Bohr Magnetron Questions in Hindi

(A) घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण $(\mu)$ संबंध $\mu = \frac{e}{2m} L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है।
बोर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार,$n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
इस मान को चुंबकीय आघूर्ण के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{e}{2m} \left( \frac{nh}{2\pi} \right)$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\mu = n \left( \frac{eh}{4\pi m} \right)$।
चूंकि $e$,$h$,और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{eh}{4\pi m}$ भी एक स्थिरांक है (जो बोर मैग्नेटॉन $\mu_B = \frac{eh}{4\pi m}$ से संबंधित है)।
अतः,$\mu \propto n$।

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ सूत्र $\vec{M} = I\vec{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है।
$e$ आवेश वाला प्रोटॉन जब $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ गति से चलता है,तो धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi r / v} = \frac{ev}{2\pi r}$ होती है।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $M = IA = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right)(\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ है।
प्रोटॉन का कोणीय संवेग $L = m_pvr$ होता है।
$M$ के व्यंजक में $vr = L/m_p$ रखने पर,हमें $M = \frac{eL}{2m_p}$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रोटॉन धनावेशित है,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण की दिशा कोणीय संवेग सदिश की दिशा में ही होती है। अतः,$\vec{M} = \frac{e\vec{L}}{2m_p}$।

(B) वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
हम जानते हैं कि $I = \frac{e}{T}$ और $T = \frac{2\pi r}{v}$,इसलिए $I = \frac{ev}{2\pi r}$ होता है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,$M = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right) (\pi r^2) = \frac{1}{2} evr$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $J = mvr$ होता है।
$vr = \frac{J}{m}$ को $M$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$M = \frac{1}{2} e \left(\frac{J}{m}\right) = \frac{eJ}{2m}$.

(C) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या की कक्षा में $v$ वेग से गति करने वाले $e$ आवेश के इलेक्ट्रॉन के लिए,धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,$M = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ प्राप्त होता है।
द्रव्यमान $m$ से गुणा और भाग करने पर,$M = \frac{e}{2m} (mvr)$ मिलता है।
बोर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
इस मान को $M$ के व्यंजक में रखने पर,$M = \left( \frac{e}{2m} \right) \frac{nh}{2\pi}$ प्राप्त होता है।

(N/A) मान लीजिए कि $(-e)$ आवेश वाला एक इलेक्ट्रॉन $(+Ze)$ आवेश वाले एक स्थिर भारी नाभिक के चारों ओर $r$ त्रिज्या की कक्षा में $v$ गति से एकसमान वृत्तीय गति कर रहा है।
परिक्रमण करने वाला इलेक्ट्रॉन एक धारा $I$ बनाता है जो इस प्रकार है:
$I = \frac{e}{T} \quad \dots (1)$
जहाँ $T$ परिक्रमण का आवर्तकाल है।
चूंकि $v = \frac{2 \pi r}{T}$,इसलिए $T = \frac{2 \pi r}{v} \quad \dots (2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में रखने पर:
$I = \frac{e v}{2 \pi r} \quad \dots (3)$
इस धारा लूप से जुड़ा चुंबकीय आघूर्ण $\mu_l$,जिसका क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,वह है:
$\mu_l = I A = \left( \frac{e v}{2 \pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{e v r}{2} \quad \dots (4)$
इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $m_e$ से गुणा और भाग करने पर:
$\mu_l = \frac{e}{2 m_e} (m_e v r)$
चूंकि कक्षीय कोणीय संवेग $L = m_e v r$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\mu_l = \frac{e}{2 m_e} L$
अनुपात $\frac{\mu_l}{L} = \frac{e}{2 m_e}$ को जाइरोमैग्नेटिक अनुपात कहा जाता है,जो इलेक्ट्रॉन के लिए एक स्थिरांक है।

