GSEB 2017 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) हमें समीकरण दिया गया है: $4 \cos^{-1} x + \sin^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि: $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x$.
इस मान को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \cos^{-1} x + (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1} x) = \frac{\pi}{2}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$3 \cos^{-1} x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
दोनों पक्षों से $\frac{\pi}{2}$ घटाने पर:
$3 \cos^{-1} x = 0$.
$3$ से भाग देने पर:
$\cos^{-1} x = 0$.
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर:
$x = \cos(0) = 1$.

(A) माना कि $x = \cos^{-1} \frac{1}{3} + \cos^{-1} \frac{1}{5}$ और $y = \sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{1}{5}$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^{-1} z = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} z$ होता है।
अतः,$x = (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{3}) + (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{5}) = \pi - (\sin^{-1} \frac{1}{3} + \sin^{-1} \frac{1}{5}) = \pi - y$ है।
इसलिए,$\cos(x) = \cos(\pi - y) = -\cos(y)$ होगा।
अतः,$\cos(x) + \cos(y) = -\cos(y) + \cos(y) = 0$।

(C) हम जानते हैं कि $\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ और $\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)\right) + \cos ^{-1}\left(\cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)\right)$
चूंकि $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13} = \frac{11\pi}{26}$,जो $\sin^{-1}$ के लिए मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ और $\cos^{-1}$ के लिए $[0, \pi]$ में स्थित है,इसलिए:
$= \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right) + \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{13}\right)$
$= \pi - \frac{2\pi}{13}$
$= \frac{13\pi - 2\pi}{13} = \frac{11\pi}{13}$.

(C) दिया गया समीकरण $AB = 4I$ है,जहाँ $I$ एक तत्समक आव्यूह है।
$A^{-1}$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करते हैं:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}(4I)$
$(A^{-1}A)B = 4A^{-1}$
चूँकि $A^{-1}A = I$,इसलिए:
$IB = 4A^{-1}$
$B = 4A^{-1}$
दोनों पक्षों को $4$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A^{-1} = \frac{1}{4}B$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक आव्यूह $A$ सममित होता है यदि $A = A^T$ हो,जिसका अर्थ है कि सभी $i, j$ के लिए $A_{ij} = A_{ji}$ हो।
दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5 & 2x+3 \\ x-2 & x+1 \end{bmatrix}$ के लिए,सममितता की शर्त $A_{12} = A_{21}$ है।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $2x + 3 = x - 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर,हमें $x + 3 = -2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $3$ घटाने पर,हमें $x = -5$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का सही मान $-5$ है।

(D) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} a_1+a_2 & 4 \\ 3 & a_3+a_4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3a_2 & 3a_1 \\ 3a_4 & 3a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -a_1 \\ -2a_4 & 1 \end{bmatrix}$.
घटाव करने पर हमें प्राप्त होता है: $\begin{bmatrix} a_1-2a_2 & 4-3a_1 \\ 3-3a_4 & a_3-2a_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -a_1 \\ -2a_4 & 1 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1) \; a_1 - 2a_2 = -6$
$2) \; 4 - 3a_1 = -a_1 \implies 4 = 2a_1 \implies a_1 = 2$
$3) \; 3 - 3a_4 = -2a_4 \implies a_4 = 3$
$4) \; a_3 - 2a_4 = 1 \implies a_3 - 2(3) = 1 \implies a_3 = 7$
समीकरण $(1)$ में $a_1 = 2$ रखने पर: $2 - 2a_2 = -6 \implies -2a_2 = -8 \implies a_2 = 4$.
अब,योग $\sum_{i=1}^4 a_i = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 2 + 4 + 7 + 3 = 16$ है।

(C) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 1 & a+b & b \\ 1 & a & a+b\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1 \times (b \times a - 0 \times 0) = ab$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 7 & 21 & 35\end{array}\right|$ है।
सारणिक के स्तंभों का अवलोकन करें:
स्तंभ $2$ है $C_2 = [3, 6, 21]^T$ और स्तंभ $3$ है $C_3 = [5, 10, 35]^T$।
यहाँ ध्यान दें कि $C_3 = \frac{5}{3} C_2$ है।
चूंकि दो स्तंभ आनुपातिक हैं,इसलिए सारणिक का मान $x$ के किसी भी मान के लिए $0$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,पंक्ति $2$ है $R_2 = [2, 6, 10]$ और पंक्ति $3$ है $R_3 = [7, 21, 35]$।
$R_3 = 3.5 \times R_2$ है,जो यह पुष्टि करता है कि $x$ के किसी भी मान के लिए सारणिक का मान शून्य ही रहता है।
अतः,यह समीकरण सभी वास्तविक संख्याओं $x \in R$ के लिए सत्य है।

