QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $375x^2 - 25x - 2 = 0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 25/375 = 1/15$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = -2/375$ થાય.
આપણે બે અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો શોધવાનો છે: $S = \sum_{r=1}^{\infty} \alpha^r + \sum_{r=1}^{\infty} \beta^r$.
અહીં $|\alpha| < 1$ અને $|\beta| < 1$ હોવાથી,અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $a/(1-r)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,$S = \frac{\alpha}{1-\alpha} + \frac{\beta}{1-\beta} = \frac{\alpha(1-\beta) + \beta(1-\alpha)}{(1-\alpha)(1-\beta)} = \frac{(\alpha+\beta) - 2\alpha\beta}{1 - (\alpha+\beta) + \alpha\beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{1/15 - 2(-2/375)}{1 - 1/15 - 2/375} = \frac{29/375}{348/375} = \frac{29}{348} = \frac{1}{12}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$.
નિત્યસમ $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 2\sin^2 x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$.
પદોને $\sin x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા:
$2\sin^2 x - \alpha \sin x + (2\alpha - 8) = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $\sin x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 4(2)(2\alpha - 8)}}{4} = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 16\alpha + 64}}{4}$.
અહીં $\alpha^2 - 16\alpha + 64 = (\alpha - 8)^2$ હોવાથી:
$\sin x = \frac{\alpha \pm (\alpha - 8)}{4}$.
આમ $\sin x$ માટે બે શક્યતાઓ મળે છે:
$1) \sin x = \frac{\alpha + \alpha - 8}{4} = \frac{2\alpha - 8}{4} = \frac{\alpha - 4}{2}$.
$2) \sin x = \frac{\alpha - \alpha + 8}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$\sin x = 2$ શક્ય નથી,તેથી $\sin x = \frac{\alpha - 4}{2}$ હોવું જોઈએ.
ઉકેલ માટે $-1 \leq \sin x \leq 1$ હોવું જરૂરી છે:
$-1 \leq \frac{\alpha - 4}{2} \leq 1$.
$-2 \leq \alpha - 4 \leq 2$.
બધી બાજુ $4$ ઉમેરતા: $2 \leq \alpha \leq 6$.
તેથી,$S = [2, 6]$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી આપણે $\beta = \alpha r$ અને $\gamma = \alpha r^2$ લખી શકીએ.
પ્રથમ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\alpha x^2 + 2(\alpha r)x + \alpha r^2 = 0$.
$\alpha \neq 0$ હોવાથી,$\alpha$ વડે ભાગતા: $x^2 + 2rx + r^2 = 0$,એટલે કે $(x + r)^2 = 0$. તેથી,બીજ $x = -r$ છે.
આ બીજ $x^2 + x - 1 = 0$ નું પણ સામાન્ય બીજ હોવાથી,$x = -r$ મૂકતા:
$(-r)^2 + (-r) - 1 = 0 \implies r^2 - r - 1 = 0$.
$G.P.$ ના ગુણધર્મો મુજબ,$\beta^2 = \alpha\gamma$. તેમજ $\beta = \alpha r$ અને $\gamma = \alpha r^2$.
આપણે $\alpha(\beta + \gamma) = \alpha(\alpha r + \alpha r^2) = \alpha^2 r(1 + r)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$r^2 = r + 1$ હોવાથી,$r^2 - r = 1$.
તેમજ,$\beta\gamma = (\alpha r)(\alpha r^2) = \alpha^2 r^3 = \alpha^2 r(r^2) = \alpha^2 r(r + 1) = \alpha^2(r^2 + r)$.
ગણતરી કરતા,$\alpha(\beta + \gamma) = \beta\gamma$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{2}-x-1=0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha+\beta=1$ અને $\alpha\beta=-1$ થાય.
$\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણના બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $\alpha^{2}-\alpha-1=0 \Rightarrow \alpha^{k}-\alpha^{k-1}-\alpha^{k-2}=0$ અને $\beta^{k}-\beta^{k-1}-\beta^{k-2}=0$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા પુનરાવર્તિત સંબંધ મળે છે: $p_{k}=p_{k-1}+p_{k-2}$.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી કરતા:
$p_{1}=\alpha+\beta=1$
$p_{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=1^{2}-2(-1)=3$
$p_{3}=p_{2}+p_{1}=3+1=4$
$p_{4}=p_{3}+p_{2}=4+3=7$
$p_{5}=p_{4}+p_{3}=7+4=11$
વિકલ્પો તપાસતા:
$A: p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}+p_{5} = 1+3+4+7+11 = 26$ (સત્ય).
$B: p_{5}=11$ (સત્ય).
$C: p_{5}-p_{4} = 11-7 = 4 = p_{3}$ (સત્ય).
$D: p_{2} \cdot p_{3} = 3 \cdot 4 = 12 \neq 11$ (અસત્ય).
આમ,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન સત્ય નથી.

