જેનું નાભિ $(1, 2)$,ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{3}$ અને નિયામિકા $2x + y = 1$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $(1, 2)$ એ અતિવલય $H$ ની નાભિ છે અને $x+y+1=0$ એ તેની નિયામિકા છે. જો $\sqrt{3}$ એ $H$ ની ઉત્કેન્દ્રિયતા હોય,તો તેનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે રેખા $L_{1}$ એ અતિવલય $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$ ને સ્પર્શક છે અને $L_{2}$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $L_{1}$ ને લંબ રેખા છે. જો $L_{1}$ અને $L_{2}$ ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ $(x^{2}+y^{2})^{2} = \alpha x^{2}+\beta y^{2}$ હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.

જો અતિવલય (hyperbola) ના અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

અતિવલય $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}=1$ માટે નાભિઓ અને શિરોબિંદુઓના યામ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

જો બિંદુ $(4,6)$ માંથી પસાર થતા અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $2$ હોય,તો $(4,6)$ આગળ આ અતિવલયના સ્પર્શકનું સમીકરણ શું થાય?