(N/A) बोर मैग्नेटोन को हाइड्रोजन परमाणु की पहली कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति के कारण उससे जुड़े चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
बोर की पहली परिकल्पना के अनुसार,कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग क्वांटाइज्ड होता है और इसे इस प्रकार दिया जाता है:
$L = n \left( \frac{h}{2 \pi} \right)$
जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ और $h$ प्लांक नियतांक है $(h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s})$।
कक्षीय इलेक्ट्रॉन से जुड़े चुंबकीय आघूर्ण $\mu_l$ का मान है:
$\mu_l = \frac{e}{2 m_e} L$
पहली कक्षा $(n = 1)$ के लिए कोणीय संवेग का मान रखने पर:
$\mu_l = \frac{e}{2 m_e} \left( \frac{h}{2 \pi} \right)$
चुंबकीय आघूर्ण के इस न्यूनतम मान को बोर मैग्नेटोन $(\mu_B)$ कहा जाता है:
$\mu_B = \frac{eh}{4 \pi m_e}$
मान $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$,और $m_e = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$ रखने पर:
$\mu_B = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (6.63 \times 10^{-34})}{4 \times 3.14 \times 9.11 \times 10^{-31}}$
$\mu_B \approx 9.27 \times 10^{-24} \text{ A m}^2$

(N/A) समान वृत्तीय गति में किसी भी आवेश के साथ एक चुंबकीय आघूर्ण जुड़ा होता है,जिसे निम्नलिखित व्यंजक द्वारा दिया जाता है:
$\mu_{l} = \frac{e}{2m_{e}}(l)$
इस द्विध्रुव आघूर्ण को कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण कहा जाता है। इसका परिमाण बोहर मैग्नेटोन के बराबर होता है,जिसका मान $9.27 \times 10^{-24} \text{ A m}^2$ है।
कक्षीय आघूर्ण के अलावा,इलेक्ट्रॉन में एक आंतरिक चुंबकीय आघूर्ण होता है,जिसका संख्यात्मक मान भी $9.27 \times 10^{-24} \text{ A m}^2$ होता है। इसे चक्रण (स्पिन) चुंबकीय आघूर्ण कहा जाता है।
यहाँ यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इसका अर्थ यह नहीं है कि इलेक्ट्रॉन वास्तव में घूम रहा है। इलेक्ट्रॉन एक प्राथमिक कण है और इसके पास लट्टू या पृथ्वी की तरह घूमने के लिए कोई अक्ष नहीं होता है।

(N/A) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ गति से घूमता हुआ $e$ आवेश वाला इलेक्ट्रॉन $I = \frac{e}{T}$ धारा उत्पन्न करता है,जहाँ $T$ परिक्रमण काल है।
चूंकि $T = \frac{2\pi r}{v}$,इसलिए धारा $I = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $\mu_l$ धारा $I$ और कक्षा के क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$\mu_l = I \times A = \left( \frac{ev}{2\pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.
कोणीय संवेग $L = mvr$ के पदों में,हम लिख सकते हैं कि $\mu_l = \frac{e}{2m} L$।

(A) गाइरोमैग्नेटिक अनुपात को किसी कण के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(\mu)$ और उसके कोणीय संवेग $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\gamma = \frac{\mu}{L}$।
एक इलेक्ट्रॉन के लिए, चुंबकीय आघूर्ण $\mu = \frac{e}{2m} L$ होता है, जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $m$ इसका द्रव्यमान है।
इसलिए, इलेक्ट्रॉन के लिए गाइरोमैग्नेटिक अनुपात $\gamma = \frac{e}{2m}$ होता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए गाइरोमैग्नेटिक अनुपात का परिमाण लगभग $8.8 \times 10^{10} \text{ C/kg}$ है।

गाइरोमैग्नेटिक अनुपात को एक इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$ और उसके कोणीय संवेग $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\gamma = \frac{M}{L}$।
वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $M = \frac{evr}{2}$ है और कोणीय संवेग $L = mvr$ है।
अतः,$\gamma = \frac{evr/2}{mvr} = \frac{e}{2m}$।
इलेक्ट्रॉन के आवेश $(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \ C)$ और इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m \approx 9.1 \times 10^{-31} \ kg)$ के मान रखने पर,इसका परिमाण:
$\gamma = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} \approx 8.8 \times 10^{10} \ C/kg$ होता है।

(N/A) $1$. कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण: नाभिक के चारों ओर परिक्रमा करने वाला एक इलेक्ट्रॉन एक छोटे धारा लूप की तरह व्यवहार करता है। इस कक्षीय गति से जुड़े चुंबकीय आघूर्ण को कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण कहा जाता है। इसे सूत्र $\mu_L = -\frac{e}{2m_e} L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है,$m_e$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,और $L$ कक्षीय कोणीय संवेग है।
$2$. आंतरिक चुंबकीय आघूर्ण (स्पिन चुंबकीय आघूर्ण): इलेक्ट्रॉनों में एक अंतर्निहित गुण होता है जिसे स्पिन कहा जाता है,जो उनकी कक्षीय गति से स्वतंत्र होता है। यह स्पिन एक आंतरिक चुंबकीय आघूर्ण को जन्म देता है,जिसे अक्सर स्पिन चुंबकीय आघूर्ण कहा जाता है। यह इलेक्ट्रॉन के आंतरिक कोणीय संवेग (स्पिन) से जुड़ा होता है और इसका मान लगभग एक बोहर मैग्नेटॉन,$\mu_B = \frac{eh}{4\pi m_e}$ के बराबर होता है।

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{\mu} = I \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या की कक्षा में $v$ गति से घूम रहे $-e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,समतुल्य धारा $I = \frac{-e}{T} = \frac{-ev}{2\pi r}$ है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,$\vec{\mu} = I \vec{A} = \left( \frac{-ev}{2\pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{-evr}{2}$।
कक्षीय कोणीय संवेग $\vec{L} = mvr$ है।
$vr = \frac{L}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\vec{\mu} = -\frac{e}{2m} \vec{L}$ प्राप्त होता है।

(D) बोर मैग्नेटॉन $(\mu_B)$ को हाइड्रोजन परमाणु की पहली बोर कक्षा में परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय आघूर्ण के रूप में परिभाषित किया गया है।
बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार, कोणीय संवेग $L = m_e v r = \frac{n h}{2 \pi}$ होता है।
पहली कक्षा $(n = 1)$ के लिए, $L = \frac{h}{2 \pi}$ होता है।
धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = I A$ होता है, जहाँ $I = \frac{e}{T}$ और $T = \frac{2 \pi r}{v}$ है।
अतः, $\mu = \frac{e v}{2 \pi r} \times (\pi r^2) = \frac{e v r}{2}$ प्राप्त होता है।
$L = m_e v r$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\mu = \frac{e L}{2 m_e}$ मिलता है।
अब $L = \frac{h}{2 \pi}$ रखने पर, $\mu_B = \frac{e}{2 m_e} \times \frac{h}{2 \pi} = \frac{e h}{4 \pi m_e}$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय आघूर्ण $M = I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
$I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2 \pi r}$ और $A = \pi r^2$.
अतः,$M = \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$.
दिया गया फ्लक्स प्रतिबंध: $B(\pi r^2) = n(h/e)$। न्यूनतम ऊर्जा अवस्था के लिए,$n = 1$,इसलिए $B \pi r^2 = h/e$,जिसका अर्थ है $r^2 = \frac{h}{B \pi e}$।
साथ ही,चुंबकीय क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन के लिए,अभिकेंद्री बल लॉरेंट्ज़ बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $\frac{mv^2}{r} = evB$,जो देता है $\frac{v}{r} = \frac{eB}{m}$।
$v = \frac{eBr}{m}$ को $M$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \frac{e}{2} \left( \frac{eBr}{m} \right) r = \frac{e^2 B r^2}{2m}$.
$r^2 = \frac{h}{B \pi e}$ को $M$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \frac{e^2 B}{2m} \left( \frac{h}{B \pi e} \right) = \frac{eh}{2 \pi m}$.

