AIEEE 2012 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) કારણ કે $\sec(\theta - \phi)$,$\sec \theta$,અને $\sec(\theta + \phi)$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી:
$2 \sec \theta = \sec(\theta - \phi) + \sec(\theta + \phi)$
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos(\theta + \phi) + \cos(\theta - \phi)}{\cos(\theta - \phi) \cos(\theta + \phi)}$
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \phi}{\cos^2 \theta - \sin^2 \phi}$
$\cos^2 \theta - \sin^2 \phi = \cos^2 \theta \cos \phi$
$\cos^2 \theta (1 - \cos \phi) = \sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi$
$\cos^2 \theta = 1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
$\cos \theta = \pm \sqrt{2} \cos(\frac{\phi}{2})$
આપેલ છે કે $\cos \theta = k \cos(\frac{\phi}{2})$,તેથી $k = \pm \sqrt{2}$.

(A) આપેલ છે કે $n = ^mC_2 = \frac{m(m-1)}{2}$.
આપણે $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ શોધવાનું છે.
$n = \frac{m(m-1)}{2}$ મૂકતા:
$^nC_2 = \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right)}{2}$
$= \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m^2-m-2}{2} \right)}{2}$
$= \frac{m(m-1)(m^2-m-2)}{8}$
$= \frac{m(m-1)(m-2)(m+1)}{8}$
$= \frac{3 \times (m+1)m(m-1)(m-2)}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$
$= 3(^{m+1}C_4)$.

(A) અક્ષરોનો સમૂહ $\{a, b, c, d, e, f\}$ છે,જેમાં $2$ સ્વર $(\{a, e\})$ અને $4$ વ્યંજન $(\{b, c, d, f\})$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય તેવી $3$ અક્ષરોની ગોઠવણી બનાવવાની છે.
ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય તેવી કુલ ગોઠવણી = (કુલ $3$ અક્ષરોની ગોઠવણી) - (એક પણ સ્વર ન હોય તેવી ગોઠવણી).
$6$ અલગ અક્ષરોમાંથી $3$ અક્ષરોની કુલ ગોઠવણી = $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
એક પણ સ્વર ન હોય તેવી ગોઠવણી (માત્ર વ્યંજનો) = $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક સ્વર હોય તેવી ગોઠવણીની સંખ્યા = $120 - 24 = 96$.

(C) ધારો કે $P(0, 1)$ એ આપેલ બિંદુ છે અને $L: 2x - y = 0$ એ રેખા છે.
રેખા $ax + by + c = 0$ માં બિંદુ $(x_0, y_0)$ ના પ્રતિબિંબ $(x_1, y_1)$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x_1 - x_0}{a} = \frac{y_1 - y_0}{b} = -2 \frac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x_1 - 0}{2} = \frac{y_1 - 1}{-1} = -2 \frac{2(0) - 1(1)}{2^2 + (-1)^2} = -2 \frac{-1}{5} = \frac{2}{5}$.
આમ,$x_1 = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$ અને $y_1 = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,રેખામાં બિંદુનું પ્રતિબિંબ એવું બિંદુ છે કે જેથી રેખા એ બિંદુ અને તેના પ્રતિબિંબને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક બને. આ સૂચવે છે કે બિંદુઓ વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે અને રેખાથી સમાન અંતરે છે. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે અને તે વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) જૂથબદ્ધ માહિતી માટે મધ્યસ્થનું સૂત્ર:
$M = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times C$
જ્યાં:
$l = 20$ (મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા)
$N = 100$ (કુલ અવલોકનો)
$F = 45$ (મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ)
$C = 30 - 20 = 10$ (મધ્યસ્થ વર્ગની વર્ગલંબાઈ)
$M = 25$ (મધ્યસ્થ)
$f$ એ મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$25 = 20 + \left( \frac{\frac{100}{2} - 45}{f} \right) \times 10$
$25 - 20 = \left( \frac{50 - 45}{f} \right) \times 10$
$5 = \frac{5}{f} \times 10$
$5 = \frac{50}{f}$
$f = \frac{50}{5} = 10$

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 16$,તેથી $a = 4$.
ઉપવલયના નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે,જ્યાં $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}}$.
તેથી નાભિઓ $(\pm \sqrt{16 - b^2}, 0)$ થાય.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ છે,જેને $\frac{x^2}{(12/5)^2} - \frac{y^2}{(9/5)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a^2 = \frac{144}{25}$ અને $b^2 = \frac{81}{25}$ છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_h = \sqrt{1 + \frac{81}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ છે.
અતિવલયના નાભિઓ $(\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
બંનેના નાભિઓ સમાન હોવાથી,$\sqrt{16 - b^2} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16 - b^2 = 9$,તેથી $b^2 = 7$.

