Lorentz Force Questions in Hindi

(A) जब एक आवेश $q$,वेग $\overrightarrow{v}$ के साथ ऐसे क्षेत्र में गति करता है जहाँ विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ दोनों मौजूद हों,तो वह दो बल अनुभव करता है:
$1$. विद्युत बल: $\overrightarrow{F_e} = q\overrightarrow{E}$
$2$. चुंबकीय बल (लॉरेंट्ज़ बल): $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
कुल बल,जिसे लॉरेंट्ज़ बल कहा जाता है,इन दोनों बलों का सदिश योग है:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_e} + \overrightarrow{F_m} = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) जब इलेक्ट्रॉन जैसा आवेशित कण ऐसे क्षेत्र में प्रवेश करता है जहाँ विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ दोनों एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,तो यह लॉरेंट्ज़ बल का अनुभव करता है जो $F = q(E + v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
यदि इलेक्ट्रॉन का वेग $(v)$ ऐसा हो कि विद्युत बल $(F_e = qE)$ और चुंबकीय बल $(F_m = q(v \times B))$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हों,तो इलेक्ट्रॉन पर कुल बल शून्य हो जाता है।
इस स्थिति में,इलेक्ट्रॉन बिना किसी विक्षेपण के क्षेत्र से गुजर जाएगा।
इसलिए,यदि वेग को इस प्रकार चुना जाए कि $v = E/B$ हो,तो इलेक्ट्रॉन बिना विक्षेपित हुए गति कर सकता है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ में $\overrightarrow{v}$ वेग से गतिमान $Q$ आवेश पर कार्य करने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\overrightarrow{F}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = Q[\overrightarrow{E} + (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})]$।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि लॉरेंट्ज़ बल का परिमाण कण के आवेश $Q$ के सीधे समानुपाती होता है।
अतः,$F \propto Q$।

(D) जब कोई कण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दोनों वाले क्षेत्र से बिना विक्षेपित हुए गुजरता है,तो उस पर लगने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए।
कुल बल का सूत्र $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$ है।
यदि विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों के परिमाण दोगुने कर दिए जाएं,तो नया विद्युत क्षेत्र $E' = 2E$ और नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = 2B$ हो जाएगा।
नया बल समीकरण $\vec{F}' = q(2\vec{E} + \vec{v} \times 2\vec{B}) = 2q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ होगा।
चूंकि मूल स्थिति $\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0$ थी,इसलिए नया बल $\vec{F}'$ भी शून्य ही रहेगा। अतः,कण बिना विक्षेपित हुए गुजरता रहेगा।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = qvB \sin \theta$।
विमाओं पर विचार करने पर,$[F] = [q][v][B]$।
विमाएँ हैं: $[F] = MLT^{-2}$,$[q] = C$,और $[v] = LT^{-1}$।
$B$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $[B] = \frac{[F]}{[q][v]} = \frac{MLT^{-2}}{C \cdot LT^{-1}}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $[B] = M \cdot L^1 L^{-1} \cdot T^{-2} T^1 \cdot C^{-1} = MT^{-1}C^{-1}$।

(B) आवेश पर कार्य करने वाला कुल लोरेंत्ज़ बल $\overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-12 - 1) - \hat{j}(-9 - 1) + \hat{k}(3 - 4)$
$= -13\hat{i} + 10\hat{j} - \hat{k}$.
अब,इस मान को बल के समीकरण में रखें:
$\overrightarrow{F} = q[(3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) + (-13\hat{i} + 10\hat{j} - \hat{k})]$
$\overrightarrow{F} = q[(3 - 13)\hat{i} + (1 + 10)\hat{j} + (2 - 1)\hat{k}]$
$\overrightarrow{F} = q[-10\hat{i} + 11\hat{j} + \hat{k}]$.
बल का $y$-घटक $\hat{j}$ का गुणांक है,जो $11q$ है।

(D) वर्णित घटना हॉल प्रभाव (Hall effect) है। उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ (हॉल क्षेत्र) को $E = R_H J B$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_H$ हॉल गुणांक है।
हॉल गुणांक को $R_H = \frac{1}{ne}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $n$ आवेश वाहक घनत्व (प्रति इकाई आयतन वाहकों की संख्या) है और $e$ प्राथमिक आवेश है।
$n$ का मात्रक $m^{-3}$ है और $e$ का मात्रक $C$ (कूलम्ब) है।
इसलिए,समानुपातिकता नियतांक $R_H$ का मात्रक $\frac{1}{m^{-3} \cdot C} = \frac{m^3}{C}$ है।

