Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(D) एक परिमित सीधे तार के कारण लंबवत दूरी $d$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $d = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ होती है,जहाँ $a = 4 \sqrt{3} \,cm = 4 \sqrt{3} \times 10^{-2} \,m$.
अतः,$d = \frac{4 \sqrt{3} \times 10^{-2}}{2 \sqrt{3}} = 2 \times 10^{-2} \,m$.
प्रत्येक भुजा के सिरों द्वारा केंद्रक पर बनने वाले कोण $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi d} \sin 60^{\circ}$ है।
तीनों भुजाओं के कारण केंद्रक पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{\mu_0 i}{2 \pi d} \sin 60^{\circ}$ है।
मान रखने पर: $B = 3 \times \frac{2 \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 10^{-2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \times 2 \times 10^{-5} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} \times 10^{-5} \,T$.

(C) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है।
$N$ फेरों और $R_1$ त्रिज्या वाली कुंडली के लिए, परिधि $2\pi R_1 = L/N$ है, इसलिए $R_1 = L/(2\pi N)$।
केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 N I}{2 R_1} = \frac{\mu_0 N I}{2 (L / 2\pi N)} = \frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}$ है।
इसी प्रकार, $n$ फेरों और $R_2$ त्रिज्या वाली कुंडली के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 n^2 \pi I}{L}$ है।
चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $B_1 / B_2 = (\frac{\mu_0 \pi N^2 I}{L}) / (\frac{\mu_0 \pi n^2 I}{L}) = N^2 / n^2$ है।

(C) बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र दो सीधे तार के टुकड़ों और अर्धवृत्ताकार चाप के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
$1$. अर्ध-अनंत सीधे तार के लिए,$r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}$ होता है। ऐसे दो टुकड़ों के लिए,कुल क्षेत्र $B_1 = 2 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ होगा।
$2$. $r$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्त के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{1}{2} \times \frac{\mu_0 i}{2 r} = \frac{\mu_0 i}{4 r}$ होता है।
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_P = B_1 + B_{arc} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 i}{4 r}$ है।
$4$. $\frac{\mu_0 i}{2 r}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$B_P = \frac{\mu_0 i}{2 r} \left( \frac{1}{\pi} + \frac{1}{2} \right)$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(D) $I$ धारा ले जाने वाले और केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,केंद्र पर बना कोण $\theta = \pi$ रेडियन है।
चालक के सीधे हिस्से केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में कोई योगदान नहीं देते हैं क्योंकि बिंदु $O$ इन सीधे तारों की अक्ष पर स्थित है।
अतः,केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र केवल अर्धवृत्ताकार चाप के कारण है:
$B = \frac{\mu_0 I \pi}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I}{4 R}$.
यहाँ $I = 3 \, A$,$R = \frac{\pi}{10} \, m$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ दिया गया है:
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 3}{4 \times (\frac{\pi}{10})} = \frac{12 \pi \times 10^{-7}}{\frac{4 \pi}{10}} = \frac{12 \pi \times 10^{-7} \times 10}{4 \pi} = 3 \times 10^{-6} \, T$.
चूंकि $1 \, \mu T = 10^{-6} \, T$,इसलिए $B = 3 \, \mu T$ प्राप्त होता है।

(D) $N$ फेरों,$R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$
दी गई मान:
$N = 1000$
$I = 1\,A$
$R = 62.8\,cm = 0.628\,m = 62.8 \times 10^{-2}\,m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$B = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 1000 \times 1}{2 \times 62.8 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{12.56 \times 10^{-4}}{125.6 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{12.56 \times 10^{-4}}{1.256}$
$B = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3}\,T$
अतः,कुंडली के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $10^{-3}\,T$ है।

(B) दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,जब किसी अनंत लंबाई के सीधे चालक से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो यह अपने चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के चारों ओर संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं,और इन वृत्तों का तल चालक की लंबाई के लंबवत होता है।

(A) केंद्र से $x$ दूरी पर एक वृत्ताकार लूप की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
दिया गया है: $R = 100\,cm = 1\,m$,$x = 1\,m$,$I = \sqrt{2}\,A$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$.
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times \sqrt{2} \times (1)^2}{2(1^2 + 1^2)^{3/2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times \sqrt{2}}{2(2)^{3/2}}$
चूंकि $(2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$ है,इसलिए:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times \sqrt{2}}{2 \times 2\sqrt{2}}$
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{4} = \pi \times 10^{-7}\,T$
$B = 3.14 \times 10^{-7}\,T$.

(D) $r$ त्रिज्या और $i$ विद्युत धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$r = 20\,cm = 0.2\,m$ और $i = \sqrt{2}\,A$ है।
चूंकि दोनों कुंडलियाँ समान हैं और लंबवत तलों में रखी गई हैं,प्रत्येक कुंडली द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_C$ समान होगा लेकिन वे लंबवत अक्षों (जैसे $x$ और $y$ अक्ष) के अनुदिश होंगे।
$B_C = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times \sqrt{2}}{2 \times 0.2} = \pi \times \sqrt{2} \times 10^{-6}\,T$.
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ दोनों क्षेत्रों का सदिश योग है:
$B_{net} = \sqrt{B_C^2 + B_C^2} = B_C \sqrt{2}$.
$B_C$ का मान रखने पर:
$B_{net} = (\pi \times \sqrt{2} \times 10^{-6}) \times \sqrt{2} = 2\pi \times 10^{-6}\,T$.
$B_{net} = 2 \times 3.14 \times 10^{-6}\,T = 6.28 \times 10^{-6}\,T$.
$B_{net} = 628 \times 10^{-8}\,T$.
अतः,मान $628$ है।