(D) આપેલ છે કે $A.P.$ ના $p^{th}$ અને $q^{th}$ પદોનો $A.M.$ એ $r^{th}$ અને $s^{th}$ પદોના $A.M.$ જેટલો છે:
$\frac{a_p + a_q}{2} = \frac{a_r + a_s}{2}$
$A.P.$ ના $n^{th}$ પદના સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + (p-1)d + a + (q-1)d = a + (r-1)d + a + (s-1)d$
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા:
$2a + (p + q - 2)d = 2a + (r + s - 2)d$
બંને બાજુથી $2a$ બાદ કરતા:
$(p + q - 2)d = (r + s - 2)d$
જો $d \neq 0$ હોય,તો $d$ વડે ભાગતા:
$p + q - 2 = r + s - 2$
તેથી:
$p + q = r + s$

(C) $\cos 255^o + \sin 195^o$ ધ્યાનમાં લો.
રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 255^o = \cos(270^o - 15^o) = -\sin 15^o$.
$\sin 195^o = \sin(180^o + 15^o) = -\sin 15^o$.
તેથી,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$-\sin 15^o - \sin 15^o = -2 \sin 15^o$.
$\sin 15^o = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ કિંમત મૂકતા:
$-2 \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = -\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$.

(D) આપેલ પદાવલિ ${\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^n}{\left( {1 - x} \right)^n}$ છે.
તેને ${\left( \frac{x-1}{x} \right)^n} {(1-x)^n} = {(-1)^n} {x^{-n}} {(1-x)^{2n}}$ તરીકે લખી શકાય.
${(1-x)^{2n}}$ ના વિસ્તરણમાં $2n+1$ પદો છે.
મધ્યમ પદ ${\left( \frac{2n+1+1}{2} \right)}^{\text{th}} = {(n+1)}^{\text{th}}$ પદ છે.
${(1-x)^{2n}}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{2n}C_r {(-x)^r} = {}^{2n}C_r {(-1)^r} {x^r}$ છે.
$(n+1)^{\text{th}}$ પદ માટે,$r=n$ લેતા,આપણને ${}^{2n}C_n {(-1)^n} {x^n}$ મળે છે.
આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા: ${(-1)^n} {x^{-n}} \cdot {}^{2n}C_n {(-1)^n} {x^n} = {(-1)^{2n}} {}^{2n}C_n = {}^{2n}C_n$ (કારણ કે $2n$ બેકી સંખ્યા છે,તેથી ${(-1)^{2n}} = 1$).

(D) આપણે લક્ષની કિંમત મેળવવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi {{\cos }^2}x} \right)}}{{{x^2}}}$
નિત્યસમ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi (1 - \sin^2 x)} \right)}}{{{x^2}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi - \pi \sin^2 x} \right)}}{{{x^2}}}$
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ હોવાથી:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \left( {\pi \sin^2 x} \right)}}{{{x^2}}}$
$\pi \sin^2 x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{\sin \left( {\pi \sin^2 x} \right)}}{{\pi \sin^2 x}} \times \frac{{\pi \sin^2 x}}{{{x^2}}} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta}}{\theta} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 1 \times \pi \times (\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x})^2 = 1 \times \pi \times 1^2 = \pi$

(C) આપેલી રેખાઓ:
$ax + 2by + 3b = 0$ $(1)$
$bx - 2ay - 3a = 0$ $(2)$
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$(1)$ ને $a$ વડે અને $(2)$ ને $b$ વડે ગુણતા:
$a^2x + 2aby + 3ab = 0$
$b^2x - 2aby - 3ab = 0$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $(a^2 + b^2)x = 0$. કારણ કે $(a, b) \neq (0, 0)$,તેથી $a^2 + b^2 \neq 0$,એટલે કે $x = 0$.
$(1)$ માં $x = 0$ મૂકતા: $2by = -3b$. તેથી $y = -3/2$.
છેદબિંદુ $(0, -3/2)$ છે.
$x-$ અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $y = k$ સ્વરૂપનું હોય. તે $(0, -3/2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,સમીકરણ $y = -3/2$ મળે.
આ રેખા $x-$ અક્ષની નીચે $3/2$ અંતરે આવેલી છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = x$ છે.
આપેલ છે કે જીવા $PQ$ એ પરવલયની અક્ષ ($x$-અક્ષ) ને લંબ છે અને એક અંત્યબિંદુ $P(4, -2)$ છે,તેથી $Q$ નો $x$-યામ પણ $4$ થશે.
$Q$ એ પરવલય $y^2 = x$ પર હોવાથી,$x = 4$ મૂકતા $y^2 = 4$ મળે,તેથી $y = \pm 2$. $P(4, -2)$ હોવાથી,$Q(4, 2)$ થશે.
પરવલય $y^2 = x$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
$Q(4, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} \Big|_{(4, 2)} = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$ થાય.
$Q$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{1/4} = -4$ થાય.

