AIEEE 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) चूंकि $\sec(\theta - \phi)$,$\sec \theta$,और $\sec(\theta + \phi)$ $A.P.$ में हैं,इसलिए:
$2 \sec \theta = \sec(\theta - \phi) + \sec(\theta + \phi)$
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos(\theta + \phi) + \cos(\theta - \phi)}{\cos(\theta - \phi) \cos(\theta + \phi)}$
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \phi}{\cos^2 \theta - \sin^2 \phi}$
$\cos^2 \theta - \sin^2 \phi = \cos^2 \theta \cos \phi$
$\cos^2 \theta (1 - \cos \phi) = \sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi$
$\cos^2 \theta = 1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
$\cos \theta = \pm \sqrt{2} \cos(\frac{\phi}{2})$
दिया गया है कि $\cos \theta = k \cos(\frac{\phi}{2})$,इसलिए $k = \pm \sqrt{2}$.

(A) दिया गया है $n = ^mC_2 = \frac{m(m-1)}{2}$.
हमें $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ का मान ज्ञात करना है।
$n = \frac{m(m-1)}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$^nC_2 = \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right)}{2}$
$= \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m^2-m-2}{2} \right)}{2}$
$= \frac{m(m-1)(m^2-m-2)}{8}$
$= \frac{m(m-1)(m-2)(m+1)}{8}$
$= \frac{3 \times (m+1)m(m-1)(m-2)}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$= 3(^{m+1}C_4)$.

(A) अक्षरों का समूह $\{a, b, c, d, e, f\}$ है,जिसमें $2$ स्वर $(\{a, e\})$ और $4$ व्यंजन $(\{b, c, d, f\})$ हैं।
हमें कम से कम एक स्वर वाले $3$ अक्षरों की व्यवस्था बनानी है।
कम से कम एक स्वर वाली कुल व्यवस्था = ($3$ अक्षरों की कुल व्यवस्था) - (बिना किसी स्वर वाली व्यवस्था)।
$6$ अलग अक्षरों में से $3$ अक्षरों की कुल व्यवस्था = $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$।
बिना किसी स्वर वाली व्यवस्था (केवल व्यंजन) = $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$।
अतः,कम से कम एक स्वर वाली व्यवस्थाओं की कुल संख्या = $120 - 24 = 96$।

(C) मान लीजिए $P(0, 1)$ दिया गया बिंदु है और $L: 2x - y = 0$ रेखा है।
रेखा $ax + by + c = 0$ में बिंदु $(x_0, y_0)$ के प्रतिबिंब $(x_1, y_1)$ का सूत्र $\frac{x_1 - x_0}{a} = \frac{y_1 - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{x_1 - 0}{2} = \frac{y_1 - 1}{-1} = -2 \frac{2(0) - 1(1)}{2^2 + (-1)^2} = -2 \frac{-1}{5} = \frac{2}{5}$.
अतः,$x_1 = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$ और $y_1 = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
इसलिए,कथन $1$ सत्य है।
परिभाषा के अनुसार,एक रेखा में किसी बिंदु का प्रतिबिंब वह बिंदु होता है जिसके लिए रेखा उस बिंदु और उसके प्रतिबिंब को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक होती है। यह दर्शाता है कि बिंदु विपरीत पक्षों पर स्थित हैं और रेखा से समान दूरी पर हैं। अतः,कथन $2$ सत्य है और कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(A) वर्गीकृत आंकड़ों के माध्यक का सूत्र है:
$M = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times C$
जहाँ:
$l = 20$ (माध्यक वर्ग की निचली सीमा)
$N = 100$ (कुल अवलोकनों की संख्या)
$F = 45$ (माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता)
$C = 30 - 20 = 10$ (माध्यक वर्ग की चौड़ाई)
$M = 25$ (माध्यक)
$f$ माध्यक वर्ग की बारंबारता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$25 = 20 + \left( \frac{\frac{100}{2} - 45}{f} \right) \times 10$
$25 - 20 = \left( \frac{50 - 45}{f} \right) \times 10$
$5 = \frac{5}{f} \times 10$
$5 = \frac{50}{f}$
$f = \frac{50}{5} = 10$

