$x^2+4y^2=64$ ઉપવલયમાં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની બાજુઓની લંબાઈ કેટલી છે?

ધારો કે ઉપવલય $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ અને $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, A < B$ ની ઉત્કેન્દ્રતા સમાન $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો તેમના નાભિલંબની લંબાઈનો ગુણાકાર $\frac{32}{\sqrt{3}}$ હોય,અને $E_1$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $4$ હોય. જો $E_1$ અને $E_2$ એ $A, B, C$ અને $D$ માં મળે,તો ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

$c$ ના કેટલા મૂલ્યો માટે સીધી રેખા $y = 4x + c$ એ વક્ર $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ ને સ્પર્શે છે?

ધારો કે ઉપવલય $E : x^2 + 9y^2 = 9$ એ ધન $x$- અને $y$-અક્ષોને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $E$ ની મુખ્ય અક્ષ એ વર્તુળ $C$ નો વ્યાસ છે. ધારો કે $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા વર્તુળ $C$ ને $P$ બિંદુમાં મળે છે. જો ત્રિકોણ જેના શિરોબિંદુઓ $A, P$ અને ઉગમબિંદુ $O$ હોય તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તો $m - n$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ ના બે નાભિઓમાંથી ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શક પરના લંબની લંબાઈનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

આપેલ શરતો સંતોષતા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો: શિરોબિંદુઓ $(0, \pm 13)$,નાભિઓ $(0, \pm 5)$.