(B) माना $y = \frac{2^x + 3^x}{4^x} = \frac{2^x}{4^x} + \frac{3^x}{4^x} = \left(\frac{2}{4}\right)^x + \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^x + \left(\frac{3}{4}\right)^x$ है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,सूत्र $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log a$ का उपयोग करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right) + \frac{d}{dx}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^x\right)$
$\frac{dy}{dx} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \log \frac{1}{2} + \left(\frac{3}{4}\right)^x \log \frac{3}{4}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $y = 3^{1-2 x}$ का अवकलज ज्ञात करने के लिए,हम श्रृंखला नियम (chain rule) और सूत्र $\frac{d}{d x}(a^u) = a^u \cdot \log a \cdot \frac{d u}{d x}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 3$ और $u = 1 - 2x$ है।
सबसे पहले,घातांक का अवकलज ज्ञात करें: $\frac{d}{d x}(1 - 2x) = -2$।
अब,सूत्र लागू करें:
$\frac{d}{d x}(3^{1-2 x}) = 3^{1-2 x} \cdot \log 3 \cdot \frac{d}{d x}(1 - 2x)$
$= 3^{1-2 x} \cdot \log 3 \cdot (-2)$
$= -2 \cdot 3^{1-2 x} \log 3$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) फलन $f(x) = \tan^{-1} x - x$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x - x) = \frac{1}{1+x^2} - 1$
व्यंजक को सरल करने पर:
$f'(x) = \frac{1 - (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{-x^2}{1+x^2}$
चूंकि $x^2 \ge 0$ और $1+x^2 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,इसलिए $f'(x) = \frac{-x^2}{1+x^2} \le 0$ सभी $x \in R$ के लिए है।
चूंकि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \le 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$,$R$ पर एक ह्रासमान फलन है।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण $y^2 = 18x$ है।
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dt} = 18 \frac{dx}{dt}$
$y \frac{dy}{dt} = 9 \frac{dx}{dt}$
प्रश्न के अनुसार,$Y$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर $X$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर की दोगुनी है,अर्थात $\frac{dy}{dt} = 2 \frac{dx}{dt}$।
इस मान को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$y(2 \frac{dx}{dt}) = 9 \frac{dx}{dt}$
चूँकि $\frac{dx}{dt} \neq 0$,हम $\frac{dx}{dt}$ से विभाजित कर सकते हैं:
$2y = 9 \implies y = \frac{9}{2}$।
अब,$y = \frac{9}{2}$ का मान मूल वक्र समीकरण $y^2 = 18x$ में रखने पर:
$\left(\frac{9}{2}\right)^2 = 18x$
$\frac{81}{4} = 18x$
$x = \frac{81}{4 \times 18} = \frac{81}{72} = \frac{9}{8}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{9}{8}, \frac{9}{2}\right)$ है।

