Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(N/A) कागज के तल के लंबवत सदिशों को दर्शाने के लिए निम्नलिखित परिपाटी का उपयोग किया जाता है:
$1$. कागज के तल से बाहर निकलने वाले क्षेत्र या धारा को बिंदु $(\odot)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$2$. कागज के तल के अंदर जाने वाले क्षेत्र या धारा को क्रॉस $(\otimes)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
नोट: यह परिपाटी तीर के दृश्य पर आधारित है। बिंदु $(\odot)$ प्रेक्षक की ओर आते हुए तीर की नोक को दर्शाता है,जबकि क्रॉस $(\otimes)$ प्रेक्षक से दूर जाते हुए तीर की पंखदार पूंछ को दर्शाता है।

(N/A) जब एक सीधे धारावाही तार को कार्डबोर्ड से गुजारा जाता है और उस पर लोहे का बुरादा छिड़का जाता है,तो बुरादा तार के चारों ओर संकेंद्रित वृत्तों में व्यवस्थित हो जाता है।
यह घटना इसलिए होती है क्योंकि तार से बहने वाली विद्युत धारा अपने आसपास के स्थान में एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं प्रकृति में गोलाकार होती हैं,जिनका केंद्र तार होता है।
लोहे का बुरादा छोटे चुंबकों के रूप में कार्य करता है और इस चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में टॉर्क का अनुभव करता है,जिससे वे क्षेत्र रेखाओं के साथ संरेखित हो जाते हैं और इस प्रकार गोलाकार चुंबकीय क्षेत्र पैटर्न को प्रदर्शित करते हैं।

(A) भौतिकी में, कागज के तल या सतह के लंबवत सदिशों (जैसे धारा या चुंबकीय क्षेत्र) को दर्शाने के लिए विशिष्ट संकेतों का उपयोग किया जाता है।
$1$. एक बिंदु $(\cdot)$ उस सदिश को दर्शाता है जो सतह से बाहर प्रेक्षक की ओर आ रहा है।
$2$. एक क्रॉस $(\times)$ उस सदिश को दर्शाता है जो सतह के अंदर प्रेक्षक से दूर जा रहा है।
इसलिए, सतह से बाहर निकलने वाले क्षेत्रों या धाराओं के लिए डॉट (Dot) संकेत का उपयोग किया जाता है।

(A) टेलीफोन केबल में क्षैतिज तारों की संख्या,$n = 4$.
प्रत्येक तार में धारा,$I = 1.0 \; A$.
स्थान पर पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र,$H = 0.39 \; G = 0.39 \times 10^{-4} \; T$.
स्थान पर नति कोण,$\delta = 35^{\circ}$.
दिक्पात कोण,$\theta \approx 0^{\circ}$.
केबल के $4 \; cm$ नीचे स्थित बिंदु के लिए:
दूरी,$r = 4 \; cm = 0.04 \; m$.
चारों तारों में धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} = 4 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1}{2 \pi \times 0.04} = 0.2 \times 10^{-4} \; T = 0.2 \; G$.
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $H_{h} = H \cos \delta - B = 0.39 \cos 35^{\circ} - 0.2 = 0.39 \times 0.819 - 0.2 \approx 0.12 \; G$.
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $H_{v} = H \sin \delta = 0.39 \sin 35^{\circ} \approx 0.22 \; G$.
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $H_{1} = \sqrt{H_{v}^{2} + H_{h}^{2}} = \sqrt{(0.22)^{2} + (0.12)^{2}} \approx 0.25 \; G$.
केबल के $4 \; cm$ ऊपर स्थित बिंदु के लिए:
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $H_{h} = H \cos \delta + B = 0.39 \cos 35^{\circ} + 0.2 = 0.319 + 0.2 = 0.52 \; G$.
ऊर्ध्वाधर घटक $H_{v} = 0.22 \; G$ ही रहेगा।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $H_{2} = \sqrt{H_{v}^{2} + H_{h}^{2}} = \sqrt{(0.22)^{2} + (0.52)^{2}} \approx 0.56 \; G$.

(N/A) चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के गुण निम्नलिखित हैं:
$(i)$ एक चुंबक की चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं निरंतर बंद लूप बनाती हैं। यह विद्युत क्षेत्र रेखाओं से भिन्न है,जो धनात्मक आवेश से शुरू होकर ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं या अनंत तक जाती हैं।
$(ii)$ किसी दिए गए बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र रेखा पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिंदु पर नेट चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ की दिशा का प्रतिनिधित्व करती है।
$(iii)$ क्षेत्र रेखाओं का घनत्व चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण को दर्शाता है। प्रति इकाई क्षेत्रफल से गुजरने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या जितनी अधिक होगी,चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ का परिमाण उतना ही अधिक शक्तिशाली होगा।
$(iv)$ चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं। यदि वे काटती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्श रेखा एक ही बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दो अलग-अलग दिशाएं दिखाएगी,जो भौतिक रूप से असंभव है।

(A) $1820$ में,डेनिश भौतिक विज्ञानी हंस क्रिश्चियन ओर्स्टेड ने देखा कि जब एक चुंबकीय दिक्सूचक सुई को धारावाही तार के पास रखा जाता है,तो वह विक्षेपित हो जाती है। इस खोज ने पहला प्रयोगात्मक प्रमाण प्रदान किया कि विद्युत और चुंबकत्व परस्पर संबंधित हैं,जो विद्युत चुंबकत्व की नींव रखता है।

(N/A) एक गतिमान आवेश विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है।
$1$. विद्युत क्षेत्र: प्रत्येक आवेश,चाहे वह स्थिर हो या गति में,अपने चारों ओर के स्थान में एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है,जैसा कि कूलम्ब के नियम द्वारा वर्णित है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र: जब कोई आवेश गति करता है,तो वह विद्युत धारा का निर्माण करता है। बायो-सावर्ट नियम या एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,एक गतिमान आवेश (या धारा) अपने चारों ओर के स्थान में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। $v$ वेग से गतिमान $q$ आवेश से $r$ स्थिति सदिश पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(v \times r)}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।

(B) बायो-सावर्ट नियम और एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र गतिमान विद्युत आवेशों या विद्युत धाराओं द्वारा उत्पन्न होता है।
स्थिर आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं,जबकि गतिमान आवेश (धाराएं) विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।

(C) $SI$ प्रणाली में चुंबकीय क्षेत्र की इकाई टेस्ला $(T)$ है।
$CGS$ प्रणाली में चुंबकीय क्षेत्र की इकाई गॉस $(G)$ है।
टेस्ला और गॉस के बीच का संबंध $1 \ T = 10^4 \ G$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(N/A) बायो-सावर नियम: धारा अवयव $I d \vec{l}$ से $\vec{r}$ स्थिति सदिश पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $d \vec{B}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d \vec{l} \times \vec{r})}{r^3} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I d l \sin \theta}{r^2} \hat{r}$
बायो-सावर नियम के अनुसार,क्षेत्र का परिमाण $d B$:
$(1)$ चालक में प्रवाहित धारा $I$ के सीधे समानुपाती होता है: $d B \propto I$
$(2)$ धारा अवयव की लंबाई $|d \vec{l}|$ के सीधे समानुपाती होता है: $d B \propto d l$
$(3)$ $\sin \theta$ के सीधे समानुपाती होता है,जहाँ $\theta$,$d \vec{l}$ और $\vec{r}$ के बीच का कोण है: $d B \propto \sin \theta$
$(4)$ बिंदु $P$ की धारा अवयव से दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $d B \propto \frac{1}{r^2}$
इन सभी कारकों को मिलाने पर,$d B \propto \frac{I d l \sin \theta}{r^2}$,या $d \vec{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I (d \vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$.
दिशा: $d \vec{B}$ की दिशा $d \vec{l}$ और $\vec{r}$ को समाहित करने वाले तल के लंबवत होती है,जिसे दाएं हाथ के नियम (right-hand rule) द्वारा निर्धारित किया जाता है।
मात्रक: चुंबकीय क्षेत्र का $SI$ मात्रक टेस्ला $(T)$ है। $1 \text{ Tesla} = 1 \text{ Weber/meter}^2$.

(A) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र $dB$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$dB = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^{2}}$
चुंबकीय क्षेत्र की इकाई के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$B = \frac{F}{I l} = \frac{\text{न्यूटन}}{\text{एम्पियर} \cdot \text{मीटर}} = \text{टेस्ला} (T)$
बायो-सावर्ट नियम से,$\frac{\mu_{0}}{4 \pi}$ का मात्रक $\frac{T \cdot m}{A}$ है।
सूत्र में मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$dB = \left(\frac{T \cdot m}{A}\right) \left(\frac{A \cdot m}{m^{2}}\right) = T \text{ (टेस्ला)}$
अतः,चुंबकीय क्षेत्र का $SI$ मात्रक टेस्ला $(T)$ है।

(N/A) $(1)$ यदि $\theta = 0^{\circ}$ है,तो $\sin 0^{\circ} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $dB = 0$ होता है। इसका मतलब है कि धारा अवयव (current element) की अक्ष पर स्थित बिंदुओं पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
$(2)$ यदि $\theta = 90^{\circ}$ है,तो $\sin 90^{\circ} = 1$ होता है,जिसका अर्थ है कि $dB$ अधिकतम होता है। इसका मतलब है कि धारा अवयव के कारण चुंबकीय क्षेत्र उस तल में अधिकतम होता है जो अवयव से होकर गुजरता है और उसकी अक्ष के लंबवत होता है।

(N/A) बायो-सावर्ट नियम और कूलम्ब नियम के बीच समानताएं और अंतर निम्नलिखित हैं:
समानताएं:
$(1)$ दोनों दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं $(1/r^2)$।
$(2)$ दोनों दीर्घ-परास (long-range) क्षेत्र हैं।
$(3)$ दोनों क्षेत्रों पर अध्यारोपण (superposition) का सिद्धांत लागू होता है।
स्थिर विद्युत क्षेत्र के लिए, $E = \frac{kQ}{r^2}$, इसलिए $E \propto Q$।
इसी प्रकार, बायो-सावर्ट नियम के लिए, $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{Idl \times \hat{r}}{r^2}$, इसलिए $B \propto Idl$।
अंतर:
$(1)$ चुंबकीय क्षेत्र एक सदिश स्रोत $(Id\vec{l})$ द्वारा उत्पन्न होता है, जबकि विद्युत क्षेत्र एक अदिश स्रोत $(dq)$ द्वारा उत्पन्न होता है।
$(2)$ स्थिर विद्युत क्षेत्र स्रोत और क्षेत्र बिंदु को जोड़ने वाले विस्थापन सदिश $\vec{r}$ की दिशा में होता है। इसके विपरीत, चुंबकीय क्षेत्र धारा अवयव $Id\vec{l}$ और विस्थापन सदिश $\vec{r}$ वाले तल के लंबवत होता है।
$(3)$ बायो-सावर्ट नियम धारा अवयव और स्थिति सदिश के बीच के कोण $\theta$ पर निर्भर करता है $(\sin \theta)$। $\theta = 0^{\circ}$ पर, धारा अवयव की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है। इसके विपरीत, कूलम्ब का नियम किसी कोण $\theta$ पर निर्भर नहीं करता है।

