Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(A) परिनालिका के भीतर चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $B$ का सूत्र $B = \mu n I$ है,जहाँ $\mu = \mu_0 \mu_r$ है।
दिया गया है:
प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n = 1000 \, m^{-1} = 10^3 \, m^{-1}$।
आपेक्षिक पारगम्यता $\mu_r = 500$।
विद्युत धारा $I = 5 \, A$।
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, H/m$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = (4 \pi \times 10^{-7}) \times 500 \times 1000 \times 5$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 500 \times 10^3 \times 5$
$B = 4 \pi \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^6$
$B = 10 \pi \times 10^{-1} = \pi \, T$।
अतः,चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $\pi \, T$ है।

(D) एक लंबे सोलेनोइड के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ इसमें बहने वाली धारा है।
चूंकि सोलेनोइड समान हैं,इसलिए सभी के लिए $n$ समान है।
अतः,$B \propto i$.
मान लीजिए कि परिपथ में प्रवेश करने वाली कुल धारा $I$ है। यह धारा $I$ सोलेनोइड $A$ से होकर बहती है।
जंक्शन पर,धारा $I$ तीन समान समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाती है जिनमें सोलेनोइड $B, C$ और $D$ हैं।
चूंकि सोलेनोइड समान हैं,इसलिए उनका प्रतिरोध बराबर है और धारा $I$ तीनों शाखाओं में समान रूप से विभाजित हो जाती है।
इसलिए,सोलेनोइड $C$ से होकर बहने वाली धारा $i_C = \frac{I}{3}$ है।
यह दिया गया है कि $A$ के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_A = 3\, T$ है,इसलिए $B_A \propto I$,यानी $3\, T \propto I$.
$C$ के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_C \propto i_C = \frac{I}{3}$ है।
अतः,$B_C = \frac{B_A}{3} = \frac{3\, T}{3} = 1\, T$.

(A) बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र दो सीधे तार खंडों और अर्धवृत्ताकार चाप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. प्रत्येक अर्ध-अनंत सीधे तार के लिए,$r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{straight}} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}$ होता है। चूंकि दोनों तारों में धारा ऐसी दिशा में बहती है जो बिंदु $P$ पर एक ही दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है,इसलिए दोनों सीधे तारों के कारण कुल क्षेत्र $B_{1} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$ होगा।
$2$. $r$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,इसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{arc}} = \frac{1}{2} \times \frac{\mu_{0} I}{2 r} = \frac{\mu_{0} I}{4 r}$ होता है।
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{1} + B_{\text{arc}} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} + \frac{\mu_{0} I}{4 r}$ है।
$4$. $\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}$ को कॉमन लेने पर,हमें $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (2 + \pi)$ प्राप्त होता है।

(B) $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान निम्न होता है:
$B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
यहाँ $x_1 = 0.05\, m$ और $x_2 = 0.2\, m$ दूरियों पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $B_1/B_2 = 8/1$ दिया गया है।
चूंकि $B \propto (R^2 + x^2)^{-3/2}$,इसलिए:
$\frac{B_1}{B_2} = \left[ \frac{R^2 + x_2^2}{R^2 + x_1^2} \right]^{3/2} = 8$
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर:
$\frac{R^2 + (0.2)^2}{R^2 + (0.05)^2} = 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$
$R^2 + 0.04 = 4(R^2 + 0.0025)$
$R^2 + 0.04 = 4R^2 + 0.01$
$3R^2 = 0.03$
$R^2 = 0.01$
$R = 0.1\, m$.

(D) त्रिज्या वाली धारावाही कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_{0} i a^{2}}{2(a^{2} + r^{2})^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_{0} i}{2a}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{B_{\text{centre}} - B_{\text{axis}}}{B_{\text{centre}}} = 1 - \frac{B_{\text{axis}}}{B_{\text{centre}}}$ के रूप में परिभाषित है।
मान रखने पर: $1 - \frac{\frac{\mu_{0} i a^{2}}{2(a^{2} + r^{2})^{3/2}}}{\frac{\mu_{0} i}{2a}} = 1 - \frac{a^{3}}{(a^{2} + r^{2})^{3/2}} = 1 - \left(1 + \frac{r^{2}}{a^{2}}\right)^{-3/2}$।
द्विपद सन्निकटन $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = \frac{r^{2}}{a^{2}}$ और $n = -3/2$:
$1 - (1 - \frac{3}{2} \frac{r^{2}}{a^{2}}) = \frac{3}{2} \frac{r^{2}}{a^{2}}$।

(A) प्रति इकाई त्रिज्यीय चौड़ाई में फेरों की संख्या $n = \frac{N}{b-a}$ है।
$x$ त्रिज्या और $dx$ चौड़ाई वाली एक छोटी तात्विक वलय पर विचार करें। इस तत्व में फेरों की संख्या $dN = n \cdot dx = \frac{N}{b-a} dx$ है।
इस तात्विक वलय के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $dB = \frac{\mu_{0} (dN) I}{2x} = \frac{\mu_{0} I}{2x} \left( \frac{N}{b-a} \right) dx$ है।
$x = a$ से $x = b$ तक समाकलन करने पर:
$B = \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} \frac{dx}{x} = \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} [\ln x]_{a}^{b} = \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.

(D) $L$ लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $r = \frac{L}{2 \sqrt{3}}$ है,जहाँ $L = 9 \, cm = 0.09 \, m$ है।
$r = \frac{0.09}{2 \sqrt{3}} = \frac{0.045}{\sqrt{3}} \, m$.
प्रत्येक भुजा के सिरों द्वारा केंद्रक पर बनने वाले कोण $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (2 \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sqrt{3})$ है।
चूंकि तीन समान भुजाएं हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 B_1 = 3 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} \sqrt{3}$ होगा।
मान रखने पर: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$i = 1.5 \, A$,$r = \frac{0.09}{2 \sqrt{3}} \, m$.
$B = 3 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.5}{4 \pi \times (0.09 / 2 \sqrt{3})} \times \sqrt{3} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1.5 \times 2 \sqrt{3}}{0.09} \times \sqrt{3} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1.5 \times 2 \times 3}{0.09} = 3 \times \frac{9 \times 10^{-7}}{0.09} = 3 \times 10^{-5} \, T$.
चूंकि धारा दक्षिणावर्त दिशा में प्रवाहित हो रही है,इसलिए दाएं हाथ के नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र त्रिभुज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होगा।

(D) सोलेनोइड में कोर पदार्थ का चुंबकीय आघूर्ण $M = I_{m} V$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I_{m}$ चुंबकन की तीव्रता है और $V$ आयतन है。
$I_{m} = \chi H$, जहाँ $\chi$ चुंबकीय प्रवृत्ति है और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है。
चूंकि $\chi = \mu_{r} - 1$, इसलिए $M = (\mu_{r} - 1) H V$ होता है。
एक लंबे सोलेनोइड के लिए, $H = nI$ स्थिर रहता है。
अतः, $M \propto (\mu_{r} - 1)$ है。
चुंबकीय आघूर्ण में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta M}{M} = \frac{(\mu_{r2} - 1) - (\mu_{r1} - 1)}{\mu_{r1} - 1} = \frac{\mu_{r2} - \mu_{r1}}{\mu_{r1} - 1}$ है。
यहाँ $\mu_{r1} = 500$ और $\mu_{r2} = 750$ दिया गया है, इसलिए $\frac{\Delta M}{M} = \frac{750 - 500}{500 - 1} = \frac{250}{499}$ प्राप्त होता है。
इसकी तुलना $\frac{x}{499}$ से करने पर, हमें $x = 250$ प्राप्त होता है।

(A) अर्ध-अनंत तार के कारण लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
तार $(1)$ ($x$-अक्ष पर) के लिए, $P$ से दूरी $y$ है। एक सिरा मूल बिंदु पर है $(\theta_1 = 90^{\circ})$ और दूसरा अनंत पर है $(\theta_2 = 90^{\circ})$, लेकिन चूंकि यह मूल बिंदु से शुरू होने वाला अर्ध-अनंत तार है, सूत्र $B_1 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi y} (1 + \sin \theta_1)$ हो जाता है, जहाँ $\sin \theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
अतः, $B_1 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi y} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
इसी प्रकार, तार $(2)$ ($y$-अक्ष पर) के लिए, $P$ से दूरी $x$ है, इसलिए $B_2 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi x} \left(1 + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
दोनों क्षेत्र बिंदु $P$ पर पृष्ठ के अंदर की ओर निर्देशित हैं। उन्हें जोड़ने पर:
$B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \left[ \frac{1}{y} + \frac{x}{y\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{1}{x} + \frac{y}{x\sqrt{x^2+y^2}} \right]$
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \left[ \frac{x+y}{xy} + \frac{x^2+y^2}{xy\sqrt{x^2+y^2}} \right]$
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi xy} \left[ (x+y) + \sqrt{x^2+y^2} \right]$.

(C) $R$ त्रिज्या वाले एक लंबे सीधे तार के लिए जिसमें $I$ धारा समान रूप से प्रवाहित हो रही है,अक्ष से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ इस प्रकार है:
तार के अंदर $(r < R)$: $B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$,जिसका अर्थ है $B \propto r$.
तार के बाहर $(r \ge R)$: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$,जिसका अर्थ है $B \propto \frac{1}{r}$.
अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र सतह $(r = R)$ पर होता है और इसका मान $B_{max} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ है।
चूँकि $a < b$,तार $a$ के लिए अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र $B_{max, a} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$ है और तार $b$ के लिए $B_{max, b} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi b}$ है।
चूँकि $a < b$,इसलिए $B_{max, a} > B_{max, b}$ होगा।
अतः,तार $a$ के लिए ग्राफ को छोटी त्रिज्या $r = a$ पर एक उच्च शिखर मान प्राप्त करना चाहिए,और तार $b$ के लिए ग्राफ को बड़ी त्रिज्या $r = b$ पर एक निम्न शिखर मान प्राप्त करना चाहिए। यह उस ग्राफ के अनुरूप है जिसमें वक्र $a$ का शिखर वक्र $b$ की तुलना में ऊँचा और पहले आता है।

(B) बायो-सावर्ट नियम का व्यंजक है: $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$.
कथन $I$ सही है क्योंकि यह नियम विशेष रूप से एक सूक्ष्म धारा अवयव $Id\vec{l}$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र के योगदान को परिभाषित करता है।
कथन $II$ गलत है क्योंकि इसमें स्रोतों की प्रकृति को आपस में बदल दिया गया है। बायो-सावर्ट नियम में एक सदिश स्रोत $(Id\vec{l})$ शामिल होता है,जबकि कूलॉम के नियम में एक अदिश स्रोत (आवेश $q$) शामिल होता है। कथन में इसके विपरीत दावा किया गया है,इसलिए यह गलत है।
अतः,कथन $I$ सही है और कथन $II$ गलत है।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{C} = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(x^{2} + r^{2})^{3/2}}$ होता है।
यहाँ $x = \frac{r}{2}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2((\frac{r}{2})^{2} + r^{2})^{3/2}}$
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(\frac{r^{2}}{4} + r^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2(\frac{5r^{2}}{4})^{3/2}}$
$B_{a} = \frac{\mu_{0} I r^{2}}{2 \cdot r^{3} \cdot (\frac{5}{4})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I}{2 r} \cdot (\frac{4}{5})^{3/2}$
चूंकि $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$,इसलिए:
$B_{a} = B \cdot (\frac{2}{\sqrt{5}})^{3}$.

