GSEB 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ में लिखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^2}{(1/2)^2} + \frac{y^2}{(1/3)^2} = 1$.
यहाँ,$a = \frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{3}$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर,हमें $A = \pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $\cos^{-1} x$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।
$x \in [-1, 1]$ के लिए,$\cos^{-1} x$ का परिसर $[0, \pi]$ है।
चूंकि $\cos^{-1} x$ अंतराल $[0, \pi]$ के सभी मान लेता है,इसलिए निरपेक्ष मान $\left|\cos^{-1} x\right|$ भी अंतराल $[0, \pi]$ के सभी मान लेगा क्योंकि $[0, \pi]$ में सभी मान गैर-ऋणात्मक हैं।
अतः,$\left|\cos^{-1} x\right|$ का परिसर $[0, \pi]$ है।

(D) हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए $\cot ^{-1}(x) = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)$ होता है।
दिया गया व्यंजक $\cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ है।
इसे $\tan ^{-1}(2) + \tan ^{-1}(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $xy = 2 \times 3 = 6 > 1$ है,इसलिए हम सूत्र $\tan ^{-1}(x) + \tan ^{-1}(y) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर,हमें $\pi + \tan ^{-1}\left(\frac{2+3}{1-6}\right) = \pi + \tan ^{-1}\left(\frac{5}{-5}\right)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\pi + \tan ^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$ हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हमें समीकरण $3 \cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \pi$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x$।
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \cos ^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \cos ^{-1} x) = \pi$
$2 \cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \pi$
$2 \cos ^{-1} x = \pi - \frac{\pi}{2}$
$2 \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$
$\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{4}$
$x = \cos(\frac{\pi}{4})$
$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
यहाँ,मान लीजिए $x = -\frac{1}{7}$ है।
चूंकि $-\frac{1}{7} \in [-1, 1]$ है,इसलिए हम इस सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$\cos^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right) = \frac{\pi}{2}$ होगा।
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ होता है,इसलिए अंतिम उत्तर $1$ है।

(C) दिया गया है कि $\tan ^{-1}(1-x), \tan ^{-1} x$ और $\tan ^{-1}(1+x)$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए,$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1}(1-x) + \tan ^{-1}(1+x)$.
सूत्र $\tan ^{-1} A + \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A+B}{1-AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{(1-x) + (1+x)}{1 - (1-x)(1+x)} \right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{1 - (1-x^2)} \right)$.
$2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{x^2} \right)$.
सूत्र $2 \tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2x}{1-x^2} = \frac{2}{x^2}$.
$x^3 = 1 - x^2$.
अतः,$x^3 = 1 - x^2$.

(D) दिया गया समीकरण: $\sec ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)+\sin ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin ^{-1}(y) + \cos ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2}$ जहाँ $y \in [-1, 1]$.
अतः,$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\sec ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
चूँकि $\sec ^{-1}(z) = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{z}\right)$,इसलिए $\cos ^{-1} \left(\frac{x}{5}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{4}{5}\right)$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,$\frac{x}{5} = \frac{4}{5}$,जिसका अर्थ है कि $x = 4$.

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $\sec ^2 \theta = 1 + \tan ^2 \theta$ और $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot ^2 \theta$।
माना $\alpha = \tan ^{-1} 2$,तो $\tan \alpha = 2$।
माना $\beta = \cot ^{-1} 3$,तो $\cot \beta = 3$।
व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\sec ^2(\tan ^{-1} 2) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = (1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 2)) + (1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3))$
$= (1 + 2^2) + (1 + 3^2)$
$= (1 + 4) + (1 + 9)$
$= 5 + 10 = 15$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) एक आव्यूह $A$ विषम-सममित होता है यदि $A^T = -A$ हो।
विषम-सममित आव्यूह के लिए,मुख्य विकर्ण के अवयव शून्य होने चाहिए,इसलिए $a = 0$।
साथ ही,सभी $i, j$ के लिए $A_{ij} = -A_{ji}$ की शर्त पूरी होनी चाहिए।
अवयवों की तुलना करने पर:
$A_{12} = 2$ और $A_{21} = b$,इसलिए $b = -2$।
$A_{13} = -3$ और $A_{31} = c$,इसलिए $c = -(-3) = 3$।
$A_{23} = 4$ और $A_{32} = -4$,जो $4 = -(-4)$ को संतुष्ट करता है।
अतः,$a = 0$,$b = -2$,और $c = 3$।
योगफल ज्ञात करने पर: $a+b+c = 0 + (-2) + 3 = 1$।