(D) ધારો કે $3^{x} = t$,જ્યાં $t > 0$.
સમીકરણ $t(t-1) + 2 = |t-1| + |t-2|$ બને છે,જેનું સાદુંરૂપ $t^{2} - t + 2 = |t-1| + |t-2|$ થાય છે.
કિસ્સો-$I$: $0 < t < 1$
$t^{2} - t + 2 = -(t-1) - (t-2) = -t + 1 - t + 2 = 3 - 2t$.
$t^{2} + t - 1 = 0$.
$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$t > 0$ હોવાથી,$t = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ મળે. આ કિંમત $(0, 1)$ ની વચ્ચે છે.
$3^{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Rightarrow x = \log_{3}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$,જે એક વાસ્તવિક ઉકેલ છે.
કિસ્સો-$II$: $1 \leq t < 2$
$t^{2} - t + 2 = (t-1) - (t-2) = t - 1 - t + 2 = 1$.
$t^{2} - t + 1 = 0$.
વિવેચક $D = (-1)^{2} - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$. કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો-$III$: $t \geq 2$
$t^{2} - t + 2 = (t-1) + (t-2) = 2t - 3$.
$t^{2} - 3t + 5 = 0$.
વિવેચક $D = (-3)^{2} - 4(1)(5) = 9 - 20 = -11 < 0$. કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,$t$ માટે માત્ર એક જ વાસ્તવિક કિંમત મળે છે,જે $x$ માટે માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ આપે છે. તેથી,$S$ એ એકાકી ગણ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2} + (a - 10)x + (\frac{33}{2} - 2a) = 0$ છે.
સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ.
$D = b^{2} - 4ac = (a - 10)^{2} - 4(2)(\frac{33}{2} - 2a) \geq 0$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $(a^{2} - 20a + 100) - 8(\frac{33}{2} - 2a) \geq 0$.
$a^{2} - 20a + 100 - 132 + 16a \geq 0$.
$a^{2} - 4a - 32 \geq 0$.
દ્વિઘાત અસમતાના અવયવ પાડતા: $(a - 8)(a + 4) \geq 0$.
આ અસમતા માટે ઉકેલ ગણ $a \in (-\infty, -4] \cup [8, \infty)$ મળે છે.
આપણે $a$ ની ન્યૂનતમ ધન કિંમત શોધવાની હોવાથી,આપણે અંતરાલ $[8, \infty)$ ધ્યાનમાં લઈશું.
તેથી,ન્યૂનતમ ધન કિંમત $8$ છે.

(B) સમીકરણ $a x^{2}-2 b x+5=0$ માટે,કારણ કે તે પુનરાવર્તિત બીજ $\alpha$ ધરાવે છે,તેથી વિવેચક $D = 0$ થાય.
$D = (-2b)^{2} - 4(a)(5) = 4b^{2} - 20a = 0 \Rightarrow b^{2} = 5a$.
બીજ $\alpha$ એ $\alpha = -(-2b) / (2a) = b/a$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\alpha$ એ $a x^{2}-2 b x+5=0$ નું બીજ છે,તેથી $a(b/a)^{2} - 2b(b/a) + 5 = 0 \Rightarrow b^{2}/a - 2b^{2}/a + 5 = 0 \Rightarrow b^{2}/a = 5$,જે $b^{2} = 5a$ સાથે સુસંગત છે.
આપેલ છે કે $\alpha$ એ $x^{2}-2 b x-10=0$ નું પણ બીજ છે,તેથી $\alpha^{2} - 2b\alpha - 10 = 0$.
$\alpha = b/a$ મૂકતા,આપણને $(b/a)^{2} - 2b(b/a) - 10 = 0 \Rightarrow b^{2}/a^{2} - 2b^{2}/a - 10 = 0$ મળે છે.
$b^{2} = 5a$ હોવાથી,આપણે $b^{2}/a = 5$ અને $b^{2} = 5a$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ: $5/a - 2(5) - 10 = 0 \Rightarrow 5/a = 20 \Rightarrow a = 1/4$.
તેથી $b^{2} = 5(1/4) = 5/4 \Rightarrow b = \pm \sqrt{5}/2$.
હવે,$\alpha = b/a = (\pm \sqrt{5}/2) / (1/4) = \pm 2\sqrt{5}$. તેથી $\alpha^{2} = (\pm 2\sqrt{5})^{2} = 20$.
સમીકરણ $x^{2}-2bx-10=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = -10$ થાય.
તેથી,$\beta = -10/\alpha = -10/(\pm 2\sqrt{5}) = \mp \sqrt{5}$.
તેથી $\beta^{2} = (\mp \sqrt{5})^{2} = 5$.
આમ,$\alpha^{2} + \beta^{2} = 20 + 5 = 25$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $e^{4x} + e^{3x} - 4e^{2x} + e^x + 1 = 0$.
આખા સમીકરણને $e^{2x}$ વડે ભાગતા (કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{2x} \neq 0$):
$e^{2x} + e^x - 4 + e^{-x} + e^{-2x} = 0$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$(e^{2x} + e^{-2x}) + (e^x + e^{-x}) - 4 = 0$.
ધારો કે $u = e^x + e^{-x}$. આપણે જાણીએ છીએ કે $u^2 = (e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}$,તેથી $e^{2x} + e^{-2x} = u^2 - 2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(u^2 - 2) + u - 4 = 0 \Rightarrow u^2 + u - 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(u + 3)(u - 2) = 0$.
આથી $u = -3$ અથવા $u = 2$ મળે.
કિસ્સો $1$: $e^x + e^{-x} = -3$. $e^x > 0$ અને $e^{-x} > 0$ હોવાથી,$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ $e^x + e^{-x} \geq 2$ થાય. તેથી,$u = -3$ માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
કિસ્સો $2$: $e^x + e^{-x} = 2$. $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$e^x + e^{-x} = 2$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $e^x = e^{-x}$ હોય,જેનો અર્થ છે $e^{2x} = 1$,એટલે કે $x = 0$.
આમ,માત્ર $1$ વાસ્તવિક ઉકેલ મળે છે.

(A) $\alpha$ અને $\beta$ એ $5x^{2} + 6x - 2 = 0$ ના બીજ હોવાથી,તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
તેથી,$5\alpha^{2} + 6\alpha - 2 = 0$ અને $5\beta^{2} + 6\beta - 2 = 0$.
પ્રથમ સમીકરણને $\alpha^{n}$ વડે અને બીજાને $\beta^{n}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$5\alpha^{n+2} + 6\alpha^{n+1} - 2\alpha^{n} = 0$ ... $(1)$
$5\beta^{n+2} + 6\beta^{n+1} - 2\beta^{n} = 0$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$5(\alpha^{n+2} + \beta^{n+2}) + 6(\alpha^{n+1} + \beta^{n+1}) - 2(\alpha^{n} + \beta^{n}) = 0$
$S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}$ આપેલ હોવાથી,આ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$5S_{n+2} + 6S_{n+1} - 2S_{n} = 0$
$n = 4$ માટે,આ સંબંધમાં કિંમત મૂકતા:
$5S_{6} + 6S_{5} - 2S_{4} = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$5S_{6} + 6S_{5} = 2S_{4}$