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 16$,अतः $a = 4$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ होती हैं,जहाँ $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}}$ है।
अतः नाभियाँ $(\pm \sqrt{16 - b^2}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ है,जिसे $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = \frac{144}{25}$ और $b^2 = \frac{81}{25}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_h = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
अतिपरवलय की नाभियाँ $(\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$\sqrt{16 - b^2} = 3$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16 - b^2 = 9$,जिससे $b^2 = 7$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $A.P.$ के $p^{th}$ और $q^{th}$ पदों का $A.M.$,$r^{th}$ और $s^{th}$ पदों के $A.M.$ के बराबर है:
$\frac{a_p + a_q}{2} = \frac{a_r + a_s}{2}$
$A.P.$ के $n^{th}$ पद के सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर:
$a + (p-1)d + a + (q-1)d = a + (r-1)d + a + (s-1)d$
समीकरण को सरल करने पर:
$2a + (p + q - 2)d = 2a + (r + s - 2)d$
दोनों पक्षों से $2a$ घटाने पर:
$(p + q - 2)d = (r + s - 2)d$
यदि $d \neq 0$ है,तो $d$ से विभाजित करने पर:
$p + q - 2 = r + s - 2$
अतः:
$p + q = r + s$

(C) $\cos 255^o + \sin 195^o$ पर विचार करें।
रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\cos 255^o = \cos(270^o - 15^o) = -\sin 15^o$.
$\sin 195^o = \sin(180^o + 15^o) = -\sin 15^o$.
अतः,व्यंजक होगा:
$-\sin 15^o - \sin 15^o = -2 \sin 15^o$.
$\sin 15^o = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ का मान रखने पर:
$-2 \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = -\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$.

(D) दी गई व्यंजक ${\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^n}{\left( {1 - x} \right)^n}$ है।
इसे ${\left( \frac{x-1}{x} \right)^n} {(1-x)^n} = {(-1)^n} {x^{-n}} {(1-x)^{2n}}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
${(1-x)^{2n}}$ के विस्तार में $2n+1$ पद हैं।
मध्य पद ${\left( \frac{2n+1+1}{2} \right)}^{\text{th}} = {(n+1)}^{\text{th}}$ पद है।
${(1-x)^{2n}}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{2n}C_r {(-x)^r} = {}^{2n}C_r {(-1)^r} {x^r}$ है।
$(n+1)^{\text{th}}$ पद के लिए,$r=n$ रखने पर,हमें ${}^{2n}C_n {(-1)^n} {x^n}$ प्राप्त होता है।
इस मान को मूल व्यंजक में रखने पर: ${(-1)^n} {x^{-n}} \cdot {}^{2n}C_n {(-1)^n} {x^n} = {(-1)^{2n}} {}^{2n}C_n = {}^{2n}C_n$ (चूंकि $2n$ एक सम संख्या है,इसलिए ${(-1)^{2n}} = 1$)।

(D) हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi {{\cos }^2}x} \right)}}{{{x^2}}}$
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करते हुए:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi (1 - \sin^2 x)} \right)}}{{{x^2}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi - \pi \sin^2 x} \right)}}{{{x^2}}}$
चूंकि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,इसलिए:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi \sin^2 x} \right)}}{{{x^2}}}$
$\pi \sin^2 x$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\sin \left( {\pi \sin^2 x} \right)}}{{\pi \sin^2 x}} \times \frac{{\pi \sin^2 x}}{{{x^2}}} \right)$
मानक सीमा $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta}}{\theta} = 1$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 \times \pi \times (\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x})^2 = 1 \times \pi \times 1^2 = \pi$

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$ax + 2by + 3b = 0$ $(1)$
$bx - 2ay - 3a = 0$ $(2)$
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(1)$ को $a$ से और $(2)$ को $b$ से गुणा करें:
$a^2x + 2aby + 3ab = 0$
$b^2x - 2aby - 3ab = 0$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $(a^2 + b^2)x = 0$। चूँकि $(a, b) \neq (0, 0)$,इसलिए $a^2 + b^2 \neq 0$,अतः $x = 0$।
$(1)$ में $x = 0$ रखने पर: $2by = -3b$। अतः $y = -3/2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -3/2)$ है।
$x-$ अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण $y = k$ होता है। चूँकि यह $(0, -3/2)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $y = -3/2$ है।
यह रेखा $x-$ अक्ष के नीचे $3/2$ की दूरी पर स्थित है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = x$ है।
दिया गया है कि जीवा $PQ$ परवलय के अक्ष ($x$-अक्ष) के लंबवत है और एक सिरा $P(4, -2)$ है,इसलिए $Q$ का $x$-निर्देशांक भी $4$ होगा।
चूँकि $Q$ परवलय $y^2 = x$ पर स्थित है,$x = 4$ रखने पर $y^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिससे $y = \pm 2$ मिलता है। चूँकि $P(4, -2)$ है,इसलिए $Q(4, 2)$ होगा।
परवलय $y^2 = x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$।
$Q(4, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} \Big|_{(4, 2)} = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$ है।
$Q$ पर अभिलंब की ढाल स्पर्श रेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है।
अतः,अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{1/4} = -4$ है।