(C) दिए गए आव्यूह $A$ का क्रम $1 \times 3$,$B$ का क्रम $3 \times 3$ और $C$ का क्रम $3 \times 1$ है।
सबसे पहले,$AB$ का गुणनफल ज्ञात करें। $AB$ का क्रम $(1 \times 3) \times (3 \times 3) = 1 \times 3$ होगा।
इसके बाद,$(AB) \cdot C$ का गुणनफल ज्ञात करें। $(AB) \cdot C$ का क्रम $(1 \times 3) \times (3 \times 1) = 1 \times 1$ होगा।
अतः,परिणामी आव्यूह $1 \times 1$ क्रम का है,जिसका अर्थ है कि $m = 1$ और $n = 1$ है।
इसलिए,$m = n$।

(B) $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $|A| = ad - bc$ और $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (2)(4) - (-3)(5) = 8 + 15 = 23$ की गणना करें।
इसके बाद,$A$ का सहखंडज (adjoint) ज्ञात करें: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{23} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{23} & \frac{3}{23} \\ -\frac{5}{23} & \frac{2}{23} \end{bmatrix}$।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}0 & ab^2 & ac^2 \\ a^2b & 0 & bc^2 \\ a^2c & b^2c & 0\end{array}\right|$.
$R_1$ से $a$,$R_2$ से $b$ और $R_3$ से $c$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = abc \left|\begin{array}{ccc}0 & b^2 & c^2 \\ a^2 & 0 & c^2 \\ a^2 & b^2 & 0\end{array}\right|$.
अब,$C_1$ से $a$,$C_2$ से $b$ और $C_3$ से $c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (abc)(abc) \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right| = (abc)^2 \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = (abc)^2 [0(0-1) - 1(0-1) + 1(1-0)] = (abc)^2 [0 + 1 + 1] = 2(abc)^2$.
$m(abc)^k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = 2$ और $k = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$m+k = 2+2 = 4$.

(B) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्ष $A(8, 2)$,$B(k, 4)$ और $C(6, 7)$ हैं और क्षेत्रफल $= 13$ है।
मान रखने पर:
$13 = \frac{1}{2} |8(4 - 7) + k(7 - 2) + 6(2 - 4)|$
$26 = |8(-3) + 5k + 6(-2)|$
$26 = |-24 + 5k - 12|$
$26 = |5k - 36|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $5k - 36 = 26 \implies 5k = 62 \implies k = 12.4$
स्थिति $2$: $5k - 36 = -26 \implies 5k = 10 \implies k = 2$
चूंकि $k$ एक पूर्णांक है,इसलिए सही मान $k = 2$ है।