(C) ધારો કે $p$: સૂર્ય પ્રકાશિત છે.
ધારો કે $q$: હું બપોરે ટેનિસ રમીશ.
આપેલ વિધાન $p \to q$ સ્વરૂપમાં છે.
શરતી વિધાન $p \to q$ નું નકાર $\sim(p \to q) \equiv p \wedge \sim q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નકાર "સૂર્ય પ્રકાશિત છે અને હું બપોરે ટેનિસ રમીશ નહીં" થાય,જે $p \wedge \sim q$ ને અનુરૂપ છે.

(C) જ્યારે $n$ એકી સંખ્યા હોય,ત્યારે શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો: $1^2 + 2 \cdot 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 4^2 + \dots + 2 \cdot (n-1)^2 + n^2$ થાય.
આને પ્રથમ $(n-1)$ પદોના સરવાળા અને $n$-માં પદના સરવાળા તરીકે લખી શકાય.
$(n-1)$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,બેકી પદો માટેનું સૂત્ર વાપરતા: $S_{n-1} = \frac{(n-1)(n-1+1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.
હવે,$n$-મું પદ $(n^2)$ ઉમેરતા: $S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2$.
$n^2$ સામાન્ય લેતા: $S_n = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = n^2 \left( \frac{n-1+2}{2} \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.

(C) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2 + y^2 - 8x - 2y + 1 = 0$ અને $C_2: x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $(4, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{4^2 + 1^2 - 1} = \sqrt{16} = 4$ છે.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $(-3, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - 0} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$ છે.
અહીં $\sqrt{49} < \sqrt{74} < \sqrt{81}$ હોવાથી,$7 < d < 9$ મળે છે.
વળી,$r_1 + r_2 = 4 + 5 = 9$ અને $|r_1 - r_2| = |4 - 5| = 1$ છે.
$|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.

(B) સંકર સંખ્યાના માનાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\left| z \right|^2 = z \bar{z}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = \left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2 + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1}$.
તે જ રીતે:
${\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = \left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2 - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1}$.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left| {{z_1}} \right|^2 + 2\left| {{z_2}} \right|^2 = 2(\left| {{z_1}} \right|^2 + \left| {{z_2}} \right|^2)$.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 3$ મળે.
ઉપવલય માટે $(x_1, y_1)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
$(x_1, y_1) = \left( 2, \frac{3}{2} \right)$,$a^2 = 16$,અને $b^2 = 3$ મૂકતા:
$\frac{16x}{2} - \frac{3y}{3/2} = 16 - 3$
$8x - 2y = 13$
$2y = 8x - 13 \Rightarrow y = 4x - \frac{13}{2}$.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4Ax$ ને સ્પર્શે જો $c = \frac{A}{m}$ હોય.
અહીં $m = 4$ અને $c = -\frac{13}{2}$ છે.
$-\frac{13}{2} = \frac{A}{4} \Rightarrow A = -26$.
તેથી,પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4(-26)x = -104x$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $1$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ નું બીજ છે,તેથી $a + b + c = 0$ અથવા $c = -a - b$.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y = 0$ લેતા:
$4ax^2 + 3bx + 2c = 0$.
$c = -a - b$ મૂકતા:
$4ax^2 + 3bx - 2a - 2b = 0$.
આ એક દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ઉદાહરણ તરીકે,જો $a=1, b=-2, c=1$ લઈએ,તો $y = 4x^2 - 6x + 2 = 2(2x-1)(x-1)$,જે $x$-અક્ષને બે બિંદુએ છેદે છે.
તેથી,વક્ર $x$-અક્ષને બરાબર બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.