(D) लोरेन्ट्स बल के नियम के अनुसार,आवेश $q$ पर कुल बल $\vec F = q(\vec E + \vec v \times \vec B)$ होता है।
चूंकि आवेश कोई बल अनुभव नहीं करता है,$\vec F = 0$,जिसका अर्थ है $\vec E + \vec v \times \vec B = 0$,या $\vec E = -(\vec v \times \vec B)$।
दिया गया है $\vec v = v_0(3\hat i - \hat j + 2\hat k)$ और $\vec B = B_0(\hat i + 2\hat j - 4\hat k)$,हम सदिश गुणनफल $\vec v \times \vec B$ की गणना करते हैं:
$\vec v \times \vec B = v_0 B_0 \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix}$
$= v_0 B_0 [\hat i((-1)(-4) - (2)(2)) - \hat j((3)(-4) - (2)(1)) + \hat k((3)(2) - (-1)(1))]$
$= v_0 B_0 [\hat i(4 - 4) - \hat j(-12 - 2) + \hat k(6 + 1)]$
$= v_0 B_0 [0\hat i + 14\hat j + 7\hat k] = v_0 B_0(14\hat j + 7\hat k)$।
अतः,$\vec E = -(\vec v \times \vec B) = -v_0 B_0(14\hat j + 7\hat k)$।

(B) आवेशित कण पर लगने वाला कुल बल लॉरेंट्ज़ बल नियम द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B})$.
चुंबकीय क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है क्योंकि चुंबकीय बल वेग के लंबवत होता है: $W_B = \int q(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{r} = \int q(\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{v} dt = 0$.
इसलिए,कुल कार्य केवल विद्युत क्षेत्र के कारण होता है: $W = \int \vec{F}_E \cdot d\vec{r} = \int q\vec{E} \cdot d\vec{r}$.
यहाँ $\vec{E} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ और विस्थापन सदिश $\vec{S} = (1 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} = \hat{i} + \hat{j}$ है।
$W = q(2\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = q(2(1) + 3(1)) = 5q$.
किए गए कुल कार्य का परिमाण $5q$ है।

(D) विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों में गति करने वाले आवेशित कण पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल समीकरण द्वारा दिया जाता है: $F = q(E + v \times B)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,कण पर शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चुंबकीय बल $(F_m = q(v \times B))$ द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है क्योंकि चुंबकीय बल हमेशा कण के वेग $(v)$ के लंबवत होता है।
इसलिए,केवल विद्युत क्षेत्र $(E)$ ही आवेश पर कार्य करता है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = F_e \cdot d = (qE) \cdot d$ है,जहाँ $d$ विस्थापन है।
चूँकि किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है,हमारे पास $qEd = \frac{1}{2}mv^2$ है।
इससे,$v^2 = \frac{2qEd}{m}$,जिसका अर्थ है $v \propto \sqrt{E}$।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ कण की गति में परिवर्तन में योगदान नहीं देता है।
चूँकि गति $v$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ से स्वतंत्र है,हम $v \propto B^0$ लिख सकते हैं (जहाँ $B^0 = 1$)।
अतः,विकल्प $D$ सही संबंध है।

(B) एक आवेशित कण के बिना त्वरित हुए गति करने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए।
$\vec{F}_{net} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) = 0$
इसका अर्थ है $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$।
सदिश गुणनफल के गुणों से,$\vec{v} \times \vec{B}$ हमेशा $\vec{v}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत होता है।
इसलिए,$\vec{E}$ को $\vec{v}$ के लंबवत होना चाहिए और $\vec{E}$ को $\vec{B}$ के लंबवत होना चाहिए।
चूंकि $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$,इसका परिमाण $E = vB \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$,$\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
अतः,$\vec{v}$ का $\vec{E}$ के लंबवत होना एक आवश्यक शर्त है।