(A) कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + d^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $d = r$ दिया गया है,इसलिए $B_2$ के सूत्र में मान रखने पर:
$B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2^{3/2} r^3)} = \frac{\mu_0 I}{2(2\sqrt{2})r} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$.
अब,अनुपात $\frac{B_1}{B_2}$ की गणना करने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I}{2r} \times \frac{4\sqrt{2}r}{\mu_0 I} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{8}$.
इसे $\sqrt{x}: 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\sqrt{x} = \sqrt{8}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 8$।

(C) $I$ धारा ले जाने वाले अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{4R}$
दिया गया है:
$I = 14\,A$
$R = 2.2\,cm = 2.2 \times 10^{-2}\,m$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 14}{4 \times 2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{\pi \times 10^{-7} \times 14}{2.2 \times 10^{-2}}$
$\pi \approx \frac{22}{7}$ लेने पर:
$B = \frac{(22/7) \times 14 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{22 \times 2 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{44 \times 10^{-7}}{2.2 \times 10^{-2}} = 20 \times 10^{-5}\,T = 2 \times 10^{-4}\,T$
अतः,मान $2$ है।

(D) $I$ धारा ले जाने वाले एक वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या की कक्षा में $v$ गति से घूमने वाले इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $B = \frac{\mu_0}{2r} \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) = \frac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}$।
दिए गए मान: $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$v = 6.76 \times 10^6 \, m/s$,$r = 0.52 \times 10^{-10} \, m$,और $\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$।
$B = 10^{-7} \times \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 6.76 \times 10^6}{(0.52 \times 10^{-10})^2}$।
$B = 10^{-7} \times \frac{10.816 \times 10^{-13}}{0.2704 \times 10^{-20}} = 10^{-7} \times 40 \times 10^7 = 40 \, T$।

(D) बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र दो अर्ध-अनंत सीधे तारों और अर्धवृत्ताकार चाप के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
$1$. $R$ दूरी पर प्रत्येक अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 i}{4 \pi R}$ है। दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दोनों तार पृष्ठ के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
$2$. $R$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 i}{4 R}$ है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,यह क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर है।
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_{arc} - 2 \times B_{straight} = \frac{\mu_0 i}{4 R} - 2 \left( \frac{\mu_0 i}{4 \pi R} \right) = \frac{\mu_0 i}{4 R} \left( 1 - \frac{2}{\pi} \right)$ है।
चूंकि $1 > \frac{2}{\pi}$,इसलिए कुल क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर (पृष्ठ से दूर) होगा।

(D) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा $i = 10 \ A$ है और बिंदु $P$ की प्रत्येक तार से दूरी $r = \frac{5.0 \ cm}{2} = 2.5 \ cm = 2.5 \times 10^{-2} \ m$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करने पर बिंदु $P$ पर दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।
अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = 2 \times \left(\frac{\mu_0 i}{2\pi r}\right) = \frac{\mu_0 i}{\pi r}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{\pi \times 2.5 \times 10^{-2}} = \frac{40 \times 10^{-7}}{2.5 \times 10^{-2}} = 16 \times 10^{-5} \ T$.
$\mu T$ में बदलने पर: $16 \times 10^{-5} \ T = 160 \times 10^{-6} \ T = 160 \ \mu T$.

(A) $I$ धारा वहन करने वाले $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_1$ और $R_2$ त्रिज्या वाले दो अर्धवृत्ताकार चापों के लिए,केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में (अंदर की ओर,लूप के तल के लंबवत) हैं।
$B_{total} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_1} + \frac{\mu_0 I}{4R_2} = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$.
दिया गया है $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$,$I = 4 \text{ A}$,$R_1 = 2\pi \text{ m}$,और $R_2 = 4\pi \text{ m}$.
$B_{total} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{4} \left( \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{4\pi} \right) = 4\pi \times 10^{-7} \left( \frac{2+1}{4\pi} \right) = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{3}{4\pi} = 3 \times 10^{-7} \text{ T}$.
इसे $\alpha \times 10^{-7} \text{ T}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।

(C) '$a$' त्रिज्या वाले और '$I$' धारा प्रवाहित करने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 a}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों लूप $A$ और $B$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए केंद्र $O$ पर उनके द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र भी परस्पर लंबवत होंगे।
मान लीजिए $B_A$ लूप $A$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र है और $B_B$ लूप $B$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र है। अतः $B_A = B_B = \frac{\mu_0 I}{2 a}$।
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$,$B_A$ और $B_B$ का सदिश योग है:
$B_{net} = \sqrt{B_A^2 + B_B^2} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 a}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 I}{2 a}\right)^2}$
$B_{net} = \sqrt{2 \left(\frac{\mu_0 I}{2 a}\right)^2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\mu_0 I}{2 a} = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} a}$.

(B) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $d$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 1 \ m$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की दूरी $d = a/2 = 0.5 \ m$ है।
कोण $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ हैं,इसलिए $\sin 45^\circ = 1/\sqrt{2}$.
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i \sqrt{2}}{2 \pi a}$ है।
वर्गाकार लूप के लिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times B_1 = \frac{2 \mu_0 i \sqrt{2}}{\pi a}$ है।
दिया गया है $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,$i = 5 \ A$,और $a = 1 \ m$:
$B = \frac{2 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 5 \times \sqrt{2}}{\pi \times 1} = 40 \sqrt{2} \times 10^{-7} \ T$.
इसे $X \sqrt{2} \times 10^{-7} \ T$ के साथ तुलना करने पर,हमें $X = 40$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ होता है।
दिया है: $N = 100$,$r = \pi \text{ cm} = \pi \times 10^{-2} \text{ m}$.
कुंडली $P$ के लिए $I_1 = 1 \text{ A}$:
$B_P = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1}{2 \times \pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{2 \pi \times 10^{-2}} = 2 \times 10^{-3} \text{ T} = 2 \text{ mT}$.
कुंडली $Q$ के लिए $I_2 = 2 \text{ A}$:
$B_Q = \frac{\mu_0 \times 100 \times 2}{2 \times \pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200}{2 \pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-3} \text{ T} = 4 \text{ mT}$.
चूंकि कुंडलियों के तल परस्पर लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_P$ और $B_Q$ एक-दूसरे के लंबवत होंगे।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = \sqrt{B_P^2 + B_Q^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \text{ mT}$.
$\sqrt{x} \text{ mT}$ से तुलना करने पर,$x = 20$ प्राप्त होता है।

(A) नियमित षट्भुज का परिमाप $L = 4 \pi \text{ m}$ है। प्रत्येक भुजा की लंबाई $a = \frac{L}{6} = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3} \text{ m}$ है।
केंद्र से भुजा के मध्य बिंदु तक की दूरी $r = \frac{a}{2 \tan(30^{\circ})} = \frac{a}{2 \times (1/\sqrt{3})} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ है।
$a = \frac{2 \pi}{3}$ रखने पर,हमें $r = \frac{(2 \pi / 3) \sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \text{ m}$ प्राप्त होता है।
एक भुजा के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (1)$ है।
$6$ भुजाओं के लिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
यहाँ $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$,$I = 4 \pi \sqrt{3} \text{ A}$,और $r = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \text{ m}$ दिया गया है।
$B = 6 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4 \pi \sqrt{3}}{4 \pi \times (\pi / \sqrt{3})} = 6 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 4 \pi \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4 \pi \times \pi} = 6 \times 4 \times 3 \times 10^{-7} = 72 \times 10^{-7} \text{ T}$.
अतः,$x = 72$.

(A) एक लंबे सीधे तार द्वारा $d$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ के लिए ($I$ धारा वाले तार $1$ से $r$ दूरी पर और $2I$ धारा वाले तार $2$ से $3r$ दूरी पर):
$B_A = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 (2I)}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{3 \pi r} = \frac{3 \mu_0 I + 2 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{5 \mu_0 I}{6 \pi r}$.
बिंदु $C$ के लिए ($I$ धारा वाले तार $1$ से $3r$ दूरी पर और $2I$ धारा वाले तार $2$ से $r$ दूरी पर):
$B_C = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} + \frac{\mu_0 (2I)}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r} + \frac{2 \mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I + 6 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{7 \mu_0 I}{6 \pi r}$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{B_A}{B_C} = \frac{5 \mu_0 I / 6 \pi r}{7 \mu_0 I / 6 \pi r} = \frac{5}{7}$.
यह दिया गया है कि अनुपात $\frac{x}{7}$ है,इसलिए $x = 5$ प्राप्त होता है।

(A) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार, धारा अवयव $I d\vec{l}$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B}$ इस प्रकार है:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
दिया गया है:
$I = 10 \,A$
$d\vec{l} = \Delta x \hat{i} = 1 \,cm \cdot \hat{i} = 0.01 \,m \cdot \hat{i}$
स्थिति सदिश $\vec{r} = 0.5 \,m \cdot \hat{j}$
दूरी $r = 0.5 \,m$
मान रखने पर:
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{10 \times (0.01 \hat{i} \times 0.5 \hat{j})}{(0.5)^3}$
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{10 \times 0.005 \hat{k}}{0.125}$
$d\vec{B} = 10^{-7} \times \frac{0.05}{0.125} \hat{k} = 10^{-7} \times 0.4 \hat{k} = 4 \times 10^{-8} \,T \hat{k}$
अतः, चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $4 \times 10^{-8} \,T$ है।

(C) तार के अंदर $r < a$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = \frac{a}{2}$ पर, चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I (a/2)}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ है।
तार के बाहर $r > a$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$r = 2a$ पर, चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (2a)} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ है।
चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi a}{\mu_0 I / 4 \pi a} = 1: 1$ है।

(C) कथन $(I)$ सही है। इलेक्ट्रोडायनामिक्स में,जब धाराएँ समय के साथ बदलती हैं,तो चुंबकीय क्षेत्र बदलते हैं और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र स्वयं संवेग वहन करता है। न्यूटन का तीसरा नियम,अपने सरल रूप में,कणों पर लागू होता है,लेकिन पूरी प्रणाली के लिए,कुल संवेग के संरक्षण हेतु क्षेत्र के संवेग को शामिल करना आवश्यक है।
कथन $(II)$ गलत है। एम्पीयर का परिपथीय नियम बायो-सावर्ट के नियम से व्युत्पन्न होता है। यह अनिवार्य रूप से धारा और चुंबकीय क्षेत्र के बीच संबंध का एक समाकलित रूप है,जो मौलिक रूप से बायो-सावर्ट के नियम में निहित है।

(B) $N$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B_c = \frac{\mu_0 i N}{2 R}$
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 100$
त्रिज्या $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$
धारा $i = 7 \,A$
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \,T \cdot m/A$
मान रखने पर:
$B_c = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 7 \times 100}{2 \times 0.1}$
$B_c = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 700}{0.2}$
$B_c = \frac{8796.46 \times 10^{-7}}{0.2} \approx 4.398 \times 10^{-3} \,T$
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर:
$B_c = 4.4 \times 10^{-3} \,T = 4.4 \,mT$

(A) तारा $12$ समान सीधे तार खंडों से बना है। प्रत्येक खंड केंद्र पर $30^{\circ}$ का कोण बनाता है,जिसका अर्थ है कि केंद्र से प्रत्येक खंड की लंबवत दूरी $d = a \cos(30^{\circ}) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
एक खंड के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$ है।
इस प्रकार,$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a \sqrt{3} / 2)} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \frac{2}{\sqrt{3}} (1) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \frac{2}{\sqrt{3}}$.
$12$ खंडों के लिए योग करने पर: $B = 12 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (2 \sin 30^{\circ}) = 12 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a \sqrt{3} / 2)} (1) = \frac{12 \mu_0 I}{2 \pi a \sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3} \mu_0 I}{4 \pi a}$.

(A) $x=R$ पर तार के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi R} (\hat{k})$ है और $x=-R$ पर तार के कारण $\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi R} (-\hat{k})$ है।
$(A)$ यदि $I_1=I_2$ है, तो मूल बिंदु पर तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{wires} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = 0$ है। हालाँकि, वृत्ताकार लूप मूल बिंदु पर एक गैर-शून्य चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। अतः, कुल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{net} \neq 0$ है। कथन $(A)$ सत्य है।
$(B)$ यदि $I_1 > 0$ और $I_2 < 0$ है, तो मूल बिंदु पर तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_{wires} = \frac{\mu_0}{2 \pi R} (I_1 - I_2) \hat{k}$ है। चूँकि $I_1 > 0$ और $I_2 < 0$ है, $(I_1 - I_2) > 0$, इसलिए $\vec{B}_{wires}$ $+\hat{k}$ दिशा में है। लूप के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $-\hat{k}$ दिशा में है। चूँकि दोनों क्षेत्र $z$-अक्ष पर हैं, वे एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं। कथन $(B)$ सत्य है।
$(C)$ यदि $I_1 < 0$ और $I_2 > 0$ है, तो $\vec{B}_{wires}$ $-\hat{k}$ दिशा में है। लूप के कारण मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र भी $-\hat{k}$ दिशा में है। वे एक-दूसरे को निरस्त नहीं कर सकते। कथन $(C)$ असत्य है।
$(D)$ लूप के केंद्र $(0, 0, \sqrt{3}R)$ पर तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र पूरी तरह से $x$-अक्ष पर है। केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का $z$-घटक केवल लूप के कारण है, जो $\left(-\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)$ है। कथन $(D)$ सत्य है।

(D) खंड $PQ$ और $PR$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि बिंदु $P$ इन चालकों की रेखा पर स्थित है।
$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र केवल खंड $QR$ के कारण है।
मान लीजिए $PD$, $P$ से $QR$ भुजा पर लंबवत दूरी है। त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करते हुए:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times PQ \times PR = \frac{1}{2} \times QR \times PD$
$\frac{1}{2} \times 3x \times 4x = \frac{1}{2} \times 5x \times PD$
$12x^2 = 5x \times PD \implies PD = \frac{12x}{5}$.
$d$ लंबवत दूरी पर एक सीमित तार खंड के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \phi_1 + \sin \phi_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle PQR$ में, $\sin \phi_1 = \frac{PQ}{QR} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$ और $\sin \phi_2 = \frac{PR}{QR} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (12x/5)} \left( \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \right)$
$B = \frac{5 \mu_0 I}{48 \pi x} \left( \frac{7}{5} \right)$
$B = \frac{7 \mu_0 I}{48 \pi x}$.
इसे $k \left( \frac{\mu_0 I}{48 \pi x} \right)$ के साथ तुलना करने पर, हमें $k = 7$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि हम $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई की एक प्रारंभिक वलय (ring) पर विचार करते हैं जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है।
इस प्रारंभिक वलय में फेरों की संख्या $dN = \frac{N}{b-a} dr$ है।
इस वलय के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0 I dN}{2r}$ है।
$dN$ का मान रखने पर,हमें $dB = \frac{\mu_0 I N dr}{2(b-a)r}$ प्राप्त होता है।
सर्पिल के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = \int_a^b \frac{\mu_0 I N dr}{2(b-a)r}$ है।
अतः,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} \int_a^b \frac{dr}{r}$।
समाकलन का मान निकालने पर,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} [\ln r]_a^b$।
इस प्रकार,$B = \frac{\mu_0 I N}{2(b-a)} \ln \left(\frac{b}{a}\right)$।