(D) રેખાઓના ઢાળ નીચે મુજબ છે:
$m_1 = 1$ ($L_1$ માટે)
$m_2 = -1$ ($L_2$ માટે)
$m_3 = -1$ ($L_3$ માટે)
$m_4 = 1$ ($L_4$ માટે)
$1$. લંબતા તપાસો:
$m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,તેથી $L_1 \perp L_2$.
$m_1 \times m_3 = 1 \times (-1) = -1$,તેથી $L_1 \perp L_3$.
$2$. સમાંતરતા તપાસો:
$m_2 = m_3 = -1$,તેથી $L_2 || L_3$.
$3$. છેદન તપાસો:
$m_2 \neq m_4$ $(-1 \neq 1)$ હોવાથી,$L_2$ અને $L_4$ સમાંતર નથી અને તેથી એકબીજાને છેદે છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) પ્રથમ $n$ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (2i-1) = \frac{1}{n} \cdot n^2 = n$.
વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{n} (2i-1)^2 = \sum (4i^2 - 4i + 1) = \frac{n(4n^2-1)}{3}$ થાય છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2 = \frac{4n^2-1}{3} - n^2 = \frac{n^2-1}{3}$.
આમ,વિધાન $1$ અને વિધાન $2$ બંને સાચા છે અને વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) દરેક સ્ત્રીની બંને બાજુએ પુરુષ હોય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,પુરુષો અને સ્ત્રીઓએ ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ એકાંતરે બેસવું પડશે.
પ્રથમ,$7$ પુરુષોને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ ગોઠવો. $n$ વસ્તુઓને વર્તુળમાં ગોઠવવાની રીતો $(n-1)!$ છે. આમ,$7$ પુરુષોને $(7-1)! = 6!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
એકવાર પુરુષો બેસી જાય,પછી તેમની વચ્ચે $7$ અલગ જગ્યાઓ બને છે.
આ $7$ જગ્યાઓમાં $7$ સ્ત્રીઓને બેસાડવાની રીતો $7!$ છે.
તેથી,કુલ બેઠક વ્યવસ્થાની સંખ્યા $6! \times 7!$ છે.

(B) ધારો કે સામાન્ય રેખાના દિકગુણોત્તરો $\ell, m, n$ છે.
રેખા સમતલ $x = 5$ પર આવેલી હોવાથી,તેનો દિક સદિશ અભિલંબ $(1, 0, 0)$ ને લંબ હોય. તેથી,$\ell = 0$.
રેખા અન્ય બે સમતલો પર પણ આવેલી હોવાથી,તેનો દિક સદિશ તેમના અભિલંબ $(2, -5a, 3)$ અને $(3b, 1, -3)$ ને લંબ હોય.
સમતલ $2x - 5ay + 3z - 2 = 0$ માટે,$2\ell - 5am + 3n = 0$. $\ell = 0$ હોવાથી,$-5am + 3n = 0$,એટલે કે $3n = 5am$.
સમતલ $3bx + y - 3z = 0$ માટે,$3b\ell + m - 3n = 0$. $\ell = 0$ હોવાથી,$m - 3n = 0$,એટલે કે $m = 3n$.
$m = 3n$ ને $3n = 5am$ માં મૂકતા,$3n = 5a(3n)$ મળે.
જો $n \neq 0$ હોય,તો $3 = 15a$,જેનો અર્થ $a = \frac{1}{5}$ થાય.
હવે,સામાન્ય રેખાએ સમતલોના સમીકરણોનું પણ પાલન કરવું જોઈએ. $x = 5$ હોવાથી,અન્ય બે સમીકરણો $-5ay + 3z = -8$ અને $y - 3z = -15b$ બને.
$a = \frac{1}{5}$ મૂકતા,પ્રથમ સમીકરણ $-y + 3z = -8$ એટલે કે $y - 3z = 8$ બને.
$y - 3z = 8$ અને $y - 3z = -15b$ ની સરખામણી કરતા,$-15b = 8$,તેથી $b = -\frac{8}{15}$.
આમ,$(a, b) = \left( \frac{1}{5}, -\frac{8}{15} \right)$.

(D) ધારો કે $g(x) = \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} + cx.$
તેથી $g'(x) = ax^2 + bx + c.$
આપણને આપેલ છે કે $2a + 3b + 6c = 0.$
વિધાન $2:$
$g(0) = 0.$
$g(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6} = \frac{0}{6} = 0.$
કારણ કે $g(0) = g(1) = 0$ અને $g(x)$ એ બહુપદી છે,તે $[0, 1]$ પર સતત છે અને $(0, 1)$ પર વિકલનીય છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $k \in (0, 1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $g'(k) = 0.$
આમ,વિધાન $2$ સાચું છે.
વિધાન $1:$
કારણ કે કોઈ $k \in (0, 1)$ માટે $g'(k) = ak^2 + bk + c = 0$ છે,તેથી દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને $(0, 1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
આમ,વિધાન $1$ અને $2$ બંને સાચા છે અને વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ અને $L_2: \frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ છે.
બંને રેખાઓનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ સમાન છે,તેથી તેઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}$ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{a}_2 = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = 3\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેનું માન $|3\hat{i} - 3\hat{k}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ છે.
$\vec{b}$ નું માન $|2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ છે.
તેથી,$d = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$.
ગણતરી કરેલ અંતર $\sqrt{2}$ હોવાથી,વિધાન $1$ સત્ય છે.
વિધાન $2$ એ સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતરની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે,જે પણ સત્ય છે.
વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ માં અંતરની ગણતરી કરવા માટે વપરાતી પદ્ધતિ પૂરી પાડે છે,તેથી તે સાચી સમજૂતી છે.

