GSEB 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो संभावित परिणामों की कुल संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
एक सम अभाज्य संख्या वह संख्या है जो सम और अभाज्य दोनों हो। एकमात्र सम अभाज्य संख्या $2$ है।
प्रत्येक पासे के लिए,$2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
चूंकि पासे फेंकना स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए दोनों पासों पर $2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ होगी।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) पूर्णांकों $x, y \in Z$ के लिए शर्त $|x - y| < 1$ का अर्थ है कि $|x - y| = 0$,क्योंकि दो पूर्णांकों के बीच का अंतर हमेशा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
अतः,$|x - y| = 0 \implies x = y$.
इसलिए,$S = \{(x, x) : x \in Z\}$,जो $Z$ पर तत्समक संबंध है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $x \in Z$ के लिए,$|x - x| = 0 < 1$,इसलिए $(x, x) \in S$. अतः,$S$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: यदि $(x, y) \in S$,तो $x = y$,जिसका अर्थ है कि $y = x$,इसलिए $(y, x) \in S$. अतः,$S$ सममित है।
$3$. संक्रामक: यदि $(x, y) \in S$ और $(y, z) \in S$,तो $x = y$ और $y = z$,जिसका अर्थ है कि $x = z$,इसलिए $(x, z) \in S$. अतः,$S$ संक्रामक है।
चूंकि $S$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

(C) एक फलन $f: A \to A$ एकैकी (one-one) होता है यदि प्रांत (domain) के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत (codomain) में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के लिए,उस समुच्चय से स्वयं पर एकैकी फलनों की संख्या $n!$ होती है।
यहाँ,समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है,इसलिए $n = 5$ है।
एकैकी फलनों की संख्या $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $f: N \times N \rightarrow N$ फलन $f(m, n) = mn$ के लिए:
$1$. एक-एक (one-one) की जाँच:
मान लीजिए $f(1, 4) = 1 \times 4 = 4$ और $f(2, 2) = 2 \times 2 = 4$ है।
यहाँ $f(1, 4) = f(2, 2)$ है लेकिन $(1, 4) \neq (2, 2)$,इसलिए फलन एक-एक नहीं है। अतः यह अनेक-एक है।
$2$. आच्छादक (onto) की जाँच:
फलन के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $n \in N$ के लिए,एक ऐसा $(m, k) \in N \times N$ मौजूद होना चाहिए कि $f(m, k) = mk = n$ हो।
किसी भी $n \in N$ के लिए,हम हमेशा $(1, n) \in N \times N$ चुन सकते हैं ताकि $f(1, n) = 1 \times n = n$ हो।
चूँकि सह-प्रांत $N$ के प्रत्येक अवयव $n$ के लिए प्रांत $N \times N$ में कम से कम एक पूर्व-प्रतिबिंब $(1, n)$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
निष्कर्ष: फलन अनेक-एक और आच्छादक है। सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $\theta = \operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $\operatorname{cosec}^{-1} \frac{5}{3} = \sin^{-1} \frac{3}{5}$,इसलिए $\theta = \sin^{-1} \frac{3}{5} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$ है।
माना $\alpha = \sin^{-1} \frac{3}{5}$,तो $\sin \alpha = \frac{3}{5}$,जिससे $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1} \frac{3}{4} + \tan^{-1} \frac{2}{3}$ है।
सूत्र $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{3/4 + 2/3}{1 - (3/4)(2/3)} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{9/12 + 8/12}{1 - 6/12} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{17/12}{6/12} \right) = \tan^{-1} \frac{17}{6}$ है।
व्यंजक $\cot \left( \frac{2019 \pi}{2} - \theta \right)$ है।
चूंकि $\frac{2019 \pi}{2} = 1009 \pi + \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cot \left( 1009 \pi + \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cot \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta$ होता है।
चूंकि $\theta = \tan^{-1} \frac{17}{6}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{17}{6}$ प्राप्त होता है।

