Torque , Potential Energy and Work Done in Mangetic Field Questions in Hindi

(A) धारावाही कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = N I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $N = 50$,$I = 2\, A$,$r = 4\, cm = 0.04\, m$,$B = 0.1\, Wb/m^2$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.04)^2 = 3.14 \times 16 \times 10^{-4} = 50.24 \times 10^{-4}\, m^2$.
$M = 50 \times 2 \times 50.24 \times 10^{-4} = 0.5024\, A\cdot m^2$.
चुंबकीय द्विध्रुव को चुंबकीय क्षेत्र में $\theta_1 = 0^\circ$ से $\theta_2 = 180^\circ$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ होता है।
$W = MB(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ) = MB(1 - (-1)) = 2MB$.
$W = 2 \times 0.5024 \times 0.1 = 0.10048\, J \approx 0.1\, J$.

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही लूप पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$,सूत्र $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m} = NIA\hat{n}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
परिमाण के रूप में,$\tau = NIAB \sin \theta$,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,$A$ लूप का क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है और $\theta$ क्षेत्रफल सदिश तथा चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
चूंकि बल आघूर्ण $IA$ (चुंबकीय आघूर्ण) के गुणनफल पर निर्भर करता है,इसलिए यह लूप के क्षेत्रफल,धारा और चुंबकीय क्षेत्र पर निर्भर करता है।
हालाँकि,बल आघूर्ण लूप के विशिष्ट आकार पर निर्भर नहीं करता है,बशर्ते क्षेत्रफल $A$ स्थिर रहे।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = NIA$ है।
प्रारंभ में,कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के लंबवत है,जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$\overrightarrow{B}$ के समानांतर है। अतः,प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 0^\circ$ है।
जब कुंडली को ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः $180^\circ$ घुमाया जाता है,तो क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$\overrightarrow{B}$ के प्रति-समानांतर (anti-parallel) हो जाता है,इसलिए अंतिम कोण $\theta_2 = 180^\circ$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $W = (NIA)B(\cos 0^\circ - \cos 180^\circ)$.
चूंकि $\cos 0^\circ = 1$ और $\cos 180^\circ = -1$,हमें प्राप्त होता है $W = (NIA)B(1 - (-1)) = (NIA)B(2) = 2NAIB$.

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau}$,चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{M}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$
$n$ फेरों,$i$ धारा और $\vec{A}$ क्षेत्रफल सदिश वाली कुंडली के लिए चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{M} = ni\vec{A}$ के रूप में परिभाषित होता है।
इस मान को टॉर्क के समीकरण में रखने पर:
$\vec{\tau} = (ni\vec{A}) \times \vec{B} = ni(\vec{A} \times \vec{B})$.

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = mB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m = iA$ चुंबकीय आघूर्ण है।
चूंकि सभी लूप के लिए धारा $i$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए टॉर्क लूप के क्षेत्रफल $A$ के सीधे आनुपातिक है $(\tau \propto A)$।
निश्चित परिधि (तार की लंबाई) के लिए,एक ज्यामितीय आकार द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल वृत्त के लिए अधिकतम होता है।
दिए गए आकारों (आयत और वृत्त) में से,$2.0 \, m$ की समान परिधि के लिए वृत्ताकार लूप $S$ का क्षेत्रफल अधिकतम है।
इसलिए,चुंबकीय आघूर्ण $m = iA$ और परिणामी टॉर्क $\tau$ लूप $S$ के लिए अधिकतम होगा।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण (टॉर्क) $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m}$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
टॉर्क का परिमाण $\tau = mB \sin(\theta)$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{m}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{m}$ हमेशा कुंडली के तल के लंबवत होता है।
यदि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के लंबवत है,तो $\vec{m}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $0^o$ या $180^o$ होता है।
इस स्थिति में,$\tau = mB \sin(0^o) = 0$ या $\tau = mB \sin(180^o) = 0$ होता है।
अतः,जब चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के लंबवत होता है,तो कुंडली घूमने की प्रवृत्ति नहीं रखेगी।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में एक धारावाही लूप पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{M}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
लूप के संतुलन में रहने के लिए,कुल टॉर्क शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\vec{\tau} = 0$।
यह तब होता है जब $\vec{M}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $0^\circ$ या $180^\circ$ हो।
चूंकि $\vec{M}$ हमेशा लूप के तल के लंबवत होता है,इसलिए $\vec{M}$ को $\vec{B}$ के समानांतर होने के लिए,लूप का तल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,लूप का तल चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के साथ $90^\circ$ के कोण पर झुका होता है।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखी धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\tau$,$\tau = \vec{m} \times \vec{B}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m}$ कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण का परिमाण $m = niA$ होता है,जहाँ $n$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है और $A$ कुंडली का क्षेत्रफल है।
टॉर्क का मान $\tau = mB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और कुंडली के तल के अभिलंब के बीच का कोण है।
$m$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tau = ni AB \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,सही व्यंजक $ni AB \sin \theta$ है।