(C) मान लीजिए $p$: सूर्य चमक रहा है।
मान लीजिए $q$: मैं दोपहर में टेनिस खेलूँगा।
दिया गया कथन $p \to q$ के रूप में है।
प्रतिबंधात्मक कथन $p \to q$ का निषेध $\sim(p \to q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,निषेध "सूर्य चमक रहा है और मैं दोपहर में टेनिस नहीं खेलूँगा" होगा,जो $p \wedge \sim q$ के अनुरूप है।

(C) जब $n$ विषम है,तो श्रेणी के $n$ पदों का योग: $1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + \dots + 2 \cdot (n-1)^2 + n^2$ है।
इसे प्रथम $(n-1)$ पदों के योग और $n$-वें पद के योग के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $(n-1)$ सम है,सम पदों के लिए दिए गए सूत्र का उपयोग करने पर: $S_{n-1} = \frac{(n-1)(n-1+1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.
अब,$n$-वां पद $(n^2)$ जोड़ने पर: $S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2$.
$n^2$ कॉमन लेने पर: $S_n = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = n^2 \left( \frac{n-1+2}{2} \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.

(C) दिए गए वृत्त $C_1: x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$ और $C_2: x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $(4, 1)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{4^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{16} = 4$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $(-3, -4)$ है और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - 0} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$ है।
चूंकि $\sqrt{49} < \sqrt{74} < \sqrt{81}$,इसलिए $7 < d < 9$ है।
साथ ही,$r_1 + r_2 = 4 + 5 = 9$ और $|r_1 - r_2| = |4 - 5| = 1$ है।
चूंकि $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$,वृत्त दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।

(B) सम्मिश्र संख्या के मापांक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए: $\left| z \right|^2 = z \bar{z}$.
पदों का विस्तार करने पर:
${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = \left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2 + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1}$.
इसी प्रकार:
${\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = \left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2 - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1}$.
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left| {{z_1}} \right|^2 + 2\left| {{z_2}} \right|^2 = 2(\left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2)$.

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 16$ और $b^2 = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त के लिए $(x_1, y_1)$ बिंदु पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
$(x_1, y_1) = \left( 2, \frac{3}{2} \right)$,$a^2 = 16$,और $b^2 = 3$ रखने पर:
$\frac{16x}{2} - \frac{3y}{3/2} = 16 - 3$
$8x - 2y = 13$
$2y = 8x - 13 \Rightarrow y = 4x - \frac{13}{2}$।
रेखा $y = mx + c$ परवलय $y^2 = 4Ax$ को स्पर्श करती है यदि $c = \frac{A}{m}$ हो।
यहाँ $m = 4$ और $c = -\frac{13}{2}$ है।
$-\frac{13}{2} = \frac{A}{4} \Rightarrow A = -26$।
अतः,परवलय का समीकरण $y^2 = 4(-26)x = -104x$ है।

(C) दिया गया है कि $1$,$ax^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है,इसलिए $a + b + c = 0$ या $c = -a - b$ है।
$x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ रखने पर:
$4ax^2 + 3bx + 2c = 0$।
$c = -a - b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4ax^2 + 3bx - 2a - 2b = 0$।
यह एक द्विघात समीकरण है। उदाहरण के लिए,यदि $a=1, b=-2, c=1$ लें,तो $y = 4x^2 - 6x + 2 = 2(2x-1)(x-1)$,जो $x$-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को ठीक दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