(N/A) गतिमान आवेश पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वेग सदिश $v$ धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश है,अर्थात $v = v\hat{i}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ धनात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश है,अर्थात $B = B\hat{j}$।
सदिश गुणनफल $v \times B$ का मान $(\hat{i} \times \hat{j}) = \hat{k}$ होता है,जो धनात्मक $z$-अक्ष की दिशा में है।
$(a)$ इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = -e$ है। अतः,बल $F = -e(vB\hat{k}) = -evB\hat{k}$ होगा। बल ऋणात्मक $z$-अक्ष की दिशा में है।
$(b)$ प्रोटॉन के लिए,आवेश $q = +e$ है। अतः,बल $F = +e(vB\hat{k}) = +evB\hat{k}$ होगा। बल धनात्मक $z$-अक्ष की दिशा में है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान विद्युत आवेश $q$ पर लगने वाले बल $F$ का परिमाण लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = B q v \sin \theta$
$B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$B = \frac{F}{q v \sin \theta}$
परिभाषा: चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण $1$ $SI$ इकाई तब होता है,जब $1 \ C$ का इकाई आवेश चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत $1 \ m/s$ की गति से चलते हुए $1 \ N$ का बल अनुभव करता है।
$SI$ मात्रक की व्युत्पत्ति:
$B$ का मात्रक $= \frac{F \text{ का मात्रक}}{q \text{ का मात्रक} \times v \text{ का मात्रक}}$
$= \frac{1 \ N}{1 \ C \times 1 \ m/s} = 1 \ N \cdot C^{-1} \cdot s \cdot m^{-1}$
चूंकि $1 \ C/s = 1 \ A$,इसलिए मात्रक होगा:
$= 1 \ N \cdot A^{-1} \cdot m^{-1}$
इस मात्रक को टेस्ला $(T)$ भी कहा जाता है।

(N/A) जब कोई आवेशित कण ऐसे क्षेत्र में गति करता है जहाँ विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्र उपस्थित हों, तो उस पर लगने वाले कुल बल को लोरेन्त्ज़ बल कहा जाता है।
विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ में स्थित आवेश $q$ पर लगने वाला विद्युत बल:
$\overrightarrow{F}_{e} = q \overrightarrow{E}$
चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ में वेग $\vec{v}$ से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल:
$\overrightarrow{F}_{m} = q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$
अतः, दोनों क्षेत्रों के कारण आवेश $q$ पर लगने वाला कुल बल:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_{e} + \overrightarrow{F}_{m} = q \overrightarrow{E} + q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$
$\therefore \overrightarrow{F} = q[\overrightarrow{E} + (\vec{v} \times \overrightarrow{B})]$
इस बल को लोरेन्त्ज़ बल के रूप में जाना जाता है।

भौतिक स्थिति	$B$ का परिमाण (टेस्ला में)
न्यूट्रॉन तारे की सतह	$10^{8}$
प्रयोगशाला में बड़ा क्षेत्र	$1$
छोटे छड़ चुंबक के पास	$10^{-2}$
पृथ्वी की सतह पर	$10^{-5}$
मानव तंत्रिका तंतु	$10^{-10}$
अंतरतारकीय अंतरिक्ष	$10^{-12}$

(N/A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र (चुंबकीय घटक) द्वारा दिया जाता है:
$F = q(v \times B)$
जहाँ:
$F$ चुंबकीय बल सदिश है।
$q$ आवेश का परिमाण है।
$v$ आवेश का वेग सदिश है।
$B$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश है।
इस बल का परिमाण $F = qvB \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश $v$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B$ के बीच का कोण है।

(N/A) यदि $1\, C$ का आवेश $1\, m/s$ के वेग से चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति कर रहा हो और उस पर $1\, N$ का चुंबकीय बल लग रहा हो,तो उस चुंबकीय क्षेत्र को $1\, T$ कहा जाता है।
यह लॉरेंट्ज़ बल के सूत्र से प्राप्त होता है: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$।
परिमाण में,$F = qvB \sin(\theta)$।
यहाँ $F = 1\, N$,$q = 1\, C$,$v = 1\, m/s$,और $\theta = 90^\circ$ (जहाँ $\sin(90^\circ) = 1$) रखने पर:
$1 = 1 \times 1 \times B \times 1$
$B = 1\, T$।

(N/A) लोरेंत्ज़ बल वह कुल बल है जो विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दोनों की उपस्थिति में वेग $\vec{v}$ से गतिमान बिंदु आवेश $q$ पर कार्य करता है।
इसका समीकरण इस प्रकार है:
$\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$
जहाँ:
- $\vec{F}$ लोरेंत्ज़ बल है।
- $q$ विद्युत आवेश है।
- $\vec{E}$ विद्युत क्षेत्र सदिश है।
- $\vec{v}$ आवेश का वेग सदिश है।
- $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश है।
- $\times$ सदिश क्रॉस गुणन को दर्शाता है।

