एक इकाई सदिश $\vec{a}$ के लिए,यदि $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 15$ है,तो $|\vec{x}|$ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a, b, c \in \mathbb{R}$ इस प्रकार हैं कि $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ है। यदि $a \cos \theta = b \cos \left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) = c \cos \left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)$ जहाँ $\theta = \frac{\pi}{9}$ है,तो सदिशों $\vec{p} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ और $\vec{q} = b \hat{i} + c \hat{j} + a \hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ शर्त $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=4$ है,तो $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$b$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए सदिश $(i + j + k)$ का सदिश $(2i + 4j - 5k)$ और $(bi + 2j + 3k)$ के योग के समांतर इकाई सदिश के साथ अदिश गुणनफल $1$ हो।

मान लीजिए कि $P, Q, R$ और $S$ समतल पर स्थित बिंदु हैं जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $-2 \hat{i}-\hat{j}, 4 \hat{i}, 3 \hat{i}+3 \hat{j}$ और $-3 \hat{i}+2 \hat{j}$ हैं। चतुर्भुज $PQRS$ क्या होना चाहिए?

मान लीजिए $a, b, c$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $a \neq 0$,$a \times b = 2a \times c$,$|a| = |c| = 1$,$|b| = 4$,और $|b \times c| = \sqrt{15}$ है। यदि $b - 2c = \lambda a$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए: