अब $u = x^3$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} e^{x^3} + c$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) d x = \int_{a}^{b} f(a+b-x) d x$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.
अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}+\sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} d x$.
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} d x$.
$I$ के दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 d x$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$.

(B) माना $f(x) = \sin^5 x \cos^4 x$ है।
हम जाँचते हैं कि फलन सम है या विषम।
$f(-x) = \sin^5(-x) \cos^4(-x) = (-\sin x)^5 (\cos x)^4 = -\sin^5 x \cos^4 x = -f(x)$।
चूँकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
निश्चित समाकल के गुणधर्म के अनुसार,यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,तो $\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0$ होता है।
अतः,$\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x \, dx = 0$।

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^3+\cos x+\tan^5 x) dx$ है।
हम इसे तीन समाकलों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \tan^5 x dx$।
निश्चित समाकल का गुणधर्म याद करें: यदि $f(x)$ एक विषम फलन है तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$,और यदि $f(x)$ एक सम फलन है तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ होता है।
$f_1(x) = x^3$ के लिए,$f_1(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f_1(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 dx = 0$।
$f_2(x) = \cos x$ के लिए,$f_2(-x) = \cos(-x) = \cos x = f_2(x)$,इसलिए यह एक सम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 2[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2(1-0) = 2$।
$f_3(x) = \tan^5 x$ के लिए,$f_3(-x) = \tan^5(-x) = -\tan^5 x = -f_3(x)$,इसलिए यह एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \tan^5 x dx = 0$।
अतः,$I = 0 + 2 + 0 = 2$।

(A) $\int \sqrt{x^2+4x+1} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,पहले वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाएं:
$x^2+4x+1 = (x^2+4x+4) - 3 = (x+2)^2 - (\sqrt{3})^2$.
अब समाकलन $\int \sqrt{(x+2)^2 - (\sqrt{3})^2} \, dx$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{t^2-a^2} \, dt = \frac{t}{2} \sqrt{t^2-a^2} - \frac{a^2}{2} \log |t + \sqrt{t^2-a^2}| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = x+2$ और $a = \sqrt{3}$ है:
$= \frac{x+2}{2} \sqrt{(x+2)^2 - 3} - \frac{3}{2} \log |(x+2) + \sqrt{(x+2)^2 - 3}| + C$.
$= \frac{x+2}{2} \sqrt{x^2+4x+1} - \frac{3}{2} \log |x+2 + \sqrt{x^2+4x+1}| + C$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(C) हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^{ax} \sin(bx+c) dx = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} [a \sin(bx+c) - b \cos(bx+c)] + C$.
यहाँ,$a = 3$,$b = 4$,और अचर पद $-5$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int e^{3x} \sin(4x-5) dx = \frac{e^{3x}}{3^2 + 4^2} [3 \sin(4x-5) - 4 \cos(4x-5)] + C$.
$= \frac{e^{3x}}{9 + 16} [3 \sin(4x-5) - 4 \cos(4x-5)] + C$.
$= \frac{e^{3x}}{25} [3 \sin(4x-5) - 4 \cos(4x-5)] + C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) हमें $I = \int \frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}} dx$ का मान ज्ञात करना है।
सबसे पहले,वर्गमूल के अंदर के व्यंजक का विस्तार करें: $(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$.
द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करें: $x^2 - 3x + 2 = (x^2 - 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} + 2 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$.
अब समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{1}{\sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}} dx$.
मानक सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^2}} dt = \log |t + \sqrt{t^2 - a^2}| + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $t = x - \frac{3}{2}$ और $a = \frac{1}{2}$:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}| + C$.
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को मूल रूप में वापस लाने पर:
$I = \log |(x - \frac{3}{2}) + \sqrt{x^2 - 3x + 2}| + C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हमें निश्चित समाकलन $I = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
$\sin x$ का प्रति-अवकलज $-\cos x$ है।
कलन के मूलभूत प्रमेय को लागू करने पर:
$I = [-\cos x]_{0}^{\pi}$
$I = -(\cos \pi - \cos 0)$
$I = -(-1 - 1)$
$I = -(-2)$
$I = 2$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) समाकलन $I = \int \frac{(x^4+x)^{\frac{1}{4}}}{x^5} dx$ को हल करने के लिए,हम कोष्ठक के अंदर के पद से $x^4$ को बाहर निकालते हैं:
$I = \int \frac{(x^4(1+\frac{1}{x^3}))^{\frac{1}{4}}}{x^5} dx$
$I = \int \frac{x(1+\frac{1}{x^3})^{\frac{1}{4}}}{x^5} dx = \int \frac{(1+\frac{1}{x^3})^{\frac{1}{4}}}{x^4} dx$
मान लीजिए $u = 1 + \frac{1}{x^3}$. तब $du = -\frac{3}{x^4} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^4} = -\frac{1}{3} du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int u^{\frac{1}{4}} (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{4}} du$
$I = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$
$I = -\frac{4}{15} (1+\frac{1}{x^3})^{\frac{5}{4}} + C$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx$.
घनमूल के अंदर के पद से $x^3$ को बाहर निकालने पर:
$I = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x^3(\frac{1}{x^2}-1))^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{x(\frac{1}{x^2}-1)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx = \int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(\frac{1}{x^2}-1)^{\frac{1}{3}}}{x^3} dx$.
माना $u = \frac{1}{x^2} - 1$. तब $du = -\frac{2}{x^3} dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dx}{x^3} = -\frac{1}{2} du$.
जब $x = \frac{1}{3}$,तब $u = \frac{1}{(1/3)^2} - 1 = 9 - 1 = 8$.
जब $x = 1$,तब $u = \frac{1}{1^2} - 1 = 0$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_8^0 u^{\frac{1}{3}} (-\frac{1}{2}) du = \frac{1}{2} \int_0^8 u^{\frac{1}{3}} du$.
$I = \frac{1}{2} [\frac{u^{\frac{4}{3}}}{4/3}]_0^8 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} [u^{\frac{4}{3}}]_0^8 = \frac{3}{8} (8^{\frac{4}{3}} - 0) = \frac{3}{8} (16) = 6$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना $I = \frac{1}{2} \int_2^3 \frac{2x}{x^2+1} dx$.
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए,माना $u = x^2+1$.
तब $du = 2x dx$ होगा।
जब $x=2$,तब $u = 2^2+1 = 5$.
जब $x=3$,तब $u = 3^2+1 = 10$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \int_5^{10} \frac{1}{u} du$
$I = \frac{1}{2} [\log |u|]_5^{10}$
$I = \frac{1}{2} (\log 10 - \log 5)$
$I = \frac{1}{2} \log \left(\frac{10}{5}\right)$
$I = \frac{1}{2} \log (2)$.