(B) दिया गया सारणिक $D = \sin \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{5 \pi}{18} - \cos \frac{2 \pi}{9} \sin \frac{5 \pi}{18}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$D = \sin \left( \frac{2 \pi}{9} - \frac{5 \pi}{18} \right)$.
भिन्नों को घटाने के लिए,उभयनिष्ठ हर $18$ प्राप्त करें:
$\frac{2 \pi}{9} = \frac{4 \pi}{18}$.
अतः,$D = \sin \left( \frac{4 \pi}{18} - \frac{5 \pi}{18} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{18} \right)$.
चूंकि $\sin(-\theta) = -\sin \theta$,हमें $D = -\sin \frac{\pi}{18}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $x = at^2$ और $y = 2at$ है।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dt} = 2at$
$\frac{dy}{dt} = 2a$
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t} = t^{-1}$।
अब,द्वितीय अवकलज $y_2 = \frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$y_2 = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}$
$y_2 = \frac{d}{dt}(t^{-1}) \cdot \frac{1}{2at}$
$y_2 = (-t^{-2}) \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{2at^3}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया फलन $y = \tan^{-1} x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$।
इसे $(1 + x^2) y_1 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अब,गुणन नियम का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} [(1 + x^2) y_1] = \frac{d}{dx} (1)$।
$(1 + x^2) y_2 + y_1 (2x) = 0$।
अतः,$(1 + x^2) y_2 = -2x y_1$।

(C) सबसे पहले,कोण को डिग्री से रेडियन में बदलें: $x^{\circ} = x \times \frac{\pi}{180} \text{ रेडियन}$.
अतः,$\sec(x^{\circ}) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right)$.
मान लीजिए $f(x) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,अवकलन $f'(x) = \sec\left(\frac{\pi x}{180}\right) \tan\left(\frac{\pi x}{180}\right) \times \frac{\pi}{180}$ होगा।
$x = 30$ पर,$f'(30) = \sec\left(\frac{30\pi}{180}\right) \tan\left(\frac{30\pi}{180}\right) \times \frac{\pi}{180}$.
इसे सरल करने पर $f'(30) = \sec\left(\frac{\pi}{6}\right) \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \times \frac{\pi}{180}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sec\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ और $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए:
$f'(30) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times \frac{\pi}{180} = \frac{2}{3} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{270}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर संतत होने के लिए,$x \to 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
दिया गया है $f(0) = 1$.
हम $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x \tan kx}{x^2}$ की गणना करते हैं।
मानक सीमाओं $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ और $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिखते हैं:
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 5x}{5x} \times 5 \right) \times \left( \frac{\tan kx}{kx} \times k \right) = 1 \times 5 \times 1 \times k = 5k$.
चूंकि फलन संतत है,इसलिए $5k = 1$.
अतः,$k = 1/5$.

(C) किसी फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$x \to 0$ पर फलन की सीमा $x = 0$ पर फलन के मान के बराबर होनी चाहिए।
अर्थात,$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
यहाँ $f(0) = k$ दिया गया है।
अब,सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x \times \cos 3x}{x}$.
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan 4x}{x} \times \cos 3x \right)$.
मानक सीमा $\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$ का उपयोग करने के लिए $4$ से गुणा और भाग करने पर:
$\lim_{x \to 0} \left( 4 \times \frac{\tan 4x}{4x} \times \cos 3x \right)$.
सीमा लागू करने पर: $4 \times 1 \times \cos(3 \times 0) = 4 \times 1 \times \cos(0) = 4 \times 1 \times 1 = 4$.
अतः,$k = 4$.

(B) माना $I = \int \frac{x \cos x}{(x \sin x + \cos x)^2} dx$.
$u = x \sin x + \cos x$ लें।
तब $du = (1 \cdot \sin x + x \cos x - \sin x) dx = x \cos x dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du$.
समाकलन करने पर,हमें $I = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$ प्राप्त होता है।
$u = x \sin x + \cos x$ वापस रखने पर,हमें $I = -\frac{1}{x \sin x + \cos x} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $f^{\prime}(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(3x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करते हुए,हम अवकलज को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f^{\prime}(x) = \sin(3x)$।
$f(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम $f^{\prime}(x)$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं:
$f(x) = \int \sin(3x) \, dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + c$।
प्रारंभिक शर्त $f(0) = \frac{1}{3}$ का उपयोग करते हुए,$x = 0$ रखने पर:
$f(0) = -\frac{\cos(0)}{3} + c = \frac{1}{3}$।
चूँकि $\cos(0) = 1$,इसलिए:
$-\frac{1}{3} + c = \frac{1}{3}$।
$c$ के लिए हल करने पर:
$c = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।