(B) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मध्य-बिंदु $O$ पर,प्रत्येक तार से दूरी $r = 4 \, cm = 4 \times 10^{-2} \, m$ है।
चूंकि कुल चुंबकीय क्षेत्र $300 \, \mu T = 3 \times 10^{-4} \, T$ है,और धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है),मध्य-बिंदु पर दोनों तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं।
अतः,$B_{total} = B_1 + B_2 = 2 \times \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
मान रखने पर: $3 \times 10^{-4} = 2 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times I}{2 \pi \times 4 \times 10^{-2}}$.
$3 \times 10^{-4} = \frac{2 \times 10^{-7} \times I}{2 \times 10^{-2}} = 10^{-5} \times I$.
$I = \frac{3 \times 10^{-4}}{10^{-5}} = 30 \, A$.
चूंकि मध्य-बिंदु पर क्षेत्र जुड़कर एक गैर-शून्य मान देते हैं,इसलिए धाराएं विपरीत दिशाओं में होनी चाहिए।

(B) $N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $i$ धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{N \mu_{0} i}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली कुंडली के लिए: $B_{1} = \frac{N_{1} \mu_{0} i}{2 R_{1}}$,जहाँ $N_{1} = 2$.
जब तार को खोलकर पुनः लपेटा जाता है,तो तार की कुल लंबाई $L = N_{1} (2 \pi R_{1}) = N_{2} (2 \pi R_{2})$ स्थिर रहती है।
अतः,$R_{2} = R_{1} \frac{N_{1}}{N_{2}} = R_{1} \frac{2}{5}$.
दूसरी कुंडली के लिए: $B_{2} = \frac{N_{2} \mu_{0} i}{2 R_{2}}$,जहाँ $N_{2} = 5$.
अनुपात लेने पर: $\frac{B_{2}}{B_{1}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} \times \frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{N_{2}}{N_{1}} \times \frac{N_{2}}{N_{1}} = \left( \frac{N_{2}}{N_{1}} \right)^{2}$.
मान रखने पर: $\frac{B_{2}}{B_{1}} = \left( \frac{5}{2} \right)^{2} = \frac{25}{4}$.

(B) $N$ फेरों,$R$ त्रिज्या और $i$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है: $B = N \left( \frac{\mu_{0} i}{2R} \right)$।
कुंडली $X$ के लिए: $N_{X} = 200$,$R_{X} = 20 \ cm$,धारा $= i$। अतः,$B_{X} = 200 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)$।
कुंडली $Y$ के लिए: $N_{Y} = 400$,$R_{Y} = 20 \ cm$,धारा $= i$। अतः,$B_{Y} = 400 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)$।
$B_{X}$ और $B_{Y}$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_{X}}{B_{Y}} = \frac{200 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)}{400 \left( \frac{\mu_{0} i}{2 \times 20 \ cm} \right)} = \frac{200}{400} = \frac{1}{2}$।
अतः,अनुपात $1: 2$ है।

(C) $I$ धारा वाली $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र इस प्रकार है:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$
लूप की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + x^{2})^{3/2}}$
यहाँ $x = \sqrt{3}R$ दिया गया है,इसलिए $B_{2}$ के लिए:
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + (\sqrt{3}R)^{2})^{3/2}}$
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + 3R^{2})^{3/2}}$
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(4R^{2})^{3/2}}$
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(8R^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{16R}$
अब,अनुपात $B_{1} / B_{2}$ की गणना करने पर:
$\frac{B_{1}}{B_{2}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{2 R}}{\frac{\mu_{0} I}{16 R}} = \frac{16}{2} = \frac{8}{1}$
अतः,$B_{1} / B_{2}$ का अनुपात $8: 1$ है।

(A) $N$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{N \mu_{0} I}{2 R}$
दी गई मान:
$N = 100$
$R = 5\,cm = 0.05\,m = 5 \times 10^{-2}\,m$
$B = 37.68 \times 10^{-4}\,T$
$\mu_{0} = 4 \pi \times 10^{-7}\,T \cdot m/A$
$\pi = 3.14$
सूत्र में मान रखने पर:
$37.68 \times 10^{-4} = \frac{100 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times I}{2 \times 5 \times 10^{-2}}$
समीकरण को सरल करने पर:
$37.68 \times 10^{-4} = \frac{400 \times 3.14 \times 10^{-7} \times I}{10 \times 10^{-2}}$
$37.68 \times 10^{-4} = \frac{1256 \times 10^{-7} \times I}{10^{-1}}$
$37.68 \times 10^{-4} = 1256 \times 10^{-6} \times I$
$37.68 \times 10^{-4} = 1.256 \times 10^{-3} \times I$
$I = \frac{37.68 \times 10^{-4}}{1.256 \times 10^{-3}} = \frac{3.768 \times 10^{-3}}{1.256 \times 10^{-3}} = 3\,A$
अतः,कुंडली से प्रवाहित धारा $3\,A$ है।

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 1 \, m$,असमानता $\Delta r = 0.01 \, m$,गति $v = 54 \, m/s$,चुंबकीय आघूर्ण $M = 9.67 \times 10^{-27} \, J/T$,और द्रव्यमान $m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$ है।
असमान चुंबकीय क्षेत्र में न्यूट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया चुंबकीय बल $F = M \frac{\Delta B}{\Delta r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि न्यूट्रॉन वृत्ताकार गति कर रहा है,यह चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $F = \frac{m v^2}{r}$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $M \frac{\Delta B}{\Delta r} = \frac{m v^2}{r}$।
चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन $\Delta B$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\Delta B = \frac{m v^2 \Delta r}{M r}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta B = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times (54)^2 \times 0.01}{9.67 \times 10^{-27} \times 1}$।
$\Delta B = \frac{1.67 \times 2916 \times 0.01}{9.67} \approx \frac{48.6972}{9.67} \approx 5.04 \, T$।