(N/A) लोरेन्ट्स बल उस आवेशित कण पर लगने वाला कुल बल है जो ऐसे क्षेत्र में गति करता है जहाँ विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ दोनों मौजूद हों।
यह विद्युत बल और चुंबकीय बल के सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$F = F_e + F_m$
$F = qE + q(v \times B)$
$F = q(E + v \times B)$
जहाँ:
$q$ कण का आवेश है,
$E$ विद्युत क्षेत्र सदिश है,
$v$ कण का वेग सदिश है,
$B$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश है,
और $\times$ सदिश क्रॉस गुणन को दर्शाता है।

(C) जब $q$ आवेश वाला कण $\vec{v}$ वेग के साथ विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ वाले क्षेत्र में गति करता है,तो वह लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ का अनुभव करता है।
यदि विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत हैं और कण के वेग के भी लंबवत हैं,तो विद्युत बल $\vec{F}_E = q\vec{E}$ और चुंबकीय बल $\vec{F}_B = q(\vec{v} \times \vec{B})$ विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं।
यदि इन बलों के परिमाण समान हैं,अर्थात $qE = qvB$,तो कण पर लगने वाला कुल बल शून्य हो जाता है।
इस स्थिति में,यदि कण का प्रारंभिक वेग $v = E/B$ है,तो कण बिना किसी विचलन के एक सीधी रेखा में गति करेगा।

(N/A) चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि आवेशित कण का वेग $\vec{v}$ जड़त्वीय निर्देश तंत्र पर निर्भर करता है,इसलिए कण द्वारा अनुभव किया जाने वाला चुंबकीय बल भी निर्देश तंत्र पर निर्भर करता है।
हालाँकि,कुल बल (लोरेंत्ज़ बल) $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ होता है। जब हम निर्देश तंत्र बदलते हैं,तो विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ इस प्रकार परिवर्तित होते हैं कि कुल बल $\vec{F}$ उस तंत्र में भौतिकी के नियमों के अनुरूप बना रहता है।
कुल त्वरण के संबंध में,न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{a} = \vec{F}/m$ होता है। चूंकि बल $\vec{F}$ तंत्र पर निर्भर है,इसलिए त्वरण $\vec{a}$ वास्तव में अलग-अलग जड़त्वीय तंत्रों में अलग हो सकता है। यह सापेक्षता के सिद्धांत के अनुरूप है,जब तक कि भौतिकी के नियम (जैसे मैक्सवेल के समीकरण) इन तंत्रों में अपरिवर्तित रहते हैं।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$।
दिया गया है: $q = 1\,\mu C = 10^{-6}\, C$,$\overrightarrow{V} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})\, ms^{-1}$,और $\overrightarrow{B} = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}) \times 10^{-3}\, T$।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 3 & -6 \end{vmatrix} \times 10^{-3}$
$= [\hat{i}(-18 - 12) - \hat{j}(-12 - 20) + \hat{k}(6 - 15)] \times 10^{-3}$
$= (-30 \hat{i} + 32 \hat{j} - 9 \hat{k}) \times 10^{-3}$।
अब,बल $\overrightarrow{F}_{total} = q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$ की गणना करें:
$\overrightarrow{F}_{total} = 10^{-6} \times (-30 \hat{i} + 32 \hat{j} - 9 \hat{k}) \times 10^{-3}$
$= (-30 \hat{i} + 32 \hat{j} - 9 \hat{k}) \times 10^{-9}\, N$।
इसे दिए गए रूप $\overrightarrow{F} \times 10^{-9}\, N$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\overrightarrow{F} = -30 \hat{i} + 32 \hat{j} - 9 \hat{k}$ प्राप्त होता है।

(A) लोरेंत्ज़ बल का सूत्र $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$ है।
दिया गया है: $q = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m = 1.6 \times 10^{-27} \; kg$,$\overrightarrow{V} = 2 \hat{i} \; m/s$,$\overrightarrow{E} = 10 \times 10^{-6} \hat{i} \; V/m$,$\overrightarrow{B} = (\hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \times 10^{-6} \; T$.
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करें: $\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} = (2 \hat{i}) \times (\hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \times 10^{-6} = (6 \hat{k} - 8 \hat{j}) \times 10^{-6} \; V/m$.
अब,$\overrightarrow{F} = q [10 \hat{i} \times 10^{-6} + (6 \hat{k} - 8 \hat{j}) \times 10^{-6}] = q \times 10^{-6} [10 \hat{i} - 8 \hat{j} + 6 \hat{k}] \; N$.
त्वरण $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-6} [10 \hat{i} - 8 \hat{j} + 6 \hat{k}]}{1.6 \times 10^{-27}} = 10^2 [10 \hat{i} - 8 \hat{j} + 6 \hat{k}] = [1000 \hat{i} - 800 \hat{j} + 600 \hat{k}] \; m/s^2$.
त्वरण का परिमाण $a = \sqrt{1000^2 + (-800)^2 + 600^2} = \sqrt{2000000} \approx 1414 \; m/s^2$. विकल्पों के अनुसार,$1400$ सही उत्तर है।