(A) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के लिए मानक सर्वसमिका जानते हैं: $|x| \geq 1$ के लिए $\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$।
इसी प्रकार,$|x| \geq 1$ के लिए,$\cos^{-1}(x^{-1}) + \sin^{-1}(x^{-1}) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
इन सर्वसमिकाओं को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sec^{-1} x + \operatorname{cosec}^{-1} x + \cos^{-1}(x^{-1}) + \sin^{-1}(x^{-1}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) फलन $f(x) = \tan^{-1} x$ सभी वास्तविक संख्याओं $x \in R$ के लिए परिभाषित है।
इसका परिसर विवृत अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है।
ग्राफ मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है क्योंकि $\tan^{-1}(0) = 0$ होता है।
जैसे $x \to \infty$,$f(x) \to \frac{\pi}{2}$ और जैसे $x \to -\infty$,$f(x) \to -\frac{\pi}{2}$ होता है।
ग्राफ निरंतर वर्धमान है और $y = \frac{\pi}{2}$ तथा $y = -\frac{\pi}{2}$ पर क्षैतिज अनंतस्पर्शी (asymptotes) रखता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ में दिया गया ग्राफ $f(x) = \tan^{-1} x$ फलन को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) हमें योग $S = \sum_{i=0}^2 \cot^{-1}(-(i+1))$ का मान ज्ञात करना है।
योग का विस्तार करने पर:
$S = \cot^{-1}(-1) + \cot^{-1}(-2) + \cot^{-1}(-3)$.
गुणधर्म $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}(x)$ (जहाँ $x > 0$) का उपयोग करने पर:
$S = (\pi - \cot^{-1}(1)) + (\pi - \cot^{-1}(2)) + (\pi - \cot^{-1}(3))$
$S = 3\pi - (\cot^{-1}(1) + \cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3))$.
हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
$\cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3)$ के लिए,हम $\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ सूत्र का उपयोग करते हैं:
$\cot^{-1}(2) + \cot^{-1}(3) = \tan^{-1}(\frac{1}{2}) + \tan^{-1}(\frac{1}{3}) = \tan^{-1}(\frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/6}) = \tan^{-1}(\frac{5/6}{5/6}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$S = 3\pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = 3\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$.

(D) परिभाषा के अनुसार,यदि दो आव्यूह $X$ और $Y$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं,तो उनका गुणनफल तत्समक आव्यूह $I$ होना चाहिए।
अतः,$XY = I$ और $YX = I$।
इस प्रकार,$XY = YX = I$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A^2 = A \times A$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (0)(0)+(0)(0)+(3)(3) & (0)(0)+(0)(3)+(3)(0) & (0)(3)+(0)(0)+(3)(0) \\ (0)(0)+(3)(0)+(0)(3) & (0)(0)+(3)(3)+(0)(0) & (0)(3)+(3)(0)+(0)(0) \\ (3)(0)+(0)(0)+(0)(3) & (3)(0)+(0)(3)+(0)(0) & (3)(3)+(0)(0)+(0)(0) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix} = 9 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 9I_3$.
अतः,सही कथन $A^2 = 9I_3$ है।

(A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (1)(-1) & (3)(1) + (1)(2) \\ (-1)(3) + (2)(-1) & (-1)(1) + (2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$।
इसके बाद,$5A = 5 \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,$A^2 - 5A$ ज्ञात करें:
$A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8-15 & 5-5 \\ -5-(-5) & 3-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}$।
इसे $-7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -7I$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $kI$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = -7$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,हम आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = 1(1 \times 1 - 2 \times 1) - 3(2 \times 1 - 2 \times 5) + 4(2 \times 1 - 1 \times 5)$
$|A| = 1(1 - 2) - 3(2 - 10) + 4(2 - 5)$
$|A| = 1(-1) - 3(-8) + 4(-3)$
$|A| = -1 + 24 - 12 = 11$
हम जानते हैं कि $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|\text{adj } A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
$|\text{adj } A| = (11)^2 = 121$.

(B) माना सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ है।
अवयव $2020$,$a_{12}$ (पहली पंक्ति,दूसरा स्तंभ) के स्थान पर है।
उपसारणिक $M_{12}$ पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ को हटाने पर प्राप्त $2 \times 2$ सारणिक है:
$M_{12} = \begin{vmatrix} 2022 & 2024 \\ 2025 & 2027 \end{vmatrix} = (2022 \times 2027) - (2024 \times 2025)$.
गणना करने पर:
$M_{12} = 4098594 - 4098600 = -6$.
सहखंड $C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -1 \times (-6) = 6$.
उपसारणिक और सहखंड का योग $M_{12} + C_{12} = -6 + 6 = 0$ है।

(A) सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z^2 & x^2+y+z & x+y^2+z \\ z^2 & x^2 & y^2 \\ x+y & y+z & x+z \end{vmatrix}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करते हैं।
$R_1 \to R_1 - R_2 - R_3$ लागू करने पर:
पहली पंक्ति इस प्रकार हो जाती है:
$(x+y+z^2) - z^2 - (x+y) = 0$
$(x^2+y+z) - x^2 - (y+z) = 0$
$(x+y^2+z) - y^2 - (x+z) = 0$
चूँकि पहली पंक्ति के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $\Delta = 0$ है।