(A) मान लीजिए कि चुंबकीय क्षेत्र बिंदु $P$ पर न्यूनतम है,जो पहले तार से $x$ दूरी पर है।
पहले तार के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi x}$ है।
दूसरे तार के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi (d-x)}$ है,जहाँ $d = 4 \, cm$ है।
तारों के बीच कुल चुंबकीय क्षेत्र के गैर-शून्य न्यूनतम होने के लिए,क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि धाराएं प्रति-समानांतर होनी चाहिए।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = |B_1 - B_2| = \frac{\mu_0}{2 \pi} |\frac{I_1}{x} - \frac{I_2}{d-x}|$ है।
$B$ के न्यूनतम होने के लिए,अवकलन $\frac{dB}{dx} = 0$ होना चाहिए।
$\frac{d}{dx} (\frac{I_1}{x} - \frac{I_2}{d-x}) = 0 \Rightarrow -\frac{I_1}{x^2} - \frac{I_2}{(d-x)^2} = 0$.
यह दर्शाता है कि $\frac{I_1}{x^2} = -\frac{I_2}{(d-x)^2}$। चूंकि $I_1, I_2 > 0$,यह पुष्टि करता है कि धाराएं प्रति-समानांतर हैं।
परिमाण लेने पर: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{(d-x)^2}{x^2}$।
$d = 4 \, cm$ और $x = 1 \, cm$ दिए गए हैं,इसलिए $\frac{I_2}{I_1} = \frac{(4-1)^2}{1^2} = \frac{3^2}{1^2} = 9$।
अतः,अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = 9$ है और धाराएं प्रति-समानांतर हैं।

(A) लूप के केंद्र पर नेट चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है जब घूमते हुए आवेश के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $(B_H)$ के बराबर और विपरीत होता है।
दिया गया है: $Q = 3 \times 10^{-12} \, C$,$R = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,$B_H = 30 \, \mu T = 30 \times 10^{-6} \, T$.
वृत्त के केंद्र पर घूमते हुए आवेश द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_q = \frac{\mu_0 i}{2R}$ है।
चूंकि $i = \frac{Q}{T}$ और $T = \frac{2\pi}{\omega}$,इसलिए $i = \frac{Q\omega}{2\pi}$ है।
$B_q$ के सूत्र में $i$ का मान रखने पर:
$B_q = \frac{\mu_0 (Q\omega / 2\pi)}{2R} = \frac{\mu_0 Q \omega}{4\pi R}$.
$B_q$ को $B_H$ के बराबर रखने पर:
$\frac{\mu_0 Q \omega}{4\pi R} = B_H$
$\frac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$ का उपयोग करते हुए:
$10^{-7} \times \frac{3 \times 10^{-12} \times \omega}{10^{-3}} = 30 \times 10^{-6}$
$3 \times 10^{-16} \times \omega = 30 \times 10^{-9}$
$\omega = \frac{30 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-19}} = 10^{11} \, rad/s$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) $n$-भुजीय बहुभुज के लिए,बायो-सावर्ट नियम का उपयोग करके लूप के केंद्र पर एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र है:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi l} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
चूंकि इसमें $n$ भुजाएँ हैं,केंद्र पर एक भुजा द्वारा बनाया गया कोण $\alpha = \frac{2 \pi}{n}$ है।
अतः,$\theta_1 = \theta_2 = \frac{1}{2} \times \frac{2 \pi}{n} = \frac{\pi}{n}$.
इस मान को $B_1$ के व्यंजक में रखने पर:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi l} (\sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{\pi}{n}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi l} \sin \frac{\pi}{n}$.
सभी $n$ खंडों के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र सभी खंडों के क्षेत्रों का योग है:
$B = n \times B_1 = \frac{n \mu_0 I}{2 \pi l} \sin \left(\frac{\pi}{n}\right)$.

(B) केंद्र $C$ पर चुंबकीय क्षेत्र $r$ और $R$ त्रिज्या वाले दो चौथाई वृत्ताकार चापों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का परिणामी है。
$I$ धारा ले जाने वाले $a$ त्रिज्या के एक पूर्ण वृत्ताकार लूप के कारण उसके केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2a}$ होता है。
एक चौथाई वृत्ताकार चाप के लिए, चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{1}{4} \left(\frac{\mu_0 I}{2a}\right) = \frac{\mu_0 I}{8a}$ होता है。
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए:
$1$. $r$ त्रिज्या वाले आंतरिक चाप के लिए, धारा वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में बहती है, इसलिए $C$ पर चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर $(\odot)$ निर्देशित होता है。
$2$. $R$ त्रिज्या वाले बाहरी चाप के लिए, धारा दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में बहती है, इसलिए $C$ पर चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ निर्देशित होता है。
$C$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_r - B_R = \frac{\mu_0 I}{8r} - \frac{\mu_0 I}{8R} = \frac{\mu_0 I}{8} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$ है。
चूंकि $r < R$, इसलिए $\frac{1}{r} > \frac{1}{R}$, अतः कुल चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के बाहर की ओर होगा।

(A) लंबवत दूरी $d$ पर $L$ लंबाई के सीधे तार के टुकड़े के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के लिए,केंद्र पर प्रत्येक भुजा द्वारा अंतरित कोण $2\pi/n$ है। इसलिए,प्रत्येक भुजा के लिए केंद्र पर कोण $\theta_1$ और $\theta_2$,$\pi/n$ हैं।
केंद्र से भुजा तक की लंबवत दूरी $d = R \cos(\pi/n)$ है,जहाँ $R$ शीर्ष तक की दूरी है।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (R \cos(\pi/n))} (\sin(\pi/n) + \sin(\pi/n)) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R \cos(\pi/n)} \cdot 2 \sin(\pi/n) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} \tan(\pi/n)$ है।
चूंकि ऐसी $n$ भुजाएं हैं,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = n \cdot B_1 = n \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} \tan \frac{\pi}{n}$ होगा।

