GSEB 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) द्विघात फलन $f(x) = x^2 + 4x + 5$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाने की विधि या अवकलन विधि का उपयोग कर सकते हैं।
विधि $1$: पूर्ण वर्ग बनाना
$f(x) = x^2 + 4x + 4 + 1$
$f(x) = (x + 2)^2 + 1$
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $(x + 2)^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान $0 + 1 = 1$ है।
विधि $2$: अवकलन विधि
$f'(x) = 2x + 4$
$f'(x) = 0$ रखने पर $2x + 4 = 0$,जिससे $x = -2$ प्राप्त होता है।
$f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
अतः,न्यूनतम मान $1$ है।

(D) फलन $f(x) = \sin^{-1}(x)$,साइन फलन $f(x) = \sin(x)$ का प्रतिलोम फलन है।
साइन फलन के लिए,इसका परिसर $[-1, 1]$ होता है।
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा के अनुसार,प्रतिलोम फलन का प्रांत मूल फलन के परिसर के बराबर होता है।
इसलिए,$\sin^{-1}(x)$ का प्रांत $[-1, 1]$ है।

(C) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ जानते हैं: $\sec ^2(\theta) = 1 + \tan ^2(\theta)$ और $\operatorname{cosec}^2(\theta) = 1 + \cot ^2(\theta)$.
माना $\theta_1 = \tan ^{-1} 3$,तो $\tan(\theta_1) = 3$.
माना $\theta_2 = \cot ^{-1} 3$,तो $\cot(\theta_2) = 3$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec ^2(\tan ^{-1} 3) = 1 + \tan ^2(\tan ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
$\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + \cot ^2(\cot ^{-1} 3) = 1 + (3)^2 = 1 + 9 = 10$.
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$10 + 10 = 20$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(x)$ की मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
दिया गया व्यंजक $\sin^{-1}\left(\sin \frac{5\pi}{3}\right)$ है।
सबसे पहले,साइन फलन के अंदर के कोण को सरल करें:
$\frac{5\pi}{3} = 2\pi - \frac{\pi}{3}$.
चूंकि $\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta)$,इसलिए:
$\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
अब,इस मान को व्यंजक में वापस रखें:
$\sin^{-1}\left(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$.
चूंकि $-\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,इसलिए मान $-\frac{\pi}{3}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी $x \in [-1, 1]$ के लिए,सर्वसमिका $\sin^{-1}(x) + \cos^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ सत्य है।
दी गई व्यंजक $\cos \left(\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)+\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$ है।
मान लीजिए $x = -\frac{1}{4}$ है। चूँकि $x \in [-1, 1]$,हम इस सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$\cos^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right) + \sin^{-1}\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$।
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$,इसलिए अंतिम उत्तर $0$ है।

(C) सारणिक $\left|\begin{array}{rr}\sin 35^{\circ} & -\cos 35^{\circ} \\ \sin 55^{\circ} & \cos 55^{\circ}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $2 \times 2$ सारणिक के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\left|\begin{array}{rr}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
दिए गए आव्यूह पर इसे लागू करने पर:
$= (\sin 35^{\circ})(\cos 55^{\circ}) - (-\cos 35^{\circ})(\sin 55^{\circ})$
$= \sin 35^{\circ} \cos 55^{\circ} + \cos 35^{\circ} \sin 55^{\circ}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = 35^{\circ}$ और $B = 55^{\circ}$ है:
$= \sin(35^{\circ} + 55^{\circ})$
$= \sin(90^{\circ})$
$= 1$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = at^2$ और $y = 2at$ हैं।
सबसे पहले,$x$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at^2) = 2at$.
इसके बाद,$y$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(2at) = 2a$.
प्राचलिक अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at}$.
चूंकि $t \neq 0$ और $a \neq 0$ है,व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{t}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $u = \tan^{-1} x$ और $v = \cot^{-1} x$ है।
हम जानते हैं कि सभी $x \in R$ के लिए $\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
अतः,$u + v = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $u = \frac{\pi}{2} - v$ है।
अब,$u$ का $v$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv} (\frac{\pi}{2} - v) = 0 - 1 = -1$।
इस प्रकार,$\tan^{-1} x$ का $\cot^{-1} x$ के सापेक्ष अवकलज $-1$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ होता है।
अतः,$\log_5 x^2 = \frac{\ln x^2}{\ln 5} = \frac{2 \ln x}{\ln 5}$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{2 \ln x}{\ln 5} \right) = \frac{2}{\ln 5} \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)$।
चूंकि $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2}{\ln 5} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x \ln 5}$।
चूंकि $\ln 5 = \log 5$,परिणाम $\frac{2}{x \log 5}$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$.
दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए: $1 + \sin x = 1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}$.
मान लीजिए $f(x) = \tan \frac{x}{2}$,तो $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
अतः,समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c = e^x \tan \frac{x}{2} + c$ हो जाता है।