(D) सबसे पहले,पहली पंक्ति में त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात करें:
$\cos 3\pi = -1$
$\sin 5\pi = 0$
$\tan 7\pi = 0$
अब,इन मानों को सारणिक में रखें:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ \sqrt{3} & 1 & 0 \\ \sqrt{5} & 0 & 1\end{array}\right|$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -1 \times \left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| - 0 + 0$
$\Delta = -1 \times (1 \times 1 - 0 \times 0) = -1 \times 1 = -1$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है $y = (x+3)^2 \cdot (x+4)^3 \cdot (x+5)^4$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln(y) = 2 \ln(x+3) + 3 \ln(x+4) + 4 \ln(x+5)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x+4} + \frac{4}{x+5}$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x+4} + \frac{4}{x+5} \right)$।
हम इस योग को $\sum_{i=2}^4 \frac{i}{x+i+1}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$i=2$ के लिए: $\frac{2}{x+2+1} = \frac{2}{x+3}$।
$i=3$ के लिए: $\frac{3}{x+3+1} = \frac{3}{x+4}$।
$i=4$ के लिए: $\frac{4}{x+4+1} = \frac{4}{x+5}$।
इसलिए,अवकलज $y \sum_{i=2}^4 \left( \frac{i}{x+i+1} \right)$ है,जो विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(C) दिया गया है $y = \log_e(\log_e x)$.
सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x) = \frac{1}{x \log_e x} = (x \log_e x)^{-1}$.
अब,घात नियम और गुणन नियम का उपयोग करके द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -1(x \log_e x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(x \log_e x)$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{(x \log_e x)^2} \cdot [1 \cdot \log_e x + x \cdot \frac{1}{x}] = -\frac{\log_e x + 1}{x^2 (\log_e x)^2}$.
चूंकि $\log_e x + 1 = \log_e x + \log_e e = \log_e(ex)$,इसलिए:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{\log_e(ex)}{x^2 (\log_e x)^2}$.

(C) किसी फलन $f(x)$ के $x = a$ पर सतत होने के लिए,वाम-पक्ष सीमा $(LHL)$,दक्षिण-पक्ष सीमा $(RHL)$ और $x = a$ पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
विशेष रूप से,$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$।
दिया गया है $f(x) = \begin{cases} cx + 1, & x \leq 3 \\ dx + 3, & x > 3 \end{cases}$।
$x = 3$ पर वाम-पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 3^-} (cx + 1) = 3c + 1$।
$x = 3$ पर दक्षिण-पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 3^+} (dx + 3) = 3d + 3$।
चूंकि $f$,$x = 3$ पर सतत है,इसलिए $3c + 1 = 3d + 3$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3c - 3d = 3 - 1$।
$3(c - d) = 2$।
$c - d = \frac{2}{3}$।
हमें $d - c$ ज्ञात करना है,इसलिए $d - c = -(c - d) = -\frac{2}{3}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) $f(x) = x + \frac{1}{x}$ का स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$ निकालते हैं।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $1 = \frac{1}{x^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$ है।
हम द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हैं: $f''(x) = \frac{2}{x^3}$।
$x = 1$ के लिए,$f''(1) = 2 > 0$,इसलिए $x = 1$ एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।
$x = -1$ के लिए,$f''(-1) = \frac{2}{(-1)^3} = -2 < 0$,इसलिए $x = -1$ एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है।
स्थानीय अधिकतम मान $f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2$ है।

(D) $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ के लिए,हमारे पास $\sin x < 0$ है।
अतः,$f(x) = |\sin x| = -\sin x$ है।
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = \frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x$।
अंतराल $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ में,$\cos x$ धनात्मक है (क्योंकि यह चतुर्थ चतुर्थांश में है)।
इस प्रकार,$f'(x) = -\cos x < 0$ सभी $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ के लिए।
चूंकि अवकलज निरंतर ऋणात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ दिए गए अंतराल पर निरंतर ह्रासमान फलन है।