(A) $1$. गतिमान आवेश द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र बायो-सावर्ट नियम द्वारा दिया जाता है,जहाँ धारा $I$ की दिशा को धनात्मक आवेश के प्रवाह की दिशा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$2$. प्रेक्षक की ओर आता हुआ ऋणात्मक आवेश,प्रेक्षक से दूर जाते हुए धनात्मक धारा के समतुल्य है।
$3$. दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,यदि आप अपने दाहिने हाथ के अंगूठे को पारंपरिक धारा की दिशा (प्रेक्षक से दूर) में इंगित करते हैं,तो आपकी उंगलियां चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा में मुड़ती हैं।
$4$. प्रेक्षक के दृष्टिकोण से,जो आवेश उनकी ओर आ रहा है,उसके लिए पारंपरिक धारा दूर जा रही है। इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं दक्षिणावर्त (Clockwise) दिशा में घूमती हुई दिखाई देंगी।

(D) $r$ लंबवत दूरी पर स्थित एक सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक $O$ से किसी भी भुजा की लंबवत दूरी $r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ होती है।
भुजा पर लंबवत बिंदु पर कोण $\theta_1 = 60^{\circ}$ और $\theta_2 = 60^{\circ}$ हैं।
एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (a / 2 \sqrt{3})} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i \sqrt{3}}{2 \pi a} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \mu_0 i}{2 \pi a}$ है।
चूंकि तीन भुजाएं हैं और प्रत्येक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा (अंदर की ओर) में है,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{total}} = 3 \times B_1 = 3 \times \frac{3 \mu_0 i}{2 \pi a} = \frac{9 \mu_0 i}{2 \pi a}$ होगा।

(C) $n$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $i$ विद्युत धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि दोनों कुंडलियों के लिए विद्युत धारा $i$ समान है और चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ बराबर हैं,इसलिए $B_1 = B_2$.
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\mu_0 n_1 i}{2 r_1} = \frac{\mu_0 n_2 i}{2 r_2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{n_1}{r_1} = \frac{n_2}{r_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{r_1}{r_2} = \frac{n_1}{n_2}$.
चूंकि फेरों की संख्या का अनुपात $\frac{n_1}{n_2} = \frac{8}{15}$ दिया गया है,इसलिए उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{8}{15}$ होगा।

(A) घूमते हुए आवेश द्वारा उत्पन्न धारा $i$ को $i = qf$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ आवेश है और $f$ आवृत्ति है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,$q = e$ और $f = n$,इसलिए $i = en$ है।
$R$ त्रिज्या के वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मान $B = \frac{\mu_0 i}{2 R}$ होता है।
$i$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = \frac{\mu_0 (en)}{2 R}$ प्राप्त होता है।

(A) $l$ भुजा वाले वर्गाकार फ्रेम के लिए,केंद्र से किसी भी भुजा की दूरी $d = \frac{l}{2}$ है।
केंद्र पर एक भुजा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi d} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi (l/2)} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\mu_0 i}{2 \pi l} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi l}$ है।
चूंकि वर्ग में $4$ भुजाएं होती हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \times B_1 = 4 \times \frac{\sqrt{2} \mu_0 i}{2 \pi l} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i}{\pi l}$ है।
वृत्ताकार कुंडली के लिए,परिधि वर्ग की परिधि के बराबर है,इसलिए $2 \pi r = 4l$,जिससे $r = \frac{2l}{\pi}$ प्राप्त होता है।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B^{\prime} = \frac{\mu_0 i}{2r} = \frac{\mu_0 i}{2(2l/\pi)} = \frac{\mu_0 i \pi}{4l}$ है।
अब,अनुपात $\frac{B}{B^{\prime}} = \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 i / \pi l}{\mu_0 i \pi / 4l} = \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \times \frac{4}{\pi} = \frac{8 \sqrt{2}}{\pi^2}$ है।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{centre} = \frac{\mu_0 i}{2 R}$ होता है।
कुंडली की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$B_{axis} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} B_{centre}$.
व्यंजकों को रखने पर: $\frac{\mu_0 i R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\mu_0 i}{2 R}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2} R}$.
$(R^2 + x^2)^{3/2} = 2 \sqrt{2} R^3 = (\sqrt{2})^3 R^3 = (\sqrt{2} R)^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $(R^2 + x^2)^{1/2} = \sqrt{2} R$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $R^2 + x^2 = 2 R^2$.
$x^2 = R^2 \Rightarrow x = R$.

(B) सही उत्तर $B$ है।
जब विपरीत दिशाओं में धारा ले जाने वाले दो तारों को एक साथ मरोड़ा जाता है,तो एक तार में धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र,दूसरे तार में धारा द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है।
इस कारण से,चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के प्रभाव को समाप्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप कुल चुंबकीय क्षेत्र लगभग शून्य हो जाता है।
इस तकनीक का उपयोग विद्युत उपकरणों में तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय हस्तक्षेप को कम करने के लिए किया जाता है।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$B_{axis} = \frac{1}{8} B_{centre}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{r^2}{(r^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8r}$.
$(r^2 + x^2)^{3/2} = 8r^3$.
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर: $r^2 + x^2 = (8r^3)^{2/3} = 4r^2$.
$x^2 = 3r^2$.
$x = \sqrt{3} r$.