(B) लोरेंट्ज़ बल समीकरण के अनुसार: $\overrightarrow{F} = q(\vec{v} \times \overrightarrow{B})$.
चूँकि $q = 1$ है,इसलिए $\overrightarrow{F} = \vec{v} \times \overrightarrow{B}$ होगा।
मान लीजिए $\overrightarrow{B} = B \hat{i} + B \hat{j} + B_0 \hat{k}$ है।
सदिश गुणनफल सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 6 \\ B & B & B_0 \end{vmatrix} = \hat{i}(4B_0 - 6B) - \hat{j}(2B_0 - 6B) + \hat{k}(2B - 4B) = 4 \hat{i} - 20 \hat{j} + 12 \hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर:
$1$) $4B_0 - 6B = 4$
$2$) $-(2B_0 - 6B) = -20 \implies 2B_0 - 6B = 20$
$3$) $2B - 4B = 12 \implies -2B = 12 \implies B = -6$.
$B = -6$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2B_0 - 6(-6) = 20 \implies 2B_0 + 36 = 20 \implies 2B_0 = -16 \implies B_0 = -8$.
अतः,$\overrightarrow{B} = -6 \hat{i} - 6 \hat{j} - 8 \hat{k}$ प्राप्त होता है।

(C) संयुक्त विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण पर लगने वाला लोरेंत्ज़ बल $F = q(E + v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई आकृति में,विद्युत क्षेत्र $E$ नीचे की ओर निर्देशित है। दाईं ओर गति करने वाले धनावेशित कण के लिए,विद्युत बल $F_e = qE$ नीचे की दिशा में कार्य करता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ तल के बाहर की ओर है। चुंबकीय बल $F_m = q(v \times B)$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,जहां $v$ दाईं ओर है और $B$ तल के बाहर है,चुंबकीय बल $F_m$ नीचे की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि धनावेशित कण के लिए विद्युत बल और चुंबकीय बल दोनों एक ही नीचे की दिशा में कार्य करते हैं,इसलिए यह नीचे की ओर विक्षेपित हो जाएगा और $P$ छेद से नहीं गुजरेगा।
ऋणावेशित कण के लिए,विद्युत बल $F_e = qE$ ऊपर की ओर कार्य करता है,जबकि चुंबकीय बल $F_m = q(v \times B)$ भी ऊपर की ओर कार्य करता है। इस प्रकार,यह ऊपर की ओर विक्षेपित हो जाएगा और $P$ छेद से नहीं गुजरेगा।
उदासीन कणों पर विद्युत या चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा कोई बल नहीं लगता है $(F = 0)$ और वे सीधी रेखा में गति करते हुए $P$ छेद से गुजर जाएंगे।
अतः,केवल उदासीन कण ही $P$ से गुजरेंगे।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ की उपस्थिति में $\vec{v}$ वेग से गति करने वाले आवेशित कण पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चित्र में,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ ऊपर की दिशा में है। धनावेशित कण के लिए,विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ भी ऊपर की दिशा में कार्य करता है क्योंकि वेग $\vec{v}$ क्षैतिज है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ तल के अंदर की ओर (या ऐसे कोण पर है कि सदिश गुणनफल का परिणामी बल ऊपर की ओर हो) है।
चूंकि विद्युत बल और चुंबकीय बल दोनों एक ही ऊपर की दिशा में कार्य करते हैं,इसलिए कण पर लगने वाला कुल बल शून्य नहीं है और यह ऊपर की ओर कार्य करता है।
अतः,आवेशित कण अपने मूल पथ से विचलित हो जाएंगे और मूल पथ पर स्थित छेद से होकर नहीं गुजर पाएंगे।
इसलिए,विकल्प $(a)$ सही है।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में $q$ आवेश पर कार्य करने वाला स्थिर वैद्युत बल $\vec{F}_1 = q\vec{E}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गतिमान $q$ आवेश पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{F}_2 = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
अतः,सही निरूपण $\vec{F}_1 = q\vec{E}$ और $\vec{F}_2 = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है।

