परवलयों x^2 = frac{y}{4} और x^2 = 9y तथा सरल | vedclass

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Question

(C) दिए गए परवलय $x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$ और $x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$ हैं।चूंकि यह क्षेत्र $y$-अक्ष के साप

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$\frac{20\sqrt{2}}{3}$

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(C) दिए गए परवलय $x^2 = \frac{y}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{y}}{2}$ और $x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$ हैं।चूंकि यह क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करेंगे और उसे $2$ से गुणा करेंगे।क्षेत्रफल $A$,$y = 0$ से $y = 2$ तक $x = 3\sqrt{y}$ (दायां वक्र) और $x = \frac{\sqrt{y}}{2}$ (बायां वक्र) द्वारा घिरा हुआ है।$A = 2 \int_{0}^{2} \left( 3\sqrt{y} - \frac{\sqrt{y}}{2} ight) dy$$A = 2 \int_{0}^{2} \frac{5\sqrt{y}}{2} dy = 5 \int_{0}^{2} y^{1/2} dy$$A = 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} ight]_{0}^{2} = 5 	imes \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} ight]_{0}^{2}$$A = \frac{10}{3} \left( 2^{3/2} - 0 ight) = \frac{10}{3} 	imes 2\sqrt{2} = \frac{20\sqrt{2}}{3}$

परवलयों $x^2 = \frac{y}{4}$ और $x^2 = 9y$ तथा सरल रेखा $y = 2$ के बीच का क्षेत्रफल है:

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वक्रों $x^{2}+y^{2}=8$ और $y^{2}=2x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल है

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