(D) जब एक धारावाही लूप को एक समान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो लूप पर लगने वाला कुल बल $\vec{F} = I \oint d\vec{l} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि किसी भी बंद लूप के लिए $\oint d\vec{l} = 0$ होता है,इसलिए लूप पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
हालाँकि,लूप एक टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ का अनुभव कर सकता है,जो लूप को घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।
यह आकर्षण या प्रतिकर्षण के शुद्ध बल का अनुभव नहीं करता है,और न ही यह आवश्यक रूप से अपने गुरुत्वाकर्षण केंद्र के चारों ओर दोलन करता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से कोई भी भौतिक प्रभाव का सही वर्णन नहीं करता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = NBiA \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$N = 100$,$B = 0.2\, Wb/m^2$,$i = 2\, A$,और क्षेत्रफल $A = 8\, cm \times 10\, cm = 0.08\, m \times 0.1\, m = 0.008\, m^2$ है।
चूंकि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के समानांतर है,इसलिए $\theta = 90^\circ$,अतः $\sin 90^\circ = 1$।
मान रखने पर: $\tau = 100 \times 0.2 \times 2 \times 0.008 = 0.32\, Nm$।
भुजा $AD$ पर फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर,धारा नीचे की ओर बहती है। चुंबकीय क्षेत्र $N$ से $S$ (बाएं से दाएं) की ओर है। भुजा $AD$ पर बल $F = i(L \times B)$ पेज के अंदर की ओर कार्य करता है। अतः,टॉर्क भुजा $AD$ को पेज के अंदर की ओर घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = N I A B \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ कुंडली के अभिलंब (normal) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
दिया गया है: $N = 100$,$I = 1\,A$,$B = 0.5\,T$,और क्षेत्रफल $A = 20\,cm \times 20\,cm = 0.2\,m \times 0.2\,m = 0.04\,m^2$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के समानांतर है,इसलिए कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ होगा।
अतः,$\tau = N I A B \sin(90^\circ) = 100 \times 1 \times 0.04 \times 0.5 \times 1$.
$\tau = 100 \times 0.02 = 2\,N-m$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर लगने वाला टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\theta$ लूप के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का कोण है।
चूँकि लूप का तल चुंबकीय क्षेत्र $B$ के समानांतर है, इसलिए लूप के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
$l$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ होता है।
इन मानों को टॉर्क के सूत्र में रखने पर:
$\tau = 1 \times I \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \right) \times B \times \sin(90^\circ)$
$\tau = \frac{\sqrt{3}}{4} I B l^2$
अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखी धारावाही कुंडली पर एक चुंबकीय टॉर्क कार्य करता है,जिसे $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\vec{M}$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,$E.M.F.$ केवल तब प्रेरित होता है जब कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है $(\varepsilon = -d\phi/dt)$।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है और कुंडली के क्षेत्र के सापेक्ष गति करने या उसका अभिविन्यास बदलने का उल्लेख नहीं है,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता है। अतः,कोई $E.M.F.$ प्रेरित नहीं होता है।
इस प्रकार,केवल टॉर्क उत्पन्न होता है। सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 0.01\,m^2$,धारा $I = 10\,A$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.1\,T$ है।
लूप को चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत रखा गया है,जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
सूत्र:
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{M}$ चुंबकीय आघूर्ण है।
टॉर्क का परिमाण $\tau = M B \sin \theta$ है,जहाँ $M = I A$ है।
गणना:
$M = I \times A = 10\,A \times 0.01\,m^2 = 0.1\,A\cdot m^2$ है।
चूंकि लूप क्षेत्र के लंबवत है,लूप के अभिलंब (क्षेत्रफल सदिश) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^{\circ}$ है।
$\tau = M B \sin(0^{\circ}) = 0.1 \times 0.1 \times 0 = 0\,N\cdot m$।

