कथन $1$: यदि बिंदु $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, z)$ और $(1, 1, 1)$ समतलीय हैं,तो $z = 2$ है।
कथन $2$: यदि $4$ बिंदु $P, Q, R$ और $S$ समतलीय हैं,तो चतुष्फलक $PQRS$ का आयतन $0$ होता है।

वह मान $\lambda$ जिसके लिए बिंदु $A(2, 2, 1)$,$B(1, 1, 1)$,$C(-\lambda, 2, 1)$ और $D(3, 0, -1)$ समतलीय हैं,$\lambda = $ ............ है।

मान लीजिए $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\overline{p}, \overline{q}, \overline{r}$ को संबंधों $\overline{p}=\frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}, \overline{q}=\frac{\overline{c} \times \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}, \overline{r}=\frac{\overline{a} \times \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो व्यंजक $(\overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{p}+(\overline{b}+\overline{c}) \cdot \overline{q}+(\overline{c}+\overline{a}) \cdot \overline{r}$ का मान क्या होगा?

माना कि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b}$ और $\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ है। यदि सदिश $\vec{b}$ का सदिश $\vec{a} \times \vec{c}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $l$ है,तो $3l^{2}$ का मान $.....$ के बराबर है।

यदि दिए गए सदिश $(-bc, b^2 + bc, c^2 + bc)$,$(a^2 + ac, -ac, c^2 + ac)$ और $(a^2 + ab, b^2 + ab, -ab)$ समतलीय हैं,जहाँ $a, b$ और $c$ में से कोई भी शून्य नहीं है,तो:

यदि $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\bar{b}=4\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,और $\bar{c}=\hat{i}+\alpha\hat{j}+\beta\hat{k}$ रैखिक रूप से आश्रित सदिश हैं और $|\bar{c}|=\sqrt{3}$ है,तो $\alpha$ और $\beta$ के मान क्रमशः क्या हैं?