(C) ધારો કે દ્વિઘાત બહુપદી $f(x) = a(x - 3)(x - \alpha)$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ બીજું બીજ છે.
આપેલ છે કે $f(-1) + f(2) = 0$.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા: $f(-1) = a(-1 - 3)(-1 - \alpha) = a(-4)(-1 - \alpha) = 4a(1 + \alpha)$.
બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા: $f(2) = a(2 - 3)(2 - \alpha) = a(-1)(2 - \alpha) = a(\alpha - 2)$.
શરત $f(-1) + f(2) = 0$ મુજબ:
$4a(1 + \alpha) + a(\alpha - 2) = 0$.
$a \neq 0$ હોવાથી,આપણે $a$ વડે ભાગી શકીએ:
$4 + 4\alpha + \alpha - 2 = 0$.
$5\alpha + 2 = 0$.
$5\alpha = -2$.
$\alpha = -\frac{2}{5} = -0.4$.
તેથી,$-1 < -0.4 < 0$ હોવાથી,બીજું બીજ $\alpha$ એ $(-1, 0)$ અંતરાલમાં આવેલું છે.

(B) ધારો કે $f(x) = (\lambda^{2}+1) x^{2}-4 \lambda x+2$ છે.
અંતરાલ $(0,1)$ માં બરાબર એક બીજ હોય તે માટે, અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયના મૂલ્યોનો ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ, એટલે કે $f(0) \cdot f(1) < 0$.
$f(0) = 2$
$f(1) = \lambda^{2}+1-4\lambda+2 = \lambda^{2}-4\lambda+3 = (\lambda-1)(\lambda-3)$
તેથી, $2 \cdot (\lambda-1)(\lambda-3) < 0$
આ સૂચવે છે કે $1 < \lambda < 3$.
હવે, આપણે સીમાવર્તી કિસ્સાઓ તપાસીએ:
કિસ્સો $1$: જો $\lambda = 1$ હોય, તો સમીકરણ $2x^{2}-4x+2 = 0$ બને છે, જેનું સાદું રૂપ $2(x-1)^{2} = 0$ થાય છે. બીજ $x=1, 1$ છે. કારણ કે કોઈ પણ બીજ $(0,1)$ ની અંદર નથી, તેથી $\lambda = 1$ નો સમાવેશ થતો નથી.
કિસ્સો $2$: જો $\lambda = 3$ હોય, તો સમીકરણ $10x^{2}-12x+2 = 0$ બને છે, જેનું સાદું રૂપ $2(5x^{2}-6x+1) = 0$ અથવા $2(5x-1)(x-1) = 0$ થાય છે. બીજ $x = 1/5$ અને $x = 1$ છે. કારણ કે $1/5$ એ $(0,1)$ માં છે, તેથી $\lambda = 3$ નો સમાવેશ થાય છે.
આમ, મૂલ્યોનો ગણ $\lambda \in (1, 3]$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^{2}+px+2=0$ ના બીજ છે. તેથી,$\alpha+\beta = -p$ અને $\alpha\beta = 2$.
કારણ કે $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ એ $2x^{2}+2qx+1=0$ ના બીજ છે,તેથી $x^{2}+qx+\frac{1}{2}=0$ ના પણ બીજ છે.
સમીકરણ $x^{2}+px+2=0$ માં $x$ ને બદલે $1/x$ મૂકતા,$2(1/x)^{2} + p(1/x) + 1 = 0$ મળે,જે $x^{2}+px+2=0$ જેવું જ છે. સરખામણી કરતા $q = p/2$,એટલે કે $p = 2q$.
હવે,પદાવલિ $E = \left(\frac{\alpha^{2}-1}{\alpha}\right)\left(\frac{\beta^{2}-1}{\beta}\right)\left(\frac{\alpha\beta+1}{\beta}\right)\left(\frac{\alpha\beta+1}{\alpha}\right)$ લો.
$\alpha^{2}+p\alpha+2=0$ હોવાથી,$\alpha^{2}-1 = -p\alpha-3$. તેવી જ રીતે,$\beta^{2}-1 = -p\beta-3$.
$E = \frac{(-p\alpha-3)(-p\beta-3)(\alpha\beta+1)^{2}}{(\alpha\beta)^{2}} = \frac{(p\alpha+3)(p\beta+3)(2+1)^{2}}{2^{2}} = \frac{9}{4}(p^{2}\alpha\beta + 3p(\alpha+\beta) + 9)$.
$\alpha\beta=2$ અને $\alpha+\beta=-p$ મૂકતા:
$E = \frac{9}{4}(2p^{2} - 3p^{2} + 9) = \frac{9}{4}(9-p^{2})$.

