QUADRATIC EQUATION Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ: $2(a^2 + b^2)x^2 + 2(a + b)x + 1 = 0$
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = 2(a^2 + b^2)$,$B = 2(a + b)$,અને $C = 1$
બીજનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$D = [2(a + b)]^2 - 4 \cdot 2(a^2 + b^2) \cdot 1$
$D = 4(a^2 + b^2 + 2ab) - 8(a^2 + b^2)$
$D = 4a^2 + 4b^2 + 8ab - 8a^2 - 8b^2$
$D = -4a^2 - 4b^2 + 8ab$
$D = -4(a^2 + b^2 - 2ab)$
$D = -4(a - b)^2$
કારણ કે $(a - b)^2 \ge 0$,તેથી $-4(a - b)^2 \le 0$ થાય. એટલે કે $D < 0$ (જો $a \neq b$ હોય તો).
વિવેચકનું મૂલ્ય ઋણ હોવાથી,સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક છે.

(B) સમીકરણ $px^2 + 2qx + r = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D_1 \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D_1 = (2q)^2 - 4(p)(r) = 4q^2 - 4pr \ge 0 \implies q^2 \ge pr$ ... $(i)$
સમીકરણ $qx^2 - 2\sqrt{pr}x + q = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D_2 \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D_2 = (-2\sqrt{pr})^2 - 4(q)(q) = 4pr - 4q^2 \ge 0 \implies pr \ge q^2$ ... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને $q^2 \ge pr$ અને $pr \ge q^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q^2 = pr$.

(D) સમીકરણ $ax^2 + x + b = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D_1$ શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટો હોવો જોઈએ.
$D_1 = (1)^2 - 4ab \ge 0 \implies 1 - 4ab \ge 0 \implies 4ab \le 1$.
હવે,બીજા સમીકરણ $x^2 - 4\sqrt{ab}x + 1 = 0$ ને ધ્યાનમાં લો.
આ સમીકરણનો વિવેચક $D_2 = (-4\sqrt{ab})^2 - 4(1)(1)$ દ્વારા મળે છે.
$D_2 = 16ab - 4 = 4(4ab - 1)$.
કારણ કે $4ab \le 1$,તેથી $4ab - 1 \le 0$ થાય.
તેથી,$D_2 \le 0$.
વિવેચક શૂન્ય અથવા શૂન્યથી નાનો હોવાથી,સમીકરણના બીજ કાલ્પનિક હશે.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ સમીકરણો $x^2 + ax + b = 0$ અને $x^2 + bx + a = 0$ નું સામાન્ય બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ અને $\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ થાય.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\alpha^2 + a\alpha + b) - (\alpha^2 + b\alpha + a) = 0$.
$\alpha(a - b) - (a - b) = 0$.
$(a - b)(\alpha - 1) = 0$.
અહીં બીજ સમાન હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે $a \neq b$,તેથી $\alpha - 1 = 0$,જે આપણને $\alpha = 1$ આપે છે.
$\alpha = 1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $1^2 + a(1) + b = 0$.
$1 + a + b = 0$.
તેથી,$a + b = -1$.

(D) આપેલ સમીકરણ અર્થપૂર્ણ બને તે માટે $x > 0$ હોવું જરૂરી છે. બંને બાજુ $2$ આધાર પર લઘુગણક લેતા:
$((\frac{3}{4})(\log_2 x)^2 + (\log_2 x) - \frac{5}{4}) \cdot \log_2 x = \log_2(\sqrt{2})$
ધારો કે $t = \log_2 x$. તો સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$(\frac{3}{4}t^2 + t - \frac{5}{4}) \cdot t = \frac{1}{2}$
$4$ વડે ગુણતા:
$(3t^2 + 4t - 5)t = 2$
$3t^3 + 4t^2 - 5t - 2 = 0$
અવયવ પાડતા,$t = 1$ એક બીજ છે. $(t - 1)$ વડે ભાગતા:
$(t - 1)(3t^2 + 7t + 2) = 0$
$(t - 1)(3t + 1)(t + 2) = 0$
તેથી,$t = 1, -2, -1/3$.
$t = \log_2 x$ હોવાથી,$x = 2^1 = 2$,$x = 2^{-2} = 1/4$,અને $x = 2^{-1/3} = 1/\sqrt[3]{2}$ મળે છે.
આ ત્રણેય ઉકેલો વાસ્તવિક છે,અને $1/\sqrt[3]{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે. આમ,તમામ વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ સાચા છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
કિસ્સો $(i)$: જો વિવેચક $D = b^2 - 4ac \ge 0$ હોય,તો બીજ વાસ્તવિક હોય છે.
$a, b, c > 0$ હોવાથી,$\sqrt{b^2 - 4ac} < \sqrt{b^2} = b$ થાય. તેથી,$-b + \sqrt{b^2 - 4ac} < 0$ અને $-b - \sqrt{b^2 - 4ac} < 0$ મળે. $2a > 0$ હોવાથી,બંને બીજ ઋણ છે.
