Cyclotron Questions in Hindi

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान एक आवेशित कण की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{qB}{m}$ होता है।
यहाँ,$q$ कण का आवेश है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,और $m$ कण का द्रव्यमान है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि कोणीय आवृत्ति $\omega$ केवल आवेश,कण के द्रव्यमान और चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर करती है।
यह कण के वेग या चाल $v$ पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,कोणीय आवृत्ति आवेशित कण की चाल से स्वतंत्र होती है।

(C) गतिज ऊर्जा का सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
साइक्लोट्रॉन में,आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r_0 = \frac{mv}{qB}$ होती है।
वेग के लिए इस सूत्र को व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{qB r_0}{m}$ प्राप्त होता है।
$v$ के इस मान को गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$K_{\max} = \frac{1}{2}m \left( \frac{qB r_0}{m} \right)^2$
$K_{\max} = \frac{1}{2}m \left( \frac{q^2 B^2 r_0^2}{m^2} \right)$
$K_{\max} = \frac{q^2 B^2 r_0^2}{2m}$.

(C) साइक्लोट्रॉन एक उपकरण है जिसका उपयोग प्रोटॉन,ड्यूटेरॉन और अल्फा कणों जैसे धनावेशित कणों को त्वरित करने के लिए किया जाता है।
यह इस सिद्धांत पर कार्य करता है कि एक धनावेशित कण को एक शक्तिशाली चुंबकीय क्षेत्र की सहायता से वृत्ताकार पथ में घुमाकर,बार-बार दोलनशील विद्युत क्षेत्र से गुजारकर पर्याप्त उच्च ऊर्जा तक त्वरित किया जा सकता है।
इलेक्ट्रॉनों को साइक्लोट्रॉन में त्वरित नहीं किया जाता है क्योंकि उनका द्रव्यमान बहुत कम होता है,जिससे वे बहुत जल्दी आपेक्षिक (relativistic) गति प्राप्त कर लेते हैं,जो दोलनशील विद्युत क्षेत्र के साथ उनके तालमेल को बिगाड़ देता है।

(D) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $v$ का सूत्र $v = \frac{qB}{2\pi m}$ है।
दिया गया है: $B = 1\, T$,$q = 1.6 \times 10^{-19}\, C$,और $m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$।
मान रखने पर:
$v = \frac{1 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}}$
$v = \frac{1.6}{57.148} \times 10^{12}\, Hz$
$v \approx 0.02799 \times 10^{12}\, Hz = 27.99 \times 10^9\, Hz$
$v \approx 28\, GHz$.

(C) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $f = \frac{eB}{2\pi m}$ द्वारा दी जाती है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $B = \frac{2\pi mf}{e}$ प्राप्त होता है।
डी (त्रिज्या $R$) से बाहर निकलते समय प्रोटॉन का अधिकतम वेग $v = \omega R = (2\pi f)R$ द्वारा दिया जाता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $v = 2\pi fR$ रखने पर:
$K = \frac{1}{2}m(2\pi fR)^2 = \frac{1}{2}m(4\pi^2f^2R^2) = 2m\pi^2f^2R^2$.
अतः,$B = \frac{2\pi mf}{e}$ और $K = 2m\pi^2f^2R^2$ है।

(A) साइक्लोट्रॉन में,आवेशित कण को दो डीज़ (dees) के बीच के अंतराल में मौजूद दोलनशील विद्युत क्षेत्र द्वारा त्वरित किया जाता है।
$(i)$ विद्युत क्षेत्र के कारण कण डीज़ (dees) के बीच अपनी गति बढ़ाता है।
$(ii)$ डीज़ (dees) के अंदर,चुंबकीय क्षेत्र कण पर कार्य करता है,जिससे वह एक स्थिर गति के साथ वृत्ताकार पथ में चलता है,लेकिन उसकी दिशा लगातार बदलती रहती है।
इसलिए,कण अंतराल में मौजूद विद्युत क्षेत्र के कारण त्वरित होता है।

(C) साइक्लोट्रॉन में किसी कण की अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{\max}$ का सूत्र $KE_{\max} = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$ है, जहाँ $q$ आवेश है, $B$ चुंबकीय क्षेत्र है, $R$ 'डीज' की त्रिज्या है और $m$ कण का द्रव्यमान है।
दिए गए साइक्लोट्रॉन के लिए $B$ और $R$ स्थिर हैं, इसलिए $KE_{\max} \propto \frac{q^2}{m}$ होगा।
प्रोटॉन $(p)$ के लिए: $q = e, m = m_p \implies \frac{q^2}{m} = \frac{e^2}{m_p}$.
ड्यूटेरॉन $(d)$ के लिए: $q = e, m = 2m_p \implies \frac{q^2}{m} = \frac{e^2}{2m_p}$.
अल्फा कण $(\alpha)$ के लिए: $q = 2e, m = 4m_p \implies \frac{q^2}{m} = \frac{4e^2}{4m_p} = \frac{e^2}{m_p}$.
मानों की तुलना करने पर, अनुपात $\frac{q^2}{m}$ ड्यूटेरॉन के लिए न्यूनतम है। अतः, प्राप्त न्यूनतम गतिज ऊर्जा ड्यूटेरॉन के लिए होगी।

(D) साइक्लोट्रॉन में आवेशित कण की गतिज ऊर्जा $(E_k)$ का सूत्र: $E_k = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$ है।
साइक्लोट्रॉन की आवृत्ति का सूत्र: $f = \frac{qB}{2 \pi m}$ है,जिसका अर्थ है $qB = 2 \pi m f$.
$qB$ का मान गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$E_k = \frac{(2 \pi m f)^2 r^2}{2m} = 2 \pi^2 m f^2 r^2$.
दिए गए मान:
$m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$ (प्रोटॉन का द्रव्यमान)
$f = 10 \times 10^6 \, Hz$
$r = 0.5 \, m$
जूल में $E_k$ की गणना:
$E_k = 2 \times (3.14)^2 \times (1.67 \times 10^{-27}) \times (10^7)^2 \times (0.5)^2$
$E_k = 2 \times 9.8596 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 10^{14} \times 0.25$
$E_k \approx 8.23 \times 10^{-13} \, J$.
$MeV$ में परिवर्तन:
$E_k (eV \text{ में}) = \frac{8.23 \times 10^{-13}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 5.14 \times 10^6 \, eV = 5.14 \, MeV$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $5.1 \, MeV$ है।

(D) साइक्लोट्रॉन में,कण का अधिकतम वेग $v$,त्रिज्या $r$ और आवृत्ति $f$ से $v = r \omega = r(2 \pi f)$ सूत्र द्वारा संबंधित होता है।
दिया गया है:
आवृत्ति $f = 10\, MHz = 10 \times 10^6\, Hz = 10^7\, Hz$.
त्रिज्या $r = 50\, cm = 0.5\, m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = 2 \times \pi \times r \times f$
$v = 2 \times 3.14 \times 0.5 \times 10^7$
$v = 1 \times 3.14 \times 10^7\, m/s$
$v = 3.14 \times 10^7\, m/s$.

(C) साइक्लोट्रॉन एक कण त्वरक है जिसका उपयोग धनात्मक आयनों जैसे आवेशित कणों को उच्च ऊर्जा तक त्वरित करने के लिए किया जाता है। अतः,कथन सही है।
साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $f$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f = \frac{Bq}{2 \pi m}$
जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$q$ आवेश है,और $m$ कण का द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि साइक्लोट्रॉन आवृत्ति केवल चुंबकीय क्षेत्र,आवेश और कण के द्रव्यमान पर निर्भर करती है। यह वेग $v$ और कक्षा की त्रिज्या $r$ से स्वतंत्र है।
इसलिए,कारण गलत है।

(C) साइक्लोट्रॉन इस सिद्धांत पर कार्य करता है कि दोलनशील विद्युत क्षेत्र की आवृत्ति कण की साइक्लोट्रॉन आवृत्ति से मेल खाती है,जो $f = \frac{qB}{2\pi m}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m)$ बहुत कम होता है,इसलिए त्वरित होने पर यह बहुत तेजी से गति प्राप्त कर लेता है।
सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन की गति प्रकाश की गति के करीब पहुंचती है,उसका सापेक्ष द्रव्यमान काफी बढ़ जाता है $(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}})$।
द्रव्यमान में इस वृद्धि के कारण साइक्लोट्रॉन आवृत्ति बदल जाती है,जिससे $a.c.$ स्रोत की आवृत्ति और Dees में इलेक्ट्रॉन की घूर्णन आवृत्ति के बीच बेमेल हो जाता है।
परिणामस्वरूप,इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के साथ चरण (phase) से बाहर हो जाता है और प्रभावी रूप से त्वरित नहीं हो पाता है। अतः,कथन और कारण दोनों सही हैं,और कारण कथन की सही व्याख्या है।

(A) ऑसिलेटर की आवृत्ति $f$ प्रोटॉन की साइक्लोट्रॉन आवृत्ति के बराबर होनी चाहिए।
$f = \frac{qB}{2\pi m_p} \implies B = \frac{2\pi m_p f}{q}$
मान रखने पर: $B = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 10^7}{1.60 \times 10^{-19}} \approx 0.656 \; T \approx 0.66 \; T$.
निकास त्रिज्या $r = 0.6 \; m$ पर प्रोटॉन का अधिकतम वेग $v$,$v = r\omega = r(2\pi f)$ द्वारा दिया जाता है।
$v = 0.6 \times 2 \times 3.14 \times 10^7 = 3.77 \times 10^7 \; m/s$.
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m_p v^2$ द्वारा दी जाती है।
$K = \frac{1}{2} \times 1.67 \times 10^{-27} \times (3.77 \times 10^7)^2 = 1.186 \times 10^{-12} \; J$.
$MeV$ में बदलने पर: $K = \frac{1.186 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-13}} \approx 7.41 \; MeV$.