(C) આપેલ ગણ $S = \{ 1, 2, 3 \}$ છે.
$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(S) = 3$ છે.
$P(S)$ એ $S$ નો ઘાતગણ છે,જે $S$ ના તમામ ઉપગણોનો ગણ છે.
ઘાતગણમાં ઘટકોની સંખ્યા $n(P(S)) = 2^{n(S)} = 2^3 = 8$ થાય.
વિધેય $f: S \to P(S)$ એક-એક (injective) ત્યારે કહેવાય જો $S$ નો દરેક ઘટક $P(S)$ ના અનન્ય ઘટક સાથે જોડાયેલ હોય.
$m$ ઘટકોવાળા ગણથી $n$ ઘટકોવાળા ગણ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $^nP_m = \frac{n!}{(n-m)!}$ છે.
અહીં,$m = n(S) = 3$ અને $n = n(P(S)) = 8$ છે.
તેથી,એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $^8P_3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $W = nw$.
વિકલન માટે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dW}{dt} = n \frac{dw}{dt} + w \frac{dn}{dt}$
આપેલ છે કે $n = 2t^2 + 3$ અને $w = t^2 - t + 2$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dn}{dt} = 4t$
$\frac{dw}{dt} = 2t - 1$
$t = 1$ સમયે:
$n = 2(1)^2 + 3 = 5$
$w = (1)^2 - 1 + 2 = 2$
$\frac{dn}{dt} = 4(1) = 4$
$\frac{dw}{dt} = 2(1) - 1 = 1$
આ કિંમતોને વિકલનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{dW}{dt} = (5)(1) + (2)(4)$
$\frac{dW}{dt} = 5 + 8 = 13$

(B) આ પ્રદેશ વક્ર $y = x^3$,રેખા $y = 8$ અને $y$-અક્ષ $(x = 0)$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ: $x = y^{1/3}$.
$y$ માટેની સીમાઓ $0$ થી $8$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= \int\limits_{0}^{8} x \, dy = \int\limits_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$
$= \left[ \frac{y^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4} y^{4/3} \right]_{0}^{8}$
$= \frac{3}{4} (8^{4/3} - 0^{4/3}) = \frac{3}{4} ((2^3)^{4/3}) = \frac{3}{4} (2^4) = \frac{3}{4} \times 16 = 12 \text{ ચોરસ એકમ.}$

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = r\hat{i} + \hat{j} + (2r - 1)\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને સમાંતર છે,તેથી સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$,અને $\vec{c}$ સમતલીય છે.
ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ r & 1 & 2r - 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((3)(2r - 1) - (-1)(1)) - (-2)((2)(2r - 1) - (-1)(r)) + 3((2)(1) - (3)(r)) = 0$
$1(6r - 3 + 1) + 2(4r - 2 + r) + 3(2 - 3r) = 0$
$(6r - 2) + 2(5r - 2) + (6 - 9r) = 0$
$6r - 2 + 10r - 4 + 6 - 9r = 0$
$7r = 0$
$r = 0$

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|A| = -abd$.
$A^{-1} = A^T$ હોવાથી,$A A^T = I$ થાય.
$A A^T = \begin{bmatrix} a^2 & ac & af \\ ac & b^2+c^2 & be+cf \\ ad & ae+cf & d^2+e^2+f^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
સરખાવતા: $a^2=1 \implies a=\pm 1$,$c=0$,$f=0$,$b^2=1 \implies b=\pm 1$,$e=0$,$d^2=1 \implies d=\pm 1$.
આમ,$a, b, d$ માટે $2$ વિકલ્પો છે. કુલ શ્રેણિકોની સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ થાય.

(C) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(-1, 2, 6)$ છે અને રેખા $L$ એ બિંદુ $A(2, 3, -4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{v} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AP} = (-1-2)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (6-(-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$.
બિંદુ $P$ નું રેખાથી અંતર $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{AP} \times \vec{v}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 10 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 30) - \hat{j}(12 - 60) + \hat{k}(-9 + 6) = -26\hat{i} + 48\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-26)^2 + 48^2 + (-3)^2} = \sqrt{676 + 2304 + 9} = \sqrt{2989}$.
સદિશ $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
તેથી,$d = \sqrt{\frac{2989}{61}} = \sqrt{49} = 7$.

