Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(A) $N$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए तार की कुल लंबाई $L$ है।
एक फेरे के लिए $(N_1 = 1)$,परिधि $2 \pi r_1 = L$ है,इसलिए $r_1 = \frac{L}{2 \pi}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 (1) I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ है।
तीन फेरों के लिए $(N_2 = 3)$,कुल लंबाई $3(2 \pi r_2) = L$ है,इसलिए $r_2 = \frac{L}{6 \pi}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 (3) I}{2 (L / 6 \pi)} = \frac{9 \mu_0 I \pi}{L}$ है।
चुंबकीय प्रेरण का अनुपात $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I \pi / L}{9 \mu_0 I \pi / L} = \frac{1}{9}$ है।

(C) एक लंबे सीधे धारावाही तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धाराएं $I_1$ और $I_2$ विपरीत दिशाओं में हैं,दाएं हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,मध्य बिंदु पर दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।
इसलिए,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र व्यक्तिगत क्षेत्रों का योग होगा: $B_{net} = B_1 + B_2$.
प्रत्येक तार से मध्य बिंदु की दूरी $r = \frac{d}{2}$ है।
मान रखने पर: $B_{net} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi(d/2)} + \frac{\mu_0 I_2}{2\pi(d/2)}$.
सरल करने पर: $B_{net} = \frac{\mu_0 I_1}{\pi d} + \frac{\mu_0 I_2}{\pi d} = \frac{\mu_0(I_1+I_2)}{\pi d}$.

(D) $N$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{N \mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,एक फेरे $(N=1)$ और $r$ त्रिज्या के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ है।
जब $L = 2 \pi r$ लंबाई के उसी तार को $n$ फेरों में मोड़ा जाता है,तो नई त्रिज्या $r^{\prime}$ का मान $L = n(2 \pi r^{\prime})$ से प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r^{\prime} = \frac{r}{n}$।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B^{\prime} = \frac{n \mu_0 I}{2r^{\prime}}$ है।
$B^{\prime}$ के व्यंजक में $r^{\prime} = \frac{r}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$B^{\prime} = \frac{n \mu_0 I}{2(r/n)} = n^2 \left( \frac{\mu_0 I}{2r} \right) = n^2 B$।

(B) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$।
कुंडली के केंद्र पर $(x = 0)$,चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र केंद्र के क्षेत्र का $\frac{1}{8}$ गुना है: $B_P = \frac{1}{8} B_0$।
मान रखने पर: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right)$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R} \Rightarrow \frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8}$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{R}{(R^2 + x^2)^{1/2}} = \frac{1}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{R^2}{R^2 + x^2} = \frac{1}{4}$।
वज्र गुणन करने पर: $4R^2 = R^2 + x^2 \Rightarrow x^2 = 3R^2 \Rightarrow x = \sqrt{3}R$।

(A) वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$।
यहाँ,धारा $I$ को प्रति इकाई समय आवेश के रूप में परिभाषित किया गया है,$I = \frac{e}{T}$।
एक चक्कर के लिए समय अवधि $T = \frac{2 \pi r}{V}$ है।
$T$ का मान धारा के समीकरण में रखने पर,हमें $I = \frac{e}{(2 \pi r / V)} = \frac{eV}{2 \pi r}$ प्राप्त होता है।
अब,$I$ का मान चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0}{2r} \left( \frac{eV}{2 \pi r} \right) = \frac{\mu_0 eV}{4 \pi r^2}$।

(B) $r$ त्रिज्या और $i$ धारा वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों लूपों के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r_1}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r_2}$ हैं।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,केंद्र पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2$ है (मानते हुए कि $B_1 > B_2$ है)।
दिया गया है कि $B = \frac{B_1}{2}$,इसलिए:
$\frac{B_1}{2} = B_1 - B_2$
$B_2 = \frac{B_1}{2}$
$B_1$ और $B_2$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{\mu_0 i_2}{2r_2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\mu_0 i_1}{2r_1} \right)$
$\frac{i_2}{r_2} = \frac{i_1}{2r_1}$
$r_2 = 2r_1$ दिया गया है,इसे समीकरण में रखने पर:
$\frac{i_2}{2r_1} = \frac{i_1}{2r_1}$
$\frac{i_2}{i_1} = 1$.

