GSEB 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) $f: N \rightarrow N$ के लिए $f(x) = x^3$ एकैकी और आच्छादक है या नहीं,यह जांचने के लिए:
$1$. एकैकी (one-one) जांच: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$ है। तब $x_1^3 = x_2^3$ होगा। चूँकि $x_1, x_2 \in N$ हैं,इसका अर्थ है कि $x_1 = x_2$। अतः,फलन एकैकी है।
$2$. आच्छादक (onto) जांच: एक फलन के आच्छादक होने के लिए,उसका परिसर सह-प्रांत $(N)$ के बराबर होना चाहिए। यदि हम $y = 2 \in N$ (सह-प्रांत) लें,तो ऐसा कोई $x \in N$ मौजूद नहीं है जिसके लिए $x^3 = 2$ हो (क्योंकि $\sqrt[3]{2} \notin N$)। अतः,फलन आच्छादक नहीं है।
इसलिए,यह फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(D) दिया गया संबंध $S = \{(a, b) : a < b^2\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता के लिए: क्या $(a, a) \in S$ है? अर्थात क्या $a < a^2$ है? यदि हम $a = 0.5$ लें,तो $0.5 < (0.5)^2 = 0.25$ प्राप्त होता है,जो कि असत्य है। अतः,यह स्वतुल्य नहीं है।
$2$. सममितता के लिए: क्या $(a, b) \in S \implies (b, a) \in S$ है? मान लीजिए $(1, 2) \in S$ क्योंकि $1 < 2^2 = 4$ सत्य है। परंतु $(2, 1) \notin S$ क्योंकि $2 < 1^2 = 1$ असत्य है। अतः,यह सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता के लिए: क्या $(a, b) \in S$ और $(b, c) \in S \implies (a, c) \in S$ है? मान लीजिए $(3, 2) \in S$ $(3 < 4)$ और $(2, 1.5) \in S$ $(2 < 2.25)$। परंतु $(3, 1.5) \notin S$ क्योंकि $3 < (1.5)^2 = 2.25$ असत्य है। अतः,यह संक्रामक नहीं है।
इस प्रकार,यह संबंध न तो स्वतुल्य है,न सममित है और न ही संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध नहीं है।

(B) हम जानते हैं कि $\sin^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ क्योंकि $\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sin^{-1} \left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए व्यंजक $\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)$ बन जाता है।
हम जानते हैं कि $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) आव्यूह $X$ और $Y$ के लिए समीकरण इस प्रकार हैं:
$(1)$ $X + Y = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$
$(2)$ $X - Y = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
$2X$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ को जोड़ते हैं:
$(X + Y) + (X - Y) = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 7+3 & 0+0 \\ 2+0 & 5+3 \end{bmatrix}$
$2X = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) दिया गया है $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$,जो एक $3 \times 1$ आव्यूह है। अतः,$A$ एक $1 \times 3$ आव्यूह है।
दिया गया है $B^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}$,जो एक $1 \times 3$ आव्यूह है। अतः,$B$ एक $3 \times 1$ आव्यूह है।
हमें $(BA)^{\prime}$ ज्ञात करना है।
परिवर्तित आव्यूह के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$(BA)^{\prime} = A^{\prime} B^{\prime}$ होता है।
यहाँ $A^{\prime}$ का क्रम $3 \times 1$ है और $B^{\prime}$ का क्रम $1 \times 3$ है।
अतः,$A^{\prime} B^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 8 & 6 & 4 \\ 12 & 9 & 6 \end{bmatrix}$।
यह एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जो कि एक वर्ग आव्यूह है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|A| = ad - bc$ और $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (2)(3) - (-2)(4) = 6 - (-8) = 6 + 8 = 14$ की गणना करें।
इसके बाद,विकर्ण तत्वों को बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर सहखंडज (adj) ज्ञात करें:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$।
यह विकल्प $D$ के साथ मेल खाता है।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
दिए गए शीर्ष $(k, 0), (4, 0)$ और $(0, 2)$ हैं और क्षेत्रफल $= 4$ है।
मान रखने पर:
$4 = \frac{1}{2} |k(0 - 2) + 4(2 - 0) + 0(0 - 0)|$.
$4 = \frac{1}{2} |-2k + 8|$.
$8 = |-2k + 8|$.
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है:
स्थिति $1$: $-2k + 8 = 8 \implies -2k = 0 \implies k = 0$.
स्थिति $2$: $-2k + 8 = -8 \implies -2k = -16 \implies k = 8$.
अतः,$k$ के मान $0$ और $8$ हैं।