(B) वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{m}_{\text{orb}}$ इस प्रकार दिया जाता है: $\overrightarrow{m}_{\text{orb}} = -\frac{e}{2m} \overrightarrow{L}$,जहाँ $\overrightarrow{L}$ इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग है।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $m_{\text{orb}} = \frac{e}{2m} L$.
अतः,कोणीय संवेग $L$ और चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $m_{\text{orb}}$ का अनुपात $\frac{L}{m_{\text{orb}}} = \frac{2m}{e}$ है।

(A) वृत्ताकार कक्षा में घूमने वाले इलेक्ट्रॉन का कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m} = I \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश है। चूँकि इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित होता है,इसलिए तुल्य धारा $I$ की दिशा इलेक्ट्रॉन की गति की दिशा के विपरीत होती है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$\vec{m}$ की दिशा कक्षा के तल के लंबवत होती है।
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{p} = m_e \vec{v}$ रैखिक संवेग है। क्रॉस प्रोडक्ट के लिए दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$\vec{L}$ की दिशा भी कक्षा के तल के लंबवत होती है।
चूँकि इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश होता है,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}$ की दिशा कोणीय संवेग $\vec{L}$ की दिशा के विपरीत होती है। अतः,$m$ और $L$ कक्षा के तल के लंबवत विपरीत दिशाओं में हैं।

(C) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = iA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $i$ धारा है और $A$ लूप का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $T$ आवर्तकाल के साथ घूम रहे इलेक्ट्रॉन के लिए,समतुल्य धारा $i = \frac{e}{T}$ है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,$\mu = \left(\frac{e}{T}\right) \pi r^2$.
आवर्तकाल $T$ कक्षीय वेग $v$ से $T = \frac{2 \pi r}{v}$ द्वारा संबंधित है,इसलिए $\frac{1}{T} = \frac{v}{2 \pi r}$.
इस मान को $\mu$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\mu = e \left(\frac{v}{2 \pi r}\right) \pi r^2 = \frac{evr}{2}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr$ है,जिसका अर्थ है $vr = \frac{L}{m}$.
$vr$ के मान को $\mu$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\mu = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m}\right) = \frac{e}{2m} L$ प्राप्त होता है।

(C) इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $\vec{L}$,$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ द्वारा दिया जाता है। एक वृत्ताकार कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए,$\vec{L}$ कक्षा के तल के लंबवत (दाएं हाथ के नियम का पालन करते हुए,ऊपर की ओर) निर्देशित होता है।
कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ का कक्षीय कोणीय संवेग $\vec{L}$ के साथ संबंध $\vec{M} = -\frac{e}{2m} \vec{L}$ है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$,कक्षीय कोणीय संवेग $\vec{L}$ की विपरीत दिशा में है।
चूंकि $\vec{M}$ और $\vec{L}$ विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ है।

(A) जाइरोमैग्नेटिक अनुपात को किसी कण के चुंबकीय आघूर्ण $(M_0)$ और कोणीय संवेग $(L_0)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\text{जाइरोमैग्नेटिक अनुपात} = \frac{M_0}{L_0}$
कक्षा में घूमते हुए इलेक्ट्रॉन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $M_0 = \frac{e}{2m} L_0$ होता है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
अतः,अनुपात $\frac{M_0}{L_0} = \frac{e}{2m}$ होता है,जो एक नियतांक है।

(D) जाइरोमैग्नेटिक अनुपात को कक्षीय इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय आघूर्ण $(\mu_L)$ और कोणीय संवेग $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{जाइरोमैग्नेटिक अनुपात} = \frac{\mu_L}{L} = \frac{e}{2m}$.
दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन का आवेश-द्रव्यमान अनुपात $\frac{e}{m} = A \ C/kg$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\text{जाइरोमैग्नेटिक अनुपात} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{e}{m}\right) = \frac{A}{2} \ C/kg$.