(D) जब बैटरी को वर्गाकार फ्रेम के विकर्ण के सिरों पर जोड़ा जाता है,तो धारा दो समान पथों में विभाजित हो जाती है।
प्रत्येक पथ वर्ग की दो भुजाओं से बना होता है।
परिपथ की समरूपता के कारण,प्रत्येक भुजा से बहने वाली धारा वर्ग के केंद्र पर एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है।
वर्ग की किसी भी भुजा के लिए,केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण उसके ठीक विपरीत भुजा द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के बराबर होता है,लेकिन दिशा में विपरीत होता है।
चूंकि इन विपरीत खंडों में धाराएं समान हैं और वे इस प्रकार बहती हैं कि केंद्र पर उनके चुंबकीय क्षेत्र का योगदान एक-दूसरे को निरस्त कर देता है,इसलिए केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।

(A) धारा $I$ ले जाने वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आवेश $q = 100e$ आवृत्ति $f = 1 \ r.p.s$ के साथ घूम रहा है।
तुल्य धारा $I = qf = 100e \times 1 = 100e \ A$ है।
दी गई त्रिज्या $r = 0.8 \ m$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 \times 100e}{2 \times 0.8} = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6}$.
$B = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = 100 \times 10^{-19} \mu_0 = 10^{-17} \mu_0 \ T$.

(C) $I$ धारा वहन करने वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है: $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$.
चूंकि रिंग पर $q$ आवेश है जो $f$ आवृत्ति (चक्कर प्रति सेकंड) के साथ घूम रहा है, इसलिए समतुल्य धारा $I$ को प्रति इकाई समय में गुजरने वाले आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है。
अतः, $I = q \times f$.
$I$ के इस मान को चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_0 (qf)}{2 R}$.
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + r^{2})^{3/2}}$
दी गई शर्त $r \gg R$ के अनुसार,हम हर में $r^{2}$ की तुलना में $R^{2}$ की उपेक्षा कर सकते हैं:
$B \approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(r^{2})^{3/2}}$
$B \approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2r^{3}}$
चूंकि $\mu_{0}$,$I$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम पाते हैं कि:
$B \propto \frac{1}{r^{3}}$

(B) $I$ धारा वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$B_{axis} = \frac{1}{8} B_{centre}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R}$।
इससे $(R^2 + x^2)^{3/2} = 8R^3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $(R^2 + x^2)^{1/2} = 2R$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $R^2 + x^2 = 4R^2$।
अतः,$x^2 = 3R^2$,जिसका अर्थ है $x = R \sqrt{3}$।

(C) $I_{1}$ धारा के कारण वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R}$
$d$ दूरी पर स्थित $I_{2}$ धारा ले जाने वाले लंबे सीधे तार के कारण कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d}$
केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,इन क्षेत्रों के परिमाण समान और दिशाएँ विपरीत होनी चाहिए:
$B_{1} = B_{2}$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi} \times \frac{2 R}{\mu_{0} I_{1}}$
$d = \frac{I_{2} R}{\pi I_{1}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) '$n$' फेरों और '$a$' त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर '$I$' धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} n I}{2a}$ द्वारा दिया जाता है।
दो संकेंद्रित कुंडलियों के लिए,केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_{1}$ और $B_{2}$ हैं:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} n I_{1}}{2 a_{1}}$ और $B_{2} = \frac{\mu_{0} n I_{2}}{2 a_{2}}$.
चूंकि धाराएँ विपरीत दिशाओं में हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों क्षेत्रों का अंतर होगा:
$B = B_{1} - B_{2} = \frac{\mu_{0} n I_{1}}{2 a_{1}} - \frac{\mu_{0} n I_{2}}{2 a_{2}}$.
$\frac{\mu_{0} n}{2}$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$B = \frac{\mu_{0} n}{2} \left[ \frac{I_{1}}{a_{1}} - \frac{I_{2}}{a_{2}} \right]$.
$a_{1} a_{2}$ को लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_{0} n}{2} \left[ \frac{I_{1} a_{2} - I_{2} a_{1}}{a_{1} a_{2}} \right]$.