(C) समाकलन $I = \int (x^2 + 3x + 2) e^x dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int u dv = uv - \int v du$.
मान लीजिए $u = x^2 + 3x + 2$ और $dv = e^x dx$.
तब $du = (2x + 3) dx$ और $v = e^x$ प्राप्त होता है।
$I = (x^2 + 3x + 2) e^x - \int (2x + 3) e^x dx$.
अब,$\int (2x + 3) e^x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
मान लीजिए $u_1 = 2x + 3$ और $dv_1 = e^x dx$.
तब $du_1 = 2 dx$ और $v_1 = e^x$ प्राप्त होता है।
$\int (2x + 3) e^x dx = (2x + 3) e^x - \int 2 e^x dx = (2x + 3) e^x - 2e^x = (2x + 1) e^x$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = (x^2 + 3x + 2) e^x - (2x + 1) e^x + C$.
$I = (x^2 + 3x + 2 - 2x - 1) e^x + C$.
$I = (x^2 + x + 1) e^x + C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना $I = \int_0^\pi \sin^2 x \cos^3 x \, dx$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^\pi \sin^2(\pi - x) \cos^3(\pi - x) \, dx$.
चूँकि $\sin(\pi - x) = \sin x$ और $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi \sin^2 x (-\cos x)^3 \, dx = -\int_0^\pi \sin^2 x \cos^3 x \, dx$.
अतः,$I = -I$,जिसका अर्थ है कि $2I = 0$,इसलिए $I = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2x \frac{dy}{dx} = y$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$.
शर्त $y(1) = 2$ का उपयोग करने पर: $\ln(2) = \frac{1}{2} \ln(1) + C \implies C = \ln(2)$.
$C$ का मान वापस रखने पर: $\ln(y) = \ln(\sqrt{x}) + \ln(2) = \ln(2\sqrt{x})$.
अतः,$y = 2\sqrt{x}$,जिसका अर्थ है $y^2 = 4x$.
समीकरण $y^2 = 4ax$ एक परवलय को दर्शाता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \frac{1}{x}$ और $Q = x^2$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ होता है।
$P$ का मान रखने पर:
$IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x}$.
चूँकि $e^{\log x} = x$ होता है,इसलिए समाकलन गुणक $x$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right)^{1/3}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का घन करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = 1 + \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$.
उच्चतम अवकलज की कोटि $2$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद बनाने के बाद उच्चतम अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $2$ और $3$ हैं।

(C) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
चूंकि उनके बीच का कोण $\theta$ है,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$ होगा।
साथ ही,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin \theta = \sin \theta$,इसलिए $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = \sin^2 \theta$ होगा।
अब,व्यंजक $\left|\frac{\bar{a} \cdot \bar{a}}{\bar{a} \cdot \bar{b}} \cdot \frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{\bar{b} \cdot \bar{b}}\right| = \left|\frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{1}\right| = 1$ है।
अतः,कुल व्यंजक $1 + \sin^2 \theta$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $1 - \cos 2\theta$ है।