(D) સમીકરણ $x^{2}-x+2 \lambda=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta=1$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta=2 \lambda$ છે.
સમીકરણ $3x^{2}-10x+27 \lambda=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha+\gamma=\frac{10}{3}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \gamma=\frac{27 \lambda}{3}=9 \lambda$ છે.
બીજના સરવાળાની બાદબાકી કરતા: $(\alpha+\gamma)-(\alpha+\beta)=\frac{10}{3}-1 \Rightarrow \gamma-\beta=\frac{7}{3}$.
બીજના ગુણાકારનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{\alpha \gamma}{\alpha \beta}=\frac{9 \lambda}{2 \lambda} \Rightarrow \frac{\gamma}{\beta}=\frac{9}{2} \Rightarrow \gamma=\frac{9}{2} \beta$.
$\gamma$ ની કિંમત તફાવતના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{9}{2} \beta-\beta=\frac{7}{3} \Rightarrow \frac{7}{2} \beta=\frac{7}{3} \Rightarrow \beta=\frac{2}{3}$.
તેથી $\gamma=\frac{9}{2} \times \frac{2}{3}=3$.
$\alpha+\beta=1$ હોવાથી,$\alpha=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
$\alpha \beta=2 \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=2 \lambda \Rightarrow \frac{2}{9}=2 \lambda \Rightarrow \lambda=\frac{1}{9}$.
અંતે,$\frac{\beta \gamma}{\lambda}=\frac{\frac{2}{3} \times 3}{\frac{1}{9}}=\frac{2}{\frac{1}{9}}=18$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $[x]^{2} + 2[x + 2] - 7 = 0$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $[x + n] = [x] + n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $[x + 2] = [x] + 2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$[x]^{2} + 2([x] + 2) - 7 = 0$
$[x]^{2} + 2[x] + 4 - 7 = 0$
$[x]^{2} + 2[x] - 3 = 0$
ધારો કે $y = [x]$. તો $y^{2} + 2y - 3 = 0$.
$(y + 3)(y - 1) = 0$.
તેથી,$[x] = 1$ અથવા $[x] = -3$.
જો $[x] = 1$ હોય,તો $x \in [1, 2)$.
જો $[x] = -3$ હોય,તો $x \in [-3, -2)$.
ઉકેલ ગણ $[1, 2) \cup [-3, -2)$ હોવાથી,$x$ ની અનંત વાસ્તવિક કિંમતો સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $7x^{2}-3x-2=0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = 3/7$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = -2/7$ થાય.
આપણે પદાવલિ $E = \frac{\alpha}{1-\alpha^{2}}+\frac{\beta}{1-\beta^{2}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$E = \frac{\alpha(1-\beta^{2}) + \beta(1-\alpha^{2})}{(1-\alpha^{2})(1-\beta^{2})} = \frac{(\alpha+\beta) - \alpha\beta(\alpha+\beta)}{1 - (\alpha^{2}+\beta^{2}) + (\alpha\beta)^{2}}$.
અહીં $\alpha^{2}+\beta^{2} = (\alpha+\beta)^{2} - 2\alpha\beta = (3/7)^{2} - 2(-2/7) = 9/49 + 4/7 = 37/49$.
કિંમતો મૂકતા:
અંશ $= (3/7) - (-2/7)(3/7) = 21/49 + 6/49 = 27/49$.
છેદ $= 1 - 37/49 + 4/49 = 16/49$.
તેથી,$E = \frac{27/49}{16/49} = \frac{27}{16}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9x^{2}-18|x|+5=0$.
$x^{2} = |x|^{2}$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $9|x|^{2}-18|x|+5=0$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $|x| = t$. તો સમીકરણ $9t^{2}-18t+5=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $9t^{2}-15t-3t+5=0$.
$3t(3t-5)-1(3t-5)=0$.
$(3t-1)(3t-5)=0$.
તેથી,$t = \frac{1}{3}$ અથવા $t = \frac{5}{3}$.
$|x| = t$ હોવાથી,આપણને $|x| = \frac{1}{3}$ અને $|x| = \frac{5}{3}$ મળે છે.
આનાથી બીજ મળે છે: $x = \pm \frac{1}{3}$ અને $x = \pm \frac{5}{3}$.
બીજ $\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{5}{3}$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $(\frac{1}{3}) \times (-\frac{1}{3}) \times (\frac{5}{3}) \times (-\frac{5}{3}) = \frac{25}{81}$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x(2x + 1) = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4x^{2} + 2x - 1 = 0$ થાય છે.
કારણ કે $\alpha$ અને $\beta$ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે,તેથી બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a = -2/4 = -1/2$ થાય.
આના પરથી,આપણે $\beta$ ને $\beta = -1/2 - \alpha$ તરીકે લખી શકીએ.
વળી,$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણ $4\alpha^{2} + 2\alpha - 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે $4\alpha^{2} + 2\alpha = 1$,અથવા $2\alpha^{2} + \alpha = 1/2$.
$\beta$ ના પદમાં $1/2 = 2\alpha^{2} + \alpha$ મૂકતા:
$\beta = -(2\alpha^{2} + \alpha) - \alpha$.
$\beta = -2\alpha^{2} - \alpha - \alpha$.
$\beta = -2\alpha^{2} - 2\alpha$.
$\beta = -2\alpha(\alpha + 1)$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-64x+256=0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha+\beta = 64$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = 256$ થાય.
આપણે $\left(\frac{\alpha^{3}}{\beta^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}+\left(\frac{\beta^{3}}{\alpha^{5}}\right)^{\frac{1}{8}}$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
આ પદાવલિ $\frac{\alpha^{3/8}}{\beta^{5/8}} + \frac{\beta^{3/8}}{\alpha^{5/8}}$ તરીકે લખી શકાય.
લસાઅ લેતા,આપણને $\frac{\alpha^{3/8} \cdot \alpha^{5/8} + \beta^{3/8} \cdot \beta^{5/8}}{(\alpha\beta)^{5/8}}$ મળે.
કારણ કે $\alpha^{3/8} \cdot \alpha^{5/8} = \alpha^{(3+5)/8} = \alpha^1 = \alpha$,તેથી પદાવલિ $\frac{\alpha+\beta}{(\alpha\beta)^{5/8}}$ બને છે.
$\alpha+\beta = 64$ અને $\alpha\beta = 256 = 2^8$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{64}{(2^8)^{5/8}}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{64}{2^5} = \frac{64}{32} = 2$ મળે છે.