(A) केबल से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I_{\text{net}}$ व्यक्तिगत तारों में धाराओं का बीजगणितीय योग है:
$I_{\text{net}} = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5 + I_6$
$I_{\text{net}} = 10 - 13 + 10 + 7 - 12 + 18 = 20 \text{ A}$
एक लंबे सीधे तार से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I_{\text{net}}}{2\pi r}$
यहाँ $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ है:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 20}{2\pi \times 0.1}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 20}{0.1}$
$B = 400 \times 10^{-7} \text{ T} = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$
$B = 40 \mu\text{T}$

(C) दिया गया है: फेरों की संख्या,$n = 100$,कुंडली की त्रिज्या,$r = 9 \ cm = 9 \times 10^{-2} \ m$,और कुंडली में प्रवाहित धारा,$I = 0.4 \ A$।
$n$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{(12.56 \times 10^{-7}) \times 100 \times 0.4}{2 \times 9 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{12.56 \times 10^{-7} \times 40}{18 \times 10^{-2}}$
$B = \frac{502.4 \times 10^{-7}}{18 \times 10^{-2}}$
$B \approx 27.91 \times 10^{-5} \ T = 2.79 \times 10^{-4} \ T$।

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_x = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
हमें दिया गया है कि $B_x = \frac{B}{8}$. $B$ का मान रखने पर:
$\frac{B}{8} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8R} = \frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
$\frac{1}{8R^3} = \frac{1}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{1}{2R} = \frac{1}{(R^2 + x^2)^{1/2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{4R^2} = \frac{1}{R^2 + x^2}$
$R^2 + x^2 = 4R^2$
$x^2 = 3R^2$
$x = R\sqrt{3}$.

(D) केंद्र $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सीधे भागों और वृत्ताकार चाप $PQR$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र का सदिश योग है।
$1$. सीधे भागों $AP$ और $RB$ के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।
$2$. वृत्ताकार चाप $PQR$ (जो एक अर्धवृत्त है) के कारण इसके केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{arc} = \frac{\mu_{0} i}{4R}$ (कागज के तल के अंदर की ओर)।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $D$ है।

(D) $N$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$N_1 = 2$ और $B_1 = B = \frac{\mu_0 (2) I}{2r_1} = \frac{\mu_0 I}{r_1}$ है।
जब कुंडली को फिर से लपेटकर $N_2 = 4$ फेरे किए जाते हैं,तो तार की कुल लंबाई समान रहती है। चूंकि लंबाई $L = N(2\pi r)$ है,इसलिए $N_1 r_1 = N_2 r_2$ होगा।
मान रखने पर: $2 r_1 = 4 r_2$,जिससे $r_2 = r_1 / 2$ प्राप्त होता है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2r_2} = \frac{\mu_0 (4) I}{2(r_1 / 2)} = \frac{4 \mu_0 I}{r_1}$ है।
$B_2$ की $B_1$ से तुलना करने पर: $B_2 = 4 \times (\frac{\mu_0 I}{r_1}) = 4 B_1 = 4 B$।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $B_{P} = B_{Q}$,इसलिए $\frac{\mu_{0} I_{P}}{2 r_{P}} = \frac{\mu_{0} I_{Q}}{2 r_{Q}}$.
चूंकि $r_{Q} = 2 r_{P}$,हमें $\frac{I_{P}}{r_{P}} = \frac{I_{Q}}{2 r_{P}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I_{Q} = 2 I_{P}$.
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{2 \pi r}{A}$ है। चूंकि तार समान है,$\rho$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto r$.
अतः,$R_{Q} = 2 R_{P}$.
विभवांतर $V = IR$ है। इस प्रकार,$\frac{V_{Q}}{V_{P}} = \frac{I_{Q} R_{Q}}{I_{P} R_{P}} = \left(\frac{2 I_{P}}{I_{P}}\right) \times \left(\frac{2 R_{P}}{R_{P}}\right) = 2 \times 2 = 4$.
अतः,$V_{Q} = 4 V_{P}$.