(A) $Biot-Savart$ नियम एक स्थिर विद्युत धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का वर्णन करता है। यह किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $dB$ को धारा $I$,लंबाई अवयव $dl$,और धारा अवयव से दूरी $r$ से संबंधित करता है। गणितीय रूप से,इसे $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin\theta}{r^2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए,$Biot-Savart$ नियम धारावाही चालक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला मूलभूत नियम है।

(N/A) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक छोटे धारा अवयव $Idl$ के कारण किसी बिंदु पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $dB$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (dl \times r)}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin\theta}{r^2}$
जहाँ:
- $dB$ सूक्ष्म चुंबकीय क्षेत्र है।
- $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है।
- $I$ चालक से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा है।
- $dl$ धारा अवयव की लंबाई है।
- $r$ अवयव से बिंदु तक का स्थिति सदिश है।
- $\theta$ धारा अवयव $dl$ और स्थिति सदिश $r$ के बीच का कोण है।

(A) बायोट-सावर्ट नियम को सदिश रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$.
इस व्यंजक में,पद $(d\vec{l} \times \vec{r})$ धारा अवयव सदिश $d\vec{l}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ के सदिश गुणनफल को दर्शाता है।
चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B}$ की दिशा इस सदिश गुणनफल की दिशा द्वारा निर्धारित की जाती है।
सदिश गुणनफल के लिए दाएं हाथ के नियम के अनुसार,यदि आप अपने दाएं हाथ की उंगलियों को $d\vec{l}$ की दिशा से $\vec{r}$ की दिशा की ओर घुमाते हैं,तो आपका अंगूठा चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B}$ की दिशा को इंगित करता है।

(N/A) बायो-सावर्ट नियम को $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इस नियम में समानुपातिक स्थिरांक $\frac{\mu_0}{4\pi}$ है।
इस स्थिरांक का मान $10^{-7} \ T \cdot m/A$ (या $10^{-7} \ Wb/(A \cdot m)$) है।
इस स्थिरांक का $SI$ मात्रक $T \cdot m/A$ या $N/A^2$ है।

(C) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,$Idl$ धारा अवयव के कारण $r$ स्थिति सदिश वाले बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(dl \times r)}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
तार की अक्ष पर,धारा अवयव $dl$ और स्थिति सदिश $r$ संरेखीय होते हैं (अर्थात,उनके बीच का कोण $\theta$,$0^\circ$ या $180^\circ$ होता है)।
चूंकि सदिश गुणनफल $dl \times r = |dl||r| \sin(\theta)$ होता है,और $\sin(0^\circ) = 0$ या $\sin(180^\circ) = 0$ होने के कारण,चुंबकीय क्षेत्र $dB$ शून्य हो जाता है।
अतः,तार की अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।

(N/A) धारा अवयव $Idl$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $dB$ के लिए बायो-सावर्ट नियम $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl \sin \theta}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु आवेश $dq$ के कारण विद्युत क्षेत्र $dE$ के लिए कूलम्ब का नियम $dE = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{dq}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
समानताएँ:
$1$. दोनों नियम लंबी दूरी के नियम हैं,क्योंकि दोनों स्रोत से दूरी के व्युत्क्रम वर्ग $(1/r^2)$ पर निर्भर करते हैं।
$2$. दोनों नियम अध्यारोपण के सिद्धांत का पालन करते हैं।
$3$. दोनों नियम अपने स्रोतों (चुंबकीय क्षेत्र के लिए धारा अवयव $Idl$ और विद्युत क्षेत्र के लिए आवेश $dq$) के संबंध में रैखिक हैं।

(N/A) बायोट-सावर्ट नियम और कूलॉम के नियम के बीच अंतर निम्नलिखित हैं:
$1$. बायोट-सावर्ट नियम धारा अवयव $I d\vec{l}$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र से संबंधित है, जबकि कूलॉम का नियम बिंदु आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र से संबंधित है।
$2$. बायोट-सावर्ट नियम एक सदिश नियम है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र धारा अवयव $d\vec{l}$ और स्थिति सदिश $\vec{r}$ दोनों के लंबवत होता है। कूलॉम का नियम एक अदिश नियम है क्योंकि विद्युत क्षेत्र आवेश को बिंदु से जोड़ने वाले स्थिति सदिश $\vec{r}$ की दिशा में होता है।
$3$. बायोट-सावर्ट नियम धारा अवयव और स्थिति सदिश के बीच के कोण $(\sin \theta)$ पर निर्भर करता है, जबकि कूलॉम का नियम किसी भी कोण से स्वतंत्र है।
$4$. चुंबकीय क्षेत्र का स्रोत एक सदिश स्रोत $(I d\vec{l})$ है, जबकि विद्युत क्षेत्र का स्रोत एक अदिश स्रोत (आवेश $q$) है।