(B) माना $I = \int \frac{x^4+5^{x-1} \cdot \log _e 5}{x^5+5^x} \cdot d x$ है।
प्रतिस्थापन $u = x^5 + 5^x$ का उपयोग करें।
तब,अवकलन $du = (5x^4 + 5^x \cdot \log_e 5) \cdot dx$ होगा।
ध्यान दें कि समाकल्य का अंश $x^4 + 5^{x-1} \cdot \log_e 5$ है।
चूंकि $5^{x-1} = \frac{5^x}{5}$,हम अंश को $x^4 + \frac{5^x \cdot \log_e 5}{5} = \frac{5x^4 + 5^x \cdot \log_e 5}{5} = \frac{1}{5} du$ के रूप में लिख सकते हैं।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{5} \cdot \frac{du}{u} = \frac{1}{5} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{5} \log |u| + C$।
$u = x^5 + 5^x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{5} \log |x^5 + 5^x| + C$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
परवलय की नाभि $(a, 0) = (1, 0)$ है।
नाभिलंब रेखा $x = 1$ है।
परवलय और नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{1} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $y^2 = 4x$,इसलिए $y = 2\sqrt{x}$ है।
$A = 2 \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx = 4 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$.
$A = 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = 4 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$.
$A = \frac{8}{3} [1 - 0] = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।

(C) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[0, 2]$ पर फलन के निरपेक्ष मान का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx$
चूंकि $x \in [0, 1]$ के लिए $\sin(\pi x) \ge 0$ और $x \in [1, 2]$ के लिए $\sin(\pi x) \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{1} \sin(\pi x) \, dx + \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx$
पहले भाग का मूल्यांकन:
$\int_{0}^{1} \sin(\pi x) \, dx = [-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{0}^{1} = -\frac{1}{\pi}(\cos(\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{\pi}(-1 - 1) = \frac{2}{\pi}$
दूसरे भाग का मूल्यांकन:
$\int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx = [\frac{\cos(\pi x)}{\pi}]_{1}^{2} = \frac{1}{\pi}(\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = \frac{1}{\pi}(1 - (-1)) = \frac{2}{\pi}$
कुल क्षेत्रफल $A = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) वक्र $y=f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वक्र $y = 9 - x^2$ है और सीमाएँ $x=0$ से $x=3$ हैं।
चूँकि $x \in [0, 3]$ के लिए $9 - x^2 \geq 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल होगा:
$A = \int_{0}^{3} (9 - x^2) dx$
$A = [9x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{3}$
$A = (9(3) - \frac{3^3}{3}) - (9(0) - \frac{0^3}{3})$
$A = (27 - \frac{27}{3}) - 0$
$A = 27 - 9 = 18$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) परवलय $y^2 = 8x$ और रेखा $y = -x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।
$y = -x$ को $y^2 = 8x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(-x)^2 = 8x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 - 8x = 0$.
अतः,$x(x - 8) = 0$,इसलिए $x = 0$ और $x = 8$.