કિસ્સો $(ii)$: જો $D = b^2 - 4ac < 0$ હોય,તો બીજ સંકર સંખ્યાઓ છે:
$x = \frac{-b}{2a} \pm i \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$
અહીં,વાસ્તવિક ભાગ $-\frac{b}{2a}$ છે. $a > 0$ અને $b > 0$ હોવાથી,વાસ્તવિક ભાગ $-\frac{b}{2a}$ ઋણ છે.
બંને કિસ્સાઓમાં,બીજ ઋણ વાસ્તવિક ભાગ ધરાવે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - (k - 1)x + 8 = 0$ છે.
સમીકરણના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ,જ્યાં $D = b^2 - 4ac$.
અહીં,$a = 2$,$b = -(k - 1)$,અને $c = 8$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(-(k - 1))^2 - 4(2)(8) = 0$
$(k - 1)^2 - 64 = 0$
$(k - 1)^2 = 64$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$k - 1 = \pm 8$
કિસ્સો $1$: $k - 1 = 8 \Rightarrow k = 9$
કિસ્સો $2$: $k - 1 = -8 \Rightarrow k = -7$
તેથી,$k$ ની કિંમતો $9$ અને $-7$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: $2x^2 + 3x + 1 = 0$.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 3$,અને $c = 1$ મળે છે.
વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^2 - 4ac$ છે.
$D = (3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$.
અહીં $D > 0$ છે અને $D$ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા છે,તેથી બીજ વાસ્તવિક અને સંમેય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-3 \pm 1}{4}$.
આમ,બીજ $x_1 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ અને $x_2 = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ મળે છે.
બંને બીજ,$-\frac{1}{2}$ અને $-1$,સંમેય સંખ્યાઓ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(l - m)x^2 - 5(l + m)x - 2(l - m) = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a = (l - m)$,$b = -5(l + m)$,અને $c = -2(l - m)$ છે.
આ કિંમતોને $D$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = [-5(l + m)]^2 - 4(l - m)[-2(l - m)]$
$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2$.
કારણ કે $l$ અને $m$ વાસ્તવિક છે અને $l \ne m$,તેથી $(l - m)^2 > 0$ થાય. વળી,$(l + m)^2 \ge 0$ છે.
તેથી,$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2 > 0$ મળે છે.
વિવેચક $D$ શૂન્ય કરતાં મોટો હોવાથી,સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} - 8x + ({a^2} - 6a) = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D$ ની કિંમત શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટી હોવી જોઈએ $(D \ge 0)$.
વિવેચક $D = b^2 - 4ac$,જ્યાં $a = 1$,$b = -8$,અને $c = ({a^2} - 6a)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $D = (-8)^2 - 4(1)({a^2} - 6a) \ge 0$.
$64 - 4({a^2} - 6a) \ge 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $16 - ({a^2} - 6a) \ge 0$.
$16 - {a^2} + 6a \ge 0$.
$-1$ વડે ગુણતા (અસમતાની નિશાની બદલાશે): ${a^2} - 6a - 16 \le 0$.
અવયવ પાડતા: $(a - 8)(a + 2) \le 0$.
બે અવયવોનો ગુણાકાર શૂન્ય અથવા શૂન્યથી નાનો હોય,તો $a$ ની કિંમત સમીકરણ $(a - 8)(a + 2) = 0$ ના બીજ,એટલે કે $a = 8$ અને $a = -2$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ.
આમ,$a$ નો વિસ્તાર $-2 \le a \le 8$ છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: ${x^2} + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$b = 2\sqrt{3}$,અને $c = 3$ મળે છે.
વિવેચક $D$ ની ગણતરી $D = b^2 - 4ac$ મુજબ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $D = (2\sqrt{3})^2 - 4(1)(3) = 12 - 12 = 0$.
અહીં વિવેચક $D = 0$ હોવાથી,બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે.
બીજ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 0}{2(1)} = -\sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $-\sqrt{3}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી બીજ અસંમેય અને સમાન છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(\cos p - 1)x^2 + (\cos p)x + \sin p = 0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટો હોવો જોઈએ $(D \ge 0)$.
$D = b^2 - 4ac = (\cos p)^2 - 4(\cos p - 1)(\sin p) \ge 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\cos^2 p - 4\sin p \cos p + 4\sin p \ge 0$ મળે છે.
આને $(\cos p - 2\sin p)^2 - 4\sin^2 p + 4\sin p \ge 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
$(\cos p - 2\sin p)^2 + 4\sin p(1 - \sin p) \ge 0$.
બધા વાસ્તવિક $p$ માટે $(\cos p - 2\sin p)^2 \ge 0$ હોવાથી,અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જો $4\sin p(1 - \sin p) \ge 0$ હોય.
બધા વાસ્તવિક $p$ માટે $(1 - \sin p) \ge 0$ હોવાથી,આપણે $\sin p \ge 0$ ની જરૂર છે.