(C) जब $m$ चुंबकीय आघूर्ण वाले एक चुंबकीय द्विध्रुव (magnetic dipole) को बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखा जाता है,तो उस पर लगने वाला टॉर्क $\tau$,चुंबकीय आघूर्ण और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,टॉर्क को $\tau = m \times B$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इसके विपरीत,चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दी जाती है: $U = -m \cdot B$।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में स्थित धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = \vec{M} \times \vec{B}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{M}$ कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = MB \sin \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M}$ (जो कुंडली के तल के लंबवत होता है) और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
चूंकि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए कुंडली के तल का अभिलंब चुंबकीय क्षेत्र के साथ $90^\circ$ का कोण बनाता है। अतः,$\theta = 90^\circ$ है।
वृत्ताकार कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = iA = i(\pi r^2)$ होता है।
इन मानों को बल आघूर्ण के सूत्र में रखने पर:
$\tau = (i \pi r^2) B \sin 90^\circ = \pi r^2 i B$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला अधिकतम टॉर्क $\tau_{\max}$ का सूत्र है: $\tau_{\max} = N I A B$,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,$A$ कुंडली का क्षेत्रफल है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
$L$ लंबाई के तार से $N$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली बनाने पर,एक फेरे की परिधि $2\pi r = L/N$ होती है,इसलिए त्रिज्या $r = L/(2\pi N)$ होगी।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (L / (2\pi N))^2 = L^2 / (4\pi N^2)$ होगा।
इस मान को टॉर्क के समीकरण में रखने पर: $\tau_{\max} = N I B (L^2 / (4\pi N^2)) = (I B L^2) / (4\pi N)$।
अतः,$\tau_{\max} \propto 1/N$। इसलिए,अधिकतम टॉर्क $N$ के व्युत्क्रमानुपाती है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\tau = NiAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। अधिकतम टॉर्क के लिए,$\sin \theta = 1$,इसलिए $\tau_{\max} = NiAB$ होगा।
दिया गया है कि $L$ लंबाई के तार से एक एकल वृत्ताकार कुंडली $(N=1)$ बनाई गई है,इसलिए परिधि $2\pi r = L$ होगी,जिससे त्रिज्या $r = \frac{L}{2\pi}$ प्राप्त होती है।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2\pi} \right)^2 = \frac{L^2}{4\pi}$ है।
इन मानों को टॉर्क के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $\tau_{\max} = 1 \times i \times \left( \frac{L^2}{4\pi} \right) \times B = \frac{L^2iB}{4\pi}$।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ सूत्र $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और कुंडली के क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के लंबवत है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो कुंडली के तल के लंबवत होता है) चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के समानांतर होगा।
अतः,$\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
बल आघूर्ण के सूत्र में $\theta = 0^\circ$ रखने पर: $\tau = NIAB \sin(0^\circ) = NIAB \times 0 = 0\, Nm$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -M \cdot B = -MB \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश $M$ (जो अभिलंब $\hat{n}$ की दिशा में है) और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का कोण है।
दी गई आकृतियों से:
$I$ के लिए: $\theta = 180^\circ$,इसलिए $U_I = -MB \cos(180^\circ) = +MB$.
$II$ के लिए: $\theta = 90^\circ$,इसलिए $U_{II} = -MB \cos(90^\circ) = 0$.
$III$ के लिए: $\theta = 45^\circ$ (लगभग),इसलिए $U_{III} = -MB \cos(45^\circ) = -0.707MB$.
$IV$ के लिए: $\theta = 135^\circ$ (लगभग),इसलिए $U_{IV} = -MB \cos(135^\circ) = +0.707MB$.
मानों की तुलना करने पर: $U_I (+MB) > U_{IV} (+0.707MB) > U_{II} (0) > U_{III} (-0.707MB)$.
अतः,घटता क्रम $I > IV > II > III$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में रखी धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $(\tau)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = NBiA \sin \theta$,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,$i$ धारा है,$A$ कुंडली का क्षेत्रफल है,और $\theta$ कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
चूंकि $\tau \propto \sin \theta$,टॉर्क और कोण $\theta$ के बीच का संबंध एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) परिवर्तन का पालन करता है।
जब $\theta = 0^\circ$ होता है,तो $\tau = 0$ होता है।
जब $\theta = 90^\circ$ होता है,तो $\tau$ अधिकतम $(\tau_{max} = NBiA)$ होता है।
जब $\theta = 180^\circ$ होता है,तो $\tau = 0$ होता है।
इसलिए,इस संबंध को दर्शाने वाला ग्राफ एक ज्यावक्रीय वक्र है,जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{M}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = MB \sin \alpha$ है,जहाँ $\alpha$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M}$ (जो कुंडली के तल के लंबवत होता है) और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
यह दिया गया है कि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र $B$ के साथ $\theta$ कोण बनाता है,इसलिए कुंडली के अभिलंब ($\vec{M}$ की दिशा) और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $\alpha = 90^\circ - \theta$ होगा।
इस मान को बल आघूर्ण के सूत्र में रखने पर: $\tau = MB \sin(90^\circ - \theta) = MB \cos \theta$.
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण $M = niA$ है,इसलिए हमें $\tau = niAB \cos \theta$ प्राप्त होता है।