(C) मान लीजिए कि $e$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाला एक इलेक्ट्रॉन $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ गति और $T$ आवर्तकाल के साथ परिक्रमण कर रहा है।
इस परिक्रमण करते इलेक्ट्रॉन से जुड़ी धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi r / v} = \frac{ev}{2\pi r}$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A = I \times (\pi r^2)$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ का मान रखने पर,हमें $M = \left(\frac{ev}{2\pi r}\right) \times (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr$ होता है।
अतः,$vr = \frac{L}{m}$ है।
इस मान को $M$ के व्यंजक में रखने पर,$M = \frac{e}{2} \times \left(\frac{L}{m}\right) = \frac{eL}{2m}$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v = r\omega$,इसलिए $L = m(r\omega)r = m\omega r^2$ है।
अतः,$\omega r^2 = \frac{L}{m} \quad \dots(i)$
घूमते हुए इलेक्ट्रॉन से संबंधित चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = iA$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,धारा $i = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi/\omega} = \frac{e\omega}{2\pi}$ और क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$M = \left(\frac{e\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{e}{2} \omega r^2$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ से $\omega r^2$ का मान $M$ के व्यंजक में रखने पर:
$M = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m}\right)$।
$L$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$L = \frac{2mM}{e}$।

(A) गायरोमैग्नेटिक अनुपात को परमाणु में परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $(M)$ और कोणीय संवेग $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = (\frac{e}{T}) (\pi r^2) = \frac{e}{2\pi r/v} (\pi r^2) = \frac{evr}{2}$ है।
कोणीय संवेग $L = mvr$ है।
अतः,गायरोमैग्नेटिक अनुपात $\gamma = \frac{M}{L} = \frac{evr/2}{mvr} = \frac{e}{2m}$ है।
बोहर मैग्नेटोन $(\mu_B)$ चुंबकीय आघूर्ण की मूलभूत इकाई है,जो $\mu_B = \frac{eh}{4\pi m}$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,गायरोमैग्नेटिक अनुपात और बोहर मैग्नेटोन क्रमशः $\frac{e}{2m}$ और $\frac{eh}{4\pi m}$ हैं।

(A) जाइरोमैग्नेटिक अनुपात को एक इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\mu$ और कोणीय संवेग $L$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
नाभिक के चारों ओर परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन के लिए,$\mu = \frac{e}{2m} L$ होता है।
इसलिए,जाइरोमैग्नेटिक अनुपात $\gamma = \frac{\mu}{L} = \frac{e}{2m}$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन का विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m}$ के रूप में परिभाषित होता है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\gamma = \frac{1}{2} \times (\frac{e}{m})$ प्राप्त होता है।
अतः,जाइरोमैग्नेटिक अनुपात इलेक्ट्रॉन के विशिष्ट आवेश का $1/2$ गुना होता है।

(B) कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
इलेक्ट्रॉन की कक्षीय गति से जुड़ा चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = IA$ है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
चूंकि $I = \frac{e}{T} = \frac{ev}{2 \pi r}$ और $A = \pi r^2$,इसलिए $M = \left( \frac{ev}{2 \pi r} \right) \times (\pi r^2) = \frac{1}{2} evr$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण और कोणीय संवेग का अनुपात लेने पर:
$\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2} evr}{mvr} = \frac{e}{2m}$।
अतः,अनुपात $\frac{e}{2m}$ है।