(D) माना कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+y+z & x+y+z & x+y+z \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
अब,प्रथम पंक्ति $R_1$ से $(x+y+z)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = (x+y+z) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
चूंकि पंक्ति $R_1$ और पंक्ति $R_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।

(C) दिया गया है $x = a(1 - \cos \theta)$ और $y = a(\theta + \sin \theta)$।
सबसे पहले,$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a(0 - (-\sin \theta)) = a \sin \theta$।
इसके बाद,$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a(1 + \cos \theta)}{a \sin \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = \cot \frac{\theta}{2}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin 2x$ के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d}{dx} (\sin 2x)$
अवकलन के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\sin(ax)$ का अवकलज $a \cos(ax)$ होता है:
$\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) किसी फलन $f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए,सीमा $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ होनी चाहिए।
यहाँ $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$ होगा।
अब,सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{k \cos x}{\pi - 2x}$.
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$. जैसे ही $x \to \frac{\pi}{2}$,$h \to 0$ होगा।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{h \to 0} \frac{k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-k \sin h}{-2h} = \frac{k}{2} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}$.
चूंकि $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$,इसलिए सीमा $\frac{k}{2}$ प्राप्त होती है।
इसे $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$ के बराबर रखने पर,$\frac{k}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $k = 1$।

(A) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = 10 - 6x - 2x^2$ किस अंतराल में निरंतर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(10 - 6x - 2x^2) = -6 - 4x$.
फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$-6 - 4x > 0$
$-4x > 6$
$-4$ से भाग देने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$x < -\frac{6}{4}$
$x < -\frac{3}{2}$.
अतः,फलन $(-\infty, -\frac{3}{2})$ अंतराल में निरंतर वर्धमान है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) समाकलन $I = \int \sqrt{3-2x-x^2} \, dx$ को हल करने के लिए,सबसे पहले वर्गमूल के अंदर पूर्ण वर्ग बनाएं:
$3-2x-x^2 = 4 - (x^2+2x+1) = 2^2 - (x+1)^2$.
अब,समाकलन $I = \int \sqrt{2^2 - (x+1)^2} \, dx$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{a^2 - u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2 - u^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = x+1$ और $a = 2$:
$I = \frac{x+1}{2} \sqrt{2^2 - (x+1)^2} + \frac{2^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right) + C$.
इसे सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2}(x+1) \sqrt{3-2x-x^2} + 2 \sin^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right) + C$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) हमें समाकलन $I = \int \log x^2 \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
लघुगणक के गुणधर्म के अनुसार,$\log x^2 = 2 \log x$ होता है।
अतः,$I = \int 2 \log x \, dx = 2 \int \log x \, dx$ है।
खंडशः समाकलन विधि का उपयोग करने पर,$\int \log x \, dx = x \log x - x + C_1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$I = 2(x \log x - x) + C = 2x \log x - 2x + C$ है।
इसे हम $2x(\log x - 1) = 2x(\log x - \log e) = 2x \log \left(\frac{x}{e}\right) + C$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1+\sqrt{\cot x}}$.
हम $\sqrt{\cot x} = \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$ लिख सकते हैं,इसलिए $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}}{\sqrt{\sin(\frac{\pi}{2}-x)} + \sqrt{\cos(\frac{\pi}{2}-x)}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$.
$I$ के लिए दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$.