(N/A) चित्र में दर्शाए अनुसार $R$ त्रिज्या का एक धारावाही लूप लें।
लूप का केंद्र $O$ है और लूप $YZ$-समतल में स्थित है,जिसकी अक्ष $X$-अक्ष के अनुदिश है।
हम केंद्र $O$ से $x$ दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना करना चाहते हैं।
बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,धारा अवयव $I \overrightarrow{dl}$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $d \overrightarrow{B}$ निम्न है:
$d \overrightarrow{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \overrightarrow{dl} \times \vec{r}}{r^{3}}$
इसका परिमाण $|d \overrightarrow{B}| = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I dl r \sin \theta'}{r^{3}}$ है,जहाँ $\theta'$ सदिश $\overrightarrow{dl}$ और $\vec{r}$ के बीच का कोण है। चूँकि $\overrightarrow{dl} \perp \vec{r}$,इसलिए $\sin \theta' = 1$ है।
अतः,$|d \overrightarrow{B}| = \frac{\mu_{0} I dl}{4 \pi r^{2}}$.
ज्यामिति से,$r^{2} = x^{2} + R^{2}$,इसलिए $|d \overrightarrow{B}| = \frac{\mu_{0} I dl}{4 \pi (x^{2} + R^{2})}$.
सदिश $d \overrightarrow{B}$,$\overrightarrow{dl}$ और $\vec{r}$ वाले समतल के लंबवत है। इसे दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. अक्षीय घटक $d B_{x} = d B \cos \theta$,जहाँ $\cos \theta = \frac{R}{r} = \frac{R}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$.
$2$. लंबवत घटक $d B_{\perp} = d B \sin \theta$,जो पूरे लूप के लिए सममिति के कारण निरस्त हो जाता है।
पूरे लूप (कुल लंबाई $2 \pi R$) पर अक्षीय घटक का समाकलन करने पर:
$B = \int d B_{x} = \int d B \cos \theta = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (x^{2} + R^{2})} \cdot \frac{R}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}} \int dl$
$B = \frac{\mu_{0} I R}{4 \pi (x^{2} + R^{2})^{3/2}} \cdot (2 \pi R) = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2 (x^{2} + R^{2})^{3/2}}$

(N/A) $R$ त्रिज्या वाले और $I$ धारा प्रवाहित करने वाले वृत्ताकार लूप के कारण उसकी अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ निम्न है:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(x^{2} + R^{2})^{3/2}}$
स्थिति $1$: जब लूप में $N$ फेरे हों,तो चुंबकीय क्षेत्र:
$B = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2(x^{2} + R^{2})^{3/2}}$
स्थिति $2$: लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $(x = 0)$:
$B = \frac{\mu_{0} N I}{2R}$
स्थिति $3$: जब बिंदु लूप से बहुत दूर हो $(x >> R)$:
$B = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2x^{3}}$
स्थिति $4$: केंद्र से $x = R$ दूरी पर:
$B = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2(R^{2} + R^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} N I R^{2}}{2(2R^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} N I}{2^{5/2} R}$

(N/A) वृत्ताकार धारावाही लूप की अक्ष पर स्थित किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ बायो-सावर्ट नियम द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$R$ त्रिज्या,$I$ धारा और केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु के लिए एक फेरे वाले लूप का चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
$N$ फेरों वाली कुंडली के लिए,कुल चुंबकीय क्षेत्र प्रत्येक फेरे द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग होता है।
अतः,सूत्र $B = \frac{\mu_0 N I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ है,जहाँ $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है।

(N/A) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली एक वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
जहाँ:
$B$ टेस्ला $(T)$ में चुंबकीय क्षेत्र है,
$\mu_0$ मुक्त आकाश की पारगम्यता $(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A)$ है,
$I$ एम्पीयर $(A)$ में धारा है,
$R$ मीटर $(m)$ में लूप की त्रिज्या है।

(N/A) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाले वृत्ताकार लूप की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2 + R^2)^{3/2}}$
$x >> R$ की स्थिति में,हर में $x^2$ की तुलना में $R^2$ को नगण्य मानने पर:
$B \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2(x^2)^{3/2}}$
$B \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2x^3}$
अंश और हर को $\pi$ से गुणा करने पर:
$B \approx \frac{\mu_0 I (\pi R^2)}{2\pi x^3}$
चूंकि चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m = I A = I(\pi R^2)$ है,इसलिए सूत्र इस प्रकार हो जाता है:
$B \approx \frac{\mu_0 m}{2\pi x^3}$

(D) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाले वृत्ताकार लूप की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
यहाँ दिया गया है कि केंद्र से दूरी त्रिज्या के बराबर है, अर्थात $x = R$.
सूत्र में $x = R$ रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + R^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2R^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(2^{3/2} R^3)}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \cdot 2^{3/2} R}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2^{5/2} R}$ या $B = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2} R}$.

(N/A) $1$. जब किसी वृत्ताकार लूप से विद्युत धारा $I$ प्रवाहित होती है,तो यह अपने चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
$2$. लूप के तार के पास,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं लगभग वृत्ताकार और संकेंद्रित होती हैं,जिनके केंद्र तार पर स्थित होते हैं।
$3$. जैसे-जैसे हम लूप के केंद्र की ओर बढ़ते हैं,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं सीधी और समानांतर होती जाती हैं।
$4$. लूप के बिल्कुल केंद्र पर,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं लूप के तल के लंबवत होती हैं।
$5$. चुंबकीय क्षेत्र की दिशा को 'दाएं हाथ के अंगूठे के नियम' (Right-Hand Thumb Rule) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: यदि आप अपने दाएं हाथ की उंगलियों को धारा की दिशा में मोड़ते हैं,तो आपका अंगूठा चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा को दर्शाता है।