(D) रेखाओं की ढाल (slopes) इस प्रकार हैं:
$m_1 = 1$ ($L_1$ के लिए)
$m_2 = -1$ ($L_2$ के लिए)
$m_3 = -1$ ($L_3$ के लिए)
$m_4 = 1$ ($L_4$ के लिए)
$1$. लंबवतता (perpendicularity) की जाँच करें:
$m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,अतः $L_1 \perp L_2$.
$m_1 \times m_3 = 1 \times (-1) = -1$,अतः $L_1 \perp L_3$.
$2$. समांतरता (parallelism) की जाँच करें:
$m_2 = m_3 = -1$,अतः $L_2 || L_3$.
$3$. प्रतिच्छेदन (intersection) की जाँच करें:
चूँकि $m_2 \neq m_4$ $(-1 \neq 1)$,$L_2$ और $L_4$ समांतर नहीं हैं और इसलिए एक-दूसरे को काटती हैं।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(D) प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याएँ $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$ हैं।
माध्य $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n$ है।
वर्गों का योग $\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$ है।
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{n^2-1}{3}$ है।
अतः,कथन $1$ और कथन $2$ दोनों सत्य हैं और कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक महिला के दोनों ओर एक पुरुष हो,पुरुषों और महिलाओं को गोलाकार मेज के चारों ओर एकांतर क्रम में बैठना होगा।
सबसे पहले,$7$ पुरुषों को गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$7$ पुरुषों को $(7-1)! = 6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
एक बार जब पुरुष बैठ जाते हैं,तो उनके बीच $7$ अलग-अलग स्थान बन जाते हैं।
चूंकि इन $7$ स्थानों पर $7$ महिलाओं को बैठाना है,इसलिए उन्हें $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,बैठने की कुल व्यवस्थाओं की संख्या $6! \times 7!$ है।

(B) माना कि उभयनिष्ठ रेखा के दिक्-अनुपात $\ell, m, n$ हैं।
चूंकि रेखा समतल $x = 5$ पर स्थित है,इसका दिक्-सदिश अभिलंब $(1, 0, 0)$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$\ell = 0$ है।
चूंकि रेखा अन्य दो समतलों पर भी स्थित है,इसका दिक्-सदिश उनके अभिलंबों $(2, -5a, 3)$ और $(3b, 1, -3)$ के लंबवत होना चाहिए।
समतल $2x - 5ay + 3z - 2 = 0$ के लिए,$2\ell - 5am + 3n = 0$ है। $\ell = 0$ होने पर,$-5am + 3n = 0$ या $3n = 5am$ प्राप्त होता है।
समतल $3bx + y - 3z = 0$ के लिए,$3b\ell + m - 3n = 0$ है। $\ell = 0$ होने पर,$m - 3n = 0$ या $m = 3n$ प्राप्त होता है।
$m = 3n$ को $3n = 5am$ में रखने पर,$3n = 5a(3n)$ प्राप्त होता है।
यदि $n \neq 0$ है,तो $3 = 15a$,जिससे $a = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,उभयनिष्ठ रेखा को समतलों के समीकरणों को भी संतुष्ट करना चाहिए। $x = 5$ होने पर,अन्य दो समीकरण $-5ay + 3z = -8$ और $y - 3z = -15b$ बन जाते हैं।
$a = \frac{1}{5}$ रखने पर,पहला समीकरण $-y + 3z = -8$ यानी $y - 3z = 8$ बन जाता है।
$y - 3z = 8$ और $y - 3z = -15b$ की तुलना करने पर,$-15b = 8$,अतः $b = -\frac{8}{15}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$(a, b) = \left( \frac{1}{5}, -\frac{8}{15} \right)$।

(D) मान लीजिए $g(x) = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx.$
तब $g'(x) = ax^2 + bx + c.$
हमें दिया गया है $2a + 3b + 6c = 0.$
कथन $2:$
$g(0) = 0.$
$g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6} = \frac{0}{6} = 0.$
चूंकि $g(0) = g(1) = 0$ और $g(x)$ एक बहुपद है,यह $[0, 1]$ पर सतत है और $(0, 1)$ पर अवकलनीय है।
रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $k \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $g'(k) = 0.$
अतः,कथन $2$ सही है।
कथन $1:$
चूंकि किसी $k \in (0, 1)$ के लिए $g'(k) = ak^2 + bk + c = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का $(0, 1)$ में कम से कम एक मूल है।
अतः,कथन $1$ और $2$ दोनों सही हैं और कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(B) दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ और $L_2: \frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ हैं।
दोनों रेखाओं का दिशा सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ समान है,इसलिए वे समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ,$\vec{a}_1 = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ और $\vec{a}_2 = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = 3\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$.
इसका परिमाण $|3\hat{i} - 3\hat{k}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
$\vec{b}$ का परिमाण $|2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ है।
इसलिए,$d = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$.
चूंकि गणना की गई दूरी $\sqrt{2}$ है,इसलिए कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ समांतर रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी की मानक परिभाषा है,जो कि सत्य है।
चूंकि कथन $2$ उस विधि को प्रदान करता है जिसका उपयोग कथन $1$ में दूरी की गणना के लिए किया गया है,इसलिए यह सही व्याख्या है।