(B) $(1)$ के लिए: विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल नियम द्वारा दिया जाता है: $F = qE + q(v \times B)$। आयामों के सुसंगत होने के लिए, $E$ और $vB$ की इकाइयाँ समान होनी चाहिए। अतः, $E = vB$। चूंकि वेग $v$ का आयाम $[L][T]^{-1}$ है, इसलिए $[E] = [L][T]^{-1}[B]$ प्राप्त होता है। यह विकल्प $(A)$ से मेल खाता है।
$(2)$ के लिए: मुक्त स्थान में प्रकाश की गति $c$, पारगम्यता $\varepsilon_0$ और पारगम्यता $\mu_0$ से $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ संबंध द्वारा संबंधित है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $\mu_0 = \frac{1}{\varepsilon_0 c^2}$। चूंकि $c$ का आयाम $[L][T]^{-1}$ है, इसलिए $c^2$ का आयाम $[L]^2[T]^{-2}$ है। अतः, $[\mu_0] = [\varepsilon_0]^{-1} ([L]^2[T]^{-2})^{-1} = [\varepsilon_0]^{-1}[L]^{-2}[T]^2$। यह विकल्प $(B)$ से मेल खाता है।

(A) आवेशित कण पर कार्य करने वाला लॉरेंज चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}$,वेग $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ का सदिश गुणनफल है,इसलिए बल हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है।
बल द्वारा किया गया कार्य $W$ डॉट प्रोडक्ट $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{F} \perp \vec{v}$ है,इसलिए डॉट प्रोडक्ट $\vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ होता है।
अतः,चुंबकीय बल द्वारा आवेशित कण पर किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।

(C) विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों की उपस्थिति में गतिमान आवेश पर कार्य करने वाले बल को लोरेंत्ज़ बल कहा जाता है।
विद्युत क्षेत्र के कारण बल $\overrightarrow{F}_{e} = q\overrightarrow{E}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र के कारण बल $\overrightarrow{F}_{m} = q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,आवेश पर कार्य करने वाला कुल बल $\overrightarrow{F}$ इन दोनों बलों का सदिश योग है:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_{e} + \overrightarrow{F}_{m} = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$.

(C) जब कोई आवेश $q$,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दोनों की उपस्थिति में गति करता है,तो उस पर लगने वाले कुल बल को लोरेंत्ज़ बल कहा जाता है।
विद्युत बल का सूत्र $\vec{F}_e = q\vec{E}$ है।
चुंबकीय बल का सूत्र $\vec{F}_m = q(\vec{V} \times \vec{B})$ है।
इसलिए,कुल लोरेंत्ज़ बल इन दोनों बलों का सदिश योग है:
$\vec{F} = \vec{F}_e + \vec{F}_m = q\vec{E} + q(\vec{V} \times \vec{B})$.

(D) जब एक आवेश '$q$' वेग '$\overrightarrow{v}$' के साथ ऐसे क्षेत्र में गति करता है जहाँ विद्युत क्षेत्र '$\overrightarrow{E}$' और चुंबकीय क्षेत्र '$\overrightarrow{B}$' दोनों मौजूद हों,तो वह दो बल अनुभव करता है:
$1$. विद्युत बल: $\overrightarrow{F}_e = q\overrightarrow{E}$
$2$. चुंबकीय बल (लोरेंत्ज़ बल): $\overrightarrow{F}_m = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
आवेश पर कार्य करने वाला कुल बल इन दोनों बलों का सदिश योग होता है,जिसे लोरेंत्ज़ बल कहा जाता है:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F}_e + \overrightarrow{F}_m = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है: प्रोटॉन का वेग $\vec{v} = 5 \times 10^6 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$,विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 4 \times 10^6 [2 \hat{i} + 0.2 \hat{j} + 0.1 \hat{k}] \text{ Vm}^{-1}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 0.2 [\hat{i} + 0.2 \hat{j} + \hat{k}] \text{ T}$,आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
लॉरेंट्ज़ बल के अनुसार कुल बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
सबसे पहले,$\vec{v} \times \vec{B} = (5 \times 10^6 \hat{j}) \times (0.2 \hat{i} + 0.04 \hat{j} + 0.2 \hat{k}) = 10^6 [\hat{j} \times \hat{i} + 0.2 \hat{j} \times \hat{j} + \hat{j} \times \hat{k}] = 10^6 [-\hat{k} + \hat{i}] = 10^6 [\hat{i} - \hat{k}]$.
अब,$\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 10^6 [8 \hat{i} + 0.8 \hat{j} + 0.4 \hat{k} + \hat{i} - \hat{k}] = 10^6 [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}]$.
$\vec{F} = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^6 [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}] = 1.6 \times 10^{-13} [9 \hat{i} + 0.8 \hat{j} - 0.6 \hat{k}]$.
परिमाण $F = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{9^2 + 0.8^2 + (-0.6)^2} = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{81 + 0.64 + 0.36} = 1.6 \times 10^{-13} \sqrt{82} \approx 14.48 \times 10^{-13} \text{ N}$.
दिए गए विकल्पों के आधार पर,निकटतम मान $20 \times 10^{-13} \text{ N}$ है।