(B) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। $r$ त्रिज्या वाले एक फेरे के लूप के लिए,परिधि $2 \pi r = L$ है,इसलिए $r = \frac{L}{2 \pi}$।
एक फेरे वाले लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r} = \frac{\mu_{0} I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_{0} I \pi}{L}$ है।
जब उसी तार को $n$ फेरों में मोड़ा जाता है,तो नई त्रिज्या $r'$ का मान $n (2 \pi r') = L$ होता है,इसलिए $r' = \frac{L}{2 \pi n} = \frac{r}{n}$।
$n$ फेरों वाले लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{n} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 r'} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 (r / n)} = n^{2} \times \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ है।
चूंकि $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$,इसलिए $B_{n} = n^{2} B$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्ताकार कक्षा में गतिमान $e$ आवेश से जुड़ी धारा $I = \frac{e}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ परिक्रमण का आवर्तकाल है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में $v$ गति से चलता है,इसलिए आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi r}{v}$ होता है।
धारा के सूत्र में $T$ का मान रखने पर,हमें $I = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{ev}{2 \pi r}$ प्राप्त होता है।
अनुपात $\frac{r}{v}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{r}{v} = \frac{e}{2 \pi I}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) वृत्ताकार पथ पर घूमते हुए आवेश द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश $q$, $f$ आवृत्ति के साथ घूम रहा है, इसलिए समतुल्य धारा $I = qf$ होगी।
दिया गया है: $q = 50e = 50 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 80 \times 10^{-19} \ C$, $r = 0.4 \ m$, और $f = 1 \ r.p.s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 \times (80 \times 10^{-19}) \times 1}{2 \times 0.4}$
$B = \frac{80 \times 10^{-19} \mu_0}{0.8}$
$B = 100 \times 10^{-19} \mu_0$
$B = 10^{-17} \mu_0$.

(C) एक गतिमान आवेश $e$ द्वारा $v$ वेग से $r$ दूरी पर एक वृत्ताकार लूप के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B$ को बिंदु आवेश के लिए बायो-सावर्ट नियम द्वारा दिया जाता है:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{e(v \times r)}{r^3}$
चूंकि वृत्ताकार कक्षा में वेग सदिश $v$ और त्रिज्या सदिश $r$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,इसलिए कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
अतः,परिमाण इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{ev \sin(90^{\circ})}{r^2} = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^2}$
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$r^2 = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi B}$
$r = \left(\frac{\mu_{0} ev}{4 \pi B}\right)^{1 / 2}$

(B) दो समानांतर धारावाही तारों के बीच प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला चुंबकीय बल का सूत्र है: $F/L = \frac{\mu_{0} I_{1} I_{2}}{2 \pi d}$।
$\mu_{0}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\mu_{0} = \frac{(F/L) \cdot 2 \pi d}{I_{1} I_{2}}$।
बल $(F)$ का $SI$ मात्रक न्यूटन $(N)$,लंबाई $(L)$ का मीटर $(m)$,दूरी $(d)$ का मीटर $(m)$ और धारा $(I)$ का एम्पीयर $(A)$ है।
मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\mu_{0} \text{ का मात्रक} = \frac{(N/m) \cdot m}{A \cdot A} = \frac{N}{A^{2}}$।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $1 \text{ टेस्ला} = 1 \text{ N}/(A \cdot m)$,इसलिए मात्रक को $T \cdot m/A$ या $Wb/(A \cdot m)$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ को चुंबकीय क्षेत्र $B$ और क्षेत्र $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है,जो सूत्र $\phi = B \times A$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मात्रक ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: $B = \frac{\phi}{A}$।
चूंकि चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का मात्रक वेबर $(Wb)$ है और क्षेत्रफल $A$ का मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मात्रक $\frac{Wb}{m^2}$ है।

(B) निर्वात की चुंबकीय पारगम्यता (permeability) $\mu_0$ का मात्रक सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\mu_0 = \frac{B \cdot 2\pi r}{I}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ का मात्रक टेस्ला $(T)$ है,जो $\frac{V \cdot s}{m^2}$ के बराबर होता है।
इसे $\mu_0$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,मात्रक $\frac{(V \cdot s / m^2) \cdot m}{A} = \frac{V \cdot s}{A \cdot m}$ होता है।
अतः,$\frac{V \cdot s}{A \cdot m}$,$\mu_0$ (निर्वात की पारगम्यता) का मात्रक है।