(N/A) जब $q$ आवेश और $\vec{v}$ वेग वाला एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में प्रवेश करता है,तो उस पर लगने वाला चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल इस प्रकार होता है:
$\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$
चूंकि वेग $\vec{v}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत है,इसलिए बल $\vec{F}$,$\vec{v}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत कार्य करता है। यह बल अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है,जिससे कण एकसमान वृत्ताकार पथ पर गति करता है।
एकसमान वृत्ताकार गति के लिए,चुंबकीय बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$\text{अभिकेंद्र बल} = \text{चुंबकीय बल}$
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर:
$r = \frac{mv}{qB} \quad \dots (1)$
चूंकि रैखिक संवेग $p = mv$ है,हम लिख सकते हैं:
$r = \frac{p}{qB}$
यह दर्शाता है कि जैसे-जैसे संवेग बढ़ता है,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या भी बढ़ती है।
रैखिक वेग और कोणीय वेग के बीच संबंध $v = \omega r$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{v}{\omega} = \frac{mv}{qB}$
$\omega = \frac{qB}{m}$
जहाँ $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
परिक्रमण की आवृत्ति $f$ इस प्रकार है:
$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi m}$
इसे साइक्लोट्रॉन आवृत्ति कहा जाता है,जो कण की गति और कक्षा की त्रिज्या से स्वतंत्र होती है। इस सिद्धांत का उपयोग साइक्लोट्रॉन में आवेशित कणों को त्वरित करने के लिए किया जाता है।

(N/A) साइक्लोट्रॉन एक उपकरण है जिसका उपयोग प्रोटॉन,ड्यूटेरॉन,$\alpha$-कणों आदि जैसे आवेशित कणों को बहुत उच्च ऊर्जा तक त्वरित करने के लिए किया जाता है। इसका आविष्कार $1934$ में $E.O. Lawrence$ और $M.S. Livingston$ द्वारा किया गया था।
साइक्लोट्रॉन आवेशित कणों की ऊर्जा बढ़ाने के लिए विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों का संयोजन में उपयोग करता है। चूंकि ये क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए इन्हें क्रॉस्ड फील्ड्स कहा जाता है।
साइक्लोट्रॉन इस तथ्य पर कार्य करता है कि चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के परिक्रमण की आवृत्ति उसकी ऊर्जा से स्वतंत्र होती है।
सिद्धांत: एक आवेशित कण को मध्यम विद्युत क्षेत्र से कई बार गुजारकर उसे बहुत उच्च ऊर्जा तक त्वरित किया जा सकता है। यह एक लंबवत चुंबकीय क्षेत्र की मदद से किया जाता है,जो आवेशित कण को वृत्ताकार गति में डाल देता है। इस वृत्ताकार गति की आवृत्ति कण की गति और वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करती है।

(N/A) साइक्लोट्रॉन की संरचना आरेख में दर्शाए अनुसार है।
इसमें दो छोटे खोखले,धात्विक अर्ध-बेलन $D_{1}$ और $D_{2}$ होते हैं,जिन्हें 'डीज' (dees) कहा जाता है क्योंकि वे $D$ अक्षर के आकार के होते हैं।
इन्हें एक शक्तिशाली विद्युत चुंबक के ध्रुवों के बीच एक निर्वात कक्ष (vacuum chamber) में रखा जाता है।
डीज को कुछ सौ किलोवोल्ट के उच्च आवृत्ति वाले प्रत्यावर्ती वोल्टेज स्रोत से जोड़ा जाता है।
त्वरित किए जाने वाले आवेशित कणों के पुंज को डीज के केंद्र $P$ के पास,चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत तल में इंजेक्ट किया जाता है।
आवेशित कणों को डीज से बाहर निकालने के लिए एक ऋणात्मक आवेशित विक्षेपण प्लेट (deflecting plate) का उपयोग किया जाता है,जो उन्हें खिड़की $W$ के माध्यम से बाहर खींचती है।
पूरे उपकरण को उच्च निर्वात में रखा जाता है ताकि हवा के अणु आवेशित कणों के साथ टकरा न सकें।