(C) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेन्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = q(v \times B)$।
दो सदिशों के क्रॉस गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,परिणामी सदिश $F$ हमेशा उस तल के लंबवत होता है जिसमें सदिश $v$ और $B$ स्थित होते हैं।
इसलिए,चुंबकीय बल $F$,वेग सदिश $v$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B$ दोनों के लंबवत होता है।

(C) लॉरेंट्ज़ बल का सूत्र $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है। इलेक्ट्रॉन के लिए $q = -e = -1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ है।
सबसे पहले,$\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना करें: $\vec{v} \times \vec{B} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \times (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
अब,$\vec{F} = -e [ (3 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}) + (6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 4 \hat{k}) ] = -e (9 \hat{i} + 6 \hat{k})$.
इस प्रकार,बल का परिमाण और दिशा दिए गए विकल्प $C$ के अनुसार प्राप्त होते हैं।

(C) लॉरेंट्ज़ बल का सूत्र: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E} + \overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B})$
दिया गया है: $q = 2 \ C$,$\overrightarrow{V} = (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \ ms^{-1}$,$\overrightarrow{B} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$,$\overrightarrow{E} = (-2 \hat{k}) \ NC^{-1}$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{V} \times \overrightarrow{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 4) = 12 \hat{i} - 9 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
अब,लॉरेंट्ज़ बल के समीकरण में मान रखने पर:
$\overrightarrow{F} = 2[(-2 \hat{k}) + (12 \hat{i} - 9 \hat{j} + 2 \hat{k})]$
$\overrightarrow{F} = 2[12 \hat{i} - 9 \hat{j}] = 24 \hat{i} - 18 \hat{j}$.
बल का परिमाण:
$|\overrightarrow{F}| = \sqrt{(24)^2 + (-18)^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \ N$.

(D) आवेश $q$ पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $F = q(E + v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
कण के समान वेग से गति करने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए,इसलिए $F = 0$।
इसका अर्थ है $E + (v \times B) = 0$,या $E = -(v \times B) = B \times v$।
चूंकि $E$,$v$ और $B$ के क्रॉस प्रोडक्ट के बराबर है,इसलिए $E$ को $v$ और $B$ दोनों के लंबवत होना चाहिए।
इसलिए,$E \cdot v = 0$ और $E \cdot B = 0$। अतः,विकल्प $(a)$ और $(b)$ सत्य हैं।
यदि $v \cdot B = 0$ है,तो $v$,$B$ के लंबवत है। $E = -(v \times B)$ दिया गया है,हम $B$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट ले सकते हैं:
$E \times B = -(v \times B) \times B = -[(v \cdot B)B - (B \cdot B)v]$।
चूंकि $v \cdot B = 0$,यह $E \times B = (B \cdot B)v$ में सरल हो जाता है,जिससे $v = \frac{E \times B}{B \cdot B}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $(c)$ सत्य है।
अंत में,$v \times E = v \times (-(v \times B)) = -(v \times (v \times B)) = -[(v \cdot B)v - (v \cdot v)B]$।
यह सामान्यतः $B$ के बराबर नहीं है। इसलिए,विकल्प $(d)$ सत्य नहीं है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \times 10^{-26} \,kg$, आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, वेग $\vec{v} = 1.28 \times 10^6 \hat{i} \,ms^{-1}$.
विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -102.4 \times 10^3 \hat{k} \,NC^{-1}$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 8 \times 10^{-2} \hat{j} \,Wbm^{-2}$.
कण पर लगने वाला लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
चुंबकीय बल की गणना: $\vec{v} \times \vec{B} = (1.28 \times 10^6 \hat{i}) \times (8 \times 10^{-2} \hat{j}) = (1.28 \times 8 \times 10^4) (\hat{i} \times \hat{j}) = 10.24 \times 10^4 \hat{k} = 1.024 \times 10^5 \hat{k} \,Vm^{-1}$.
चूंकि $102.4 \times 10^3 = 1.024 \times 10^5$ है, इसलिए $\vec{E} = -1.024 \times 10^5 \hat{k} \,NC^{-1}$ है।
अतः, $\vec{F} = q(-1.024 \times 10^5 \hat{k} + 1.024 \times 10^5 \hat{k}) = 0$.
चूंकि कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य है, इसलिए कण बिना किसी विचलन के धनात्मक $X$-अक्ष की दिशा में गति करता रहेगा।