(B) समाकलन $I = \int_0^1 \sin^{-1} x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = \sin^{-1} x$ और $dv = dx$.
तब $du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = [x \sin^{-1} x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$.
प्रथम भाग का मूल्यांकन करने पर: $[1 \cdot \sin^{-1}(1) - 0 \cdot \sin^{-1}(0)] = 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
दूसरे भाग के लिए,माना $t = 1 - x^2$,तो $dt = -2x \, dx$ या $x \, dx = -\frac{1}{2} dt$.
जब $x=0, t=1$; जब $x=1, t=0$.
$-\int_1^0 \frac{-1/2}{\sqrt{t}} \, dt = -\frac{1}{2} \int_0^1 t^{-1/2} \, dt = -\frac{1}{2} [2\sqrt{t}]_0^1 = -\frac{1}{2} [2] = -1$.
अतः,$I = \frac{\pi}{2} - 1$.

(B) दिया गया वक्र $y^2 = 4x$ है,जिसका अर्थ है $x = \frac{y^2}{4}$।
चूंकि क्षेत्र $Y$-अक्ष $(x = 0)$,वक्र $x = \frac{y^2}{4}$ और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ को $y = 0$ से $y = 3$ तक समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$A = \int_{0}^{3} x \, dy = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times \frac{27}{3} = \frac{9}{4}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) क्षेत्रफल $A$,$x = -\frac{\pi}{2}$ से $x = \pi$ तक फलन $y = \cos x$ के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\pi} |\cos x| \, dx$.
चूंकि $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए $\cos x \ge 0$ और $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ के लिए $\cos x \le 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos x) \, dx$.
पहले भाग का मूल्यांकन:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$.
दूसरे भाग का मूल्यांकन:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} -\cos x \, dx = [-\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -(\sin \pi - \sin \frac{\pi}{2}) = -(0 - 1) = 1$.
कुल क्षेत्रफल $A = 2 + 1 = 3$ वर्ग इकाई।

(D) अवकल समीकरण का विशिष्ट हल वह हल है जो व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है।
परिभाषा के अनुसार,विशिष्ट हल में कोई भी स्वेच्छ अचर नहीं होता है।
इसलिए,किसी भी क्रम के अवकल समीकरण के लिए,जिसमें चौथे क्रम का अवकल समीकरण भी शामिल है,इसके विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या $0$ होती है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\sec^2 x \tan y \, dx + \sec^2 y \tan x \, dy = 0$.
दोनों पक्षों को $\tan x \tan y$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = 0$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, dx + \int \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, dy = C_1$.
माना $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$.
माना $v = \tan y$,तो $dv = \sec^2 y \, dy$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int \frac{1}{u} \, du + \int \frac{1}{v} \, dv = C_1$.
$\ln|u| + \ln|v| = C_1$.
$\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = C_1$.
गुणधर्म $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ का उपयोग करने पर:
$\ln|\tan x \tan y| = C_1$.
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर:
$|\tan x \tan y| = e^{C_1}$.
माना $e^{C_1} = c$,अतः $\tan x \tan y = c$.

(D) अवकल समीकरण की घात केवल तभी परिभाषित होती है जब वह अपने अवकलजों के संदर्भ में एक बहुपद समीकरण हो।
दिए गए समीकरण $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^5+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2+\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)+1=0$ में,पद $\cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$ अवकलज $\frac{d y}{d x}$ का एक पारलौकिक (transcendental) फलन है।
चूंकि इस पद को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है,इसलिए अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ इकाई सदिश हैं।
अतः,$|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ और $|\vec{a}-\vec{b}| = 1$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $1^2 = 1^2 + 1^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$.
$1 = 1 + 1 - 2(1)(1) \cos \theta$.
$1 = 2 - 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$।
माना $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ और $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0$ की गणना करें।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\vec{a}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{0}{|\vec{b}|} = 0$ होगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हमें दिया गया है कि सदिश $\vec{a}$ का परिमाण $|\vec{a}| = 1$ है और सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = 2$ है।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ दिया गया है।
दो सदिशों के अदिश गुणनफल का सूत्र $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$1 = (1)(2) \cos \theta$
$1 = 2 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ (या $60^{\circ}$) होगा।