(N/A) चित्र साइक्लोट्रॉन का एक योजनाबद्ध दृश्य दिखाता है।
धातु के बक्सों (डीज़) के अंदर,कण सुरक्षित रहता है और उस पर विद्युत क्षेत्र का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। विद्युत क्षेत्र केवल दो डीज़ के बीच के अंतराल में ही प्रभावी होता है।
चुंबकीय क्षेत्र कण पर कार्य करता है और उसे डी के अंदर एक वृत्ताकार पथ में घूमने के लिए मजबूर करता है।
हर बार जब कण एक डी से दूसरी डी में जाता है,तो वह विद्युत क्षेत्र द्वारा त्वरित होता है।
विद्युत क्षेत्र की ध्रुवीयता कण की वृत्ताकार गति के साथ तालमेल में बदल दी जाती है।
यह सुनिश्चित करता है कि कण हमेशा विद्युत क्षेत्र द्वारा त्वरित होता रहे। प्रत्येक त्वरण कण की गतिज ऊर्जा को बढ़ाता है। जैसे-जैसे ऊर्जा बढ़ती है,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या बढ़ती जाती है,जिसके परिणामस्वरूप पथ सर्पिल (spiral) हो जाता है।
आवेशित कण (जैसे प्रोटॉन) एक डी में अर्धवृत्ताकार पथ में चलते हैं और $\frac{T}{2}$ समय अंतराल में डीज़ के बीच के अंतराल में पहुँचते हैं,जहाँ $T$ परिक्रमण का आवर्तकाल है।
$T = \frac{1}{v_{c}} = \frac{2 \pi m}{q B}$ या $v_{c} = \frac{q B}{2 \pi m} \quad \dots (1)$
इस आवृत्ति को साइक्लोट्रॉन आवृत्ति कहा जाता है और इसे $v_{c}$ द्वारा दर्शाया जाता है। यह कण की गति,संवेग और गतिज ऊर्जा से स्वतंत्र है।
साइक्लोट्रॉन के उपयोग निम्नलिखित हैं:
$(1)$ साइक्लोट्रॉन में उत्पन्न उच्च ऊर्जा वाले कणों का उपयोग नाभिकों पर बमबारी करके नाभिकीय अभिक्रियाओं का अध्ययन करने और नाभिकीय संरचना की जांच करने के लिए किया जाता है।
$(2)$ इसका उपयोग ठोस पदार्थों में आयनों को प्रत्यारोपित करके उनके गुणों को संशोधित करने या नए पदार्थों को संश्लेषित करने के लिए किया जाता है।
$(3)$ इसका उपयोग रेडियोधर्मी समस्थानिकों (isotopes) का उत्पादन करने के लिए किया जाता है,जिनका उपयोग अस्पतालों में निदान और उपचार के लिए किया जाता है।

(A) साइक्लोट्रॉन एक प्रकार का कण त्वरक (particle accelerator) है।
यह आवेशित कणों को वृत्ताकार पथ में रखने के लिए चुंबकीय क्षेत्र का और जब भी कण दो 'डीज़' (dees) के बीच के अंतराल से गुजरते हैं,तब उनकी गतिज ऊर्जा बढ़ाने (उन्हें त्वरित करने) के लिए दोलनशील विद्युत क्षेत्र का उपयोग करता है।
इसलिए,साइक्लोट्रॉन का मुख्य उद्देश्य प्रोटॉन,ड्यूटेरॉन और अल्फा कणों जैसे आवेशित कणों को उच्च ऊर्जा तक त्वरित करना है।

(N/A) साइक्लोट्रॉन में,'डीज' '$D$' अक्षर के आकार के दो खोखले,अर्ध-वृत्ताकार धातु के कक्ष होते हैं।
इन्हें एक निर्वात कक्ष में उनके बीच एक छोटे अंतराल के साथ रखा जाता है।
इन डीज के बीच एक उच्च-आवृत्ति वाला प्रत्यावर्ती वोल्टेज लगाया जाता है।
डीज का आंतरिक भाग एक क्षेत्र-मुक्त क्षेत्र होता है,जिसका अर्थ है कि उनके अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
जैसे ही एक आवेशित कण एक डी में प्रवेश करता है,वह एक समान लंबवत चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति के कारण अर्ध-वृत्ताकार पथ में गति करता है।
जब कण अंतराल (gap) तक पहुँचता है,तो विद्युत क्षेत्र उसे त्वरित करता है,जिससे अगली डी में प्रवेश करने से पहले उसकी गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।

(N/A) साइक्लोट्रॉन के लिए अनुनाद की शर्त तब उत्पन्न होती है जब आरोपित प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र की आवृत्ति $(f_a)$,चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $(f_c)$ के बराबर होती है।
साइक्लोट्रॉन आवृत्ति का सूत्र इस प्रकार है:
$f_c = \frac{qB}{2\pi m}$
जहाँ:
$q$ = कण का आवेश
$B$ = चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता
$m$ = कण का द्रव्यमान
अतः,अनुनाद की शर्त है:
$f_a = f_c = \frac{qB}{2\pi m}$