(C) दिया गया समुच्चय $S = \{ 1, 2, 3 \}$ है।
$S$ में अवयवों की संख्या $n(S) = 3$ है।
$P(S)$ समुच्चय $S$ का घात समुच्चय (power set) है,जो $S$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है।
घात समुच्चय में अवयवों की संख्या $n(P(S)) = 2^{n(S)} = 2^3 = 8$ है।
एक फलन $f: S \to P(S)$ एकैकी (injective) होता है यदि $S$ का प्रत्येक अवयव $P(S)$ के एक अद्वितीय अवयव से जुड़ा हो।
$m$ अवयवों वाले समुच्चय से $n$ अवयवों वाले समुच्चय तक एकैकी फलनों की संख्या का सूत्र $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!}$ है।
यहाँ,$m = n(S) = 3$ और $n = n(P(S)) = 8$ है।
अतः,एकैकी फलनों की संख्या $^8P_3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ है।

(C) दिया गया है $W = nw$।
अवकलन के लिए गुणन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{dW}{dt} = n \frac{dw}{dt} + w \frac{dn}{dt}$
दिया गया है $n = 2t^2 + 3$ और $w = t^2 - t + 2$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dn}{dt} = 4t$
$\frac{dw}{dt} = 2t - 1$
$t = 1$ पर:
$n = 2(1)^2 + 3 = 5$
$w = (1)^2 - 1 + 2 = 2$
$\frac{dn}{dt} = 4(1) = 4$
$\frac{dw}{dt} = 2(1) - 1 = 1$
इन मानों को अवकलन सूत्र में रखने पर:
$\frac{dW}{dt} = (5)(1) + (2)(4)$
$\frac{dW}{dt} = 5 + 8 = 13$

(B) यह क्षेत्र वक्र $y = x^3$,रेखा $y = 8$ और $y$-अक्ष $(x = 0)$ द्वारा परिबद्ध है।
$y$-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं: $x = y^{1/3}$।
$y$ के लिए सीमाएँ $0$ से $8$ तक हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल $= \int\limits_{0}^{8} x \, dy = \int\limits_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$= \left[ \frac{y^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4} y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$= \frac{3}{4} (8^{4/3} - 0^{4/3}) = \frac{3}{4} ((2^3)^{4/3}) = \frac{3}{4} (2^4) = \frac{3}{4} \times 16 = 12 \text{ वर्ग इकाई।}$

(C) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = r\hat{i} + \hat{j} + (2r - 1)\hat{k}$ हैं।
चूंकि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल के समांतर है,इसलिए सदिश $\vec{a}, \vec{b}$,और $\vec{c}$ समतलीय हैं।
तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$।
इसका अर्थ है कि उनके घटकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ r & 1 & 2r - 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((3)(2r - 1) - (-1)(1)) - (-2)((2)(2r - 1) - (-1)(r)) + 3((2)(1) - (3)(r)) = 0$
$1(6r - 3 + 1) + 2(4r - 2 + r) + 3(2 - 3r) = 0$
$(6r - 2) + 2(5r - 2) + (6 - 9r) = 0$
$6r - 2 + 10r - 4 + 6 - 9r = 0$
$7r = 0$
$r = 0$

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = -abd$ है।
चूँकि $A^{-1} = A^T$,इसलिए $A A^T = I$ होगा।
$A A^T = \begin{bmatrix} a^2 & ac & af \\ ac & b^2+c^2 & be+cf \\ ad & ae+cf & d^2+e^2+f^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$।
तुलना करने पर: $a^2=1 \implies a=\pm 1$,$c=0$,$f=0$,$b^2=1 \implies b=\pm 1$,$e=0$,$d^2=1 \implies d=\pm 1$।
अतः,$a, b, d$ के लिए $2$ विकल्प हैं। कुल आव्यूहों की संख्या $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ है।

(C) माना कि दिया गया बिंदु $P(-1, 2, 6)$ है और रेखा $L$ बिंदु $A(2, 3, -4)$ से होकर गुजरती है जिसकी दिशा सदिश $\vec{v} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{AP} = (-1-2)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (6-(-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$ है।
बिंदु $P$ की रेखा से दूरी $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{AP} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 10 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 30) - \hat{j}(12 - 60) + \hat{k}(-9 + 6) = -26\hat{i} + 48\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-26)^2 + 48^2 + (-3)^2} = \sqrt{676 + 2304 + 9} = \sqrt{2989}$ है।
सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$ है।
अतः,$d = \sqrt{\frac{2989}{61}} = \sqrt{49} = 7$।