(A) दिया गया है:
तार की त्रिज्या,$R = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$
धारा,$I = 10 \ A$
वक्र सतह से दूरी = $2 \ cm$
इसलिए,तार की अक्ष से दूरी,$r = R - 2 \ cm = 5 \ cm - 2 \ cm = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$
एक लंबे बेलनाकार तार के अंदर अक्ष से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi R^2}$
मान रखने पर:
$B = \frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times 10 \times (3 \times 10^{-2})}{2 \pi \times (5 \times 10^{-2})^2}$
$B = \frac{2 \times 10^{-7} \times 10 \times 3 \times 10^{-2}}{25 \times 10^{-4}}$
$B = \frac{60 \times 10^{-9}}{25 \times 10^{-4}}$
$B = 2.4 \times 10^{-5} \ T$
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $2.4 \times 10^{-5} \ T$ है।

(A) सही उत्तर $A$ है।
चुंबकीय क्षेत्र का स्रोत धारा अवयव (current element) है,जो $I \vec{dl}$ के रूप में परिभाषित एक सदिश राशि है।
विद्युत क्षेत्र का स्रोत विद्युत आवेश है,जो एक अदिश राशि है।

(C) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $P$ के लिए,तार $1$ से दूरी $r$ है। अतः,तार $1$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ (कागज के तल के अंदर की ओर) है।
तार $2$ से दूरी $2r + r = 3r$ है। अतः,तार $2$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$ (कागज के तल के अंदर की ओर) है।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ होगा:
$B_{net} = B_1 + B_2$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$
$B_{net} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (1 + \frac{1}{3}) = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} (\frac{4}{3}) = \frac{2 \mu_0 I}{3 \pi r}$.

(D) $N$ फेरों और $a$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली जिसके केंद्र पर $I$ धारा बह रही है,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2a}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धाराएं परस्पर विपरीत दिशाओं में हैं,केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र दोनों छल्लों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का अंतर है: $B = |B_1 - B_2|$.
दिया गया है: $N = 25$,$I_1 = 0.1 \text{ A}$,$a_1 = 0.5 \text{ m}$,$I_2 = 0.2 \text{ A}$,$a_2 = 2.0 \text{ m}$.
मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 N}{2} \left| \frac{I_1}{a_1} - \frac{I_2}{a_2} \right|$
$B = \frac{\mu_0 \times 25}{2} \left| \frac{0.1}{0.5} - \frac{0.2}{2.0} \right|$
$B = \frac{25 \mu_0}{2} \left| 0.2 - 0.1 \right|$
$B = \frac{25 \mu_0}{2} \times 0.1 = \frac{2.5 \mu_0}{2} = \frac{5}{4} \mu_0 \text{ T}$.

(B) वृत्ताकार लूप की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र: $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2 + x^2)^{3/2}}$
लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र: $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2a}$
दोनों क्षेत्रों का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{axis}}} = \frac{\mu_0 I}{2a} \times \frac{2(a^2 + x^2)^{3/2}}{\mu_0 I a^2} = \frac{(a^2 + x^2)^{3/2}}{a^3}$
यहाँ $a = 6 \ cm$ और $x = 8 \ cm$ दिया गया है:
$\frac{B_{\text{centre}}}{B_{\text{axis}}} = \frac{(6^2 + 8^2)^{3/2}}{6^3} = \frac{(36 + 64)^{3/2}}{216} = \frac{(100)^{3/2}}{216} = \frac{1000}{216}$
चूंकि $B_{\text{axis}} = 216 \ \mu T$ दिया गया है:
$B_{\text{centre}} = 216 \times \frac{1000}{216} = 1000 \ \mu T$.