$x = 0$ के लिए,$y = 0$. $x = 8$ के लिए,$y = -8$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(8, -8)$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \int_{-8}^{0} ((-y) - (y^2/8)) dy = [-\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{24}]_{-8}^{0} = 0 - (- \frac{64}{2} - \frac{-512}{24}) = -(-32 + \frac{64}{3}) = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3}$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ है,जिसे $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ,$a=4$ और $b=3$ है।
आकृति से,छायांकित क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त द्वारा घिरा हुआ है,जो $x=0$ और $x=4$ के बीच है,और रेखा $(0,3)$ और $(4,0)$ को जोड़ती है।
$(0,3)$ और $(4,0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$ है,जो $y = \frac{3}{4}(4-x)$ देता है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में दीर्घवृत्त के नीचे के क्षेत्रफल में से रेखा के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{4} \frac{3}{4}\sqrt{16-x^2} \, dx - \int_{0}^{4} \frac{3}{4}(4-x) \, dx$.
$= \frac{3}{4} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{16-x^2} + \frac{16}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{4}) \right]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$.
$= \frac{3}{4} [0 + 8(\frac{\pi}{2})] - \frac{3}{4} [16 - 8] = 3\pi - 6 = 3(\pi-2)$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए वक्र का समीकरण $x + 2y + 8 = 0$ है,जिसे $x = -2y - 8$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र $x = f(y)$ और रेखाओं $y = c$ तथा $y = d$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{c}^{d} |x| \, dy$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$c = -3$ और $d = -1$ है।
अतः,$A = \int_{-3}^{-1} |-2y - 8| \, dy$।
चूंकि $y \in [-3, -1]$ के लिए,$-2y - 8$ का मान ऋणात्मक है (उदाहरण के लिए,$y = -2$ पर,$-2(-2) - 8 = -4$),इसलिए $|-2y - 8| = 2y + 8$ होगा।
इस प्रकार,$A = \int_{-3}^{-1} (2y + 8) \, dy$।
समाकलन करने पर,$A = [y^2 + 8y]_{-3}^{-1}$।
सीमाओं का मान रखने पर: $A = ((-1)^2 + 8(-1)) - ((-3)^2 + 8(-3))$।
$A = (1 - 8) - (9 - 24) = -7 - (-15) = -7 + 15 = 8$।
अतः,क्षेत्रफल $8$ वर्ग इकाई है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = x^3$ है।
दोनों पक्षों को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y = x^2$।
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = x^2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x|^{-1}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम पहले दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके समाकलन चिह्न को हटाते हैं।
दिया गया है: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3+\left(\frac{d y}{d x}\right)=\int y d x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{d x} \left[ \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 + \frac{d y}{d x} \right] = \frac{d}{d x} \left( \int y d x \right)$.
$3 \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 \cdot \frac{d^3 y}{d x^3} + \frac{d^2 y}{d x^2} = y$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $1$ है,इसलिए घात $1$ है।
हालाँकि,पाठ्यपुस्तक के सामान्य प्रश्नों में,यदि हम मूल समीकरण में मौजूद उच्चतम अवकलज को देखें,तो कोटि $2$ और घात $3$ प्राप्त होती है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $B$ ($2$ और $3$) है।