(C) माना $I = \int \tan ^8 x \sec ^4 x \, dx$.
हम $\sec ^4 x$ को $\sec ^2 x \cdot \sec ^2 x$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$I = \int \tan ^8 x \cdot \sec ^2 x \cdot \sec ^2 x \, dx$.
चूँकि $\sec ^2 x = 1 + \tan ^2 x$,इसलिए:
$I = \int \tan ^8 x (1 + \tan ^2 x) \sec ^2 x \, dx$.
माना $u = \tan x$,तब $du = \sec ^2 x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int u^8 (1 + u^2) \, du = \int (u^8 + u^{10}) \, du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{u^9}{9} + \frac{u^{11}}{11} + c$.
$u = \tan x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{\tan ^9 x}{9} + \frac{\tan ^{11} x}{11} + c$.

(A) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$ होता है।
सबसे पहले,समाकल्य को पुनर्व्यवस्थित करें: $\frac{x^2+1}{(x+1)^2} = \frac{x^2-1+2}{(x+1)^2} = \frac{(x-1)(x+1)+2}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2}$.
माना $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.
तब $f'(x) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.
अतः,समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c = \left( \frac{x-1}{x+1} \right) e^x + c$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 4y^2 = 36$ है।
दोनों पक्षों को $36$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = 1$
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$
यह $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ के रूप में है, जहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अतः, $a = 3$ और $b = 2$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$A = \pi \times 3 \times 2 = 6\pi$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,अतः $a = 3$ है।
नाभिलंब रेखा $x = a = 3$ है।
परवलय और उसके नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{a} y \, dx = 2 \int_{0}^{3} \sqrt{12x} \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$A = 2 \times \sqrt{12} \int_{0}^{3} x^{1/2} \, dx = 2 \times 2\sqrt{3} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3}$.
$A = 4\sqrt{3} \times \frac{2}{3} \times (3)^{3/2} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \times 3\sqrt{3} = 8 \times 3 = 24$ वर्ग इकाई।