અંતરાલ $(0, 2\pi)$ માં,$\sin p \ge 0$ એ $p \in (0, \pi)$ માટે સાચું છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $f(x, y) = x^2 + 2x(1 + y) + (my - 3)$ છે.
પદાવલિના સંમેય અવયવો હોવા માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં તેનો વિવેચક $D$ પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
વિવેચક $D = [2(1 + y)]^2 - 4(1)(my - 3)$ દ્વારા મળે છે.
$D = 4(1 + y)^2 - 4(my - 3) = 4(1 + y^2 + 2y - my + 3) = 4(y^2 + (2 - m)y + 4)$.
$D$ પૂર્ણ વર્ગ હોવા માટે,દ્વિઘાત પદાવલિ $y^2 + (2 - m)y + 4$ એ $(y \pm 2)^2$ સ્વરૂપનો પૂર્ણ વર્ગ હોવો જોઈએ.
$(y \pm 2)^2$ નું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y^2 \pm 4y + 4$ મળે છે.
$y^2 + (2 - m)y + 4$ ની સરખામણી $y^2 \pm 4y + 4$ સાથે કરતા,આપણને $2 - m = \pm 4$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $2 - m = 4 \Rightarrow m = -2$.
કિસ્સો $2$: $2 - m = -4 \Rightarrow m = 6$.
આમ,$m$ ની કિંમતો $6$ અને $-2$ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2ax^2 + (2a + b)x + b = 0$ છે,જ્યાં $a \ne 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે વિવેચક $D = B^2 - 4AC$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A = 2a$,$B = (2a + b)$,અને $C = b$ છે.
આ કિંમતોને $D$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (2a + b)^2 - 4(2a)(b)$
$D = 4a^2 + 4ab + b^2 - 8ab$
$D = 4a^2 - 4ab + b^2$
$D = (2a - b)^2$
અહીં $a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$(2a - b)^2$ એ એક પૂર્ણાંકનો પૂર્ણ વર્ગ છે.
સંમેય સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D$ પૂર્ણ વર્ગ હોય,તો તેના બીજ હંમેશા સંમેય હોય છે.
તેથી,આપેલ સમીકરણના બીજ સંમેય છે.

(B) $Ax^2 + Bx + C = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો વિવેચક $D = B^2 - 4AC > 0$ હોય,તો તેના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોય છે.
આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 0x + b = 0$ માં,$A = a$,$B = 0$ અને $C = b$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$D = (0)^2 - 4(a)(b) > 0$
$-4ab > 0$
બંને બાજુ $-4$ વડે ભાગતા (જેથી અસમતાની નિશાની બદલાશે):
$ab < 0$
તેથી,જો $ab < 0$ હોય તો બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ સમીકરણ $2x^2 - 5x + 1 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
તેથી,$\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે બીજા સમીકરણ $x^2 + 5x + 2 = 0$ ના બીજ $\gamma$ અને $\delta$ છે.
તેથી,$\gamma \delta = \frac{2}{1} = 2$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે જો $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ હોય,તો $cx^2 + bx + a = 0$ ના બીજ $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}$ થાય.
અહીં,પ્રથમ સમીકરણ $2x^2 - 5x + 1 = 0$ છે અને બીજું $x^2 + 5x + 2 = 0$ છે. જો આપણે $x$ ની જગ્યાએ $-1/x$ મૂકીએ,તો આપણને $2(-1/x)^2 - 5(-1/x) + 1 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 5x + 2 = 0$ થાય છે.
આમ,બીજા સમીકરણના બીજ એ પ્રથમ સમીકરણના બીજના ઋણ વ્યસ્ત છે. તેથી,તેઓ વ્યસ્ત અને વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે જ્યાં $a, b, c \in Q$ અને $a + b + c = 0$ છે.
$a + b + c = 0$ હોવાથી, $b = -(a + c)$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ છે.
$b = -(a + c)$ મૂકતા, $D = (-(a + c))^2 - 4ac = (a + c)^2 - 4ac$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા, $D = a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = a^2 - 2ac + c^2 = (a - c)^2$ મળે.
$a, c \in Q$ હોવાથી, $(a - c)^2$ એ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ છે, જે હંમેશા $\ge 0$ હોય છે.
વિવેચક $D$ સંમેય સંખ્યાનો પૂર્ણ વર્ગ હોવાથી, બીજ
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{a + c \pm (a - c)}{2a}$ દ્વારા મળે છે.
આનાથી $x_1 = \frac{2a}{2a} = 1$ અને $x_2 = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a}$ મળે છે.
$a, c \in Q$ અને $a \neq 0$ હોવાથી, બંને બીજ સંમેય સંખ્યાઓ છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $(b + c - 2a)x^2 + (c + a - 2b)x + (a + b - 2c) = 0$ છે.