(A) सबसे पहले,सदिशों का योग ज्ञात करें: $\vec{a} + \vec{b} = (2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + (-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = (2-1) \hat{i} + (-1+1) \hat{j} + (2-1) \hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$.
इसके बाद,परिणामी सदिश का परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$\vec{a} + \vec{b}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ है।
$\sqrt{2}$ परिमाण वाला अभीष्ट सदिश $\sqrt{2} \times \hat{u} = \sqrt{2} \times \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{k}$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) चूंकि दो सदिशों का क्रॉस गुणनफल शून्य है,इसलिए सदिश संरेख (collinear) होने चाहिए।
अतः,$(2 \hat{i} + 6 \hat{j} + 27 \hat{k}) = k (\hat{i} + \lambda \hat{j} + \mu \hat{k})$ किसी अदिश $k$ के लिए।
घटकों की तुलना करने पर:
$2 = k \implies k = 2$
$6 = k \lambda \implies 6 = 2 \lambda \implies \lambda = 3$
$27 = k \mu \implies 27 = 2 \mu \implies \mu = \frac{27}{2}$
इसलिए,$\lambda + \mu = 3 + \frac{27}{2} = \frac{6 + 27}{2} = \frac{33}{2}$.

(A) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{-(x-1)}{3} = \frac{7(y-2)}{2p} = \frac{z-3}{2} \implies \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2}$.
दिक् अनुपात $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{-7(x-1)}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{-(z-6)}{5} \implies \frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$.
दिक् अनुपात $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक् अनुपातों का डॉट प्रोडक्ट शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$p = \frac{70}{11}$.

(B) उद्देश्य फलन $Z = px + qy$ का न्यूनतम मान दो अलग-अलग बिंदुओं $(3,0)$ और $(1,1)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन दोनों बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
$(3,0)$ पर: $Z_1 = p(3) + q(0) = 3p$.
$(1,1)$ पर: $Z_2 = p(1) + q(1) = p + q$.
$Z_1$ और $Z_2$ को बराबर करने पर:
$3p = p + q$
$2p = q$
$p = \frac{q}{2}$.
अतः,दोनों बिंदुओं पर न्यूनतम मान प्राप्त होने के लिए प्रतिबंध $p = \frac{q}{2}$ है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(A) किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,उनके संघ (union) की प्रायिकता का सूत्र है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) P(B)$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)$.
वैकल्पिक रूप से,हम इसे पूरक घटनाओं $A'$ और $B'$ का उपयोग करके व्यक्त कर सकते हैं:
$P(A \cup B) = 1 - P((A \cup B)') = 1 - P(A' \cap B')$.
चूंकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $A'$ और $B'$ भी स्वतंत्र हैं।
अतः,$P(A' \cap B') = P(A') P(B')$.
इस प्रकार,$P(A \cup B) = 1 - P(A') P(B')$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है कि $2 P(A) = \frac{5}{13} \implies P(A) = \frac{5}{26}$.
दिया गया है कि $P(B) = \frac{5}{13}$.
दिया गया है कि $P(A \mid B) = \frac{2}{5}$.
हम जानते हैं कि $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
अतः,$P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = \frac{2}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$.
हम सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर: $P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{5}{13} - \frac{2}{13}$.
$P(A \cup B) = \frac{5}{26} + \frac{10}{26} - \frac{4}{26} = \frac{11}{26}$.

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
हम दो घटनाओं के संघ (union) के लिए सूत्र जानते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - P(A) \cdot P(B)$.
$\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{2} P(B)$.
$\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = P(B) (1 - \frac{1}{2})$.
$\frac{6-5}{10} = P(B) (\frac{1}{2})$.
$\frac{1}{10} = P(B) \cdot \frac{1}{2}$.
$P(B) = \frac{2}{10} = 0.2$.