(D) दिए गए समतल हैं:
$P: x + y - 2z + 7 = 0$
$Q: x + y + 2z + 2 = 0$
$R: 3x + 3y - 6z - 11 = 0$
यह जांचने के लिए कि क्या समतल समांतर हैं,हम $x, y,$ और $z$ के गुणांकों के अनुपात की तुलना करते हैं।
समतल $P$ के लिए,अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, -2)$ है।
समतल $R$ के लिए,अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (3, 3, -6)$ है।
हम देखते हैं कि $\vec{n_2} = 3(1, 1, -2) = 3\vec{n_1}$ है।
चूंकि अभिलंब सदिश समानुपाती हैं,इसलिए समतल $P$ और $R$ समांतर हैं।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ हैं।
$AB$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह गुणन करेंगे:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & 1 \end{bmatrix}$
प्रत्येक अवयव की गणना करने पर:
पंक्ति $1$: $(1)(1) + (0)(-2) + (0)(7) = 1$,$(1)(0) + (0)(1) + (0)(-2) = 0$,$(1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0$
पंक्ति $2$: $(2)(1) + (1)(-2) + (0)(7) = 2 - 2 = 0$,$(2)(0) + (1)(1) + (0)(-2) = 1$,$(2)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0$
पंक्ति $3$: $(-3)(1) + (2)(-2) + (1)(7) = -3 - 4 + 7 = 0$,$(-3)(0) + (2)(1) + (1)(-2) = 2 - 2 = 0$,$(-3)(0) + (2)(0) + (1)(1) = 1$
अतः,$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.

(B) दिए गए समीकरण $y^2 = 4x$ और $2x - 3y + 4 = 0$ हैं।
रेखा के समीकरण से,$x = \frac{3y - 4}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे परवलय के समीकरण में रखने पर: $y^2 = 4 \left( \frac{3y - 4}{2} \right) = 2(3y - 4) = 6y - 8$.
$y^2 - 6y + 8 = 0 \implies (y - 2)(y - 4) = 0$.
अतः,$y = 2$ और $y = 4$.
जब $y = 2$,तो $x = \frac{3(2) - 4}{2} = 1$. जब $y = 4$,तो $x = \frac{3(4) - 4}{2} = 4$.
क्षेत्रफल $\int_{2}^{4} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{2}^{4} \left( \frac{3y - 4}{2} - \frac{y^2}{4} \right) dy$ द्वारा प्राप्त होता है।
$= \left[ \frac{3y^2}{4} - 2y - \frac{y^3}{12} \right]_{2}^{4}$.
$= \left( \frac{3(16)}{4} - 2(4) - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{3(4)}{4} - 2(2) - \frac{8}{12} \right)$.
$= \left( 12 - 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 3 - 4 - \frac{2}{3} \right) = \left( 4 - \frac{16}{3} \right) - \left( -1 - \frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + 1$ है।
स्थानीय चरम मान की जाँच करने के लिए,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 3x^2$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $3x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0$।
अब,$x = 0$ के आसपास $f'(x)$ के चिह्न की जाँच करते हैं:
$x < 0$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 > 0$।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 3x^2 > 0$।
चूंकि अवकलज $f'(x)$ का चिह्न $x = 0$ से गुजरते समय नहीं बदलता है,इसलिए फलन $f(x)$ का $x = 0$ पर कोई स्थानीय चरम मान नहीं है। अतः,कथन $1$ असत्य है।
कथन $2$ के लिए: फलन $f(x) = x^3 + 1$ एक बहुपद फलन है,जो $( -\infty, \infty )$ पर हर जगह सतत और अवकलनीय है।
साथ ही,$f'(x) = 3x^2$,इसलिए $f'(0) = 3(0)^2 = 0$। अतः,कथन $2$ सत्य है।
इसलिए,कथन $1$ असत्य है और कथन $2$ सत्य है।