(B) हम सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y})$ पर इसे लागू करने पर:
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y}) = (\bar{x} \cdot \bar{y})\bar{x} - (\bar{x} \cdot \bar{x})\bar{y}$.
दिया गया है कि $\bar{x} \cdot \bar{y} = 0$ और $|\bar{x}| = 1$,इसलिए $\bar{x} \cdot \bar{x} = |\bar{x}|^2 = 1^2 = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\bar{x} \times (\bar{x} \times \bar{y}) = (0)\bar{x} - (1)\bar{y} = -\bar{y}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(2, -3, 1)$ और $(3, -4, -5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-(-3)}{-4-(-3)} = \frac{z-1}{-5-1}$
$\frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-1}{-6} = k$ (माना).
बिंदु $(0, a, b)$ के रेखा पर स्थित होने के लिए,$x = 0$ रखने पर:
$\frac{0-2}{1} = k \implies k = -2$.
अब,$k = -2$ का उपयोग करके $a$ और $b$ ज्ञात करें:
$\frac{a+3}{-1} = -2 \implies a+3 = 2 \implies a = -1$.
$\frac{b-1}{-6} = -2 \implies b-1 = 12 \implies b = 13$.
अतः,$a+b = -1 + 13 = 12$.

(C) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
रेखा $1$: $\frac{x-2}{2} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-1}{2}$. दिशा सदिश $\vec{v_1} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
रेखा $2$: $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{-3}$. दिशा सदिश $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(2) + (-3)(1) + (2)(-3) = 4 - 3 - 6 = -5$.
$|\vec{v_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$.
$|\vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
$\cos \theta = \frac{|-5|}{\sqrt{17} \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{238}}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{238} = \frac{213}{238}$ का उपयोग करते हुए।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{213}{238}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{213}{238}}\right)$।

(D) उद्देश्य फलन $z = 300x + 190y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $A(0,0)$ पर: $z = 300(0) + 190(0) = 0$
$2$. बिंदु $B(16,0)$ पर: $z = 300(16) + 190(0) = 4800$
$3$. बिंदु $C(8,16)$ पर: $z = 300(8) + 190(16) = 2400 + 3040 = 5440$
$4$. बिंदु $D(0,24)$ पर: $z = 300(0) + 190(24) = 4560$
इन मानों $(0, 4800, 5440, 4560)$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान बिंदु $A(0,0)$ पर $0$ प्राप्त होता है।

(B) उद्देश्य फलन $z = 3x + 2y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $A(3, 3)$ पर: $z = 3(3) + 2(3) = 9 + 6 = 15$
$2$. बिंदु $B(20, 3)$ पर: $z = 3(20) + 2(3) = 60 + 6 = 66$
$3$. बिंदु $C(20, 10)$ पर: $z = 3(20) + 2(10) = 60 + 20 = 80$
$4$. बिंदु $D(18, 12)$ पर: $z = 3(18) + 2(12) = 54 + 24 = 78$
$5$. बिंदु $E(12, 12)$ पर: $z = 3(12) + 2(12) = 36 + 24 = 60$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का न्यूनतम मान $15$ है।

(D) $z = px + qy$ का अधिकतम मान दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन दोनों बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
दिए गए बिंदु $(15, 25)$ और $(0, 30)$ हैं।
$(15, 25)$ पर,$z_1 = p(15) + q(25) = 15p + 25q$.
$(0, 30)$ पर,$z_2 = p(0) + q(30) = 30q$.
$z_1$ और $z_2$ को बराबर करने पर:
$15p + 25q = 30q$
$15p = 30q - 25q$
$15p = 5q$
$\frac{p}{q} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
अतः,$p:q = 1:3$.

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि $H_1$ पहले सिक्के पर चित आने की घटना है और $H_2$ दूसरे सिक्के पर चित आने की घटना है।
चूंकि दो सिक्कों को उछालना स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए पहले सिक्के का परिणाम दूसरे सिक्के के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
अतः,$P(H_2 | H_1) = P(H_2)$।
एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,चित आने की प्रायिकता $P(H_2) = \frac{1}{2}$ है।
इस प्रकार,पहले सिक्के पर चित प्राप्त होने की स्थिति में दूसरे सिक्के पर चित प्राप्त होने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया है कि $A_1$ और $A_2$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \times P(A_2)$ होता है।
हम जानते हैं कि दो घटनाओं के संघ के लिए सूत्र: $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.5 = 0.2 + P(A_2) - (0.2 \times P(A_2))$.
$0.5 - 0.2 = P(A_2)(1 - 0.2)$.
$0.3 = 0.8 \times P(A_2)$.
$P(A_2) = 0.3 / 0.8 = 3/8$.

(C) दिया गया है कि $P(A)=0.25, P(B)=0.55$ और $P(A \cup B)=0.65$ है।
सबसे पहले,हम $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ सूत्र का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करते हैं।
$0.65 = 0.25 + 0.55 - P(A \cap B)$
$0.65 = 0.80 - P(A \cap B)$
$P(A \cap B) = 0.80 - 0.65 = 0.15$।
अब,हमें $P(B' \mid A)$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(B' \mid A) = \frac{P(B' \cap A)}{P(A)}$।
चूंकि $P(B' \cap A) = P(A) - P(A \cap B)$,इसलिए:
$P(B' \cap A) = 0.25 - 0.15 = 0.10$।
अतः,$P(B' \mid A) = \frac{0.10}{0.25} = \frac{10}{25} = 0.4$।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।