(N/A) वृत्ताकार धारा लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $Right-Hand$ $Thumb$ $Rule$ (जिसे $Maxwell's$ $Right-Hand$ $Grip$ $Rule$ के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग करके निर्धारित की जाती है।
इस नियम के अनुसार: यदि आप अपने दाहिने हाथ की उंगलियों को वृत्ताकार लूप के चारों ओर इस प्रकार मोड़ते हैं कि आपकी उंगलियां विद्युत धारा के प्रवाह की दिशा में हों,तो आपका फैला हुआ अंगूठा लूप के केंद्र में चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा को इंगित करता है।
वैकल्पिक रूप से,एक समतल वृत्ताकार लूप के लिए,$Right-Hand$ $Face$ $Rule$ का उपयोग किया जा सकता है: यदि लूप के एक फलक से देखने पर धारा $clockwise$ (घड़ी की दिशा में) बहती है,तो वह फलक $South$ $Pole$ $(S)$ के रूप में कार्य करता है। यदि धारा $anticlockwise$ (घड़ी की विपरीत दिशा में) बहती है,तो वह फलक $North$ $Pole$ $(N)$ के रूप में कार्य करता है।

(N/A) $I$ धारा प्रवाहित करने वाले एक सीमित तार के लिए,तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ बायो-सावर्ट नियम द्वारा दिया जाता है।
यदि तार अवलोकन बिंदु पर लंबवत रेखा के सापेक्ष $\theta_1$ और $\theta_2$ कोण बनाता है,तो सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
जहाँ:
- $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) है।
- $I$ तार से प्रवाहित होने वाली धारा है।
- $r$ तार से बिंदु तक की लंबवत दूरी है।
- $\theta_1$ और $\theta_2$ तार के सिरों द्वारा बिंदु पर बनाए गए कोण हैं।

(N/A) मान लीजिए कि दो अनंत लंबाई के,सीधे,समानांतर तार $d$ दूरी पर स्थित हैं,जिनमें क्रमशः $I_a$ और $I_b$ धारा प्रवाहित हो रही है।
तार $a$ द्वारा तार $b$ की स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_a$ एम्पीयर के परिपथीय नियम के अनुसार: $B_a = \frac{\mu_0 I_a}{2 \pi d}$ है।
इस चुंबकीय क्षेत्र के कारण तार $b$ की $L$ लंबाई पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = I_b L B_a \sin(90^\circ) = I_b L \left( \frac{\mu_0 I_a}{2 \pi d} \right)$ है।
अतः,प्रति इकाई लंबाई पर बल $f = \frac{F}{L}$ का सूत्र: $f = \frac{\mu_0 I_a I_b}{2 \pi d}$ प्राप्त होता है।
एक एम्पीयर $(A)$ की परिभाषा: एक एम्पीयर वह स्थिर धारा है,जो यदि निर्वात में $1 \ m$ की दूरी पर रखे गए दो अनंत लंबाई के,सीधे,समानांतर और नगण्य अनुप्रस्थ काट वाले चालकों में प्रवाहित की जाए,तो यह प्रत्येक चालक पर प्रति मीटर लंबाई $2 \times 10^{-7} \ N$ का बल उत्पन्न करती है।

(N/A) $I_1$ और $I_2$ धारा ले जाने वाले और $d$ दूरी पर स्थित दो लंबे,सीधे,समानांतर तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बल $f$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$
जहाँ:
- $\mu_0$ मुक्त स्थान की पारगम्यता $(4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A)$ है,
- $I_1$ और $I_2$ दोनों तारों में प्रवाहित धाराएँ हैं,
- $d$ तारों के बीच की लंबवत दूरी है,
- यदि धाराएँ समान दिशा में हैं तो बल आकर्षण का होता है और यदि वे विपरीत दिशा में हैं तो बल प्रतिकर्षण का होता है।

(N/A) धारावाही कुंडली निम्नलिखित गुण प्रदर्शित करती है:
$(1)$ यह चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है और बड़ी दूरियों पर एक चुंबकीय द्विध्रुव (magnetic dipole) की तरह व्यवहार करती है।
$(2)$ जब इसे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो यह चुंबकीय सुई की तरह टॉर्क का अनुभव करती है।
- इन अवलोकनों के आधार पर,एम्पीयर ने सुझाव दिया कि सभी चुंबकत्व परिसंचारी धाराओं (circulating currents) के कारण होते हैं।
- यह परिकल्पना आंशिक रूप से सही है,क्योंकि आज तक कोई चुंबकीय मोनोपोल नहीं देखा गया है।
- हालाँकि,इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन जैसे प्राथमिक कणों में एक आंतरिक चुंबकीय आघूर्ण (intrinsic magnetic moment) होता है जिसे केवल परिसंचारी धाराओं द्वारा नहीं समझाया जा सकता है।

(B) धारावाही लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र की दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम (Right-Hand Thumb Rule) द्वारा निर्धारित की जाती है।
इस नियम के अनुसार,यदि आप अपने दाएं हाथ की उंगलियों को लूप में प्रवाहित धारा की दिशा में मोड़ते हैं,तो आपका फैला हुआ अंगूठा लूप के केंद्र से गुजरने वाली चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा को दर्शाता है।

(N/A) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार लूप के लिए:
$(i)$ केंद्र से $z$ दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र: $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}}$ है।
$(ii)$ लूप के तल में केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की गणना आमतौर पर दीर्घवृत्तीय समाकल (elliptic integrals) का उपयोग करके की जाती है,क्योंकि लूप के अंदर या बाहर किसी भी बिंदु $x$ के लिए कोई सरल बीजगणितीय सूत्र उपलब्ध नहीं है। हालाँकि,$x \ll R$ के लिए,टेलर श्रेणी का उपयोग करके इसका अनुमानित मान प्राप्त किया जा सकता है,लेकिन यह अक्षीय स्थिति की तरह कोई मानक प्राथमिक सूत्र नहीं है।