(D) एक फलन $f : A \to B$ एकैकी-आच्छादक (bijective) होता है यदि वह एकैकी (injective) और आच्छादक (surjective) दोनों हो।
कथन $1$ कहता है कि $f$ एक आच्छादक फलन है,जो एकैकी-आच्छादक फलन की परिभाषा के अनुसार सत्य है।
कथन $2$ कहता है कि एक ऐसा फलन $g : B \to A$ मौजूद है कि $f \circ g = I_B$ हो। चूंकि $f$ एकैकी-आच्छादक है,इसलिए इसका प्रतिलोम फलन $f^{-1} : B \to A$ मौजूद है,जिससे $f \circ f^{-1} = I_B$ होता है। अतः,$g = f^{-1}$ इस शर्त को पूरा करता है। इसलिए,कथन $2$ भी सत्य है।
हालाँकि,कथन $2$ एकैकी-आच्छादकता से प्राप्त व्युत्क्रमणीयता के गुण को दर्शाता है,जबकि कथन $1$ एकैकी-आच्छादकता के एक भाग की परिभाषा है। कथन $2$,कथन $1$ का कारण नहीं है; बल्कि दोनों ही $f$ के एकैकी-आच्छादक होने के परिणाम हैं। अतः,कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) हमारे पास $f(x) = \int \csc^6 x \, dx$ है।
सर्वसमिका $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ का उपयोग करते हुए:
$f(x) = \int \csc^4 x \cdot \csc^2 x \, dx = \int (1 + \cot^2 x)^2 \csc^2 x \, dx$।
माना $u = \cot x$,तब $du = -\csc^2 x \, dx$,जिसका अर्थ है $\csc^2 x \, dx = -du$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \int (1 + u^2)^2 (-du) = -\int (1 + 2u^2 + u^4) \, du$।
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$f(x) = -(u + \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}) + C$।
$u = \cot x$ वापस रखने पर:
$f(x) = -\cot x - \frac{2}{3} \cot^3 x - \frac{1}{5} \cot^5 x + C$।
यह $\cot x$ में $5$ घात का बहुपद है।

(A) रेखा $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z + 2) = 0$ है,जहाँ अभिलंब सदिश $(a, b, c)$ रेखा के दिशा सदिश $(-3, 2, 1)$ के लंबवत है।
अतः,$-3a + 2b + c = 0$ --- $(1)$
चूँकि समतल बिंदु $(0, 7, -7)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$a(0 + 1) + b(7 - 3) + c(-7 + 2) = 0$
$a + 4b - 5c = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{2(-5) - 1(4)} = \frac{-b}{-3(-5) - 1(1)} = \frac{c}{-3(4) - 2(1)}$
$\frac{a}{-14} = \frac{-b}{14} = \frac{c}{-14}$
$-14$ से विभाजित करने पर,हमें $a = 1, b = 1, c = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$1(x + 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0$
$x + y + z = 0$.

(D) कथन $1$: तीन सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के समतलीय होने की शर्त यह है कि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$। अतः,कथन $1$ सही है।
कथन $2$: दो अशून्य सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$। सदिश गुणनफल $\vec{u} \times \vec{v}$ वास्तव में $\vec{u}$ और $\vec{v}$ वाले समतल के लंबवत एक सदिश होता है। अतः,कथन $2$ सही है।
हालाँकि,कथन $2$ लंबवत सदिशों और सदिश गुणनफल का एक सामान्य गुणधर्म प्रस्तुत करता है,जो कथन $1$ में दी गई समतलीयता की शर्त के लिए तार्किक व्याख्या नहीं है। इसलिए,कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) समघात रैखिक समीकरण निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर: $\left| \begin{matrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -4 \end{matrix} \right| = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-4k - (-6)) - k(-12 - (-4)) + 3(9 - 2k) = 0$
$1(-4k + 6) - k(-8) + 27 - 6k = 0$
$-4k + 6 + 8k + 27 - 6k = 0$
$-2k + 33 = 0$
$2k = 33 \Rightarrow k = \frac{33}{2}$.
चूंकि $k$ का परिकलित मान $\frac{33}{2}$ है न कि $\frac{31}{2}$,इसलिए कथन $1$ असत्य है।
कथन $2$ रैखिक बीजगणित का एक मानक प्रमेय है,इसलिए यह सत्य है।

(D) माना $I = \int_{-0.9}^{0.9} \left( [x^2] + \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) \right) dx$.
हम इसे दो समाकलनों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-0.9}^{0.9} [x^2] dx + \int_{-0.9}^{0.9} \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) dx$.
प्रथम भाग के लिए,चूंकि $-0.9 < x < 0.9$,इसलिए $0 \leq x^2 < 0.81$ प्राप्त होता है। अतः,$x \in (-0.9, 0.9)$ के लिए $[x^2] = 0$ होगा। इसलिए,$\int_{-0.9}^{0.9} [x^2] dx = 0$.
दूसरे भाग के लिए,माना $f(x) = \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right)$.
तब $f(-x) = \log \left( \frac{2-(-x)}{2+(-x)} \right) = \log \left( \frac{2+x}{2-x} \right) = \log \left( \left( \frac{2-x}{2+x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) = -f(x)$.
चूंकि $f(x)$ एक विषम फलन है और अंतराल $[-0.9, 0.9]$ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है,इसलिए $\int_{-0.9}^{0.9} f(x) dx = 0$.
अतः,$I = 0 + 0 = 0$.