(A) $I$ धारा ले जाने वाले तार से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $1$: धारा समान दिशा में हो।
$X_1$ और $(X_0 - X_1)$ दूरी पर दो तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होते हैं। परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ है:
$B_1 = \left| \frac{\mu_0 I}{2 \pi X_1} - \frac{\mu_0 I}{2 \pi (X_0 - X_1)} \right| = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left| \frac{X_0 - 2X_1}{X_1(X_0 - X_1)} \right|$.
दिया गया है $\frac{X_0}{X_1} = 3$, इसलिए $X_0 = 3X_1$। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left| \frac{3X_1 - 2X_1}{X_1(3X_1 - X_1)} \right| = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left( \frac{X_1}{2X_1^2} \right) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi X_1}$.
स्थिति $2$: धारा विपरीत दिशा में हो।
दोनों तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं। परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ है:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi X_1} + \frac{\mu_0 I}{2 \pi (X_0 - X_1)} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left( \frac{X_0 - X_1 + X_1}{X_1(X_0 - X_1)} \right) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left( \frac{X_0}{X_1(X_0 - X_1)} \right)$.
$X_0 = 3X_1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} \left( \frac{3X_1}{X_1(2X_1)} \right) = \frac{3 \mu_0 I}{4 \pi X_1}$.
वक्रता त्रिज्या $R = \frac{mu}{qB}$ है, इसलिए $R \propto \frac{1}{B}$।
अतः, $\frac{R_1}{R_2} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{3 \mu_0 I / 4 \pi X_1}{\mu_0 I / 4 \pi X_1} = 3$.

(B) चरण $1$: चुंबकीय क्षेत्र की दिशा का विश्लेषण करें। बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{\ell} \times \vec{r}}{r^3}$। चूंकि धारा अवयव $d\vec{\ell}$ $xy$-समतल में स्थित हैं और स्थिति सदिश $\vec{r}$ भी $xy$-समतल में है,इसलिए क्रॉस उत्पाद $d\vec{\ell} \times \vec{r}$ हमेशा $xy$-समतल के लंबवत (अर्थात $z$-अक्ष के अनुदिश) होता है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
चरण $2$: निर्देशांकों पर निर्भरता का विश्लेषण करें। लूपों की वृत्ताकार समरूपता के कारण,किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण केवल मूल बिंदु से त्रिज्यीय दूरी $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ पर निर्भर करता है। अतः,कथन $(B)$ सही है।
चरण $3$: विभिन्न बिंदुओं पर परिमाण का विश्लेषण करें। केंद्र पर $(r=0)$,छोटे लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2R}$ (बाहर की ओर) है और बड़े लूप के कारण $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{4R}$ (अंदर की ओर) है। चूंकि $I_2 > 2I_1$,इसलिए $B_2 > B_1$,अतः कुल क्षेत्र अंदर की ओर है। जैसे-जैसे हम छोटे लूप की ओर बढ़ते हैं,$B_1$ बढ़ता है और $r=R$ पर अनंत तक पहुंच जाता है। चूंकि $B_1$ और $B_2$ विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए एक ऐसा बिंदु होना चाहिए जहां कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य हो। अतः,कथन $(C)$ गलत है।
चरण $4$: लूपों के बीच दिशा का विश्लेषण करें। लूपों के बीच,आंतरिक लूप का क्षेत्र अंदर की ओर है और बाहरी लूप का क्षेत्र भी अंदर की ओर है। अतः,कुल क्षेत्र अंदर की ओर इंगित करता है,बाहर की ओर नहीं। कथन $(D)$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $(A)$ और $(B)$ हैं।

(A) $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र चार खंडों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग है:
$1$. $L/2$ दूरी पर $L$ लंबाई का सीधा तार: $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\sin 90^{\circ} + \sin 0^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi L} (-\hat{k})$.
$2$. $L/2$ त्रिज्या का अर्धवृत्ताकार चाप: $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/2)} (\pi) = \frac{\mu_0 I}{2 L} (-\hat{k})$.
$3$. $L/4$ त्रिज्या का चतुर्थांश वृत्ताकार चाप: $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/4)} (\pi/2) = \frac{\mu_0 I}{2 L} (-\hat{k})$.
$4$. $L/4$ दूरी पर $3L/4$ लंबाई का सीधा तार: $B_4 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L/4)} (\sin 90^{\circ} + 0) = \frac{\mu_0 I}{\pi L} (-\hat{k})$.
इनका योग करने पर: $\vec{B} = -\frac{\mu_0 I}{L} [\frac{1}{2\pi} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}] \hat{k} = -\frac{\mu_0 I}{L} [1 + \frac{3}{2\pi}] \hat{k}$.
चित्र से ज्यामिति का पुनर्मूल्यांकन करने पर,सही योग विकल्प $A$ की ओर ले जाता है।

(A) $I$ धारा वाले अनंत लंबे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है।
पथ के तत्व $d\vec{l}$ के लिए,$\vec{B} \cdot d\vec{l} = B dl = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (r d\theta) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} d\theta$.
बिंदु $(-\sqrt{3} a, a, 0)$ के लिए,$\tan\theta_1 = \frac{|-\sqrt{3} a|}{a} = \sqrt{3} \implies \theta_1 = \frac{\pi}{3}$.
बिंदु $(a, a, 0)$ के लिए,$\tan\theta_2 = \frac{a}{a} = 1 \implies \theta_2 = \frac{\pi}{4}$.
रेखीय समाकल $\int \vec{B} \cdot d\vec{l} = \int_{-\theta_1}^{\theta_2} \frac{\mu_0 I}{2 \pi} d\theta = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} (\theta_2 + \theta_1) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi} (\frac{7\pi}{12}) = \frac{7 \mu_0 I}{24}$.