(A) $I$ धारा ले जाने वाले परिमित लंबाई के तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ है।
दिए गए चित्र में,बिंदु $P$ से तार की लंबवत दूरी $r = x \cos 30^{\circ} = x \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
तार के सिरों द्वारा बिंदु $P$ पर अंतरित कोण $\theta_1 = 30^{\circ}$ और $\theta_2 = 30^{\circ}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (x \frac{\sqrt{3}}{2})} (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ})$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi x} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \sqrt{3} \pi x}$

(C) केंद्र $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ वृत्ताकार चाप और दो सीधे तार के टुकड़ों के कारण चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार चाप के लिए जो केंद्र पर $\theta = \frac{3\pi}{2}$ कोण बनाता है,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \cdot \theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi R} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\mu_0 I}{8R}$ है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दिशा पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।
$2$. दो अर्ध-अनंत सीधे तारों के लिए,प्रत्येक तार से $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न होता है। एक अर्ध-अनंत तार के कारण क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4\pi R}$ है। चूंकि ऐसे दो तार हैं,उनका कुल क्षेत्र $B_{straight} = 2 \times \frac{\mu_0 I}{4\pi R} = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$ है। दोनों तार पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
$3$. इन दोनों को जोड़ने पर,$B = B_1 + B_{straight} = \frac{3\mu_0 I}{8R} + \frac{\mu_0 I}{2\pi R} = \frac{\mu_0 I}{4R} \left[ \frac{3}{2} + \frac{1}{\pi} \right]$।
इसकी दिशा पृष्ठ के अंदर की ओर $(\otimes)$ है।

(C) एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम चतुर्थांश में किसी बिंदु $(x, y)$ के लिए,$x$-अक्ष पर स्थित तार (जिसमें $I_1$ धारा है) के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi y}$ है (तल से बाहर की ओर)।
$y$-अक्ष पर स्थित तार (जिसमें $I_2$ धारा है) के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$ है (तल के अंदर की ओर)।
कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,परिमाण समान होने चाहिए: $B_1 = B_2$.
$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi y} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$.
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{I_1}{y} = \frac{I_2}{x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = \left(\frac{I_1}{I_2}\right) x$।

(A) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ है।
रिंग पर कुल आवेश $q$,पृष्ठीय आवेश घनत्व,परिधि और चौड़ाई के गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$q = \sigma (2 \pi a) d$
रिंग के $f$ आवृत्ति के साथ घूमने से उत्पन्न समतुल्य धारा $i$ है:
$i = \frac{q}{T} = qf = \sigma (2 \pi a) d f$
वृत्ताकार धारावाही लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 i}{2a}$
सूत्र में $i$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 (\sigma 2 \pi a d f)}{2a}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$B = \pi \mu_0 \sigma d f$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) गतिमान प्रोटॉन $B$ के कारण प्रोटॉन $A$ की स्थिति पर चुंबकीय क्षेत्र $B$,बिंदु आवेश के लिए बायो-सावर्ट नियम द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e v \sin 90^{\circ}}{d^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e v}{d^2}$
प्रोटॉन $A$ पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $F_B$ है:
$F_B = e v B = e v \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{e v}{d^2} \right) = \frac{\mu_0 e^2 v^2}{4\pi d^2}$
प्रोटॉन $B$ के कारण प्रोटॉन $A$ पर कार्य करने वाला विद्युत बल $F_e$ कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है:
$F_e = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{d^2}$
चुंबकीय बल और विद्युत बल का अनुपात:
$\frac{F_B}{F_e} = \frac{\frac{\mu_0 e^2 v^2}{4\pi d^2}}{\frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 d^2}} = \mu_0 \varepsilon_0 v^2$
चूंकि प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ है,इसलिए $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ या $\mu_0 \varepsilon_0 = \frac{1}{c^2}$ होता है।
इस मान को अनुपात में रखने पर:
$\frac{F_B}{F_e} = \frac{v^2}{c^2}$

(A) माना कुल धारा $i$ है। तार को दो भागों $ABC$ और $ADC$ में विभाजित किया गया है जो समानांतर जुड़े हुए हैं。
तार का प्रतिरोध उसकी लंबाई के समानुपाती होता है $(R \propto l)$। माना $ABC$ और $ADC$ भागों के प्रतिरोध क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं。
$r_1 = \rho \frac{l_1}{A}$ और $r_2 = \rho \frac{l_2}{A}$, जहाँ $\rho$ प्रतिरोधकता है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है。
$ABC$ भाग में धारा $i_1$ करंट डिवाइडर नियम द्वारा दी जाती है:
$i_1 = i \left( \frac{r_2}{r_1 + r_2} \right) = i \left( \frac{l_2}{l_1 + l_2} \right)$.
$i_1$ धारा ले जाने वाले $l_1$ लंबाई के चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B = \frac{\mu_0 i_1 \theta}{4\pi R}$, जहाँ $\theta$ केंद्र पर चाप द्वारा बनाया गया कोण है。
चूँकि परिधि $L = l_1 + l_2 = 2\pi R$ है, इसलिए कोण $\theta = \frac{l_1}{R}$ है。
$i_1$ और $\theta$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0}{2R} \left( i \frac{l_2}{l_1+l_2} \right) \frac{l_1}{l_1+l_2} = \frac{\mu_0 i l_1 l_2}{2R(l_1+l_2)^2}$.

(B) वृत्ताकार कक्षा के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ समतुल्य धारा है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
बोर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार,$mvr = \frac{nh}{2\pi}$। चूंकि $v = \omega r$,हमारे पास $mr^2\omega = \frac{nh}{2\pi}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,त्रिज्या $r \propto n^2$ होती है। इसे कोणीय संवेग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $m(n^2)^2\omega \propto n$,जिसका अर्थ है कि $\omega \propto \frac{n}{n^4} = n^{-3}$।
समतुल्य धारा $I = \frac{e}{T} = \frac{e\omega}{2\pi}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $I \propto \omega \propto n^{-3}$।
अब,$I \propto n^{-3}$ और $r \propto n^2$ को चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर: $B \propto \frac{I}{r} \propto \frac{n^{-3}}{n^2} = n^{-5}$।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण $n^{-5}$ के समानुपाती होता है।