(B) कण का वेग $v$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है,जिसे $v = \frac{ds}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $s = t^3 - 6t^2 + 9t$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$v = \frac{d}{dt}(t^3 - 6t^2 + 9t) = 3t^2 - 12t + 9$।
$t = 2 \ s$ पर वेग ज्ञात करने के लिए,वेग के समीकरण में $t = 2$ रखें:
$v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9$
$v(2) = 3(4) - 24 + 9$
$v(2) = 12 - 24 + 9 = -3 \ m/s$।
अतः,$t = 2 \ s$ पर वेग $-3 \ m/s$ है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ और उसके नाभिलंब $x = a$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \, dx$
$A = 2 \times 2\sqrt{a} \int_{0}^{a} x^{1/2} \, dx$
$A = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a}$
$A = 4\sqrt{a} \times \frac{2}{3} \times a^{3/2} = \frac{8}{3} a^2$
दिया गया है कि क्षेत्रफल $24$ वर्ग इकाई है,इसलिए:
$\frac{8}{3} a^2 = 24$
$a^2 = 24 \times \frac{3}{8} = 9$
$a = \pm 3$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) क्षेत्रफल $A$,$x = -1$ से $x = 1$ तक फलन $y = x^2 - x - 6$ के मापांक का समाकलन है।
सबसे पहले,हम जाँचते हैं कि क्या वक्र अंतराल $[-1, 1]$ में $x$-अक्ष को काटता है।
$y = 0$ रखने पर,$x^2 - x - 6 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x - 3)(x + 2) = 0$ हैं।
शून्यक $x = 3$ और $x = -2$ हैं।
चूँकि ये दोनों मान अंतराल $[-1, 1]$ में नहीं आते हैं,इसलिए फलन $y = x^2 - x - 6$ इस अंतराल में अपना चिह्न नहीं बदलता है।
$x \in [-1, 1]$ के लिए,$x^2 - x - 6$ ऋणात्मक है (उदाहरण के लिए,$x = 0$ पर,$y = -6$)।
अतः,क्षेत्रफल $A = \int_{-1}^{1} |x^2 - x - 6| \, dx = \int_{-1}^{1} -(x^2 - x - 6) \, dx$ होगा।
$A = - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{-1}^{1}$.
$A = - \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6) - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 6) \right]$.
$A = - \left[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 6 \right]$.
$A = - \left[ \frac{2}{3} - 12 \right] = - \left[ \frac{2 - 36}{3} \right] = - \left[ -\frac{34}{3} \right] = \frac{34}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[1, 3]$ पर फलन के मापांक का समाकलन है।
$A = \int_{1}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.
चूंकि $\sin(\pi x)$,$x = 2$ पर अपना चिह्न बदलता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{1}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx + \int_{2}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.
अंतराल $[1, 2]$ में,$\sin(\pi x) \leq 0$ है,इसलिए $|\sin(\pi x)| = -\sin(\pi x)$.
अंतराल $[2, 3]$ में,$\sin(\pi x) \geq 0$ है,इसलिए $|\sin(\pi x)| = \sin(\pi x)$.
$A = \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx + \int_{2}^{3} \sin(\pi x) \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = \left[ \frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{1}^{2} + \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{2}^{3}$.
$A = \frac{1}{\pi} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) - \frac{1}{\pi} (\cos(3\pi) - \cos(2\pi))$.
$A = \frac{1}{\pi} (1 - (-1)) - \frac{1}{\pi} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ पर फलन के निरपेक्ष मान का समाकलन है।
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} |\cos x| \, dx$
अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ में,$\cos x$ अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ में ऋणात्मक है।
अतः,$|\cos x| = -\cos x$.
$A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} -\cos x \, dx$
$A = -[\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}$
$A = -[\sin(\frac{3\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})]$
$A = -[-1 - 1]$
$A = -[-2] = 2$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ दिए गए वक्र $y = -2\sqrt{x}$,रेखाओं $x = 0$ और $x = 1$ तथा $x$-अक्ष $(y = 0)$ के लिए क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1} |-2\sqrt{x}| \, dx$
$A = \int_{0}^{1} 2\sqrt{x} \, dx$
$A = 2 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx$
$A = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1}$
$A = 2 \times \frac{2}{3} [x^{3/2}]_{0}^{1}$
$A = \frac{4}{3} (1^{3/2} - 0^{3/2})$
$A = \frac{4}{3}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) वक्र $y = f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ वक्र $y = x^2 + 2$ और सीमाएँ $x = 1$ तथा $x = 2$ दी गई हैं,अतः क्षेत्रफल:
$A = \int_{1}^{2} (x^2 + 2) \, dx$
फलन का समाकलन करने पर:
$A = [\frac{x^3}{3} + 2x]_{1}^{2}$
ऊपरी और निचली सीमाएँ रखने पर:
$A = (\frac{2^3}{3} + 2(2)) - (\frac{1^3}{3} + 2(1))$
$A = (\frac{8}{3} + 4) - (\frac{1}{3} + 2)$
$A = (\frac{8 + 12}{3}) - (\frac{1 + 6}{3})$
$A = \frac{20}{3} - \frac{7}{3} = \frac{13}{3}$
अतः,क्षेत्रफल $\frac{13}{3}$ वर्ग इकाई है.

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $25x^2 + 16y^2 = 400$ है।
दोनों पक्षों को $400$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{25x^2}{400} + \frac{16y^2}{400} = 1$
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$
इसे मानक समीकरण $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = 5$ और $b = 4$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर,$A = \pi \times 5 \times 4 = 20\pi$ वर्ग इकाई।