(B) नहीं,दो चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं।
यदि वे किसी बिंदु पर काटती हैं,तो उस प्रतिच्छेदन बिंदु पर दो स्पर्श रेखाएं खींची जा सकेंगी।
इसका अर्थ यह है कि उस बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश की एक साथ दो अलग-अलग दिशाएं होंगी।
चूंकि किसी भी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा अद्वितीय होती है,इसलिए ऐसा प्रतिच्छेदन भौतिक रूप से असंभव है।

(N/A) किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता को उस बिंदु पर रखे गए इकाई उत्तरी ध्रुव द्वारा अनुभव किए गए बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $\vec{B} = \frac{\vec{F}}{m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{F}$ ध्रुव प्राबल्य $m$ वाले चुंबकीय ध्रुव पर लगने वाला चुंबकीय बल है।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का $SI$ मात्रक टेस्ला $(T)$ या वेबर प्रति वर्ग मीटर $(Wb/m^2)$ है।

(N/A) जब किसी परिनालिका (कुंडली) से विद्युत धारा प्रवाहित होती है,तो यह एक छड़ चुंबक की तरह व्यवहार करती है। कुंडली का एक सिरा उत्तरी $(N)$ ध्रुव के रूप में और विपरीत सिरा दक्षिणी $(S)$ ध्रुव के रूप में कार्य करता है।
सिरों की ध्रुवता को निम्नलिखित नियम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:
$(1)$ यदि कुंडली के एक सिरे से देखने पर,विद्युत धारा दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में प्रवाहित होती हुई दिखाई देती है,तो वह सिरा दक्षिणी $(S)$ ध्रुव के रूप में कार्य करता है।
$(2)$ यदि कुंडली के एक सिरे से देखने पर,विद्युत धारा वामावर्त (anticlockwise) दिशा में प्रवाहित होती हुई दिखाई देती है,तो वह सिरा उत्तरी $(N)$ ध्रुव के रूप में कार्य करता है।
इसे दी गई आकृति में दर्शाया गया है,जहाँ दक्षिणावर्त धारा दक्षिणी ध्रुव के अनुरूप है और वामावर्त धारा उत्तरी ध्रुव के अनुरूप है।

(N/A) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक धारा अवयव $I\overrightarrow{dl}$ द्वारा स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\overrightarrow{dl} \times \vec{r}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. अवयव $2$ के कारण अवयव $1$ की स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र:
अवयव $2$,$(0, R, 0)$ पर है जहाँ $\overrightarrow{dl_2} = dl\hat{j}$ है। अवयव $2$ के सापेक्ष अवयव $1$ (मूल बिंदु पर) का स्थिति सदिश $\vec{r}_{12} = -R\hat{j}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{dl_2} \times \vec{r}_{12} = (dl\hat{j}) \times (-R\hat{j}) = 0$,इसलिए मूल बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_2 = 0$ है। अतः,बल $\vec{F}_{12} = I\overrightarrow{dl_1} \times \vec{B}_2 = 0$ है।
$2$. अवयव $1$ के कारण अवयव $2$ की स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र:
अवयव $1$,$(0, 0, 0)$ पर है जहाँ $\overrightarrow{dl_1} = dl\hat{i}$ है। अवयव $1$ के सापेक्ष अवयव $2$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_{21} = R\hat{j}$ है।
$(0, R, 0)$ पर चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I(dl\hat{i}) \times (R\hat{j})}{R^3} = \frac{\mu_0 I dl}{4\pi R^2} \hat{k}$ है।
अवयव $2$ पर लगने वाला बल $\vec{F}_{21} = I\overrightarrow{dl_2} \times \vec{B}_1 = I(dl\hat{j}) \times (B_1\hat{k}) = I dl B_1 \hat{i}$ है।
चूंकि $\vec{F}_{12} = 0$ है लेकिन $\vec{F}_{21} \neq 0$,इसलिए धारा अवयवों के बीच चुंबकीय बल न्यूटन के तीसरे नियम का पालन नहीं करते हैं।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,सभी पाँचों तार $A, B, C, D, E$ कागज के तल के लंबवत हैं और समान दिशा (बाहर की ओर) में धारा प्रवाहित कर रहे हैं।
नियमित पंचकोण की समरूपता के कारण,प्रत्येक तार के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र सदिशों का परिमाण समान $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$ है और उनकी दिशा ऐसी है कि उनका सदिश योग शून्य होता है।
इसलिए,$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $0$ है।
$(b)$ मान लीजिए बिंदु $O$ पर तारों $A, B, C, D, E$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र क्रमशः $\vec{B}_{A}, \vec{B}_{B}, \vec{B}_{C}, \vec{B}_{D}, \vec{B}_{E}$ हैं।
भाग $(a)$ से,$\vec{B}_{A} + \vec{B}_{B} + \vec{B}_{C} + \vec{B}_{D} + \vec{B}_{E} = 0$ है।
यदि तार $A$ में धारा बंद कर दी जाए,तो $\vec{B}_{A} = 0$ हो जाएगा।
परिणामी क्षेत्र $\vec{B}_{net} = \vec{B}_{B} + \vec{B}_{C} + \vec{B}_{D} + \vec{B}_{E} = -\vec{B}_{A}$ होगा।
इसका परिमाण $|\vec{B}_{net}| = |\vec{B}_{A}| = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R}$ है।
इसकी दिशा $\vec{B}_{A}$ की दिशा के विपरीत है,जो $OA$ के लंबवत है।
$(c)$ यदि तार $A$ में धारा की दिशा उलट दी जाए,तो इसका चुंबकीय क्षेत्र $-\vec{B}_{A}$ हो जाता है।
परिणामी क्षेत्र $\vec{B}_{R} = -\vec{B}_{A} + \vec{B}_{B} + \vec{B}_{C} + \vec{B}_{D} + \vec{B}_{E}$ है।
चूंकि $\vec{B}_{A} + \vec{B}_{B} + \vec{B}_{C} + \vec{B}_{D} + \vec{B}_{E} = 0$,इसलिए $\vec{B}_{B} + \vec{B}_{C} + \vec{B}_{D} + \vec{B}_{E} = -\vec{B}_{A}$ है।
इस मान को $\vec{B}_{R}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\vec{B}_{R} = -\vec{B}_{A} + (-\vec{B}_{A}) = -2\vec{B}_{A}$।
इसका परिमाण $|\vec{B}_{R}| = 2 |\vec{B}_{A}| = 2 \left( \frac{\mu_{0} I}{2 \pi R} \right) = \frac{\mu_{0} I}{\pi R}$ है।