ધારો કે સહગુણકો $A = (b + c - 2a)$,$B = (c + a - 2b)$,અને $C = (a + b - 2c)$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો $A + B + C = (b + c - 2a) + (c + a - 2b) + (a + b - 2c) = (a + a - 2a) + (b + b - 2b) + (c + c - 2c) = 0$ થાય છે.
જ્યારે સહગુણકોનો સરવાળો $0$ હોય,ત્યારે દ્વિઘાત સમીકરણનું એક બીજ $x = 1$ હોય છે.
અહીં $a, b, c \in \mathbb{Q}$ હોવાથી,સહગુણકો $A, B, C$ સંમેય સંખ્યાઓ છે.
સંમેય સહગુણકો ધરાવતા દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો એક બીજ સંમેય હોય,તો બીજું બીજ પણ સંમેય જ હોય (કારણ કે બીજનો ગુણાકાર $C/A$ પણ સંમેય છે).
તેથી,આ સમીકરણના બીજ સંમેય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $f(x) = x^2 + 2bx + c$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$f(x) = (x^2 + 2bx + b^2) - b^2 + c$
$f(x) = (x + b)^2 + (c - b^2)$
કારણ કે $(x + b)^2 \ge 0$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે,પદાવલિ $f(x)$ હંમેશા ધન રહેશે જો અચળ પદ $(c - b^2)$ એ $0$ કરતા મોટું હોય.
તેથી,$c - b^2 > 0$,જેનો અર્થ છે કે $c > b^2$ અથવા $b^2 < c$.

(B) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો તેના બીજ સમાન હોય તો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = 4$,$b = p$,અને $c = 9$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$p^2 - 4(4)(9) = 0$
$p^2 - 144 = 0$
$p^2 = 144$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $p = \pm 12$ મળે છે.
$p$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|p| = |\pm 12| = 12$ થાય.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ સમાન હોય તે માટે વિવેચક $D = B^2 - 4AC = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$A = (c^2 - ab)$,$B = -2(a^2 - bc)$,અને $C = (b^2 - ac)$ છે.
$D = 0$ લેતા:
$[-2(a^2 - bc)]^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0$
$4(a^2 - bc)^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$(a^4 - 2a^2bc + b^2c^2) - (b^2c^2 - ac^3 - ab^3 + a^2bc) = 0$
$a^4 - 2a^2bc + b^2c^2 - b^2c^2 + ac^3 + ab^3 - a^2bc = 0$
$a^4 - 3a^2bc + ac^3 + ab^3 = 0$
$a$ સામાન્ય લેતા:
$a(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0$
આમ,શરત $a = 0$ અથવા $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ છે.

(A) ધારો કે ${D_1}$ અને ${D_2}$ એ અનુક્રમે ${x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ અને ${x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0$ સમીકરણોના વિવેચક છે.
વિવેચકો ${D_1} = b_1^2 - 4{c_1}$ અને ${D_2} = b_2^2 - 4{c_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 4({c_1} + {c_2})$ મળે છે.
આપેલ છે કે ${b_1}{b_2} = 2({c_1} + {c_2})$,તેથી આપણે $4({c_1} + {c_2}) = 2{b_1}{b_2}$ ને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 2{b_1}{b_2} = {(b_1 - b_2)^2}$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ (non-negative) હોવાથી,${D_1} + {D_2} \ge 0$ થાય.
જો બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સરવાળો અ-ઋણ હોય,તો તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા અ-ઋણ હોવી જ જોઈએ. તેથી,${D_1} \ge 0$ અથવા ${D_2} \ge 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક હોય જો તેનો વિવેચક શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટો હોય. આમ,ઓછામાં ઓછા એક સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક હશે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $k{x^2} + 1 = kx + 3x - 11{x^2}$ છે.
પદોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ માં ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$(k + 11)x^2 - (k + 3)x + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = (k + 11)$,$b = -(k + 3)$,અને $c = 1$ છે.
આ કિંમતોને $D = 0$ માં મૂકતા:
$(-(k + 3))^2 - 4(k + 11)(1) = 0$
$(k^2 + 6k + 9) - 4k - 44 = 0$
$k^2 + 2k - 35 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$k^2 + 7k - 5k - 35 = 0$
$k(k + 7) - 5(k + 7) = 0$
$(k - 5)(k + 7) = 0$
આમ,$k = 5$ અથવા $k = -7$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$. તો $f(0) = c$. આમ,$y = f(x)$ નો આલેખ $y$-અક્ષને $(0, c)$ બિંદુએ મળે છે.
જો $c > 0$ હોય,તો પૂર્વધારણા મુજબ $f(x) > 0$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે વક્ર $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને ક્યાંય મળતો નથી.
જો $c < 0$ હોય,તો પૂર્વધારણા મુજબ $f(x) < 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે વક્ર $y = f(x)$ હંમેશા $x$-અક્ષની નીચે રહે છે અને તેથી તે $x$-અક્ષને છેદતો નથી.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને છેદતો નથી,એટલે કે કોઈપણ વાસ્તવિક $x$ માટે $f(x) \neq 0$ થાય.