(D) लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र और वृत्ताकार लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र का योग है।
$R$ दूरी पर स्थित सीधे तार के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{\text{wire}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi R}$ (अंदर की ओर)।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{\text{loop}} = \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \times \frac{2 \pi}{2 \pi} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 \pi I}{R}$ (अंदर की ओर)।
चूंकि दोनों चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ है:
$B = B_{\text{wire}} + B_{\text{loop}}$
$B = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi R} + \frac{2 \mu_0 I \pi}{4 \pi R}$
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I}{R} (\pi + 1)$ (अंदर की ओर)।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $r$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा प्रवाहित करने वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों कुंडलियाँ समान हैं और उनमें समान धारा प्रवाहित हो रही है,इसलिए प्रत्येक कुंडली के कारण सामान्य केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण समान होगा,अर्थात $B_1 = B_2 = B$।
चूंकि कुंडलियों के तल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B_1$ और $B_2$ परस्पर लंबवत हैं।
केंद्र पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}}$ सदिश योग द्वारा दिया जाता है:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$
$B_1 = B_2 = B$ रखने पर:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2B^2} = \sqrt{2}B$
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण और किसी एक कुंडली के कारण चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण का अनुपात है:
$\frac{B_{\text{net}}}{B} = \frac{\sqrt{2}B}{B} = \frac{\sqrt{2}}{1}$
अतः,अनुपात $\sqrt{2}: 1$ है।

(B) तार के अंदर एक बिंदु के लिए $(r < a)$:
चुंबकीय क्षेत्र $B_{in} = \frac{\mu_0 I r}{2 \pi a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $B_{in} \propto r$, जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
तार के बाहर एक बिंदु के लिए $(r > a)$:
चुंबकीय क्षेत्र $B_{out} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $B_{out} \propto \frac{1}{r}$, जो एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है।
सतह पर $(r = a)$, चुंबकीय क्षेत्र अधिकतम होता है: $B_{max} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi a}$।
इसलिए, ग्राफ $r = a$ तक एक रैखिक वृद्धि और फिर $r > a$ के लिए एक अतिपरवलयिक गिरावट को दर्शाता है।

(A) जब बैटरी को व्यासीय विपरीत बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच जोड़ा जाता है,तो वलय दो समान अर्धवृत्ताकार चापों $ACB$ और $ADB$ में विभाजित हो जाता है।
चूंकि चाप समानांतर में हैं,इसलिए दोनों के बीच विभवांतर समान $(12 \text{ V})$ है।
मान लीजिए $R_1$ और $R_2$ दो अर्धवृत्ताकार भागों के प्रतिरोध हैं। समान लंबाई और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के कारण,$R_1 = R_2 = R_{arc}$ है।
ओम के नियम के अनुसार,चाप $ACB$ से प्रवाहित धारा $I_1$ और चाप $ADB$ से प्रवाहित धारा $I_2$ समान होगी क्योंकि प्रतिरोध समान हैं $(I_1 = I_2 = I/2)$।
$I'$ धारा ले जाने वाली अर्धवृत्ताकार चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I'}{4R}$ होता है।
चाप $ACB$ के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $(B_1)$,$\frac{\mu_0 (I/2)}{4R}$ है जो तल के अंदर की ओर निर्देशित है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके)।
चाप $ADB$ के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $(B_2)$,$\frac{\mu_0 (I/2)}{4R}$ है जो तल के बाहर की ओर निर्देशित है।
चूंकि परिमाण समान हैं और दिशाएं विपरीत हैं,इसलिए केंद्र पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ है।

(A) धारावाही लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{C} = \frac{\mu_{0}I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{A} = \frac{\mu_{0}Ir^{2}}{2(x^{2} + r^{2})^{3/2}}$ होता है।
दिया गया है कि $B_{C} = 5\sqrt{5} B_{A}$,अतः:
$\frac{\mu_{0}I}{2r} = 5\sqrt{5} \left( \frac{\mu_{0}Ir^{2}}{2(x^{2} + r^{2})^{3/2}} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{1}{r} = \frac{5\sqrt{5}r^{2}}{(x^{2} + r^{2})^{3/2}}$.
$(x^{2} + r^{2})^{3/2} = 5\sqrt{5}r^{3} = (5^{1/2})^{3}r^{3} = (5^{1/2}r)^{3}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$(x^{2} + r^{2})^{1/2} = 5^{1/2}r$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$x^{2} + r^{2} = 5r^{2}$.
$x^{2} = 4r^{2} \Rightarrow x = 2r$.
यहाँ $r = 0.1 \ m$ दिया गया है,इसलिए $x = 2 \times 0.1 \ m = 0.2 \ m$.