(A) समाकलन $I = \int \frac{1}{x^2 \sqrt{1-x^2}} \cdot dx$ को हल करने के लिए,हम $x = \sin \theta$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।
तब,$dx = \cos \theta \cdot d\theta$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\cos \theta \cdot d\theta}{\sin^2 \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \int \frac{\cos \theta \cdot d\theta}{\sin^2 \theta \cdot \cos \theta} = \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \cdot d\theta = \int \csc^2 \theta \cdot d\theta$.
$\csc^2 \theta$ का समाकलन $-\cot \theta + C$ होता है।
चूंकि $x = \sin \theta$,इसलिए $\sin \theta = x$.
तब $\cos \theta = \sqrt{1-x^2}$,अतः $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.
अतः,$I = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x} + C$.
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $I = \int x^2 \sqrt{8-x^6} \, dx$ है।
$u = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 3x^2 \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 \, dx = \frac{1}{3} du$।
अतः समाकलन $I = \frac{1}{3} \int \sqrt{8-u^2} \, du$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{a^2-u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2-u^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left(\frac{u}{a}\right) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a^2 = 8$ (अर्थात $a = 2\sqrt{2}$):
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{u}{2} \sqrt{8-u^2} + \frac{8}{2} \sin^{-1} \left(\frac{u}{2\sqrt{2}}\right) \right] + C$।
$u = x^3$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^3}{2} \sqrt{8-x^6} + 4 \sin^{-1} \left(\frac{x^3}{2\sqrt{2}}\right) \right] + C$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) माना $I = \int e^x \cos 2x \, dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) सूत्र $\int u \cdot v \, dx = u \int v \, dx - \int (u' \int v \, dx) \, dx$ का उपयोग करते हुए,$u = \cos 2x$ और $v = e^x$ लें।
$I = \cos 2x \cdot e^x - \int (-2 \sin 2x) \cdot e^x \, dx = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx$.
पुनः $\int e^x \sin 2x \, dx$ के लिए $u = \sin 2x$ और $v = e^x$ लेकर खंडशः समाकलन करने पर:
$\int e^x \sin 2x \, dx = \sin 2x \cdot e^x - \int (2 \cos 2x) \cdot e^x \, dx = e^x \sin 2x - 2I$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = e^x \cos 2x + 2(e^x \sin 2x - 2I) = e^x \cos 2x + 2e^x \sin 2x - 4I$.
$5I = e^x(\cos 2x + 2 \sin 2x)$.
$I = \frac{e^x}{5}(\cos 2x + 2 \sin 2x) + C$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y dx - (x + 2y^2) dy = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y dx - x dy = 2y^2 dy$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर (जहाँ $y \neq 0$): $\frac{y dx - x dy}{y^2} = 2 dy$ प्राप्त होता है।
भागफल के अवकलज को पहचानने पर: $d\left(\frac{x}{y}\right) = 2 dy$ होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int d\left(\frac{x}{y}\right) = \int 2 dy$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{x}{y} = 2y + C$ है।
वैकल्पिक रूप से,समीकरण को $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = 2y$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = 2y$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = e^{\ln|y|^{-1}} = \frac{1}{y}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^3+\left(y^{\prime \prime}\right)^4+\left(y^{\prime}\right)^4+y=7$ है।
अवकल समीकरण की कोटि समीकरण में उपस्थित उच्चतम अवकलज की कोटि होती है।
यहाँ,उच्चतम अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है,जिसकी कोटि $3$ है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है और इसका घातांक $3$ है।
इसलिए,अवकल समीकरण की घात $3$ है।
अतः,कोटि और घात क्रमशः $3$ और $3$ हैं।

(A) वक्र के किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x}$ द्वारा दी गई है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y} = \frac{2dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = 2 \int \frac{dx}{x}$,जिससे $\ln|y| = 2 \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\ln|y| = \ln|x^2| + C$,या $y = kx^2$ प्राप्त होता है,जहाँ $k = e^C$ है।
चूंकि वक्र बिंदु $(3, -4)$ से होकर गुजरता है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: $-4 = k(3)^2$,जिसका अर्थ है $-4 = 9k$,इसलिए $k = -\frac{4}{9}$ है।
अतः,वक्र का समीकरण $y = -\frac{4}{9}x^2$ है,जिसे $4x^2 + 9y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $x \frac{dy}{dx} - y = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $x \frac{dy}{dx} = y$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$
यह देता है: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$
लघुगणक के गुणधर्म का उपयोग करने पर: $\ln|y| = \ln|cx|$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = cx$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{1+x^2}$ है।
हम इसे $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1+x^2} + \frac{y}{1+x^2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \left(\frac{1}{1+x^2}\right)y = \frac{x}{1+x^2}$ प्राप्त होता है।
यह एक रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ और $Q(x) = \frac{x}{1+x^2}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = y \tan x$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{dy}{y} = \tan x \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \tan x \, dx$.
इससे प्राप्त होता है: $\ln |y| = \ln |\sec x| + C$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $|y| = e^{\ln |\sec x| + C} = e^C \cdot |\sec x|$.
माना $e^C = k$,अतः $y = k \sec x$.
प्रारंभिक स्थिति $y(0) = 1$ का उपयोग करने पर: $1 = k \sec(0) \implies 1 = k(1) \implies k = 1$.
$k = 1$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें विशिष्ट हल प्राप्त होता है: $y = \sec x$.