(C) बायो-सावर्ट नियम के अनुसार धारा अवयव $I d\vec{\ell}$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{\ell} \times \vec{r}}{r^3}$ होता है।
यहाँ,$d\vec{\ell} = d\ell \hat{k}$ और अवयव की स्थिति $\vec{r}_0 = \hat{i} + \hat{j}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ के लिए,अवयव के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = -\hat{i} - \hat{j}$ है। दूरी $r_1 = \sqrt{2}$ है।
$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I d\ell}{4\pi} \frac{\hat{k} \times (-\hat{i} - \hat{j})}{(\sqrt{2})^3} = \frac{\mu_0 I d\ell}{4\pi (2\sqrt{2})} (-\hat{j} + \hat{i})$.
बिंदु $(2, 2, 0)$ के लिए,अवयव के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}_2 = \hat{i} + \hat{j}$ है। दूरी $r_2 = \sqrt{2}$ है।
$\vec{B}_2 = \frac{\mu_0 I d\ell}{4\pi} \frac{\hat{k} \times (\hat{i} + \hat{j})}{(\sqrt{2})^3} = \frac{\mu_0 I d\ell}{4\pi (2\sqrt{2})} (\hat{j} - \hat{i})$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $\vec{B}_1 = -\vec{B}_2$।

(C) घन नेटवर्क $12$ समान तारों से बना है,जिनमें से प्रत्येक का प्रतिरोध $R$ और लंबाई $d$ है।
घन की समरूपता और धारा प्रवाह की व्यवस्था के कारण,प्रत्येक धारावाही तार खंड के लिए,केंद्र $P$ के सापेक्ष विपरीत दिशा में समान धारा ले जाने वाला एक व्यासाभिमुख विपरीत तार खंड मौजूद होता है।
बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,इन सममित खंडों द्वारा केंद्र $P$ पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
इसलिए,घन नेटवर्क के केंद्र $P$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $0$ है।

(C) तार तीन भागों से बना है: $x$-अक्ष पर एक अर्ध-अनंत खंड,$xz$-समतल में एक खंड,और $y$-अक्ष के समानांतर एक अर्ध-अनंत खंड।
$1$. $x$-अक्ष पर अर्ध-अनंत तार के लिए,मूल बिंदु तार की अक्ष पर स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 0$ है।
$2$. $y$-अक्ष के समानांतर अर्ध-अनंत तार के लिए,मूल बिंदु तार की अक्ष पर स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = 0$ है।
$3$. $xz$-समतल में $(a, 0, 0)$ और $(0, 0, a)$ को जोड़ने वाले खंड के लिए,मूल बिंदु से तार की दूरी $d = a/\sqrt{2}$ है। परिमित तार के लिए सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ का उपयोग करके और दाहिने हाथ के नियम को लागू करने पर,क्षेत्र $(-\hat{i} + \hat{k})$ की दिशा में प्राप्त होता है।
परिमाण की गणना करने पर: $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi (a/\sqrt{2})} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{8 \pi a}(-\hat{i} + \hat{k})$।

(A) एक गतिमान बिंदु आवेश द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{r})}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
उसी बिंदु पर उसी आवेश द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q\overrightarrow{r}}{r^3}$ है।
विद्युत क्षेत्र के समीकरण से $\frac{q\overrightarrow{r}}{r^3}$ का मान चुंबकीय क्षेत्र के समीकरण में रखने पर,हमें $\overrightarrow{B} = \epsilon_0 \mu_0 (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{E})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$,इसलिए $\overrightarrow{B} = \frac{\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{E}}{c^2}$ होगा।
यहाँ $\overrightarrow{v} = \hat{i} + 3\hat{j}$ और $\overrightarrow{E} = 2\hat{k}$ दिया गया है,इसलिए सदिश गुणनफल:
$\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{E} = (\hat{i} + 3\hat{j}) \times 2\hat{k} = 2(\hat{i} \times \hat{k}) + 6(\hat{j} \times \hat{k}) = 2(-\hat{j}) + 6(\hat{i}) = 6\hat{i} - 2\hat{j}$.
अतः,$\overrightarrow{B} = \frac{6\hat{i} - 2\hat{j}}{c^2}$ प्राप्त होता है।

(B) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र तार के चार खंडों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का योग है।
$1$. $O$ की ओर या $O$ से दूर जाने वाले दो सीधे खंड $O$ पर शून्य चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं क्योंकि धारा तत्व और स्थिति सदिश के बीच का कोण $0^\circ$ या $180^\circ$ है।
$2$. $R$ त्रिज्या वाला आंतरिक वृत्ताकार चाप केंद्र पर $270^\circ$ (या $\frac{3\pi}{2}$ रेडियन) का कोण बनाता है। चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \theta = \frac{\mu_0 i}{4\pi R} \times \frac{3\pi}{2} = \frac{3\mu_0 i}{8R}$ (नीचे की ओर) है।
$3$. $2R$ त्रिज्या वाला बाहरी वृत्ताकार चाप केंद्र पर $90^\circ$ (या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन) का कोण बनाता है। चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 i}{4\pi (2R)} \theta = \frac{\mu_0 i}{8\pi R} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\mu_0 i}{16R}$ (नीचे की ओर) है।
$4$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{3\mu_0 i}{8R} + \frac{\mu_0 i}{24R} = \frac{5\mu_0 i}{12R}$ (नीचे की ओर) है।

(A) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई चुंबकीय बल $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\mu_0 = \frac{2\pi r F}{l I_1 I_2}$ प्राप्त होता है।
विमाएँ इस प्रकार हैं: $[r] = [L]$,$[F] = [MLT^{-2}]$,$[l] = [L]$,और $[I] = [QT^{-1}]$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $[\mu_0] = \frac{[L][MLT^{-2}]}{[L][QT^{-1}]^2}$।
$[\mu_0] = \frac{[MLT^{-2}]}{[Q^2T^{-2}]} = [MLQ^{-2}]$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाले वृत्ताकार लूप की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र:
$B = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$
केंद्र पर,$x = 0$ रखने पर:
$B_1 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + 0)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2r^3} = \frac{\mu_0 I}{2r}$
अक्ष पर $x = r$ दूरी पर:
$B_2 = \frac{\mu_0 I r^2}{2(r^2 + r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2r^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0 I r^2}{2(2\sqrt{2} r^3)} = \frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}$
केंद्र पर और $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\frac{\mu_0 I}{2r}}{\frac{\mu_0 I}{4\sqrt{2}r}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
अतः,अनुपात $2\sqrt{2} : 1$ है।