(A) घूमते हुए आवेश द्वारा उत्पन्न समतुल्य धारा $I$ को सूत्र $I = \frac{q}{t}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन समय $t$ में $n$ चक्कर लगाता है, इसलिए किसी बिंदु से गुजरने वाला कुल आवेश $q = n \times e$ होता है।
अतः, $I = \frac{n \times e}{t} = \left(\frac{n}{t}\right) \times e$.
दिया गया है:
चक्कर की आवृत्ति, $\frac{n}{t} = 9.4 \times 10^{18} \text{ rev/s}$.
इलेक्ट्रॉन का आवेश, $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
मान रखने पर:
$I = (9.4 \times 10^{18}) \times (1.6 \times 10^{-19})$
$I = 9.4 \times 1.6 \times 10^{-1}$
$I = 15.04 \times 0.1 = 1.504 \text{ A}$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें $I = 1.5 \text{ A}$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ त्रिज्या है।
दिया गया है $a = 2\pi \text{ cm} = 2\pi \times 10^{-2} \text{ m}$.
पहली कुंडली के लिए जिसमें धारा $I_1 = 3 \text{ A}$ है:
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3}{4\pi \times 10^{-2}} = 3 \times 10^{-5} \text{ T}$.
दूसरी कुंडली के लिए जिसमें धारा $I_2 = 4 \text{ A}$ है:
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 4}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4}{4\pi \times 10^{-2}} = 4 \times 10^{-5} \text{ T}$.
चूँकि कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ होगा।
$B = \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (4 \times 10^{-5})^2} = \sqrt{9 \times 10^{-10} + 16 \times 10^{-10}} = \sqrt{25 \times 10^{-10}} = 5 \times 10^{-5} \text{ T}$.

(C) बिंदु $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र तीन भागों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग है: सीधा तार $AB$,वृत्ताकार चाप $BC$,और सीधा तार $CD$।
$1$. सीधे तार $AB$ के लिए,बिंदु $O$ तार की अक्ष पर स्थित है। इसलिए,खंड $AB$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{AB} = 0$ है।
$2$. सीधे तार $CD$ के लिए,बिंदु $O$ तार से $r$ लंबवत दूरी पर है। तार $C$ से अनंत तक फैला हुआ है। अर्ध-अनंत तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{CD} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$3$. वृत्ताकार चाप $BC$ के लिए,केंद्र $O$ पर बना कोण $\theta = 270^\circ = \frac{3\pi}{2}$ रेडियन है। वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2r} \cdot \frac{\theta}{2\pi} = \frac{\mu_0 I}{2r} \cdot \frac{3\pi/2}{2\pi} = \frac{3\mu_0 I}{8r}$ है।
चूंकि चाप और अर्ध-अनंत तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों की दिशा समान (कागज के अंदर की ओर) है,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{net} = B_{AB} + B_{arc} + B_{CD} = 0 + \frac{3\mu_0 I}{8r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r} = \frac{3}{8} \frac{\mu_0 I}{r} + \frac{\mu_0 I}{4\pi r}$।

(B) बायोट-सावर्ट नियम एक धारावाही चालक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $d\vec{B}$ का वर्णन करता है।
सदिश रूप में बायोट-सावर्ट नियम इस प्रकार है:
$d\vec{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I(d\vec{l} \times \vec{r})}{r^{3}}$
यहाँ $\vec{r}$ धारा अवयव $I d\vec{l}$ से उस बिंदु तक का स्थिति सदिश है।
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(B) ओर्स्टेड के प्रयोग और बायो-सावर्ट नियम के अनुसार,एक सीधा धारावाही चालक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। एक लंबे सीधे धारावाही तार के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं संकेंद्रित वृत्त बनाती हैं,जिनका केंद्र तार होता है। इसलिए,विकल्प $B$ सही है। फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाले बल की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है,न कि स्वयं क्षेत्र की दिशा के लिए। एक आदर्श सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र समान होता है।