(D) इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है: $\vec{E} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k} \text{ V m}^{-1}$,$\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \text{ T}$,$\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} \text{ m s}^{-1}$,और $q = -1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
सबसे पहले,चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ की गणना करें।
यहाँ $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ हैं,इसलिए सदिश समानांतर हैं $(\vec{v} \parallel \vec{B})$।
अतः,$\vec{v} \times \vec{B} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{F}_m = 0$।
अब,विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ की गणना करें।
$\vec{F}_e = (-1.6 \times 10^{-19}) (3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}) = -4.8 \times 10^{-19}\hat{i} - 9.6 \times 10^{-19}\hat{j} - 3.2 \times 10^{-19}\hat{k} \text{ N}$।
बल का परिमाण $|\vec{F}| = |\vec{F}_e| = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{9 + 36 + 4} = 1.6 \times 10^{-19} \times \sqrt{49} = 1.6 \times 10^{-19} \times 7 = 1.12 \times 10^{-18} \text{ N}$।
चूँकि $1.12 \times 10^{-18} \text{ N}$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गति करने वाले आवेशित कण पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$।
कण के एकसमान वेग से गति करने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{F} = 0$।
स्थिति $1$: यदि $E=0$ और $B=0$ है,तो कण एकसमान वेग से गति करता है (न्यूटन का प्रथम नियम)।
स्थिति $2$: यदि $E=0$ और $B \neq 0$ है,तो कण एकसमान वेग से गति करता है यदि वह चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर या प्रति-समानांतर गति करता है $(\vec{v} \times \vec{B} = 0)$।
स्थिति $3$: यदि $E \neq 0$ और $B \neq 0$ है,तो कण एकसमान वेग से गति करता है यदि विद्युत बल और चुंबकीय बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जो तब होता है जब $\vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B})$। परिमाण के संदर्भ में,इसका अर्थ है $E = vB$ (जहाँ $\vec{v} \perp \vec{B}$ और $\vec{E} \perp \vec{v}$)।
अतः,$E=vB$ की स्थिति एकसमान वेग के लिए एक मान्य संभावना है।

(C) लोरेंत्ज़ बल का सूत्र $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
दिया गया है: $q = 10^{-9} \text{ C}$,$\vec{E} = 0.4 \hat{i} \text{ N/C}$,$\vec{B} = 4 \times 10^{-3} \hat{k} \text{ T}$,और $\vec{F} = (4 \hat{i} + 2 \hat{j}) \times 10^{-10} \text{ N}$.
माना वेग $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है।
तब $\vec{v} \times \vec{B} = (v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times (4 \times 10^{-3} \hat{k}) = -4 \times 10^{-3} v_x \hat{j} + 4 \times 10^{-3} v_y \hat{i}$.
बल समीकरण में मान रखने पर: $(4 \hat{i} + 2 \hat{j}) \times 10^{-10} = 10^{-9} (0.4 \hat{i} + 4 \times 10^{-3} v_y \hat{i} - 4 \times 10^{-3} v_x \hat{j})$.
$10^{-9}$ से विभाजित करने पर: $(0.4 \hat{i} + 0.2 \hat{j}) = 0.4 \hat{i} + 4 \times 10^{-3} v_y \hat{i} - 4 \times 10^{-3} v_x \hat{j}$.
घटकों की तुलना करने पर:
$x$-घटक: $0.4 = 0.4 + 4 \times 10^{-3} v_y \implies v_y = 0$.
$y$-घटक: $0.2 = -4 \times 10^{-3} v_x \implies v_x = -50 \text{ m/s}$.
अतः,सही उत्तर विकल्प $C$ है।