(A) जब कोई आवेशित कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है,तो चुंबकीय बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$F_m = F_c$
$qvB = \frac{mv^2}{R}$
कोणीय वेग $\omega = \frac{v}{R}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{v}{R} = \frac{qB}{m}$
चूंकि $\omega = \frac{v}{R}$ और $q = e$,इसलिए $\omega = \frac{eB}{m}$ है।
अब,आयामों की जाँच करने पर:
$[\omega] = \frac{[e][B]}{[m]}$
$F = qvB$ से,$B$ का आयाम $[B] = \frac{[F]}{[q][v]} = \frac{MLT^{-2}}{IT \cdot LT^{-1}} = [M I^{-1} T^{-2}]$ है।
आयामों को प्रतिस्थापित करने पर:
$[\omega] = \frac{[I T] \cdot [M I^{-1} T^{-2}]}{[M]} = \frac{M I^0 T^{-1}}{M} = [T^{-1}]$.
अतः,साइक्लोट्रॉन आवृत्ति का आयाम $[T]^{-1}$ है।

(N/A) रेडियो फ्रीक्वेंसी $(rf)$ क्षेत्र की आवृत्ति $f = \frac{qB}{2\pi m}$ द्वारा दी जाती है। साइक्लोट्रॉन में कण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ होता है।
यदि $(rf)$ क्षेत्र की आवृत्ति को दोगुना कर दिया जाए,तो ऑसिलेटर की आवृत्ति $2f$ हो जाती है,जिसका अर्थ है कि $(rf)$ क्षेत्र का आवर्तकाल $T' = \frac{T}{2}$ हो जाता है।
चूंकि कण द्वारा 'डी' (dee) के अंदर अर्धवृत्त पूरा करने में लिया गया समय $t = \frac{T}{2}$ है,इसलिए कण अब विद्युत क्षेत्र के अपना चक्र पूरा करने से पहले ही 'डी' के बीच के अंतराल पर पहुँच जाएगा।
परिणामस्वरूप,कण अंतराल पर लगातार त्वरित नहीं होगा,क्योंकि विद्युत क्षेत्र की ध्रुवीयता कण के आगमन के साथ मेल नहीं खाएगी। यह साइक्लोट्रॉन के कार्य करने के लिए आवश्यक अनुनाद स्थिति को बाधित करता है,और कण प्रभावी रूप से ऊर्जा प्राप्त नहीं कर पाएगा।

(C) साइक्लोट्रॉन में $n$ चक्करों के बाद प्रोटॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = n \times (2qV)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ प्रति गैप अधिकतम त्वरण विभव है और प्रति चक्कर दो गैप होते हैं।
दिया गया है:
$V = 12 \times 10^3 \, V$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$
$v = \frac{c}{6} = \frac{3 \times 10^8}{6} = 0.5 \times 10^8 \, m/s$
गतिज ऊर्जा को किए गए कार्य के बराबर रखने पर:
$n(2qV) = \frac{1}{2} m_p v^2$
$n = \frac{m_p v^2}{4qV}$
$n = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times (0.5 \times 10^8)^2}{4 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 12 \times 10^3}$
$n = \frac{1.67 \times 10^{-27} \times 0.25 \times 10^{16}}{76.8 \times 10^{-16}}$
$n = \frac{0.4175 \times 10^{-11}}{76.8 \times 10^{-16}} \approx 543.6$
निकटतम पूर्णांक में,चक्करों की संख्या $543$ है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है,इसलिए $p = \sqrt{2mK}$ होता है।
त्रिज्या के सूत्र में $p = mv$ रखने पर,हमें $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि त्रिज्या गतिज ऊर्जा के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है: $r \propto \sqrt{K}$।
दिया गया है कि नई गतिज ऊर्जा $K_n = 4K_0$ है,जहाँ $K_0$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा है।
नई त्रिज्या $r_n$ और मूल त्रिज्या $r_0$ का अनुपात $\frac{r_n}{r_0} = \sqrt{\frac{K_n}{K_0}} = \sqrt{\frac{4K_0}{K_0}} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(B) साइक्लोट्रॉन में $q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण की गतिज ऊर्जा $K$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ और त्रिज्या $r$ के साथ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$K = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}$
दिया गया है:
$q = 1.6 \times 10^{-19}\,C$
$B = 1.0\,T$
$r = 60\,cm = 0.6\,m$
$m = 1.6 \times 10^{-27}\,kg$
मान रखने पर:
$K = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2 \times (1.0)^2 \times (0.6)^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-27}}$
$K = \frac{2.56 \times 10^{-38} \times 0.36}{3.2 \times 10^{-27}}$
$K = 0.8 \times 10^{-11} \times 0.36 = 0.288 \times 10^{-11}\,J$
जूल को $MeV$ में बदलने के लिए $1.6 \times 10^{-13}$ से विभाजित करें:
$K = \frac{0.288 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-13}} = 0.18 \times 10^2 = 18\,MeV$