(B) एक अनंत लंबाई के सीधे धारावाही चालक से लंबवत दूरी $r$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $B \propto \frac{1}{r}$ है।
यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जहाँ $r$ बढ़ने पर $B$ घटता है। अतः,विकल्प $B$ में दिया गया ग्राफ इस परिवर्तन को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) स्थिति-$I$: फेरों की संख्या,$N_1 = 9$ है। केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 N_1 I}{2 R} = \frac{9 \mu_0 I}{2 R}$ है।
स्थिति-$II$: फेरों की संख्या,$N_2 = 3$ है। माना नई त्रिज्या $R'$ है। चूंकि तार की कुल लंबाई समान रहती है,इसलिए $N_1 (2 \pi R) = N_2 (2 \pi R')$.
मान रखने पर: $9 (2 \pi R) = 3 (2 \pi R') \Rightarrow R' = 3 R$.
नया चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2 R'} = \frac{\mu_0 \times 3 \times I}{2 \times 3 R} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ होगा।
$B_2$ और $B_1$ की तुलना करने पर: $\frac{B_2}{B_1} = \frac{\mu_0 I / 2 R}{9 \mu_0 I / 2 R} = \frac{1}{9}$।
अतः,$B_2 = \frac{B_1}{9}$।

(D) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
कुंडली की अक्ष पर $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$B_{\text{centre}} = 64 \times B_{\text{axis}}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\mu_0 I}{2R} = 64 \times \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
समान पदों को काटने पर,$\frac{1}{R} = \frac{64 R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$.
यह $(R^2 + x^2)^{3/2} = 64 R^3$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$(R^2 + x^2)^{1/2} = 4R$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$R^2 + x^2 = 16R^2$.
अतः,$x^2 = 15R^2$,जिससे $x = R\sqrt{15}$ प्राप्त होता है।

(B) धारावाही वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(x^2 + r^2)^{3/2}}$
जहाँ $I$ धारा है,$n$ फेरों की संख्या है,$r$ कुंडली की त्रिज्या है और $x$ केंद्र से बिंदु की दूरी है।
दिया गया है $x = \sqrt{3} r$,इसे सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2((\sqrt{3} r)^2 + r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(3r^2 + r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(4r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(8r^3)}$
$B = \frac{\mu_0 n I}{16r}$

(A) बायो-सावर के नियम के अनुसार,धारा अवयव $i d l$ के कारण किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $dB$ का व्यंजक इस प्रकार है:
$dB = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{i (d l \times r)}{r^{3}}$
यहाँ,$i$ विद्युत धारा है,$d l$ लंबाई अवयव सदिश है,$r$ उस बिंदु का स्थिति सदिश है जहाँ क्षेत्र की गणना करनी है,और $\mu_{0}$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है।
अतः,सही व्यंजक $\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{d l \times r}{r^{3}}$ है।

(D) $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta$ (रेडियन में) होने पर,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दी गई आकृति में,चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$ है।
कोण को रेडियन में बदलने पर: $\theta = 300^{\circ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}} = \frac{5\pi}{3} \text{ रेडियन}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R} \times \left( \frac{5\pi}{3} \right)$
$B = \frac{5 \mu_0 I}{12 R}$

(A) $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र,जो केंद्र पर $\theta$ कोण बनाता है,$B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,कोण $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ रेडियन}$ है।
$R_1$ त्रिज्या के आंतरिक चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_{0} I (\pi/3)}{4 \pi R_1} = \frac{\mu_{0} I}{12 R_1}$ (कागज के तल के अंदर की ओर) है।
$R_2$ त्रिज्या के बाहरी चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_{0} I (\pi/3)}{4 \pi R_2} = \frac{\mu_{0} I}{12 R_2}$ (कागज के तल के बाहर की ओर) है।
सीधे खंड $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में योगदान नहीं देते हैं क्योंकि $O$ का स्थिति सदिश धारा तत्वों के साथ संरेखीय है।
$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 - B_2 = \frac{\mu_{0} I}{12} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ है।

(D) $I_{1}$ धारा ले जाने वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार लूप के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R}$ है।
$I_{2}$ धारा ले जाने वाले लंबे सीधे चालक से $d = OA + AB = R + R = 2R$ की लंबवत दूरी पर स्थित केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi (2R)} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{4 \pi R}$ है।
चूंकि केंद्र $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,इसलिए लूप और सीधे चालक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए: $B_{1} = B_{2}$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{4 \pi R}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{I_{1}}{2} = \frac{I_{2}}{4 \pi}$।
अतः,धाराओं का अनुपात: $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{2}{4 \pi} = \frac{1}{2 \pi}$ है।