(D) પ્રથમ સમીકરણ $x^{2}+5x+6=0$ માટે:
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(x+2)(x+3)=0$ મળે છે.
આમ,ઉકેલો $x_1 = -2$ અને $x_2 = -3$ છે.
બીજા સમીકરણ $y^{2}+3y+2=0$ માટે:
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $(y+1)(y+2)=0$ મળે છે.
આમ,ઉકેલો $y_1 = -1$ અને $y_2 = -2$ છે.
ઉકેલોની સરખામણી કરતા:
$x = -2$ માટે,આપણને $y = -1$ (જ્યાં $x < y$) અને $y = -2$ (જ્યાં $x = y$) મળે છે.
$x = -3$ માટે,આપણને $y = -1$ (જ્યાં $x < y$) અને $y = -2$ (જ્યાં $x < y$) મળે છે.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x \le y$ થાય છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $5x^2 + 3x - 14 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(5)(-14)}}{2(5)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 280}}{10} = \frac{-3 \pm \sqrt{289}}{10} = \frac{-3 \pm 17}{10}$
$x_1 = \frac{14}{10} = 1.4$ અને $x_2 = \frac{-20}{10} = -2$.
સમીકરણ $II$ માટે: $10y^2 - 3y - 27 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(10)(-27)}}{2(10)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 1080}}{20} = \frac{3 \pm 33}{20}$
$y_1 = \frac{36}{20} = 1.8$ અને $y_2 = \frac{-30}{20} = -1.5$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = \{1.4, -2\}$ અને $y = \{1.8, -1.5\}$.
અહીં $1.4 < 1.8$ અને $1.4 > -1.5$ હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}+5x+6=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2}+3x+2x+6=0$
$x(x+3)+2(x+3)=0$
$(x+3)(x+2)=0$
તેથી,ઉકેલ $x_{1}=-3$ અને $x_{2}=-2$ મળે છે.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}+3y+2=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^{2}+2y+y+2=0$
$y(y+2)+1(y+2)=0$
$(y+2)(y+1)=0$
તેથી,ઉકેલ $y_{1}=-2$ અને $y_{2}=-1$ મળે છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો $\{-3, -2\}$ છે.
$y$ ની કિંમતો $\{-2, -1\}$ છે.
દરેક જોડીની સરખામણી કરતા:
$-3 < -2$,$-3 < -1$,$-2 = -2$,$-2 < -1$.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x \le y$ સાચું ઠરે છે.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^2 + 3x + 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^2 + 2x + x + 1 = 0$
$2x(x + 1) + 1(x + 1) = 0$
$(2x + 1)(x + 1) = 0$
આમ,$x_1 = -1$ અને $x_2 = -0.5$ મળે છે.
સમીકરણ $II$ માટે: $12y^2 + 7y + 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $12y^2 + 4y + 3y + 1 = 0$
$4y(3y + 1) + 1(3y + 1) = 0$
$(4y + 1)(3y + 1) = 0$
આમ,$y_1 = -1/4 = -0.25$ અને $y_2 = -1/3 \approx -0.33$ મળે છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો $\{-1, -0.5\}$ છે.
$y$ ની કિંમતો $\{-0.25, -0.33\}$ છે.
અહીં $x$ ની બંને કિંમતો $y$ ની બંને કિંમતો કરતા નાની હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x < y$.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^2 + 23x + 63 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2x^2 + 14x + 9x + 63 = 0$
$2x(x + 7) + 9(x + 7) = 0$
$(2x + 9)(x + 7) = 0$
તેથી,$x = -4.5$ અથવા $x = -7$.
સમીકરણ $II$ માટે: $4y^2 + 19y + 21 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $4y^2 + 12y + 7y + 21 = 0$
$4y(y + 3) + 7(y + 3) = 0$
$(4y + 7)(y + 3) = 0$
તેથી,$y = -1.75$ અથવા $y = -3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x_1 = -4.5, x_2 = -7$
$y_1 = -1.75, y_2 = -3$
અહીં $x$ ની બંને કિંમતો $y$ ની બંને કિંમતો કરતા નાની છે ($-7 < -3$ અને $-4.5 < -1.75$),તેથી આપણે કહી શકીએ કે $x < y$.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $4x^2 - 29x + 45 = 0$
મધ્યમ પદના ભાગ પાડવાની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $4x^2 - 20x - 9x + 45 = 0$
$4x(x - 5) - 9(x - 5) = 0$
$(4x - 9)(x - 5) = 0$
તેથી,$x = 5$ અથવા $x = 9/4 = 2.25$.
સમીકરણ $II$ માટે: $3y^2 - 19y + 28 = 0$
મધ્યમ પદના ભાગ પાડવાની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $3y^2 - 12y - 7y + 28 = 0$
$3y(y - 4) - 7(y - 4) = 0$
$(3y - 7)(y - 4) = 0$
તેથી,$y = 4$ અથવા $y = 7/3 \approx 2.33$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 5$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $y$ એ $4$ અથવા $2.33$ છે).
જો $x = 2.25$ હોય,તો $x < y$ (કારણ કે $y = 4$) અને $x < y$ (કારણ કે $y = 2.33$).
આમ,આપણને અલગ-અલગ પરિણામો મળે છે ($x > y$ અને $x < y$),તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^{2} - 13x + 21 = 0$
$2x^{2} - 6x - 7x + 21 = 0$
$2x(x - 3) - 7(x - 3) = 0$
$(2x - 7)(x - 3) = 0$
તેથી,$x = 3$ અથવા $x = 3.5$.
સમીકરણ $II$ માટે: $5y^{2} - 22y + 21 = 0$
$5y^{2} - 15y - 7y + 21 = 0$
$5y(y - 3) - 7(y - 3) = 0$
$(5y - 7)(y - 3) = 0$
તેથી,$y = 3$ અથવા $y = 1.4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 3$ હોય,તો $y = 3$ $(x = y)$ અથવા $y = 1.4$ $(x > y)$.
જો $x = 3.5$ હોય,તો $y = 3$ $(x > y)$ અથવા $y = 1.4$ $(x > y)$.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x \ge y$ થાય છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $12 x^{2} + 11 x - 56 = 0$.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $12 x^{2} + 32 x - 21 x - 56 = 0$.
$4 x(3 x + 8) - 7(3 x + 8) = 0$.
$(4 x - 7)(3 x + 8) = 0$.
તેથી,$x = \frac{7}{4} = 1.75$ અથવા $x = -\frac{8}{3} \approx -2.67$.
સમીકરણ $II$ માટે: $4 y^{2} - 15 y + 14 = 0$.
મધ્યમ પદનું વિભાજન કરતા: $4 y^{2} - 8 y - 7 y + 14 = 0$.
$4 y(y - 2) - 7(y - 2) = 0$.
$(4 y - 7)(y - 2) = 0$.
તેથી,$y = \frac{7}{4} = 1.75$ અથવા $y = 2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x = \{1.75, -2.67\}$ અને $y = \{1.75, 2\}$.
આમ,$1.75 \le 1.75$,$1.75 < 2$,$-2.67 < 1.75$,અને $-2.67 < 2$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x \le y$.