તેથી,સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક છે,જેનો અર્થ છે કે વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ થાય.
તેથી,$b^2 < 4ac$ અથવા $4ac > b^2$ મળે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{a}{x + a + m} + \frac{b}{x + b + m} = 1$.
બંને બાજુ $(x + a + m)(x + b + m)$ વડે ગુણતા:
$a(x + b + m) + b(x + a + m) = (x + a + m)(x + b + m)$.
$ax + ab + am + bx + ab + bm = x^2 + bx + mx + ax + ab + am + mx + bm + m^2$.
બંને બાજુ સાદું રૂપ આપતા:
$ax + bx + 2ab + am + bm = x^2 + ax + bx + 2mx + ab + am + bm + m^2$.
બંને બાજુથી સમાન પદો $(ax + bx + am + bm)$ દૂર કરતા:
$2ab = x^2 + 2mx + ab + m^2$.
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સમીકરણના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $x^2 + 2mx + m^2 - ab = 0$.
બીજ સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તો બીજનો સરવાળો $0$ થવો જોઈએ.
બીજનો સરવાળો $= -\frac{x \text{ નો સહગુણક}}{x^2 \text{ નો સહગુણક}} = -\frac{2m}{1} = -2m$.
તેથી,$-2m = 0$ લેતા,$m = 0$ મળે છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $At^2 + Bt + C = 0$ માટે,જો વિવેચક $D = B^2 - 4AC = 0$ હોય તો તેના બીજ સમાન હોય છે.
અહીં,$A = (a^2 + b^2)$,$B = -2(ac + bd)$,અને $C = (c^2 + d^2)$ છે.
$B^2 - 4AC = 0$ લેતા,આપણને મળે છે:
$[-2(ac + bd)]^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$4(ac + bd)^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$(ac + bd)^2 - (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd - (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
$a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd - a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 - b^2d^2 = 0$
$2abcd - a^2d^2 - b^2c^2 = 0$
$-(a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd) = 0$
$(ad - bc)^2 = 0$
$ad - bc = 0 \Rightarrow ad = bc$
બંને બાજુને $bd$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ મળે છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સમાન હોય તે માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = 1$,$b = -2(1 + 3k)$,અને $c = 7(3 + 2k)$ છે.
$D = 0$ લેતા:
$[-2(1 + 3k)]^2 - 4(1)(7(3 + 2k)) = 0$
$4(1 + 3k)^2 - 28(3 + 2k) = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$(1 + 3k)^2 - 7(3 + 2k) = 0$
$1 + 6k + 9k^2 - 21 - 14k = 0$
$9k^2 - 8k - 20 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$9k^2 - 18k + 10k - 20 = 0$
$9k(k - 2) + 10(k - 2) = 0$
$(9k + 10)(k - 2) = 0$
આમ,$k = 2$ અથવા $k = -\frac{10}{9}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 8x + (a^2 - 6a) = 0$ છે.
બીજ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D$ ની કિંમત શૂન્ય અથવા શૂન્યથી મોટી હોવી જોઈએ $(D \ge 0)$.
અહીં,$A = 1$,$B = -8$,અને $C = a^2 - 6a$ છે.
$D = B^2 - 4AC = (-8)^2 - 4(1)(a^2 - 6a) \ge 0$.
$64 - 4a^2 + 24a \ge 0$.
$-4$ વડે ભાગતા (અને અસમતાની નિશાની બદલતા): $a^2 - 6a - 16 \le 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a - 8)(a + 2) \le 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $a$ ની કિંમત $-2$ અને $8$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,$a \in [-2, 8]$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $px^2 + qx + 1 = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = q^2 - 4(p)(1) \ge 0$
$q^2 \ge 4p$
અહીં $p, q \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે શક્ય કિંમતો તપાસીએ:
જો $p = 1$ હોય,તો $q^2 \ge 4$,જે માટે $q \in \{2, 3, 4\}$ ($3$ કિંમતો).
જો $p = 2$ હોય,તો $q^2 \ge 8$,જે માટે $q \in \{3, 4\}$ ($2$ કિંમતો).
જો $p = 3$ હોય,તો $q^2 \ge 12$,જે માટે $q = 4$ ($1$ કિંમત).
જો $p = 4$ હોય,તો $q^2 \ge 16$,જે માટે $q = 4$ ($1$ કિંમત).
કુલ સમીકરણોની સંખ્યા = $3 + 2 + 1 + 1 = 7$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = 1$,$b = -(3k - 1)$,અને $c = 2k^2 + 2k - 11$ છે.