(C) विन्यास $A$ के लिए: $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र एक वृत्ताकार लूप और दो सीधे तारों के कारण है। सीधे तार केंद्र पर $0$ योगदान देते हैं। लूप $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ का योगदान देता है। हालाँकि,दिए गए विकल्प एक अलग व्याख्या का सुझाव देते हैं। इन विशिष्ट ज्यामितियों के लिए बायो-सावर्ट के नियम के मानक अनुप्रयोगों के आधार पर:
$A$ का मिलान $III$ से होता है: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} [\pi - 1]$
$B$ का मिलान $I$ से होता है: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} [\pi + 2]$
$C$ का मिलान $IV$ से होता है: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} [\pi + 1]$
$D$ का मिलान $II$ से होता है: $B_0 = \frac{\mu_0 I}{4 r}$
अतः,सही मिलान $A-III, B-I, C-IV, D-II$ है।

(B) माना बिंदु $P$ से प्रत्येक तार की दूरी $d$ है। चूंकि $P$ को तारों से जोड़ने वाली रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए दोनों तारों के बीच की दूरी $d$ और $d$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है। अतः,$d^2 + d^2 = (7\,cm)^2$,जिससे $2d^2 = 49$ प्राप्त होता है,इसलिए $d = \frac{7}{\sqrt{2}}\,cm = \frac{7}{1.4} \times 10^{-2}\,m = 5 \times 10^{-2}\,m$.
लंबे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2\pi d}$ होता है।
तार $1$ $(i_1 = 8\,A)$ के लिए,$B_1 = \frac{\mu_0 \times 8}{2\pi d}$.
तार $2$ $(i_2 = 15\,A)$ के लिए,$B_2 = \frac{\mu_0 \times 15}{2\pi d}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2\pi d} \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ है।
मान रखने पर:
$B_{\text{net}} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2\pi \times 5 \times 10^{-2}} \sqrt{8^2 + 15^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-2}} \sqrt{64 + 225} = \frac{2 \times 10^{-5}}{5} \times 17 = 68 \times 10^{-6}\,T$.

(C) $xy$ तल में स्थित एक धारा लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं $z$-अक्ष के अनुदिश लूप के केंद्र से होकर गुजरती हैं।
$xy$ तल (कुंडली का तल) में किसी भी बिंदु पर,चुंबकीय क्षेत्र सदिश तल के लंबवत होता है,जिसका अर्थ है कि इसका केवल $z$-घटक होता है। अतः,$z = 0$ पर $B_y = 0$ होता है।
जैसे-जैसे हम $z$-अक्ष से $a$ की निश्चित दूरी पर ($yz$ तल में) $z$-अक्ष के अनुदिश चलते हैं,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं मुड़ जाती हैं। $z > 0$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र का $y$-घटक $(B_y)$ धनात्मक है,और $z < 0$ के लिए,लूप की समरूपता और धारा की दिशा के कारण चुंबकीय क्षेत्र का $y$-घटक $(B_y)$ ऋणात्मक है।
इसलिए,$B_y$ बनाम $z$ का ग्राफ मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरना चाहिए और एक असममित (antisymmetric) व्यवहार दिखाना चाहिए,जो विकल्प $C$ में दिखाए गए आलेख के अनुरूप है।

(A) धारा विन्यास दो मुड़े हुए तारों से बना है। बिंदु $O$,खंड $BC$ और $ET$ से $a$ लंबवत दूरी पर है।
एक अर्ध-अनंत तार के लिए,सिरे से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
खंड $AB$ और $ED$ क्रमशः कोनों $B$ और $E$ की ओर निर्देशित हैं,और $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में उनका योगदान शून्य है क्योंकि बिंदु $O$ इन खंडों की रेखा पर स्थित है।
खंड $BC$ और $ET$ बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में योगदान करते हैं। दाहिने हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग करते हुए,बिंदु $O$ पर $BC$ में धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र बाहर की ओर (तल के लंबवत) निर्देशित है।
बिंदु $O$ पर $ET$ में धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र भी बाहर की ओर निर्देशित है।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ है:
$B_0 = B_{BC} + B_{ET} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} + \frac{\mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi a} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$.

(C) $N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N i}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली कुंडली के लिए,$N_1 = 4$ और $B_1 = 32 \ T$ है। अतः,$32 = \frac{\mu_0 \cdot 4 \cdot i}{2R_1} \implies 32 = \frac{2 \mu_0 i}{R_1}$।
जब $L$ लंबाई के तार को खोलकर एक फेरे $(N_2 = 1)$ में फिर से लपेटा जाता है,तो परिधि समान रहती है: $L = 2\pi R_1 \cdot N_1 = 2\pi R_2 \cdot N_2$।
चूंकि $N_1 = 4$ और $N_2 = 1$ है,इसलिए $4(2\pi R_1) = 1(2\pi R_2)$,जिससे $R_2 = 4R_1$ प्राप्त होता है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 i}{2R_2} = \frac{\mu_0 \cdot 1 \cdot i}{2(4R_1)} = \frac{\mu_0 i}{8R_1}$ है।
$B_1$ और $B_2$ की तुलना करने पर: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 i / 8R_1}{2 \mu_0 i / R_1} = \frac{1}{16}$।
अतः,$B_2 = \frac{B_1}{16} = \frac{32}{16} = 2 \ T$।