(A) $m \angle A$ ज्ञात करने के लिए,हम सदिशों $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ पर विचार करते हैं।
$\vec{AB} = B - A = (2 - 3, 3 - (-1)) = (-1, 4)$.
$\vec{AC} = C - A = (5 - 3, 1 - (-1)) = (2, 2)$.
दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(2) + (4)(2) = -2 + 8 = 6$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$\cos A = \frac{6}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{34}}$.
अतः,$m \angle A = \cos^{-1} \frac{3}{\sqrt{34}}$।

(B) एक सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप का सूत्र $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ,$\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}$ है।
इकाई सदिश $\hat{b} = \hat{i}$ है।
$\vec{a}$ का $\hat{i}$ पर प्रक्षेप $\vec{a} \cdot \hat{i} = (-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot \hat{i} = -1$ है।
प्रक्षेप का परिमाण अदिश प्रक्षेप का निरपेक्ष मान होता है।
परिमाण $= |-1| = 1$।

(B) $\vec{x} = (2, 3, \sqrt{3})$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{x}$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\hat{x} = \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,परिमाण $|\vec{x}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (\sqrt{3})^2}$ की गणना करें।
$|\vec{x}| = \sqrt{4 + 9 + 3} = \sqrt{16} = 4$.
अब,$\vec{x}$ के प्रत्येक घटक को परिमाण $4$ से विभाजित करें:
$\hat{x} = \left(\frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दो रेखाएँ जिनके दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दी गई रेखाएँ $\frac{x-5}{7}=\frac{y-5}{k}=\frac{z-2}{1}$ और $\frac{x}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{3}$ हैं।
पहली रेखा के दिक-अनुपात $(7, k, 1)$ हैं और दूसरी रेखा के दिक-अनुपात $(1, 2, 3)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ लंब हैं,इसलिए:
$(7)(1) + (k)(2) + (1)(3) = 0$
$7 + 2k + 3 = 0$
$10 + 2k = 0$
$2k = -10$
$k = -5$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) यदि उद्देश्य फलन $z = px + qy$ का अधिकतम मान दो अलग-अलग बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ पर प्राप्त होता है,तो इन दो बिंदुओं पर $z$ का मान समान होना चाहिए।
दिए गए बिंदु $(15, 15)$ और $(5, 25)$ हैं।
$z(15, 15) = z(5, 25)$ रखने पर:
$p(15) + q(15) = p(5) + q(25)$
$15p + 15q = 5p + 25q$
$15p - 5p = 25q - 15q$
$10p = 10q$
$p = q$
अतः,शर्त $p = q$ है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(D) प्रायिकता बंटन के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum_{x=0}^{4} P(x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{4} C \binom{4}{x} = 1$.
$C \sum_{x=0}^{4} \binom{4}{x} = 1$.
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ होता है।
$n = 4$ के लिए,$\sum_{x=0}^{4} \binom{4}{x} = 2^4 = 16$.
इसलिए,$C \times 16 = 1$.
$C = \frac{1}{16}$.

(C) द्विपद वितरण के लिए,प्रसरण का सूत्र $Var(X) = n \times p \times q$ होता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
यहाँ $n = 5$ और $p = 0.30$ दिया गया है।
अतः $q = 1 - 0.30 = 0.70$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Var(X) = 5 \times 0.30 \times 0.70$
$Var(X) = 1.5 \times 0.70 = 1.05$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
हम दो घटनाओं के संघ का सूत्र जानते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.6 = 0.4 + p - (0.4 \cdot p)$.
$0.6 = 0.4 + p - 0.4p$.
$0.6 - 0.4 = p(1 - 0.4)$.
$0.2 = 0.6p$.
$p = \frac{0.2}{0.6} = \frac{1}{3}$.

(D) हम जानते हैं कि किसी भी घटना $A$ के लिए,$P(A) + P(A^{\prime}) = 1$,जिसका अर्थ है कि $P(A) = 1 - P(A^{\prime})$.
इसे सशर्त प्रायिकता $P(A \mid B^{\prime})$ पर लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(A \mid B^{\prime}) = 1 - P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$.
यह सशर्त प्रायिकता के उस गुण से आता है जहाँ समान स्थिति के तहत पूरक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है.