(C) लंबाई के एक सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
षट्कोणीय कुंडली के लिए, केंद्र से भुजा की दूरी $r = a \cos 30^{\circ} = a \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
भुजा के सिरों द्वारा केंद्र पर बने कोण $\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के लिए, $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a \sqrt{3} / 2)} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a \sqrt{3}} (1) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a \sqrt{3}}$।
$N=50$ फेरों वाले षट्कोण के लिए, कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 6 \times N \times B_1 = 6 \times 50 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi a \sqrt{3}} = \frac{150 \mu_0 I}{\pi a \sqrt{3}}$ है।
चूंकि $a = 10 \, cm = 0.1 \, m$ दिया गया है, इसलिए $B = \frac{150 \mu_0 I}{\pi (0.1) \sqrt{3}} = \frac{1500}{\sqrt{3}} \frac{\mu_0 I}{\pi} = 500 \sqrt{3} \frac{\mu_0 I}{\pi}$।

(C) वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\theta$ केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण रेडियन में है。
तार $A$ के लिए: $I_A = 2 \, A$, $R_A = 2 \, cm$, और अंतरित कोण $\theta_A = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ = \frac{3 \pi}{2} \, \text{रेडियन}$.
अतः, $B_A = \frac{\mu_0 (2) (3 \pi / 2)}{4 \pi (2)} = \frac{3 \mu_0}{8}$.
तार $B$ के लिए: $I_B = 3 \, A$, $R_B = 4 \, cm$, और अंतरित कोण $\theta_B = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ = \frac{5 \pi}{3} \, \text{रेडियन}$.
अतः, $B_B = \frac{\mu_0 (3) (5 \pi / 3)}{4 \pi (4)} = \frac{5 \mu_0}{16}$.
अनुपात $\frac{B_A}{B_B} = \frac{3 \mu_0 / 8}{5 \mu_0 / 16} = \frac{3}{8} \times \frac{16}{5} = \frac{6}{5}$ है।

(A) सीमित तार के खंड के कारण लंबवत दूरी $d$ पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi d}(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$ है।
इस मामले में,तार को $45^{\circ}$ पर मोड़ा गया है। बिंदु $P$ शीर्ष से $R$ दूरी पर कोण समद्विभाजक पर स्थित है।
प्रत्येक खंड के लिए $P$ से लंबवत दूरी $d = R \sin(22.5^{\circ})$ है।
ज्यामिति के अनुसार,प्रत्येक खंड द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र जुड़ जाते हैं।
गणना करने पर,बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} (\sqrt{2}-1)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: धारा तत्व $dl = dx \hat{i} = 10^{-2} \, m \hat{i}$,धारा $i = 10 \, A$,और स्थिति सदिश $\vec{r} = 0.5 \, m \hat{j}$।
बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र $dB$ इस प्रकार है:
$dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{i (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$
मान रखने पर:
$dB = 10^{-7} \times \frac{10 \times (10^{-2} \hat{i} \times 0.5 \hat{j})}{(0.5)^3}$
$dB = 10^{-7} \times \frac{10 \times 0.5 \times 10^{-2} \hat{k}}{0.125}$
$dB = 10^{-7} \times \frac{0.05 \times 10^{-2}}{0.125} \hat{k}$
$dB = 10^{-7} \times \frac{5 \times 10^{-4}}{12.5 \times 10^{-2}} \hat{k} = 10^{-7} \times 0.4 \times 10^{-2} \hat{k}$
$dB = 4 \times 10^{-9} \times 10 = 4 \times 10^{-8} \hat{k} \, T$.