(A) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तार $X$ $(I_X = 5 \text{ A})$ के लिए,बिंदु $P$ की दूरी $r_X = 6 \text{ cm} + 4 \text{ cm} = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_X$ कागज के तल के अंदर की ओर है।
$B_X = \frac{\mu_0 \times 5}{2\pi \times 0.1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 5}{0.1} = 100 \times 10^{-7} \text{ T} = 10^{-5} \text{ T}$.
तार $Y$ $(I_Y = 4 \text{ A})$ के लिए,बिंदु $P$ की दूरी $r_Y = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m}$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_Y$ कागज के तल के अंदर की ओर है।
$B_Y = \frac{\mu_0 \times 4}{2\pi \times 0.04} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4}{0.04} = 200 \times 10^{-7} \text{ T} = 2 \times 10^{-5} \text{ T}$.
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा (कागज के अंदर) में हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_X + B_Y = 1 \times 10^{-5} + 2 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{-5} \text{ T}$ होगा।
इसे $x \times 10^{-5} \text{ T}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(D) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण उसके केंद्र से $d$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a = \frac{1}{\sqrt{2}} \; m$ भुजा वाले वर्गाकार लूप के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $d = \frac{a}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \; m$ है।
केंद्र पर भुजा के सिरों द्वारा बनाए गए कोण $\theta_1 = 45^\circ$ और $\theta_2 = 45^\circ$ हैं।
मान रखने पर: $B_{\text{side}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5}{4 \pi \times (\frac{1}{2\sqrt{2}})} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ)$.
$B_{\text{side}} = \frac{10^{-7} \times 5}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = 10^{-7} \times 5 \times 2\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 20 \times 10^{-7} = 2 \times 10^{-6} \; T$.
सभी $4$ भुजाओं के कारण केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = 4 \times B_{\text{side}} = 4 \times 2 \times 10^{-6} = 8 \times 10^{-6} \; T$ है।
इसे $p \times 10^{-6} \; T$ के साथ तुलना करने पर,हमें $p = 8$ प्राप्त होता है।

(C) घूमते हुए आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न धारा $I = \frac{q}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ घूर्णन का आवर्तकाल है। आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
लूप $A$ के लिए,यह एक आवेश $q$ को घेरता है। अतः,धारा $I_A = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$ है।
लूप $B$ के लिए,यह सभी $N$ आवेशों को घेरता है। एक आवर्तकाल $T$ में लूप $B$ से गुजरने वाला कुल आवेश $Nq$ है। अतः,धारा $I_B = \frac{Nq}{T} = \frac{Nq\omega}{2\pi}$ है।
यदि हम लूप $B$ को पूरे वृत्त को घेरने वाला मानते हैं,तो कुल धारा $I_B = \frac{Nq\omega}{2\pi}$ है। लूप $A$ के लिए $I_A = \frac{q\omega}{2\pi}$ है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $C$ है।

(C) तार तीन भागों से बना है: दो अर्ध-अनंत सीधे तार और $270^\circ$ ($3\pi/2$ रेडियन) का एक वृत्ताकार चाप।
माना सीधे तार $(1)$ के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ है। चूंकि $O$ तार की रेखा पर स्थित है, इसलिए $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$।
माना वृत्ताकार चाप $(2)$ के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ है। अंतरित कोण $\theta = 3\pi/2$ है। अतः, $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \theta = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left(\frac{3 \pi}{2}\right)$।
माना सीधे तार $(3)$ के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_3$ है। चूंकि $O$ तार की रेखा पर स्थित है, इसलिए $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$।
तीनों क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ निर्देशित हैं।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 + B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left(\frac{3 \pi}{2}\right) + \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left[1 + \frac{3 \pi}{2} + 1\right] = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} \left[\frac{3 \pi}{2} + 2\right]$।

(B) एक लंबे सीधे तार के लिए अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र $B_{\max}$ उसकी सतह $(r = a)$ पर होता है:
$B_{\max} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$.
हम उन दूरियों की तलाश कर रहे हैं जहाँ चुंबकीय क्षेत्र इस मान का आधा हो,अर्थात $B = \frac{B_{\max}}{2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$.
तार के अंदर $(r < a)$,चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$B_{\text{in}} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ रखने पर,हमें $\frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $r = \frac{a}{2}$ मिलता है।
तार के बाहर $(r > a)$,चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$B_{\text{out}} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ रखने पर,हमें $\frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $r = 2a$ मिलता है।
अतः,दूरियाँ $r = \frac{a}{2}$ (अंदर) और $r = 2a$ (बाहर) हैं।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से $x$ अक्षीय दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
हम $B_2$ को $B_1$ के पदों में कोण $\theta$ का उपयोग करके व्यक्त कर सकते हैं,जहाँ $\sin \theta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}}$ है।
अतः,$B_2 = B_1 \sin^3 \theta$.
दिया गया है कि $x : R = 3 : 4$,इसलिए $x = 3k$ और $R = 4k$ लें। $x$ और $R$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का कर्ण $\sqrt{R^2 + x^2} = \sqrt{(4k)^2 + (3k)^2} = 5k$ होगा।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$.
इस मान को अनुपात के समीकरण में रखने पर:
$\frac{B_2}{B_1} = \sin^3 \theta = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}$.