(D) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{qB}{2 \pi m}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{2 \pi m f}{q}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान हैं: $f = 10 \,MHz = 10^7 \,Hz$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \,kg$,और $q = 1.6 \times 10^{-19} \,C$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$B = \frac{2 \times 3.14159 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19}}$।
$B = \frac{10.493 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}}$।
$B \approx 0.656 \,T$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

$(A)$ साइक्लोट्रॉन में, जब कोई कण दो "डीज़" के बीच के अंतराल को पार करता है तो वह $qV$ के बराबर ऊर्जा प्राप्त करता है।
चूंकि प्रति चक्कर दो अंतराल होते हैं, इसलिए प्रति चक्कर प्राप्त ऊर्जा $\Delta E = 2qV$ है।
दिया गया है: विभवांतर $V = 100 \,kV = 10^5 \,V$।
प्रति चक्कर प्राप्त ऊर्जा $= 2 \times e \times 10^5 \,V = 2 \times 10^5 \,eV$।
लक्ष्य गतिज ऊर्जा $E = 20 \,MeV = 20 \times 10^6 \,eV = 2 \times 10^7 \,eV$।
चक्करों की संख्या $n = \frac{E}{\Delta E} = \frac{2 \times 10^7 \,eV}{2 \times 10^5 \,eV} = 100$।

(C) $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण के लिए जो चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहा है, साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $\omega = \frac{qB}{m}$ द्वारा दी जाती है।
बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार, $n$-वें स्तर में कोणीय संवेग $L = n \frac{h}{2 \pi}$ है।
चूंकि $L = mvr = mr^2 \omega$, हमारे पास $mr^2 \omega = n \frac{h}{2 \pi}$ है।
$\omega = \frac{qB}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $mr^2 (\frac{qB}{m}) = n \frac{h}{2 \pi}$ प्राप्त होता है, जो सरल होकर $r^2 = \frac{nh}{2 \pi qB}$ हो जाता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} m(r \omega)^2 = \frac{1}{2} m r^2 \omega^2$ द्वारा दी जाती है।
$r^2$ और $\omega$ का मान रखने पर, $K = \frac{1}{2} m (\frac{nh}{2 \pi qB}) (\frac{qB}{m})^2 = \frac{n h q B}{4 \pi m}$ प्राप्त होता है।
दूसरे स्तर के लिए, $n = 2$, इसलिए $K = \frac{2 h q B}{4 \pi m} = \frac{qBh}{2 \pi m}$।

(B) साइक्लोट्रॉन एक कण त्वरक है जो आवेशित कणों को त्वरित करने के लिए चुंबकीय और विद्युत क्षेत्रों के संयोजन का उपयोग करता है। इसे मुख्य रूप से प्रोटॉन,ड्यूटेरॉन और अल्फा कणों जैसे धनावेशित कणों को उच्च ऊर्जा तक त्वरित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। न्यूट्रॉन पर कोई विद्युत आवेश नहीं होता है,इसलिए उन्हें साइक्लोट्रॉन द्वारा त्वरित नहीं किया जा सकता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण के पूर्ण वृत्ताकार पथ का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयन डी (dee) में अर्धवृत्ताकार पथ तय करता है,इसलिए लगा समय $t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{q B}$ होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि लगा समय आयन की गति $(v)$ और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $(r)$ से स्वतंत्र है।

(A) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $n = \frac{q B}{2 \pi m}$ द्वारा दी जाती है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $B = \frac{2 \pi n m}{q}$ प्राप्त होता है।
डीज़ के अंदर $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में गति करने वाले प्रोटॉन के लिए,चुंबकीय बल अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{m v^2}{r} = q v B$.
इसे सरल करने पर $m v^2 = q v B r$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $m v^2 = q v B r$ का मान रखने पर,हमें $K.E. = \frac{q v B r}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) साइक्लोट्रॉन के लिए अनुनाद (resonance) की शर्त यह है कि ऑसिलेटर की आवृत्ति '$v$' साइक्लोट्रॉन आवृत्ति के बराबर होनी चाहिए: $v = \frac{eB}{2 \pi m}$.
इससे,हम चुंबकीय क्षेत्र को $B = \frac{2 \pi m v}{e}$ के रूप में लिख सकते हैं।
साइक्लोट्रॉन में प्रोटॉन के पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv_{p}}{eB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ '$v_{p}$' प्रोटॉन का वेग है।
वेग के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v_{p} = \frac{eBR}{m}$.
'$B$' का मान रखने पर: $v_{p} = \frac{e}{m} \times \left( \frac{2 \pi m v}{e} \right) \times R = 2 \pi v R$.
प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} m v_{p}^{2}$ द्वारा दी जाती है।
'$v_{p}$' का मान रखने पर: $K.E. = \frac{1}{2} m (2 \pi v R)^{2} = \frac{1}{2} m (4 \pi^{2} v^{2} R^{2}) = 2 m \pi^{2} v^{2} R^{2}$.