(D) આપેલા સમતલો છે:
$P: x + y - 2z + 7 = 0$
$Q: x + y + 2z + 2 = 0$
$R: 3x + 3y - 6z - 11 = 0$
સમતલો સમાંતર છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $x, y,$ અને $z$ ના સહગુણકોના ગુણોત્તરની સરખામણી કરીએ છીએ.
સમતલ $P$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\vec{n_1} = (1, 1, -2)$ છે.
સમતલ $R$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\vec{n_2} = (3, 3, -6)$ છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે $\vec{n_2} = 3(1, 1, -2) = 3\vec{n_1}$.
અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હોવાથી,સમતલ $P$ અને $R$ સમાંતર છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$AB$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક ગુણાકાર કરીશું:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 7 & -2 & 1 \end{bmatrix}$
દરેક ઘટકની ગણતરી કરતા:
હાર $1$: $(1)(1) + (0)(-2) + (0)(7) = 1$,$(1)(0) + (0)(1) + (0)(-2) = 0$,$(1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0$
હાર $2$: $(2)(1) + (1)(-2) + (0)(7) = 2 - 2 = 0$,$(2)(0) + (1)(1) + (0)(-2) = 1$,$(2)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0$
હાર $3$: $(-3)(1) + (2)(-2) + (1)(7) = -3 - 4 + 7 = 0$,$(-3)(0) + (2)(1) + (1)(-2) = 2 - 2 = 0$,$(-3)(0) + (2)(0) + (1)(1) = 1$
આમ,$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.

(B) આપેલ સમીકરણો $y^2 = 4x$ અને $2x - 3y + 4 = 0$ છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$x = \frac{3y - 4}{2}$.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2 = 4 \left( \frac{3y - 4}{2} \right) = 2(3y - 4) = 6y - 8$.
$y^2 - 6y + 8 = 0 \implies (y - 2)(y - 4) = 0$.
તેથી,$y = 2$ અને $y = 4$.
જ્યારે $y = 2$,ત્યારે $x = \frac{3(2) - 4}{2} = 1$. જ્યારે $y = 4$,ત્યારે $x = \frac{3(4) - 4}{2} = 4$.
ક્ષેત્રફળ $\int_{2}^{4} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{2}^{4} \left( \frac{3y - 4}{2} - \frac{y^2}{4} \right) dy$ દ્વારા મળે છે.
$= \left[ \frac{3y^2}{4} - 2y - \frac{y^3}{12} \right]_{2}^{4}$.
$= \left( \frac{3(16)}{4} - 2(4) - \frac{64}{12} \right) - \left( \frac{3(4)}{4} - 2(2) - \frac{8}{12} \right)$.
$= \left( 12 - 8 - \frac{16}{3} \right) - \left( 3 - 4 - \frac{2}{3} \right) = \left( 4 - \frac{16}{3} \right) - \left( -1 - \frac{2}{3} \right) = -\frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x^3 + 1$ છે.
સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે,આપણે વિકલિત શોધીએ: $f'(x) = 3x^2$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $3x^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
હવે,$x = 0$ ની આસપાસ $f'(x)$ ની નિશાની ચકાસીએ:
$x < 0$ માટે,$f'(x) = 3x^2 > 0$.
$x > 0$ માટે,$f'(x) = 3x^2 > 0$.
જેમ કે વિકલિત $f'(x)$ એ $x = 0$ માંથી પસાર થાય ત્યારે નિશાની બદલતું નથી,તેથી વિધેય $f(x)$ ને $x = 0$ આગળ કોઈ સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્ય નથી. આમ,વિધાન $1$ ખોટું છે.
વિધાન $2$ માટે: વિધેય $f(x) = x^3 + 1$ એ બહુપદી વિધેય છે,જે $( -\infty, \infty )$ પર દરેક જગ્યાએ સતત અને વિકલનીય છે.
વળી,$f'(x) = 3x^2$,તેથી $f'(0) = 3(0)^2 = 0$. આમ,વિધાન $2$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન $1$ ખોટું છે અને વિધાન $2$ સાચું છે.