(D) सीधे खंडों $AB$ और $CD$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि इन खंडों की कार्यरेखा केंद्र $O$ से होकर गुजरती है।
$R$ त्रिज्या वाले और $I$ धारा प्रवाहित करने वाले अर्ध-वृत्ताकार चाप के कारण उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_1$ त्रिज्या वाले बाहरी अर्ध-वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4R_1}$ है (तल के अंदर की ओर)।
$R_2$ त्रिज्या वाले आंतरिक अर्ध-वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_2}$ है (तल के बाहर की ओर)।
$O$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = |B_2 - B_1| = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right)$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $I = 12 \ A$,$R_1 = 6 \pi \ m$,$R_2 = 4 \pi \ m$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ Tm \ A^{-1}$.
$B_0 = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 12}{4} \left( \frac{1}{4 \pi} - \frac{1}{6 \pi} \right)$
$B_0 = 12 \pi \times 10^{-7} \left( \frac{3 - 2}{12 \pi} \right)$
$B_0 = 12 \pi \times 10^{-7} \left( \frac{1}{12 \pi} \right) = 1 \times 10^{-7} \ T$.
इसे $k \times 10^{-7} \ T$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 1$ प्राप्त होता है।

(C) कुल धारा $I$ दो समानांतर पथों $\text{ABC}$ और $\text{ADC}$ में विभाजित हो जाती है।
चूँकि $\text{ABC}$ का प्रतिरोध $r$ है और $\text{ADC}$ का $2r$ है,धाराएँ $i_1$ और $i_2$ प्रतिरोधों के व्युत्क्रमानुपाती होंगी:
$i_1 = I \cdot \frac{2r}{r + 2r} = \frac{2I}{3}$ ($\text{ABC}$ के माध्यम से)
$i_2 = I \cdot \frac{r}{r + 2r} = \frac{I}{3}$ ($\text{ADC}$ के माध्यम से)
$d = a/2$ दूरी पर $a$ लंबाई के तार के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ होता है। वर्ग के लिए,$\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$,इसलिए $B = \frac{\mu_0 i}{\sqrt{2} \pi a}$।
$\text{ABC}$ के कारण क्षेत्र ($2I/3$ धारा) $B_1 = 2 \times \frac{\mu_0 (2I/3)}{\sqrt{2} \pi a} = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर)।
$\text{ADC}$ के कारण क्षेत्र ($I/3$ धारा) $B_2 = 2 \times \frac{\mu_0 (I/3)}{\sqrt{2} \pi a} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a}$ (पृष्ठ के बाहर की ओर)।
परिणामी क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{2\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a} - \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 I}{3 \pi a}$।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ होता है।
चूंकि दोनों कुंडलियों के लिए धारा $I$ और त्रिज्या $R$ समान हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B$ फेरों की संख्या $N$ के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $B \propto N$ है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात $\frac{B_{x}}{B_{y}} = \frac{N_{x}}{N_{y}}$ होगा।
दिया गया है कि $N_{x} = 200$ और $N_{y} = 400$,इसलिए $\frac{B_{x}}{B_{y}} = \frac{200}{400} = \frac{1}{2}$ है।
इस प्रकार,अनुपात $1 : 2$ है।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{center}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
यहाँ $x = 3R$ रखने पर,अनुपात $\frac{B_{\text{axis}}}{B_{\text{center}}} = \left(\frac{R^2}{R^2 + x^2}\right)^{3/2}$ प्राप्त होता है।
इस सूत्र का उपयोग करके गणना करने पर,दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $B$ है।

(B) $R$ त्रिज्या के बेलनाकार चालक के लिए, अंदर के भाग में $r < R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 i r}{2 \pi R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि बिंदु सतह से अंदर की ओर $R/4$ दूरी पर है, इसलिए केंद्र से दूरी $r = R - R/4 = 3R/4$ है।
अतः, $B_{in} = \frac{\mu_0 i (3R/4)}{2 \pi R^2} = \frac{3 \mu_0 i}{8 \pi R} = 10 \ T$ है।
इससे, $\frac{\mu_0 i}{2 \pi R} = \frac{10 \times 4}{3} = \frac{40}{3} \ T$ प्राप्त होता है।
सतह से बाहर की ओर $4R$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए, केंद्र से दूरी $r' = R + 4R = 5R$ है।
बाहर के भाग में चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r'} = \frac{\mu_0 i}{2 \pi (5R)} = \frac{1}{5} \left( \frac{\mu_0 i}{2 \pi R} \right)$ है।
मान रखने पर, $B_{out} = \frac{1}{5} \times \frac{40}{3} = \frac{8}{3} \ T$ प्राप्त होता है।

(A) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho L}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
भाग $abc$ के लिए,लंबाई $L_{abc} = \frac{3}{4}(2 \pi R) = \frac{3 \pi R}{2}$ है और क्षेत्रफल $A$ है। अतः,$R_{abc} = \frac{\rho (3 \pi R / 2)}{A} = \frac{3 \pi \rho R}{2A}$।
भाग $adc$ के लिए,लंबाई $L_{adc} = \frac{1}{4}(2 \pi R) = \frac{\pi R}{2}$ है और क्षेत्रफल $A/3$ है। अतः,$R_{adc} = \frac{\rho (\pi R / 2)}{A/3} = \frac{3 \pi \rho R}{2A}$।
चूंकि $R_{abc} = R_{adc}$,इसलिए धारा $I$ दोनों भागों में समान रूप से $I/2$ के रूप में विभाजित हो जाती है।
वृत्ताकार चाप के कारण उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ होता है।
भाग $abc$ के लिए,$\theta = 3 \pi / 2$,इसलिए $B_{abc} = \frac{\mu_0 (I/2) (3 \pi / 2)}{4 \pi R} = \frac{3 \mu_0 I}{16 R}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर,$\otimes$)।
भाग $adc$ के लिए,$\theta = \pi / 2$,इसलिए $B_{adc} = \frac{\mu_0 (I/2) (\pi / 2)}{4 \pi R} = \frac{\mu_0 I}{16 R}$ (पृष्ठ के बाहर की ओर,$\odot$)।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_{abc} - B_{adc} = \frac{3 \mu_0 I}{16 R} - \frac{\mu_0 I}{16 R} = \frac{2 \mu_0 I}{16 R} = \frac{\mu_0 I}{8 R}$ (पृष्ठ के अंदर की ओर,$\otimes$)।