(B) આપેલ સુરેખ સમીકરણોની જોડી ઉકેલવા માટે:
$I.$ $7x - 3y = 13$
$II.$ $5x + 4y = 40$
$y$ નો લોપ કરવા માટે સમીકરણ $(I)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(II)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$(7x - 3y) \times 4 = 13 \times 4 \Rightarrow 28x - 12y = 52$
$(5x + 4y) \times 3 = 40 \times 3 \Rightarrow 15x + 12y = 120$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(28x - 12y) + (15x + 12y) = 52 + 120$
$43x = 172$
$x = 172 / 43 = 4$
$x = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(I)$ માં મૂકતા:
$7(4) - 3y = 13$
$28 - 3y = 13$
$3y = 28 - 13$
$3y = 15$
$y = 5$
આમ,$x = 4$ અને $y = 5$ હોવાથી,$x < y$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$\sqrt{1225} x + \sqrt{4900} = 0$
$35x + 70 = 0$
$35x = -70$
$x = -70 / 35 = -2$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$(81)^{1/4} y + (343)^{1/3} = 0$
$(3^4)^{1/4} y + (7^3)^{1/3} = 0$
$3y + 7 = 0$
$3y = -7$
$y = -7 / 3 \approx -2.33$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
કારણ કે $-2 > -2.33$,તેથી $x > y$.

(B) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$\frac{18}{x^2} + \frac{6}{x} - \frac{12}{x^2} = \frac{8}{x^2}$
આખા સમીકરણને $x^2$ વડે ગુણતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$18 + 6x - 12 = 8$
$6 + 6x = 8$
$6x = 2$
$x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y^3 + 9.68 + 5.64 = 16.95$
$y^3 + 15.32 = 16.95$
$y^3 = 16.95 - 15.32$
$y^3 = 1.63$
કારણ કે $1^3 = 1$ અને $2^3 = 8$,તેથી $y$ એ $1$ કરતા થોડું મોટું હશે (ચોક્કસ રીતે $y \approx 1.177$).
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$x \approx 0.333$ અને $y \approx 1.177$.
તેથી,$x < y$.

(C) પગલું $1$: $x$ માટે સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$x = \sqrt[3]{2197} = 13$.
પગલું $2$: $y$ માટે સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y^2 = 169 \Rightarrow y = \pm 13$.
તેથી,$y$ ની કિંમત $13$ અથવા $-13$ હોઈ શકે છે.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
જો $y = 13$ હોય,તો $x = y$.
જો $y = -13$ હોય,તો $x > y$.
આ કિસ્સાઓને જોડતા,આપણને $x \ge y$ મળે છે.

(C) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$x = \sqrt{2304} = 48$.
વર્ગમૂળનું ચિહ્ન મુખ્ય (ધન) વર્ગમૂળ દર્શાવતું હોવાથી,$x = 48$ થાય.
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y^2 = 2304$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$y = \pm \sqrt{2304} = \pm 48$.
તેથી,$y = 48$ અથવા $y = -48$ મળે.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
જો $x = 48$ અને $y = 48$ હોય,તો $x = y$ થાય.
જો $x = 48$ અને $y = -48$ હોય,તો $x > y$ થાય.
આ બંને કિસ્સાઓને જોડતા,આપણને $x \ge y$ મળે છે.

(D) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$\frac{15}{\sqrt{x}} - \frac{9}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{6}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$6 = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$
$x = 6$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$y^{10} - (36)^{5} = 0$
$y^{10} = (36)^{5}$
કારણ કે $36 = 6^2$,તેથી $y^{10} = (6^2)^5 = 6^{10}$.
બંને બાજુ $10$મું મૂળ લેતા,$y = \pm 6$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$x = 6$ અને $y = 6$ અથવા $y = -6$.
જો $y = 6$ હોય,તો $x = y$.
જો $y = -6$ હોય,તો $x > y$.
બંને પરિસ્થિતિઓ શક્ય હોવાથી,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $7x^2 + 16x - 15 = 0$
$7x^2 + 21x - 5x - 15 = 0$
$7x(x + 3) - 5(x + 3) = 0$
$(7x - 5)(x + 3) = 0$
તેથી,$x = 5/7 \approx 0.71$ અથવા $x = -3$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^2 - 6y - 7 = 0$
$y^2 - 7y + y - 7 = 0$
$y(y - 7) + 1(y - 7) = 0$
$(y + 1)(y - 7) = 0$
તેથી,$y = -1$ અથવા $y = 7$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = 0.71$ હોય,તો $x > y$ ($y = -1$ માટે) અને $x < y$ ($y = 7$ માટે).
જો $x = -3$ હોય,તો $x < y$ ($y = -1$ અને $y = 7$ બંને માટે).
જેમ કે સંબંધ પસંદ કરેલી કિંમતો પર આધાર રાખે છે,તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકાતો નથી.

(C) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}+5x+6=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2}+3x+2x+6=0$
$x(x+3)+2(x+3)=0$
$(x+2)(x+3)=0$
તેથી,$x = -2$ અથવા $x = -3$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}+7y+12=0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $y^{2}+4y+3y+12=0$
$y(y+4)+3(y+4)=0$
$(y+3)(y+4)=0$
તેથી,$y = -3$ અથવા $y = -4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x = -2$ હોય,તો $x > y$ (કારણ કે $-2 > -3$ અને $-2 > -4$).
જો $x = -3$ હોય,તો $x \ge y$ (કારણ કે $-3 = -3$ અને $-3 > -4$).
આ બંનેને જોડતા,આપણને $x \ge y$ મળે છે.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-9x+20=0$.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $20$ અને સરવાળો $9$ થાય. તે સંખ્યાઓ $5$ અને $4$ છે.
તેથી,$(x-5)(x-4)=0$,જે $x = 5$ અથવા $x = 4$ આપે છે.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-13y+42=0$.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $42$ અને સરવાળો $13$ થાય. તે સંખ્યાઓ $7$ અને $6$ છે.
તેથી,$(y-7)(y-6)=0$,જે $y = 7$ અથવા $y = 6$ આપે છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x=4$ હોય,તો $y=7$ $(x < y)$ અથવા $y=6$ $(x < y)$.
જો $x=5$ હોય,તો $y=7$ $(x < y)$ અથવા $y=6$ $(x < y)$.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x < y$ થાય છે.