(D) વિધેય $f : A \to B$ એક-વ્યાપ્ત (bijective) ત્યારે કહેવાય જ્યારે તે એક-એક (injective) અને વ્યાપ્ત (surjective) બંને હોય.
વિધાન $1$ જણાવે છે કે $f$ એક વ્યાપ્ત વિધેય છે,જે એક-વ્યાપ્ત વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ સાચું છે.
વિધાન $2$ જણાવે છે કે એવું વિધેય $g : B \to A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ g = I_B$ થાય. કારણ કે $f$ એક-વ્યાપ્ત છે,તે વ્યસ્ત વિધેય ધરાવે છે,એટલે કે એવું પ્રતિવિધેય $f^{-1} : B \to A$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f \circ f^{-1} = I_B$ થાય. આમ,$g = f^{-1}$ શરતનું પાલન કરે છે. તેથી,વિધાન $2$ પણ સાચું છે.
જોકે,વિધાન $2$ એ એક-વ્યાપ્તતાથી મળતા વ્યસ્તતાના ગુણધર્મને દર્શાવે છે,જ્યારે વિધાન $1$ એ એક-વ્યાપ્તતાના એક ભાગની વ્યાખ્યા છે. વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ નું કારણ નથી; બંને $f$ ના એક-વ્યાપ્ત હોવાના પરિણામો છે. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) આપણી પાસે $f(x) = \int \csc^6 x \, dx$ છે.
નિત્યસમ $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \int \csc^4 x \cdot \csc^2 x \, dx = \int (1 + \cot^2 x)^2 \csc^2 x \, dx$.
ધારો કે $u = \cot x$,તેથી $du = -\csc^2 x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\csc^2 x \, dx = -du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$f(x) = \int (1 + u^2)^2 (-du) = -\int (1 + 2u^2 + u^4) \, du$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$f(x) = -(u + \frac{2u^3}{3} + \frac{u^5}{5}) + C$.
$u = \cot x$ પાછું મૂકતા:
$f(x) = -\cot x - \frac{2}{3} \cot^3 x - \frac{1}{5} \cot^5 x + C$.
આ $\cot x$ માં $5$ ઘાત ધરાવતી બહુપદી છે.

(A) રેખા $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z + 2) = 0$ છે,જ્યાં અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $(-3, 2, 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$-3a + 2b + c = 0$ --- $(1)$
સમતલ બિંદુ $(0, 7, -7)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$a(0 + 1) + b(7 - 3) + c(-7 + 2) = 0$
$a + 4b - 5c = 0$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને ચોકડી ગુણાકારની રીતથી ઉકેલતા:
$\frac{a}{2(-5) - 1(4)} = \frac{-b}{-3(-5) - 1(1)} = \frac{c}{-3(4) - 2(1)}$
$\frac{a}{-14} = \frac{-b}{14} = \frac{c}{-14}$
$-14$ વડે ભાગતા,આપણને $a = 1, b = 1, c = 1$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1(x + 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0$
$x + y + z = 0$.

(D) વિધાન $1$: ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોવાની શરત એ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$. તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$: બે શૂન્યેતર સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. સદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \times \vec{v}$ એ ખરેખર $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ છે. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે.
જોકે,વિધાન $2$ એ લંબ સદિશો અને સદિશ ગુણાકારનો સામાન્ય ગુણધર્મ દર્શાવે છે,જે વિધાન $1$ માં આપેલી સમતલીયતાની શરત માટે તાર્કિક સમજૂતી નથી. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) સમઘાત સુરેખ સમીકરણોની સંહતિને શૂન્યેતર ઉકેલ મળે તે માટે સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જરૂરી છે.
સહગુણક શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા: $\left| \begin{matrix} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -4 \end{matrix} \right| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-4k - (-6)) - k(-12 - (-4)) + 3(9 - 2k) = 0$
$1(-4k + 6) - k(-8) + 27 - 6k = 0$
$-4k + 6 + 8k + 27 - 6k = 0$
$-2k + 33 = 0$
$2k = 33 \Rightarrow k = \frac{33}{2}$.
અહીં $k$ નું ગણતરી કરેલ મૂલ્ય $\frac{33}{2}$ છે,$\frac{31}{2}$ નથી,તેથી વિધાન $1$ ખોટું છે.
વિધાન $2$ એ સુરેખ બીજગણિતનો પ્રમાણિત પ્રમેય છે,તેથી તે સાચું છે.

(D) ધારો કે $I = \int_{-0.9}^{0.9} \left( [x^2] + \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) \right) dx$.
આપણે આને બે સંકલનમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $I = \int_{-0.9}^{0.9} [x^2] dx + \int_{-0.9}^{0.9} \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,કારણ કે $-0.9 < x < 0.9$,તેથી $0 \leq x^2 < 0.81$ મળે. આમ,$x \in (-0.9, 0.9)$ માટે $[x^2] = 0$ થાય. તેથી,$\int_{-0.9}^{0.9} [x^2] dx = 0$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $f(x) = \log \left( \frac{2-x}{2+x} \right)$.
ત્યારે $f(-x) = \log \left( \frac{2-(-x)}{2+(-x)} \right) = \log \left( \frac{2+x}{2-x} \right) = \log \left( \left( \frac{2-x}{2+x} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{2-x}{2+x} \right) = -f(x)$.
કારણ કે $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે અને અંતરાલ $[-0.9, 0.9]$ એ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ સંમિત છે,તેથી $\int_{-0.9}^{0.9} f(x) dx = 0$.
આમ,$I = 0 + 0 = 0$.