(C) माना $\vec{u} = (a, 2)$ और $\vec{v} = (a, -2)$ है।
दिया गया है कि $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।
अदिश गुणन का सूत्र $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)$ है।
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (a)(a) + (2)(-2) = a^2 - 4$.
$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 4}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + (-2)^2} = \sqrt{a^2 + 4}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $a^2 - 4 = \sqrt{a^2 + 4} \cdot \sqrt{a^2 + 4} \cdot \cos(\frac{\pi}{3})$.
$a^2 - 4 = (a^2 + 4) \cdot \frac{1}{2}$.
$2(a^2 - 4) = a^2 + 4$.
$2a^2 - 8 = a^2 + 4$.
$a^2 = 12$.
$a = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$.

(D) एक समांतर षट्फलक का आयतन जिसकी संलग्न भुजाएँ $\vec{a}, \vec{b}, \text{ और } \vec{c}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है।
यह सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के निरपेक्ष मान के बराबर होता है:
$V = |\det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = |2((-1)(-1) - (1)(1)) - 1((3)(-1) - (1)(-1)) + 1((3)(1) - (-1)(-1))|$
$V = |2(1 - 1) - 1(-3 + 1) + 1(3 - 1)|$
$V = |2(0) - 1(-2) + 1(2)|$
$V = |0 + 2 + 2| = |4| = 4$
अतः,आयतन $4$ घन इकाई है।

(B) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप का सूत्र: $\text{Projection} = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (2)(2) + (-1)(2) = -1 + 4 - 2 = 1$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश $\vec{b}$ का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ ज्ञात करें।
अतः,प्रक्षेप का परिमाण $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$ होगा।
नोट: चूँकि दिए गए विकल्पों में $1/3$ नहीं है,और यदि $\vec{b}$ का परिमाण $\sqrt{6}$ माना जाए तो उत्तर $1/\sqrt{6}$ होगा,इसलिए विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(C) हम सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हैं: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
इसे $(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x}$ पर लागू करने पर:
$(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x} = (\vec{y} \cdot \vec{x})\vec{x} - (\vec{x} \cdot \vec{x})\vec{y}$.
दिया गया है कि $\vec{x} \cdot \vec{y} = 0$,इसलिए $\vec{y} \cdot \vec{x} = 0$.
साथ ही,$|\vec{x}| = 1$,इसलिए $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2 = 1^2 = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\vec{y} \times \vec{x}) \times \vec{x} = (0)\vec{x} - (1)\vec{y} = -\vec{y}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(D) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$.
यहाँ $\vec{d_1} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(0 - 1) = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.
अतः,क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ वर्ग इकाई है।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(C) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
रेखा $1$: $\frac{2x-5}{k} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1}$.
पहली रेखा को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखने पर:
$\frac{2(x - 5/2)}{k} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1} \implies \frac{x - 5/2}{k/2} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1}$.
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{v_1} = (k/2, -5, 1)$ हैं।
रेखा $2$: $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$.
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{v_2} = (1, 2, 3)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,उनके दिक अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(k/2)(1) + (-5)(2) + (1)(3) = 0$.
$k/2 - 10 + 3 = 0$.
$k/2 - 7 = 0$.
$k/2 = 7$.
$k = 14$.

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
चूंकि रेखा मूल बिंदु से गुजरती है,इसलिए $(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ है।
चूंकि रेखा $X$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसके दिक अनुपात $(1, 0, 0)$ के समानुपाती होंगे,अतः $(a, b, c) = (1, 0, 0)$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{0} = \frac{z-0}{0}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0}$ हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) रैखिक प्रोग्रामिंग $(LP)$ समस्या में,उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ के रूप का एक रैखिक फलन होता है,जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं। यह वह फलन है जिसे कुछ बाधाओं के अधीन अधिकतम या न्यूनतम किया जाना होता है। इसलिए,यह अनुकूलित (optimize) किया जाने वाला एक फलन है।