(D) जाइरोमैग्नेटिक अनुपात को इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण और कोणीय संवेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसका सूत्र है: $\gamma = \frac{e}{2m_e}$।
दिया गया है,जाइरोमैग्नेटिक अनुपात $\gamma = 8.8 \times 10^{10} \ C \ kg^{-1}$।
इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$।
इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $m_e$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$m_e = \frac{e}{2\gamma}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m_e = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 8.8 \times 10^{10}}$।
$m_e = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{17.6 \times 10^{10}}$।
$m_e = \frac{16}{176} \times 10^{-29} \ kg$।
$m_e = \frac{1}{11} \times 10^{-29} \ kg$।
अतः,इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $\frac{1}{11} \times 10^{-29} \ kg$ है।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन हाइड्रोजन नाभिक के चारों ओर परिक्रमा करता है,तो यह एक धारा लूप बनाता है।
धारा $i = \frac{e}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ परिक्रमण का आवर्तकाल है।
चुंबकीय आघूर्ण $\mu = i A = \frac{e}{T} (\pi r^2)$ है।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi r}{v}$ है। इसे $\mu$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\mu = \frac{e v}{2 \pi r} (\pi r^2) = \frac{e v r}{2}$ प्राप्त होता है।
कोणीय संवेग $L = m_e v r$ है,जिसका अर्थ है $v r = \frac{L}{m_e}$।
$v r$ का मान $\mu$ के व्यंजक में रखने पर:
$\mu = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m_e}\right) = \frac{e}{2 m_e} L$ प्राप्त होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन ऋणावेशित होता है,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{\mu}$ और कोणीय संवेग सदिश $\vec{L}$ विपरीत दिशाओं में होते हैं:
$\vec{\mu} = -\left(\frac{e}{2 m_e}\right) \vec{L}$।

(C) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ गति से घूम रहे $q$ आवेश वाले कण का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = (\frac{q}{T}) (\pi r^2) = (\frac{q \omega}{2 \pi}) (\pi r^2) = \frac{1}{2} q \omega r^2$ होता है।
कण का कोणीय संवेग $L = mvr = m(\omega r)r = m \omega r^2$ होता है।
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग के परिमाण का अनुपात $\frac{M}{L} = \frac{\frac{1}{2} q \omega r^2}{m \omega r^2} = \frac{q}{2m}$ है।
इस अनुपात को जाइरोमैग्नेटिक अनुपात कहा जाता है।

(C) वृत्ताकार कक्षा में गतिमान $q$ आवेश वाले कण का चुंबकीय आघूर्ण $M = IA$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $A$ कक्षा का क्षेत्रफल है।
धारा $I = \frac{q}{T} = \frac{q\omega}{2\pi}$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$.
अतः,$M = \left(\frac{q\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{q\omega r^2}{2}$.
कण का कोणीय संवेग $L = mvr = m(\omega r)r = m\omega r^2$.
चुंबकीय आघूर्ण और कोणीय संवेग का अनुपात $\frac{M}{L} = \frac{q\omega r^2 / 2}{m\omega r^2} = \frac{q}{2m}$.
इस अनुपात को गाइरोमैग्नेटिक अनुपात कहा जाता है और यह केवल कण के आवेश '$q$' और द्रव्यमान '$m$' पर निर्भर करता है।

(C) धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{e \omega}{2 \pi}$ द्वारा दी जाती है। यह $r$ से स्वतंत्र है।
चुंबकीय आघूर्ण $\mu = I A = \left( \frac{e \omega}{2 \pi} \right) (\pi r^2) = \frac{e \omega r^2}{2}$.
कोणीय संवेग $L = m v r = m (\omega r) r = m \omega r^2$.
$\mu$ और $L$ की तुलना करने पर,हमें $\mu = \frac{e}{2m} L$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,चुंबकीय आघूर्ण कोणीय संवेग के समानुपाती होता है,और अनुपात $\mu / L = e / (2m)$ को जाइरोमैग्नेटिक अनुपात के रूप में जाना जाता है। कथन $C$ सही है क्योंकि यह $e / (2m)$ कारक के माध्यम से $\mu$ और $L$ को संबंधित करता है।