(B) अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ का व्यापक हल ज्ञात करने के लिए,हम चर पृथक्करण विधि का उपयोग करेंगे।
चरण $1$: $x$ और $y$ चरों को अलग करें:
$\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$
चरण $2$: दोनों पक्षों का समाकलन करें:
$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$
चरण $3$: मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{1+u^2} = \tan^{-1} u + c$ का उपयोग करें:
$\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + c$
अतः,व्यापक हल $\tan^{-1} y = \tan^{-1} x + c$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{2}{x}$ और $Q(x) = x \log x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $1+(\frac{dy}{dx})^2=\sqrt{\frac{d^2y}{dx^2}}$
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का वर्ग करके वर्गमूल को हटाते हैं:
$(1+(\frac{dy}{dx})^2)^2 = \frac{d^2y}{dx^2}$
समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $1$ हैं।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/3} = \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{1/2}$.
भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए,दोनों पक्षों की घात $6$ (जो $2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य है) करने पर:
$\left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/3}\right)^6 = \left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{1/2}\right)^6$.
इसे सरल करने पर: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 = \left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^3$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $3$ और $3$ हैं।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2) \frac{dy}{dx} + xy = kx$ है।
दोनों पक्षों को $(1-x^2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{1-x^2} y = \frac{kx}{1-x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{x}{1-x^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{x}{1-x^2} dx}$.
मान लीजिए $u = 1-x^2$,तो $du = -2x dx$,इसलिए $x dx = -\frac{1}{2} du$।
$IF = e^{-\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{-\frac{1}{2} \ln|u|} = e^{\ln|u|^{-1/2}} = |u|^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) हम इकाई सदिशों के क्रॉस गुणनफल के गुणों को जानते हैं:
$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$
$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\hat{i} \cdot (\hat{i}) + \hat{j} \cdot (-\hat{j}) + \hat{k} \cdot (\hat{k})$
$= (\hat{i} \cdot \hat{i}) - (\hat{j} \cdot \hat{j}) + (\hat{k} \cdot \hat{k})$
चूंकि एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ डॉट गुणनफल $1$ होता है:
$= 1 - 1 + 1 = 1$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,सही उत्तर $\cos^{-1}(1/3)$ है,जो विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1(1) - 4(-1)) - \hat{j}(3(1) - 4(1)) + \hat{k}(3(-1) - 1(1))$
$= \hat{i}(1 + 4) - \hat{j}(3 - 4) + \hat{k}(-3 - 1)$
$= 5\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$
अब,इसका परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{5^2 + 1^2 + (-4)^2}$ ज्ञात करें.
$= \sqrt{25 + 1 + 16} = \sqrt{42}$ वर्ग इकाई.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,उनके अदिश गुणनफल (dot product) और सदिश गुणनफल (cross product) के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$
दिए गए मान $|\vec{a}|=10$,$|\vec{b}|=2$,और $\vec{a} \cdot \vec{b}=12$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (12)^2 = (10)^2 (2)^2$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 144 = 100 \times 4$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + 144 = 400$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 400 - 144$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 256$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{256} = 16$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ है।
दिया गया समीकरण $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 8$ है।
अदिश गुणनफल के गुणधर्म $(A-B) \cdot (A+B) = |A|^2 - |B|^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 8$।
चूंकि $|\vec{a}| = 1$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 1$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$|\vec{x}|^2 - 1 = 8$।
$|\vec{x}|^2 = 9$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|\vec{x}| = 3$ (क्योंकि परिमाण हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना कि दिया गया सदिश $\vec{a} = 5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{a}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$.
$\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{30}}$ है।
$\vec{a}$ की दिशा में $8$ इकाई परिमाण वाला सदिश $8 \hat{a} = 8 \times \left( \frac{5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{30}} \right) = \frac{40}{\sqrt{30}} \hat{i} - \frac{8}{\sqrt{30}} \hat{j} + \frac{16}{\sqrt{30}} \hat{k}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
यहाँ दिया गया बिंदु $(2, 3, 4)$ है,इसलिए $x_1 = 2, y_1 = 3, z_1 = 4$ है।
रेखा $Y$-अक्ष के समांतर है। $Y$-अक्ष के दिक-अनुपात $(0, 1, 0)$ होते हैं।
अतः,रेखा के दिक-अनुपात $(a, b, c) = (0, 1, 0)$ होंगे।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x-2}{0} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-4}{0}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दी गई रेखाएं $\frac{x+3}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+5}{-6}$ और $\frac{x-1}{10}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{11}$ हैं।
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (2, -3, -6)$ हैं और दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (10, -2, 11)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(10) + (-3)(-2) + (-6)(11) = 20 + 6 - 66 = -40$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + (-2)^2 + 11^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
इस प्रकार,$\cos \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(C) रैखिक प्रोग्रामिंग के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,यदि किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है,तो उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं (vertices) पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान प्राप्त करता है। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) उद्देश्य फलन $Z = 4x + 3y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 4(0) + 3(0) = 0$
$2$. $(25,5)$ पर: $Z = 4(25) + 3(5) = 100 + 15 = 115$
$3$. $(16,16)$ पर: $Z = 4(16) + 3(16) = 64 + 48 = 112$
$4$. $(5,24)$ पर: $Z = 4(5) + 3(24) = 20 + 72 = 92$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $115$ है,जो बिंदु $(25,5)$ पर प्राप्त होता है।

(A) $Z = qx + py$ का अधिकतम मान दो कोणीय बिंदुओं $(3,4)$ और $(0,5)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन दोनों बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
बिंदु $(3,4)$ पर,$Z = q(3) + p(4) = 3q + 4p$.
बिंदु $(0,5)$ पर,$Z = q(0) + p(5) = 5p$.
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3q + 4p = 5p$.
दोनों पक्षों से $4p$ घटाने पर,हमें $3q = p$ प्राप्त होता है,अर्थात $p = 3q$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) उद्देश्य फलन $Z = 4x + y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0,0)$ पर: $Z = 4(0) + 0 = 0$
$2$. $(30,0)$ पर: $Z = 4(30) + 0 = 120$
$3$. $(20,30)$ पर: $Z = 4(20) + 30 = 80 + 30 = 110$
$4$. $(0,50)$ पर: $Z = 4(0) + 50 = 50$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान बिंदु $(30,0)$ पर $120$ प्राप्त होता है।