(B) $Z = px + qy$ का अधिकतम मान दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ पर प्राप्त होने के लिए,इन बिंदुओं पर $Z$ का मान समान होना चाहिए।
दिए गए बिंदु $(3, 3)$ और $(1, 5)$ हैं।
$Z(3, 3) = p(3) + q(3) = 3p + 3q$.
$Z(1, 5) = p(1) + q(5) = p + 5q$.
दोनों मानों को बराबर करने पर: $3p + 3q = p + 5q$.
$3p - p = 5q - 3q$.
$2p = 2q$.
$p = q$.
अतः,शर्त $p = q$ है।

(D) उद्देश्य फलन $Z = 10x - 20y + 30$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक शीर्ष पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $O(0,0)$ पर: $Z = 10(0) - 20(0) + 30 = 30$
$2$. $A(10,0)$ पर: $Z = 10(10) - 20(0) + 30 = 100 + 30 = 130$
$3$. $B(0,20)$ पर: $Z = 10(0) - 20(20) + 30 = -400 + 30 = -370$
$4$. $C(15,15)$ पर: $Z = 10(15) - 20(15) + 30 = 150 - 300 + 30 = -120$
इन मानों $(30, 130, -370, -120)$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $-370$ है जो शीर्ष $B(0,20)$ पर प्राप्त होता है।

(B) उद्देश्य फलन $Z = 2x + 3y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $A (20, 10)$ पर: $Z = 2(20) + 3(10) = 40 + 30 = 70$.
$2$. बिंदु $B (18, 12)$ पर: $Z = 2(18) + 3(12) = 36 + 36 = 72$.
$3$. बिंदु $C (12, 12)$ पर: $Z = 2(12) + 3(12) = 24 + 36 = 60$.
मानों $70$,$72$,और $60$ की तुलना करने पर,अधिकतम मान $72$ है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) एक सुसंगत हल (feasible solution) को किसी भी ऐसे बिंदु $(x, y)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो $LP$ समस्या के सभी दिए गए अवरोधों को एक साथ संतुष्ट करता है,जिसमें ऋणेतर (non-negativity) अवरोध भी शामिल हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $P(E)=0.8$,$P(F)=0.5$,और $P(F \mid E)=0.4$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$P(F \mid E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}$।
मान रखने पर,$0.4 = \frac{P(E \cap F)}{0.8}$।
अतः,$P(E \cap F) = 0.4 \times 0.8 = 0.32$।
अब,हमें $P(E \mid F)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}$ का उपयोग करते हुए।
मान रखने पर,$P(E \mid F) = \frac{0.32}{0.5} = 0.64$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) यह द्विपद वितरण का प्रश्न है जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{5}$ है।
सफलता की प्रायिकता (छात्र गायक है) $p = \frac{1}{5}$ है।
असफलता की प्रायिकता (छात्र गायक नहीं है) $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
हमें $x = 4$ छात्रों के गायक होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद प्रायिकता का सूत्र $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x q^{n-x}$ है।
मान रखने पर: $P(X = 4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{5}\right)^4 \left(\frac{4}{5}\right)^{5-4}$.
$P(X = 4) = 5 \times \left(\frac{1}{5}\right)^4 \times \frac{4}{5}$.
$P(X = 4) = 5 \times \frac{1}{5^4} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{5^4} = 4 \left(\frac{1}{5}\right)^4$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum_{x=1}^{4} P(x) = 1$.
दिया गया है $P(x) = \frac{c}{3} \binom{4}{x}$,इसलिए:
$\frac{c}{3} [\binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4}] = 1$.
हम जानते हैं कि $\sum_{x=0}^{n} \binom{n}{x} = 2^n$.
इसलिए,$\binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 2^4 = 16$.
चूँकि $\binom{4}{0} = 1$,इसलिए $\binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 16 - 1 = 15$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{c}{3} \times 15 = 1$.
$5c = 1$.
$c = \frac{1}{5}$.

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ होता है।
हम दो घटनाओं के संघ (union) के लिए सूत्र जानते हैं: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
स्वतंत्र घटना के गुण का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$.
यहाँ $P(A \cup B) = 0.5$ और $P(A) = 0.2$ दिया गया है,मान रखने पर:
$0.5 = 0.2 + P(B) - 0.2 \cdot P(B)$.
$0.5 - 0.2 = P(B)(1 - 0.2)$.
$0.3 = 0.8 \cdot P(B)$.
$P(B) = \frac{0.3}{0.8} = \frac{3}{8}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।