(D) साइक्लोट्रॉन में आवेशित कण द्वारा प्राप्त अधिकतम गतिज ऊर्जा $E_K$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E_K = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$
जहाँ,
$q$ कण का आवेश है,
$B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,
$R$ कक्षा की अधिकतम त्रिज्या (डीज की त्रिज्या) है,
और $m$ कण का द्रव्यमान है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $E_K$,$q$,$B$,$R$ और $m$ पर निर्भर करता है।
हालाँकि,$E_K$ परिक्रमण की आवृत्ति $(f = \frac{qB}{2\pi m})$ पर निर्भर नहीं करता है,क्योंकि आवृत्ति साइक्लोट्रॉन अनुनाद की स्थिति द्वारा निर्धारित होती है और यह कण की ऊर्जा या पथ की त्रिज्या से स्वतंत्र होती है।

(A) साइक्लोट्रॉन में,प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र की आवृत्ति $f$,साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $f_c = \frac{eB}{2\pi m}$ के बराबर होती है।
इससे,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{2\pi mf}{e}$ प्राप्त होता है।
निकास त्रिज्या $R$ पर प्रोटॉन का अधिकतम वेग $v = \omega R = (2\pi f)R$ होता है।
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
$v = 2\pi f R$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K.E. = \frac{1}{2}m(2\pi f R)^2 = \frac{1}{2}m(4\pi^2 f^2 R^2) = 2\pi^2 mf^2 R^2$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $\frac{2\pi mf}{e}$ है और गतिज ऊर्जा $2\pi^2 mf^2 R^2$ है।

(B) साइक्लोट्रॉन एक कण त्वरक है जो आवेशित कणों को वृत्ताकार पथ में रखने के लिए चुंबकीय क्षेत्र और उनकी गतिज ऊर्जा बढ़ाने के लिए प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र का उपयोग करता है।
इसका उपयोग मुख्य रूप से प्रोटॉन,ड्यूटेरॉन और अल्फा कणों जैसे धनावेशित कणों को त्वरित करने के लिए किया जाता है।
न्यूट्रॉन को साइक्लोट्रॉन द्वारा त्वरित नहीं किया जा सकता है क्योंकि वे विद्युत रूप से उदासीन होते हैं और वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक लॉरेंट्ज़ बल $(F = q(v \times B))$ या त्वरण के लिए आवश्यक विद्युत बल $(F = qE)$ का अनुभव नहीं करते हैं।

(A) साइक्लोट्रॉन में,आवेशित कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र के कारण डीज़ ($D_1$ और $D_2$) के अंदर एक वृत्ताकार पथ में गति करता है। कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है,जो हमेशा वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है। चूंकि बल वेग के लंबवत है,इसलिए यह कण पर कोई कार्य नहीं करता है,और इसलिए,डीज़ के अंदर कण की गति स्थिर रहती है।
जब कण डीज़ के बीच के अंतराल को पार करता है,तो वह एक दोलनशील विद्युत क्षेत्र के अधीन होता है। यह विद्युत क्षेत्र कण पर विद्युत बल लगाता है,जो उस पर कार्य करता है,जिससे उसकी गतिज ऊर्जा और गति बढ़ जाती है। इस प्रकार,आवेशित कण की गति केवल $D_1$ और $D_2$ के बीच के अंतराल में बढ़ती है।