આ કિંમતોને $b^2 - 4ac = 0$ માં મૂકતા:
$(-(3k - 1))^2 - 4(1)(2k^2 + 2k - 11) = 0$
$(3k - 1)^2 - 4(2k^2 + 2k - 11) = 0$
$9k^2 - 6k + 1 - 8k^2 - 8k + 44 = 0$
$k^2 - 14k + 45 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(k - 5)(k - 9) = 0$
આમ,$k = 5$ અથવા $k = 9$ મળે છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac > 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$a = (k - 2)$,$b = 8$,અને $c = (k + 4)$ છે.
$D = 8^2 - 4(k - 2)(k + 4) > 0$
$64 - 4(k^2 + 2k - 8) > 0$
$16 - (k^2 + 2k - 8) > 0$
$-k^2 - 2k + 24 > 0 \Rightarrow k^2 + 2k - 24 < 0$
$(k + 6)(k - 4) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $-6 < k < 4$.
બીજ ઋણ હોવા માટે,બીજનો સરવાળો $-b/a = -8/(k - 2) < 0$ અને બીજનો ગુણાકાર $c/a = (k + 4)/(k - 2) > 0$ હોવો જોઈએ.
$-8/(k - 2) < 0$ પરથી,આપણને $k - 2 > 0 \Rightarrow k > 2$ મળે છે.
$(k + 4)/(k - 2) > 0$ પરથી,આપણને $k > 2$ અથવા $k < -4$ મળે છે.
આ શરતોને $-6 < k < 4$ સાથે જોડતા,આપણને $2 < k < 4$ મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$k = 3$ એ $2 < 3 < 4$ ની શરતનું પાલન કરે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 2kx + 4 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો પ્રકાર વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = 2k$,અને $c = 4$ છે.
$D = (2k)^2 - 4(1)(4) = 4k^2 - 16$.
બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,$D > 0$ હોવું જોઈએ.
$4k^2 - 16 > 0 \Rightarrow 4(k^2 - 4) > 0 \Rightarrow k^2 > 4$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $k > 2$ અથવા $k < -2$ હોય.
આમ,$k \in ( - \infty , - 2) \cup (2, \infty )$.
તેથી,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = (m - n)$,$b = (n - l)$,અને $c = (l - m)$ છે.
શરત $b^2 - 4ac = 0$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(n - l)^2 - 4(m - n)(l - m) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(n^2 + l^2 - 2nl) - 4(ml - m^2 - nl + mn) = 0$
$n^2 + l^2 - 2nl - 4ml + 4m^2 + 4nl - 4mn = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$l^2 + n^2 + (2m)^2 + 2nl - 4mn - 4ml = 0$
આ પદાવલિ $(l + n - 2m)^2 = 0$ નું વિસ્તરણ છે.
તેથી,$l + n - 2m = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2m = n + l$.
આ દર્શાવે છે કે $l, m, n$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ ${ax^2} + bx + c = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક હોય તે માટે વિવેચક $D$ નું મૂલ્ય $0$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ.
$D = {b^2} - 4ac < 0$
અહીં,$a = 1$,$b = 5$,અને $c = k$ છે.
આ કિંમતોને અસમતામાં મૂકતા:
${5^2} - 4(1)(k) < 0$
$25 - 4k < 0$
$25 < 4k$
$k > \frac{25}{4}$
$k > 6.25$
કારણ કે $k$ એક પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $6.25$ થી મોટો સૌથી નાનો પૂર્ણાંક $7$ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,જો તેના બીજ સમાન હોય તો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 6px + 1 = 0$ માં,$a = 4$,$b = 6p$ અને $c = 1$ છે.
આ કિંમતોને વિવેચકના સૂત્રમાં મૂકતા:
$(6p)^2 - 4(4)(1) = 0$
$36p^2 - 16 = 0$
$36p^2 = 16$
$p^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $p = \pm \frac{2}{3}$ મળે છે.
વિકલ્પમાં $\frac{2}{3}$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $\frac{2}{3}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(1 + 2k){x^2} + (1 - 2k)x + (1 - 2k) = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ પૂર્ણ વર્ગ હોય ત્યારે તેનો વિવેચક $D = b^2 - 4ac = 0$ થાય.
અહીં,$a = (1 + 2k)$,$b = (1 - 2k)$,અને $c = (1 - 2k)$ છે.
$D = 0$ લેતા:
$(1 - 2k)^2 - 4(1 + 2k)(1 - 2k) = 0$.
$(1 - 2k)$ સામાન્ય લેતા:
$(1 - 2k) [(1 - 2k) - 4(1 + 2k)] = 0$.
$(1 - 2k) [1 - 2k - 4 - 8k] = 0$.
$(1 - 2k) (-3 - 10k) = 0$.
આથી $k$ ની બે કિંમતો મળે છે:
$1 - 2k = 0 \implies k = 1/2$.
$-3 - 10k = 0 \implies k = -3/10$.
આમ,$k$ ની કુલ $2$ કિંમતો માટે આ સમીકરણ પૂર્ણ વર્ગ બને છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin A, \sin B, \cos A$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $\sin^2 B = \sin A \cos A$ થાય.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$2 \sin^2 B = 2 \sin A \cos A$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $1 - \cos 2B = \sin 2A$.