(A) अर्धवृत्ताकार चाप द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} i}{4 r}$ द्वारा दिया जाता है।
इस चुंबकीय क्षेत्र की दिशा चाप के तल के लंबवत होती है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके)।
धारा $i$ ले जाने वाला सीधा तार व्यास के साथ रखा गया है। व्यास के केंद्र पर छोटा तत्व $P$ इस चुंबकीय क्षेत्र $B$ में है।
धारा $i$ ले जाने वाले $dl$ लंबाई के एक छोटे तत्व पर चुंबकीय बल $dF = i(dl \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ तार के लंबवत है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई बल का परिमाण $f = \frac{dF}{dl} = iB$ है।
$B$ का मान रखने पर,हमें $f = i \left(\frac{\mu_{0} i}{4 r}\right) = \frac{\mu_{0} i^{2}}{4 r}$ प्राप्त होता है।

(A) केंद्र $B$ पर चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार के भागों और वृत्ताकार लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्रों का योग है।
अनंत लंबाई के सीधे तार के लिए,$r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 r}$ होता है।
दी गई आकृति में,सीधे भागों और लूप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा (पृष्ठ के अंदर की ओर) में है।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = B_{wire} + B_{loop} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{2 r} = \frac{\mu_0 I}{2 r} \left[ \frac{1}{\pi} + 1 \right]$.
मान रखने पर: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \; T \cdot m/A$,$I = 2.5 \; A$,$r = 5 \times 10^{-2} \; m$.
$B_{total} = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 2.5}{2 \times 5 \times 10^{-2}} \left[ \frac{1}{\pi} + 1 \right] = \frac{10 \pi \times 10^{-7}}{10 \times 10^{-2}} \left[ \frac{1}{\pi} + 1 \right] = \pi \times 10^{-5} \left[ \frac{1}{\pi} + 1 \right] \; T$.

(C) अनंत लंबाई के सीधे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} i}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए तार $1$ में धारा $i_{1} = 10 \ A$ है और तार $2$ में धारा $i_{2} = I$ है।
बिंदु $A$ की तार $1$ से दूरी $r_{1} = 9 \ cm$ है।
बिंदु $A$ की तार $2$ से दूरी $r_{2} = 18 \ cm + 9 \ cm = 27 \ cm$ है।
बिंदु $A$ पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
$B_{1} = B_{2}$
$\frac{\mu_{0} i_{1}}{2 \pi r_{1}} = \frac{\mu_{0} i_{2}}{2 \pi r_{2}}$
$\frac{i_{1}}{r_{1}} = \frac{i_{2}}{r_{2}}$
मान रखने पर: $\frac{10}{9} = \frac{I}{27}$
$I = \frac{10 \times 27}{9} = 30 \ A$.

(A) बिंदु आवेश $q$ द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$ होता है।
$v$ वेग से गतिमान बिंदु आवेश $q$ द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q v \sin \theta}{r^{2}}$ होता है।
परिमाणों के अनुपात के लिए, हम उस स्थिति पर विचार करते हैं जहाँ वेग स्थिति सदिश के लंबवत हो $(\sin \theta = 1)$।
अनुपात $\frac{E}{B}$ इस प्रकार है:
$\frac{E}{B} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}}{\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q v}{r^{2}}} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0} v}$.
चूंकि प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ है, इसलिए $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ होता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर, हमें $\frac{E}{B} = \frac{c^{2}}{v}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ और $v = 4.5 \times 10^{5} \; m/s$ दिया गया है:
$\frac{E}{B} = \frac{(3 \times 10^{8})^{2}}{4.5 \times 10^{5}} = \frac{9 \times 10^{16}}{4.5 \times 10^{5}} = 2 \times 10^{11} \; m/s$.

(A) भुजा वाले और $i$ धारा प्रवाहित करने वाले वर्गाकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B = 4 \times \left( \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2) \right)$
वर्गाकार लूप के लिए,केंद्र से भुजा की दूरी $d = a/2 = 0.1 \, m$ है।
केंद्र पर आधी भुजा द्वारा अंतरित कोण $\theta_1 = \theta_2 = 45^\circ$ हैं।
अतः,$B = 4 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a/2)} (\sin 45^\circ + \sin 45^\circ)$
$B = \frac{2 \mu_0 i}{\pi a} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2 \mu_0 i}{\pi a} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi a}$
यहाँ $i = 3 \, A$,$a = 0.2 \, m$,और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ दिया गया है:
$B = \frac{2 \sqrt{2} \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times 3}{\pi \times 0.2}$
$B = \frac{2 \sqrt{2} \times 4 \times 10^{-7} \times 3}{0.2} = \frac{24 \sqrt{2} \times 10^{-7}}{0.2} = 120 \sqrt{2} \times 10^{-7} \, T = 12 \sqrt{2} \times 10^{-6} \, T$.

(C) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R = 10 \, cm = 0.1 \, m$,$I = \frac{7}{2} \, A$,और बिंदु $P$ मध्य बिंदु पर है,इसलिए प्रत्येक कुंडली से $x = 5 \, cm = 0.05 \, m$ है।
चूंकि धारा समान दिशा में बहती है,बिंदु $P$ पर दोनों कुंडलियों के चुंबकीय क्षेत्र $B_{1}$ और $B_{2}$ एक ही दिशा में होंगे।
$B_{net} = B_{1} + B_{2} = 2 \times \left( \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}} \right) = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$.
मान रखने पर:
$B_{net} = \frac{\mu_{0} \times (7/2) \times (0.1)^{2}}{((0.1)^{2} + (0.05)^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} \times 3.5 \times 0.01}{(0.01 + 0.0025)^{3/2}} = \frac{0.035 \mu_{0}}{(0.0125)^{3/2}}$.
गणना करने पर,$B_{net} = \frac{56 \mu_{0}}{\sqrt{5}} \, T$ प्राप्त होता है।

(A) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
दूरी $r$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{\mu_0 I}{2 \pi B}$
दिए गए मान:
$I = 12 \, A$
$B = 3 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$
मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{(4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A) \times (12 \, A)}{2 \pi \times (3 \times 10^{-5} \, Wb/m^2)}$
$r = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{3 \times 10^{-5}} \, m$
$r = \frac{24 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-5}} \, m$
$r = 8 \times 10^{-2} \, m$