(D) फलन $f(x) = a|\sin x| + be^{|x|} + c|x|^3$,$x = 0$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि प्रत्येक घटक अवकलनीय हो या उनके गैर-अवकलनीय भाग एक-दूसरे को निरस्त कर दें।
सबसे पहले,$|\sin x|$ पर विचार करें। $x = 0$ पर बायां अवकलज $\lim_{h \to 0^-} \frac{|\sin h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-\sin h}{h} = -1$ है। दायां अवकलज $\lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h} = 1$ है। चूंकि $-1 \neq 1$,इसलिए $|\sin x|$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
दूसरा,$e^{|x|}$ पर विचार करें। $x = 0$ पर बायां अवकलज $\lim_{h \to 0^-} \frac{e^{-h} - 1}{h} = -1$ है। दायां अवकलज $\lim_{h \to 0^+} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ है। चूंकि $-1 \neq 1$,इसलिए $e^{|x|}$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
तीसरा,$|x|^3$ पर विचार करें। चूंकि $|x|^3 = x^3$ ($x \ge 0$ के लिए) और $-x^3$ ($x < 0$ के लिए),$x = 0$ पर अवकलज $\lim_{h \to 0} \frac{|h|^3 - 0}{h} = 0$ है। अतः,$|x|^3$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
$f(x)$ को $x = 0$ पर अवकलनीय होने के लिए,गैर-अवकलनीय भागों को शून्य होना चाहिए। इसके लिए $a = 0$ और $b = 0$ होना आवश्यक है। स्थिरांक $c$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है क्योंकि $|x|^3$ पहले से ही अवकलनीय है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2 - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 - 1}y = \frac{x}{x^2 - 1}$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2x}{x^2 - 1}$ और $Q = \frac{x}{x^2 - 1}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $t = x^2 - 1$,तो $dt = 2x dx$ होगा।
अतः,$IF = e^{\int \frac{dt}{t}} = e^{\ln|t|} = t = x^2 - 1$।
इसलिए,अभीष्ट समाकलन गुणक $x^2 - 1$ है।

(B) माना $A$ वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल है और $r$ इसकी त्रिज्या है। क्षेत्रफल का सूत्र $A = \pi r^2$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या $r = 50 \, cm$ है और त्रिज्या के परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 1 \, mm/hour = 0.1 \, cm/hour = \frac{1}{10} \, cm/hour$ है।
समय $t$ के सापेक्ष क्षेत्रफल का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{1}{10} = 10\pi \, cm^2/hour$ प्राप्त होता है।
अतः,प्लेट के क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $10\pi \, cm^2/hour$ है।

(B) मान लीजिए कि कलश में दो गेंदों की प्रारंभिक स्थिति सफेद गेंदों की संख्या $W$ द्वारा दर्शाई गई है। चूंकि प्रत्येक गेंद सफेद या काली हो सकती है,इसलिए संभावित प्रारंभिक स्थितियाँ $0$ सफेद गेंदें $(BB)$,$1$ सफेद गेंद $(BW)$,या $2$ सफेद गेंदें $(WW)$ हैं। यह मानते हुए कि प्रत्येक स्थिति समान रूप से संभावित है,प्रत्येक के लिए पूर्व प्रायिकता $P(S_i) = \frac{1}{3}$ है।
एक सफेद गेंद डालने के बाद,नई स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$1) BB \to BBW$ (सफेद गेंदों की संख्या = $1$,कुल = $3$)
$2) BW \to BWW$ (सफेद गेंदों की संख्या = $2$,कुल = $3$)
$3) WW \to WWW$ (सफेद गेंदों की संख्या = $3$,कुल = $3$)
स्थिति $S_i$ दिए जाने पर सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P(W|S_i) = \frac{\text{सफेद गेंदें}}{3}$ है।
$P(W|S_1) = \frac{1}{3}$,$P(W|S_2) = \frac{2}{3}$,$P(W|S_3) = \frac{3}{3} = 1$.
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए: $P(W) = \sum P(W|S_i)P(S_i) = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 1) = \frac{1}{3} \times (\frac{6}{3}) = \frac{2}{3}$.

(C) दिया गया है $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$.
इसका अर्थ है $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + 5^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7^2$.
$9 + 25 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$34 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49 - 34 = 15$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{15}{2}$.
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
$\frac{15}{2} = (3)(5) \cos \theta$.
$\frac{15}{2} = 15 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.