(D) વિધેય $f(x) = a|\sin x| + be^{|x|} + c|x|^3$ એ $x = 0$ આગળ ત્યારે જ વિકલનીય હોય જો તેના દરેક ઘટકો વિકલનીય હોય અથવા તેમના અ-વિકલનીય ભાગો એકબીજાને નાબૂદ કરે.
પ્રથમ,$|\sin x|$ ને ધ્યાનમાં લો. $x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલિત $\lim_{h \to 0^-} \frac{|\sin h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-\sin h}{h} = -1$ છે. જમણી બાજુનું વિકલિત $\lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h} = 1$ છે. $-1 \neq 1$ હોવાથી,$|\sin x|$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
બીજું,$e^{|x|}$ ને ધ્યાનમાં લો. $x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલિત $\lim_{h \to 0^-} \frac{e^{-h} - 1}{h} = -1$ છે. જમણી બાજુનું વિકલિત $\lim_{h \to 0^+} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ છે. $-1 \neq 1$ હોવાથી,$e^{|x|}$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
ત્રીજું,$|x|^3$ ને ધ્યાનમાં લો. $|x|^3 = x^3$ (જ્યારે $x \ge 0$) અને $-x^3$ (જ્યારે $x < 0$) હોવાથી,$x = 0$ આગળ વિકલિત $\lim_{h \to 0} \frac{|h|^3 - 0}{h} = 0$ થાય છે. આમ,$|x|^3$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે.
$f(x)$ ને $x = 0$ આગળ વિકલનીય બનાવવા માટે,અ-વિકલનીય ભાગો શૂન્ય થવા જોઈએ. આ માટે $a = 0$ અને $b = 0$ હોવા જરૂરી છે. અચળાંક $c$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે કારણ કે $|x|^3$ પહેલેથી જ વિકલનીય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ છે.
બંને બાજુ $(x^2 - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 - 1}y = \frac{x}{x^2 - 1}$ મળે છે.
આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2x}{x^2 - 1}$ અને $Q = \frac{x}{x^2 - 1}$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 - 1} dx}$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $t = x^2 - 1$,તો $dt = 2x dx$ થાય.
તેથી,$IF = e^{\int \frac{dt}{t}} = e^{\ln|t|} = t = x^2 - 1$.
આમ,જરૂરી સંકલ્યકારક અવયવ $x^2 - 1$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે। ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $A = \pi r^2$ છે।
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $r = 50 \, cm$ અને ત્રિજ્યામાં થતો ફેરફાર $\frac{dr}{dt} = 1 \, mm/hour = 0.1 \, cm/hour = \frac{1}{10} \, cm/hour$ છે।
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળનું વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ મળે છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dA}{dt} = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{1}{10} = 10\pi \, cm^2/hour$ મળે છે।
આમ,પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $10\pi \, cm^2/hour$ ના દરે વધે છે।

(B) ધારો કે પાત્રમાં બે દડાઓની શરૂઆતની સ્થિતિ સફેદ દડાઓની સંખ્યા $W$ દ્વારા દર્શાવેલ છે. દરેક દડો સફેદ કે કાળો હોઈ શકે છે,તેથી શક્ય શરૂઆતની સ્થિતિઓ $0$ સફેદ દડા $(BB)$,$1$ સફેદ દડો $(BW)$,અથવા $2$ સફેદ દડા $(WW)$ છે. દરેક સ્થિતિ સમાન રીતે સંભવિત છે તેમ ધારતા,દરેક માટેની પૂર્વ સંભાવના $P(S_i) = \frac{1}{3}$ છે.
એક સફેદ દડો ઉમેર્યા પછી,નવી સ્થિતિઓ નીચે મુજબ છે:
$1) BB \to BBW$ (સફેદ દડાની સંખ્યા = $1$,કુલ = $3$)
$2) BW \to BWW$ (સફેદ દડાની સંખ્યા = $2$,કુલ = $3$)
$3) WW \to WWW$ (સફેદ દડાની સંખ્યા = $3$,કુલ = $3$)
સ્થિતિ $S_i$ આપેલ હોય ત્યારે સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $P(W|S_i) = \frac{\text{સફેદ દડા}}{3}$ છે.
$P(W|S_1) = \frac{1}{3}$,$P(W|S_2) = \frac{2}{3}$,$P(W|S_3) = \frac{3}{3} = 1$.
કુલ સંભાવનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P(W) = \sum P(W|S_i)P(S_i) = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 1) = \frac{1}{3} \times (\frac{6}{3}) = \frac{2}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $3^2 + 5^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7^2$.
$9 + 25 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$34 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 49 - 34 = 15$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{15}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\frac{15}{2} = (3)(5) \cos \theta$.
$\frac{15}{2} = 15 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.