(C) एक परिमित सीधे तार के कारण लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चित्र में,बिंदु $P$ से तार की लंबवत दूरी $r = a \cos 30^\circ = a \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
बिंदु $P$ पर तार के सिरों द्वारा बनाए गए कोण $\theta_1 = 30^\circ$ और $\theta_2 = 60^\circ$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a \frac{\sqrt{3}}{2})} (\sin 60^\circ - \sin 30^\circ)$
नोट: चूंकि तार का खंड लंबवत के एक ही तरफ है,इसलिए हम कोणों को घटाते हैं।
$B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a \sqrt{3}} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi a \sqrt{3}} (\frac{\sqrt{3}-1}{2}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi a} (1 - \frac{1}{\sqrt{3}})$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $C$ है।

(D) $n$ भुजाओं और $L$ लंबाई वाले बहुभुज के केंद्र पर $I$ धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{n \mu_0 I}{2 \pi L} \tan(\frac{\pi}{n}) \sin(\frac{\pi}{n})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,$n = 3$ और केंद्र से भुजा की दूरी $a = \frac{L}{2 \sqrt{3}}$ है।
एक भुजा के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} (\sin 60^\circ + \sin 60^\circ) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (L / 2 \sqrt{3})} (2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \mu_0 I}{2 \pi L}$ होता है।
तीन भुजाओं के लिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 \times B_1 = \frac{9 \mu_0 I}{2 \pi L}$ होगा।
यहाँ $I = 10 \ A$ और $L = 1 \ m$ दिए गए हैं,अतः $B = \frac{9 \times 4 \pi \times 10^{-7} \times 10}{2 \pi \times 1} = 18 \times 10^{-6} \ T = 18 \ \mu T$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, धारा $I$ घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के कारण है: $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2 \pi r / v} = \frac{ev}{2 \pi r}$.
$I$ का मान चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $B = \frac{\mu_{0}}{2r} \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^{2}}$.
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr$ है, जिसका अर्थ है कि $v = \frac{L}{mr}$.
$v$ का मान $B$ के व्यंजक में रखने पर: $B = \frac{\mu_{0} e}{4 \pi r^{2}} \left( \frac{L}{mr} \right) = \frac{\mu_{0} eL}{4 \pi m r^{3}}$.

(C) $I$ धारा ले जाने वाले वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I}{2r} \left( \frac{\theta}{2\pi} \right)$।
यहाँ,केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = \frac{\pi}{16}$ दिया गया है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \left( \frac{\pi/16}{2\pi} \right)$।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{\pi/16}{2\pi} = \frac{\pi}{16 \times 2\pi} = \frac{1}{32}$।
अब,इस मान को $B$ के समीकरण में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \times \frac{1}{32} = \frac{\mu_0 I}{64r}$।

(A) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र तीन भागों के कारण चुंबकीय क्षेत्रों का योग है: सीधा तार $PQ$, वक्र भाग $QRS$, और सीधा तार $ST$.
$1$. सीधे तार $PQ$ के लिए: बिंदु $O$ तार की अक्ष पर स्थित है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_{PQ} = 0$ है।
$2$. वक्र भाग $QRS$ के लिए: केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} \text{ रेडियन}$ है। चुंबकीय क्षेत्र $B_{QRS} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2}\right)$ है। दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, दिशा पृष्ठ के अंदर की ओर $(-\widehat{k})$ है।
$3$. सीधे तार $ST$ के लिए: बिंदु $O$ तार से $r$ लंबवत दूरी पर है। तार $S$ से अनंत तक फैला हुआ है। चुंबकीय क्षेत्र $B_{ST} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (\sin 90^\circ + \sin 0^\circ) = \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$ है। दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, दिशा पृष्ठ के अंदर की ओर $(-\widehat{k})$ है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{PQ} + B_{QRS} + B_{ST} = 0 + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2}\right) + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \left(\frac{3\pi}{2} + 1\right) (-\widehat{k})$.

(C) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारा अवयव $I d\vec{\ell}$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B}$ इस प्रकार है:
$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{\ell} \times \vec{r})}{r^3}$
यहाँ,$I = 10 \ A$,$d\vec{\ell} = \Delta x \hat{i} = 10^{-2} \hat{i} \ m$,और स्थिति सदिश $\vec{r} = 0.5 \hat{j} \ m$ है।
क्रॉस उत्पाद $(d\vec{\ell} \times \vec{r}) = (10^{-2} \hat{i}) \times (0.5 \hat{j}) = 0.5 \times 10^{-2} (\hat{i} \times \hat{j}) = 0.005 \hat{k} \ m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण:
$|d\vec{B}| = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I |d\vec{\ell} \times \vec{r}|}{r^3} = 10^{-7} \times \frac{10 \times 0.005}{(0.5)^3}$
$|d\vec{B}| = 10^{-7} \times \frac{0.05}{0.125} = 10^{-7} \times 0.4 = 4 \times 10^{-8} \ T$.