આમ,$\cos 2B = 1 - \sin 2A$. $\sin 2A$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$1 - \sin 2A \ge 0$,તેથી $\cos 2B \ge 0$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + 2x \cot B + 1 = 0$ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (2 \cot B)^2 - 4(1)(1) = 4 \cot^2 B - 4 = 4(\cot^2 B - 1)$ છે.
નિત્યસમ $\cot^2 B - 1 = \frac{\cos^2 B - \sin^2 B}{\sin^2 B} = \frac{\cos 2B}{\sin^2 B}$ નો ઉપયોગ કરતા,$D = 4 \frac{\cos 2B}{\sin^2 B}$ મળે.
ચૂકી $\cos 2B \ge 0$ અને $\sin^2 B > 0$ છે,તેથી $D \ge 0$ થાય.
તેથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે.

(D) ધારો કે ચાર વાસ્તવિક બીજ $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ છે. સમીકરણ $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta) = 0$ છે.
આને $x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\sum \alpha = 4$,$\sum \alpha\beta = a$,$\sum \alpha\beta\gamma = -b$,અને $\alpha\beta\gamma\delta = 1$.
વાસ્તવિક ધન બીજ માટે,સમાંતર મધ્યક $(AM)$ $\ge$ ગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$.
$AM = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$GM = (\alpha\beta\gamma\delta)^{1/4} = (1)^{1/4} = 1$.
કારણ કે $AM = GM = 1$,તેથી બધા બીજ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 1$.
હવે,$a = \sum \alpha\beta = \binom{4}{2} \times (1 \times 1) = 6 \times 1 = 6$.
$-b = \sum \alpha\beta\gamma = \binom{4}{3} \times (1 \times 1 \times 1) = 4 \times 1 = 4$,તેથી $b = -4$.
આમ,$a = 6$ અને $b = -4$.

(B) $ax^2 + bx + c = 0$ સ્વરૂપના દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,જો એક બીજ બીજા બીજનું વ્યસ્ત હોય,તો બીજનો ગુણાકાર $1$ થાય છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\frac{1}{\alpha}$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} = \frac{k}{5}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\alpha \cdot \frac{1}{\alpha} = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{k}{5}$ થાય.
તેથી,$k = 5$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2 + 3x + 7 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$b = 3$ અને $c = 7$ મળે છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{4}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{7}{4}$.
આપણે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
લસાઅ લેતા,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{-3/4}{7/4} = -\frac{3}{4} \times \frac{4}{7} = -\frac{3}{7}$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{C}{A}$ અને બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $(a + 1)x^2 + (2a + 3)x + (3a + 4) = 0$ માં,$A = a + 1$,$B = 2a + 3$,અને $C = 3a + 4$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{3a + 4}{a + 1} = 2$.
$a$ માટે ઉકેલતા: $3a + 4 = 2(a + 1) \Rightarrow 3a + 4 = 2a + 2 \Rightarrow a = -2$.
હવે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{2a + 3}{a + 1}$ છે.
$a = -2$ ની કિંમત બીજના સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
સરવાળો $= -\frac{2(-2) + 3}{-2 + 1} = -\frac{-4 + 3}{-1} = -\frac{-1}{-1} = -1$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ:
$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
હવે,સમીકરણ $cx^2 + bx + a = 0$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે તેના બીજ $\alpha'$ અને $\beta'$ છે.
આ સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha' + \beta' = -\frac{b}{c}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha'\beta' = \frac{a}{c}$ થાય.
મૂળ બીજોના વ્યસ્તનો સરવાળો નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{c}$.
તે જ રીતે,વ્યસ્તનો ગુણાકાર:
$\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{c/a} = \frac{a}{c}$.
આમ,$\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ નો સરવાળો અને ગુણાકાર એ સમીકરણ $cx^2 + bx + a = 0$ ના બીજોના સરવાળા અને ગુણાકાર સાથે સમાન હોવાથી,તેના બીજ $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
ધારો કે નવા બીજ $S_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}$ અને $S_2 = \beta + \frac{1}{\alpha}$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો: $S_1 + S_2 = (\alpha + \beta) + (\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = (\alpha + \beta) + \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = -\frac{b}{a} + \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{a} - \frac{b}{c} = -\frac{b(a+c)}{ac}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર: $S_1 \cdot S_2 = (\alpha + \frac{1}{\beta})(\beta + \frac{1}{\alpha}) = \alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta} = \alpha\beta + 2 + \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{c}{a} + 2 + \frac{a}{c} = \frac{c^2 + 2ac + a^2}{ac} = \frac{(a+c)^2}{ac}$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 - [-\frac{b(a+c)}{ac}]x + \frac{(a+c)^2}{ac} = 0$.