(B) આપેલા સમીકરણો:
$I.$ $12x + 3y = 14$
$II.$ $4x + 2y = 16$
$x$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $II$ ને $3$ વડે ગુણો:
$3 \times (4x + 2y) = 3 \times 16$
$12x + 6y = 48$ (સમીકરણ $III$)
સમીકરણ $III$ માંથી સમીકરણ $I$ બાદ કરતા:
$(12x + 6y) - (12x + 3y) = 48 - 14$
$3y = 34$
$y = \frac{34}{3} \approx 11.33$
$y = \frac{34}{3}$ ની કિંમત સમીકરણ $II$ માં મૂકતા:
$4x + 2(\frac{34}{3}) = 16$
$4x + \frac{68}{3} = 16$
$4x = 16 - \frac{68}{3}$
$4x = \frac{48 - 68}{3} = -\frac{20}{3}$
$x = -\frac{5}{3} \approx -1.67$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = -1.67$ અને $y = 11.33$.
તેથી,$-1.67 < 11.33$,એટલે કે $x < y$.

(B) આપેલા સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$I.$ $x = \sqrt{625} = 25$
$II.$ $y = \sqrt{676} = 26$
$x$ અને $y$ ની કિંમતોની સરખામણી કરતા:
અહીં $25 < 26$ હોવાથી,$x < y$ મળે છે.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}+4x+4=0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(x+2)^{2}=0$
તેથી,$x = -2$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-8y+16=0$
આ એક પૂર્ણવર્ગ પદાવલિ છે: $(y-4)^{2}=0$
તેથી,$y = 4$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x = -2$ અને $y = 4$.
કારણ કે $-2 < 4$,તેથી $x < y$ થાય છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે: $x^{2}-19x+84=0$
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $84$ અને સરવાળો $19$ થાય. આ સંખ્યાઓ $12$ અને $7$ છે.
$x^{2}-12x-7x+84=0$
$x(x-12)-7(x-12)=0$
$(x-12)(x-7)=0$
તેથી,$x = 12$ અથવા $x = 7$.
સમીકરણ $II$ માટે: $y^{2}-25y+156=0$
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $156$ અને સરવાળો $25$ થાય. આ સંખ્યાઓ $13$ અને $12$ છે.
$y^{2}-13y-12y+156=0$
$y(y-13)-12(y-13)=0$
$(y-13)(y-12)=0$
તેથી,$y = 13$ અથવા $y = 12$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
જો $x=12$ હોય,તો $y=13$ $(x < y)$ અથવા $y=12$ $(x = y)$.
જો $x=7$ હોય,તો $y=13$ $(x < y)$ અથવા $y=12$ $(x < y)$.
બધા કિસ્સાઓમાં,$x \le y$ થાય છે.

(C) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ માંથી $x$ માટે ઉકેલો.
$x^{3} - 468 = 1729$
$x^{3} = 1729 + 468$
$x^{3} = 2197$
$x = \sqrt[3]{2197} = 13$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ માંથી $y$ માટે ઉકેલો.
$y^{2} - 1733 + 1564 = 0$
$y^{2} - 169 = 0$
$y^{2} = 169$
$y = \pm 13$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
અહીં $x = 13$ અને $y = 13$ અથવા $y = -13$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$x = y$ $(13 = 13)$.
બીજા કિસ્સામાં,$x > y$ $(13 > -13)$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,આપણને $x \ge y$ મળે છે.

(D) સમીકરણ $I$ માટે:
$\frac{9}{\sqrt{x}} + \frac{19}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$\frac{9+19}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$
$28 = \sqrt{x} \times \sqrt{x}$
$x = 28$
સમીકરણ $II$ માટે:
$y^{5} = \frac{(28)^{11/2}}{\sqrt{y}}$
$y^{5} \times y^{1/2} = (28)^{11/2}$
$y^{5 + 1/2} = (28)^{11/2}$
$y^{11/2} = (28)^{11/2}$
$y = 28$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = 28$ અને $y = 28$,તેથી $x = y$.

(A) સમીકરણ $I$ માટે:
$\sqrt{784} x + 1234 = 1486$
$28 x = 1486 - 1234$
$28 x = 252$
$x = 252 / 28 = 9$
સમીકરણ $II$ માટે:
$\sqrt{1089} y + 2081 = 2345$
$33 y = 2345 - 2081$
$33 y = 264$
$y = 264 / 33 = 8$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = 9$ અને $y = 8$,તેથી $x > y$.

(B) સમીકરણ $I$ માટે:
$\frac{12 - 23}{\sqrt{x}} = 5\sqrt{x}$
$-\frac{11}{\sqrt{x}} = 5\sqrt{x}$
$-11 = 5x \implies x = -2.2$
સમીકરણ $II$ માટે:
$\frac{\sqrt{y} - 5\sqrt{y}}{12} = -\frac{1}{\sqrt{y}}$
$\frac{-4\sqrt{y}}{12} = -\frac{1}{\sqrt{y}}$
$-\frac{\sqrt{y}}{3} = -\frac{1}{\sqrt{y}}$
$\sqrt{y} \cdot \sqrt{y} = 3$
$y = 3$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $x = -2.2$ અને $y = 3$.
તેથી,$-2.2 < 3$,એટલે કે $x < y$.