(C) जब एक आवेशित कण को साइक्लोट्रॉन में त्वरित किया जाता है,तो उसके पथ की त्रिज्या $r$ को $r = \frac{\sqrt{2Km}}{Bq}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $r^2 = \frac{2Km}{B^2q^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $K = \frac{B^2q^2r^2}{2m}$।
चूंकि बाहर निकलते समय सभी कणों के लिए $B$ और $r$ समान हैं,इसलिए $K \propto \frac{q^2}{m}$।
प्रोटॉन $\left({ }_{1}^{1} H\right)$,ड्यूटेरॉन $\left({ }_{1}^{2} H\right)$,और $\alpha$-कणों $\left({ }_{2}^{4} He\right)$ के लिए:
आवेश का अनुपात: $q_p : q_d : q_{\alpha} = 1 : 1 : 2$।
द्रव्यमान का अनुपात: $m_p : m_d : m_{\alpha} = 1 : 2 : 4$।
गतिज ऊर्जा का अनुपात $K \propto \frac{q^2}{m}$ की गणना करने पर:
$K_p \propto \frac{1^2}{1} = 1$।
$K_d \propto \frac{1^2}{2} = 0.5$।
$K_{\alpha} \propto \frac{2^2}{4} = 1$।
मानों की तुलना करने पर,न्यूनतम गतिज ऊर्जा ड्यूटेरॉन द्वारा प्राप्त की जाती है।

(B) साइक्लोट्रॉन में,आवेशित कण दो डी (dee) के बीच के अंतराल में विद्युत क्षेत्र के कारण त्वरित होता है।
डी (dee) के भीतर,कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र के कारण वृत्ताकार पथ में गति करता है,जहाँ उसकी चाल स्थिर रहती है।
चूंकि कण वृत्ताकार पथ में गति करते समय लगातार अपनी गति की दिशा बदल रहा है,इसलिए यह हर समय अभिकेंद्र त्वरण का अनुभव करता है।
अतः,कण अपनी पूरी गति के दौरान त्वरित होता रहता है।

(C) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति $f = \frac{qB}{2\pi m}$ द्वारा दी जाती है।
त्रिज्या $r$ पर प्रोटॉन का अधिकतम वेग $v = \frac{qBr}{m} = 2\pi fr$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(2\pi fr)^2 = 2\pi^2 mf^2r^2$ है।
दिए गए मान: $f = 10 \times 10^6 \text{ Hz}$, $r = 0.6 \text{ m}$, $m = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}$।
इन मानों को रखने पर:
$K = 2 \times (3.14)^2 \times (1.67 \times 10^{-27}) \times (10^7)^2 \times (0.6)^2$
$K = 2 \times 9.8596 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 10^{14} \times 0.36$
$K \approx 1.185 \times 10^{-12} \text{ J}$।
$\text{MeV}$ में बदलने के लिए, $1.6 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}$ से विभाजित करने पर:
$K = \frac{1.185 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-13}} \approx 7.4 \text{ MeV}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $7 \text{ MeV}$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $(r)$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $r \propto v$,जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे त्रिज्या $(r)$ बढ़ती है,कण का रैखिक वेग $(v)$ भी बढ़ता है।
कोणीय वेग $(\omega)$ का सूत्र $\omega = \frac{v}{r}$ होता है।
$\omega$ के व्यंजक में $v = \frac{rqB}{m}$ रखने पर,हमें $\omega = \frac{rqB}{mr} = \frac{qB}{m}$ प्राप्त होता है।
चूंकि आवेश $(q)$,चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ और द्रव्यमान $(m)$ स्थिर हैं,इसलिए कोणीय वेग $(\omega)$ त्रिज्या और वेग से स्वतंत्र रहता है।
अतः,जैसे-जैसे त्रिज्या बढ़ती है,$v$ बढ़ता है और $\omega$ स्थिर रहता है।

(D) साइक्लोट्रॉन में,आयन के पथ की त्रिज्या $R$ को $R = \frac{mv}{qB}$ संबंध द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $v$ आयन का वेग है।
वेग के लिए इस समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{qBR}{m}$ प्राप्त होता है।
आयन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ का सूत्र $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ है।
गतिज ऊर्जा के सूत्र में $v$ का मान रखने पर:
$K.E. = \frac{1}{2}m \left( \frac{qBR}{m} \right)^2$
$K.E. = \frac{1}{2}m \left( \frac{q^2B^2R^2}{m^2} \right)$
$K.E. = \frac{q^2B^2R^2}{2m}$.

(D) साइक्लोट्रॉन आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{qB}{2\pi m}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $B = \frac{2\pi mf}{q}$ प्राप्त होता है।
दी गई मान हैं:
आवृत्ति $f = 20 MHz = 20 \times 10^6 Hz$
प्रोटॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} C$
प्रोटॉन का द्रव्यमान $m = 1.67 \times 10^{-27} kg$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{2 \times 3.14 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 20 \times 10^6}{1.6 \times 10^{-19}}$
$B = \frac{209.536 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}}$
$B \approx 1.31 T$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$F_m = F_c \Rightarrow qvB = \frac{mv^2}{r}$
इससे, पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होती है।
एक चक्कर का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$ होता है।
घूर्णन की आवृत्ति $f$ आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है:
$f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m}$.
चूंकि $2\pi$ एक स्थिरांक है, इसलिए आवृत्ति $\frac{qB}{m}$ के समानुपाती है।