$ac$ વડે ગુણતા,આપણને $acx^2 + b(a+c)x + (a+c)^2 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ પ્રથમ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ નું એક બીજ છે. તો,$\frac{1}{\alpha}$ એ બીજા સમીકરણ $a'x^2 + b'x + c' = 0$ નું એક બીજ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે: $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$.
બીજા સમીકરણ માટે: $a'(\frac{1}{\alpha})^2 + b'(\frac{1}{\alpha}) + c' = 0$,જેનું સાદું રૂપ $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ થાય છે.
સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\alpha^2}{ba' - b'c} = \frac{\alpha}{cc' - aa'} = \frac{1}{ab' - bc'}$.
બીજા અને ત્રીજા પદ પરથી: $\alpha = \frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}$.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદ પરથી: $\alpha^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$.
$(\frac{cc' - aa'}{ab' - bc'})^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$(cc' - aa')^2 = (ba' - b'c)(ab' - bc')$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 + 2(a + b)x + a^2 + b^2 = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{2(a + b)}{2} = -(a + b)$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{a^2 + b^2}{2}$.
હવે,નવા બીજની ગણતરી કરીએ:
બીજ $1 = (\alpha + \beta)^2 = (-(a + b))^2 = (a + b)^2$.
બીજ $2 = (\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (a + b)^2 - 4(\frac{a^2 + b^2}{2}) = a^2 + 2ab + b^2 - 2a^2 - 2b^2 = -(a^2 - 2ab + b^2) = -(a - b)^2$.
જરૂરી સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $= (a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 4ab$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $= (a + b)^2 \times (-(a - b)^2) = -((a + b)(a - b))^2 = -(a^2 - b^2)^2$.
આમ,સમીકરણ $x^2 - 4abx - (a^2 - b^2)^2 = 0$ છે.

(A) અહીં સહગુણકો $p$ અને $q$ વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $2 + i\sqrt{3}$ એક બીજ છે,તેથી તેનું અનુબદ્ધ $2 - i\sqrt{3}$ પણ સમીકરણનું બીજ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ માટે,બીજોનો સરવાળો $-p$ થાય અને બીજોનો ગુણાકાર $q$ થાય છે.
બીજોનો સરવાળો: $(2 + i\sqrt{3}) + (2 - i\sqrt{3}) = 4$. તેથી,$-p = 4$,જેનો અર્થ છે કે $p = -4$.
બીજોનો ગુણાકાર: $(2 + i\sqrt{3})(2 - i\sqrt{3}) = 2^2 - (i\sqrt{3})^2 = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$. તેથી,$q = 7$.
આમ,$(p, q) = (-4, 7)$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $\lambda x^2 + 2x + 3\lambda = 0$ માં,$a = \lambda$,$b = 2$,અને $c = 3\lambda$ છે.
બીજનો સરવાળો $= -\frac{2}{\lambda}$.
બીજનો ગુણાકાર $= \frac{3\lambda}{\lambda} = 3$.
પ્રશ્ન મુજબ,બીજનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર જેટલો છે:
$-\frac{2}{\lambda} = 3$.
બંને બાજુ $\lambda$ વડે ગુણતા,આપણને $-2 = 3\lambda$ મળે છે.
તેથી,$\lambda = -\frac{2}{3}$.
આમ,$-\frac{2}{3}$ એ વિકલ્પો $A, B,$ કે $C$ માં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 6x + \lambda = 0$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -6$ $(i)$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \lambda$ $(ii)$ થાય.
આપણને રેખીય સમીકરણ $3\alpha + 2\beta = -20$ $(iii)$ પણ આપેલ છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\beta = -6 - \alpha$ મળે. આ કિંમતને $(iii)$ માં મૂકતા:
$3\alpha + 2(-6 - \alpha) = -20$
$3\alpha - 12 - 2\alpha = -20$
$\alpha = -20 + 12 = -8$.
હવે,$(i)$ નો ઉપયોગ કરીને $\beta$ શોધો:
$\beta = -6 - (-8) = 2$.
અંતે,$\lambda$ શોધવા માટે $\alpha$ અને $\beta$ ની કિંમતોને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\lambda = \alpha \beta = (-8)(2) = -16$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - 3x + 4 = 0$ છે.
આ સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-3)/2 = 3/2$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = 4/2 = 2$ છે.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\alpha^2$ અને $\beta^2$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (3/2)^2 - 2(2) = 9/4 - 4 = (9 - 16)/4 = -7/4$ થાય.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (2)^2 = 4$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (-7/4)x + 4 = 0$ મળે છે.
$x^2 + 7/4x + 4 = 0$.
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા,આપણને $4x^2 + 7x + 16 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ: ${x^2} - a(x + 1) - b = 0$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: ${x^2} - ax - a - b = 0$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ ${x^2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = a$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = -(a + b)$
આપણે પદાવલિ $(\alpha + 1)(\beta + 1)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha \beta + \alpha + \beta + 1$
$\alpha + \beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= -(a + b) + a + 1$
$= -a - b + a + 1$
$= 1 - b$