(A) સમીકરણ $I: 6x^{2} - 49x + 99 = 0$ માટે
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $6 \times 99 = 594$ થાય અને સરવાળો $49$ થાય.
તે સંખ્યાઓ $22$ અને $27$ છે.
$6x^{2} - 22x - 27x + 99 = 0$
$2x(3x - 11) - 9(3x - 11) = 0$
$(2x - 9)(3x - 11) = 0$
$x = \frac{9}{2} = 4.5$ અથવા $x = \frac{11}{3} \approx 3.67$
સમીકરણ $II: 5y^{2} + 17y + 14 = 0$ માટે
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ જેનો ગુણાકાર $5 \times 14 = 70$ થાય અને સરવાળો $17$ થાય.
તે સંખ્યાઓ $10$ અને $7$ છે.
$5y^{2} + 10y + 7y + 14 = 0$
$5y(y + 2) + 7(y + 2) = 0$
$(5y + 7)(y + 2) = 0$
$y = -\frac{7}{5} = -1.4$ અથવા $y = -2$
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો $4.5$ અને $3.67$ છે.
$y$ ની કિંમતો $-1.4$ અને $-2$ છે.
$x$ ની તમામ કિંમતો $y$ ની તમામ કિંમતો કરતા મોટી હોવાથી,$x > y$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: $x$ માટે ઉકેલો.
$x = (1331)^{1/3} = (11^3)^{1/3} = 11$.
પગલું $2$: દ્વિઘાત સમીકરણ $2y^2 - 17y + 36 = 0$ ઉકેલો.
મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$2y^2 - 9y - 8y + 36 = 0$
$y(2y - 9) - 4(2y - 9) = 0$
$(y - 4)(2y - 9) = 0$
તેથી,$y = 4$ અથવા $y = 9/2 = 4.5$.
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
અહીં $x = 11$ છે અને $y$ ની કિંમતો $4$ અને $4.5$ છે,તેથી સ્પષ્ટ છે કે $11 > 4$ અને $11 > 4.5$.
તેથી,$x > y$.

(B) સમીકરણ $I$ માટે: $2x^2 + 3x + 1 = 0$
$2x^2 + 2x + x + 1 = 0$
$2x(x + 1) + 1(x + 1) = 0$
$(2x + 1)(x + 1) = 0$
તેથી,$x = -0.5$ અથવા $x = -1$.
સમીકરણ $II$ માટે: $12y^2 + 7y + 1 = 0$
$12y^2 + 4y + 3y + 1 = 0$
$4y(3y + 1) + 1(3y + 1) = 0$
$(4y + 1)(3y + 1) = 0$
તેથી,$y = -0.25$ અથવા $y = -0.33$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$x$ ની કિંમતો $\{-1, -0.5\}$ છે અને $y$ ની કિંમતો $\{-0.33, -0.25\}$ છે.
$x$ ની બંને કિંમતો $y$ ની બંને કિંમતો કરતા નાની હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $x < y$.

(B) આપેલા સમીકરણો:
$I. 7x - 3y = 13$
$II. 5x + 4y = 40$
$y$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(I)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(II)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$(7x - 3y) \times 4 = 13 \times 4 \Rightarrow 28x - 12y = 52$
$(5x + 4y) \times 3 = 40 \times 3 \Rightarrow 15x + 12y = 120$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(28x - 12y) + (15x + 12y) = 52 + 120$
$43x = 172$
$x = 172 / 43 = 4$
$x = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(I)$ માં મૂકતા:
$7(4) - 3y = 13$
$28 - 3y = 13$
$3y = 28 - 13$
$3y = 15$
$y = 5$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = 4$ અને $y = 5$,તેથી $x < y$.

(B) આપેલા સમીકરણો:
$2x + 5y = 6$ --- $(1)$
$5x + 11y = 9$ --- $(2)$
$x$ અને $y$ ની કિંમત શોધવા માટે,સમીકરણ $(1)$ ને $5$ વડે અને સમીકરણ $(2)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$(2x + 5y = 6) \times 5 \implies 10x + 25y = 30$ --- $(3)$
$(5x + 11y = 9) \times 2 \implies 10x + 22y = 18$ --- $(4)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી સમીકરણ $(4)$ બાદ કરતા:
$(10x + 25y) - (10x + 22y) = 30 - 18$
$3y = 12$
$y = 4$
$y = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$2x + 5(4) = 6$
$2x + 20 = 6$
$2x = 6 - 20$
$2x = -14$
$x = -7$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$x = -7$ અને $y = 4$ મળે છે. તેથી,$-7 < 4$ હોવાથી $x < y$ થાય છે.

(A) સમીકરણ $I$ માટે: $6x^{2} + 29x + 35 = 0$
આપણે દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડીએ: $6x^{2} + 14x + 15x + 35 = 0$
$2x(3x + 7) + 5(3x + 7) = 0$
$(2x + 5)(3x + 7) = 0$
આમ,$x = -2.5$ અથવા $x = -2.33$.
સમીકરણ $II$ માટે: $3y^{2} + 19y + 30 = 0$
આપણે દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડીએ: $3y^{2} + 9y + 10y + 30 = 0$
$3y(y + 3) + 10(y + 3) = 0$
$(3y + 10)(y + 3) = 0$
આમ,$y = -3.33$ અથવા $y = -3$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
કારણ કે $-2.5 > -3.33$,$-2.5 > -3$,$-2.33 > -3.33$,અને $-2.33 > -3$,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $x > y$.

(A) પગલું $1$: સમીકરણ $I$ ઉકેલો.
$\sqrt{1225} x + \sqrt{4900} = 0$
$35 x + 70 = 0$
$35 x = -70$
$x = \frac{-70}{35} = -2$
પગલું $2$: સમીકરણ $II$ ઉકેલો.
$(81)^{1/4} y + (343)^{1/3} = 0$
કારણ કે $81 = 3^4$ અને $343 = 7^3$,તેથી:
$(3^4)^{1/4} y + (7^3)^{1/3} = 0$
$3 y + 7 = 0$
$3 y = -7$
$y = -\frac{7}{3} \approx -2.33$
પગલું $3$: $x$ અને $y$ ની સરખામણી કરો.
$x = -2$
$y \approx -2.33$
તેથી $-2 > -2.33$,એટલે કે $x > y$.