(A) जब कुंडली से धारा $I$ प्रवाहित होती है,तो यह चुंबकीय टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ का अनुभव करती है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के क्षेत्रफल सदिश के लंबवत है,$\theta = 90^\circ$,इसलिए $\tau = NIAB$।
यह टॉर्क धुरी $O$ से $l$ दूरी पर बैलेंस पैन पर रखे गए अतिरिक्त द्रव्यमान $\Delta m$ के कारण लगने वाले टॉर्क द्वारा संतुलित होता है।
वजन के कारण टॉर्क $\tau_{weight} = \Delta m \cdot g \cdot l$ है।
दोनों टॉर्क को बराबर करने पर: $NIAB = \Delta mgl$।
$B$ के लिए सूत्र: $B = \frac{\Delta mgl}{NIA}$।
दिए गए मान: $N = 200$,$I = 22 \times 10^{-3} \, A$,$A = 1.0 \times 10^{-4} \, m^2$,$\Delta m = 60 \times 10^{-6} \, kg$,$l = 0.3 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$।
मान रखने पर:
$B = \frac{60 \times 10^{-6} \times 9.8 \times 0.3}{200 \times 22 \times 10^{-3} \times 1.0 \times 10^{-4}}$
$B = \frac{176.4 \times 10^{-6}}{4.4 \times 10^{-4}} \approx 0.4 \, T$।

(C) परिनालिका का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = N I A$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $N = 2000$,$I = 2.0 \, A$,$A = 1.5 \times 10^{-4} \, m^2$.
$M = 2000 \times 2.0 \times 1.5 \times 10^{-4} = 0.6 \, A \cdot m^2$.
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = M B \sin \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश (परिनालिका की अक्ष) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
दिया गया है: $B = 5 \times 10^{-2} \, T$ और $\theta = 30^o$.
$\tau = 0.6 \times (5 \times 10^{-2}) \times \sin 30^o$.
$\tau = 0.6 \times 5 \times 10^{-2} \times 0.5 = 1.5 \times 10^{-2} \, Nm$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m} = NI\vec{A}$ चुंबकीय आघूर्ण है।
$XY$-समतल में स्थित लूप के लिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$Z$-अक्ष की दिशा में (समतल के लंबवत) होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ भी धनात्मक $Z$-दिशा में दिया गया है।
चूँकि $\vec{A}$ और $\vec{B}$ दोनों $Z$-अक्ष के समांतर हैं,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
अतः,टॉर्क का मान $\tau = mB \sin(0^\circ) = 0$ होगा।

(D) जब एक धारा लूप को चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो यह $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया गया टॉर्क अनुभव करता है,जहाँ $\vec{M}$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
टॉर्क का परिमाण $\tau = MB \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$,$\vec{M}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
संतुलन तब होता है जब टॉर्क शून्य होता है,जो $\sin \theta = 0$ यानी $\theta = 0^{\circ}$ या $\theta = 180^{\circ}$ पर होता है।
$1$. जब $\theta = 0^{\circ}$ होता है,तो $\vec{M}$ और $\vec{B}$ समानांतर होते हैं। यह न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $(U = -MB)$ की स्थिति है,जो स्थिर संतुलन को दर्शाती है।
$2$. जब $\theta = 180^{\circ}$ होता है,तो $\vec{M}$ और $\vec{B}$ प्रति-समानांतर होते हैं। यह अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $(U = +MB)$ की स्थिति है,जो अस्थिर संतुलन को दर्शाती है।
अतः,लूप दो अभिविन्यासों में संतुलन में हो सकता है,एक स्थिर और दूसरी अस्थिर।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\tau = N I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ कुंडली के तल के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
दिया गया है: $N = 50$,$I = 2\, A$,$B = 0.2\, Wb/m^2$,और क्षेत्रफल $A = 0.12\, m \times 0.1\, m = 0.012\, m^2$.
कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर है,इसलिए कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
मान रखने पर: $\tau = 50 \times 2 \times 0.012 \times 0.2 \times \sin 60^{\circ}$.
$\tau = 100 \times 0.0024 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.24 \times 0.866 = 0.2078\, Nm \approx 0.20\, Nm$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = mB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
जब कुंडली को उसकी संतुलन स्थिति से $180^o$ घुमाया जाता है ($\theta_1 = 0^o$ से $\theta_2 = 180^o$), तो किया गया कार्य $W = mB(\cos 0^o - \cos 180^o) = mB(1 - (-1)) = 2mB$ होता है।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण $m = NIA$ है, इसलिए $W = 2(NIA)B$ होगा।
दिया गया है:
$N = 250$
$I = 85 \times 10^{-6}\, A$
$A = 2.1 \times 10^{-2}\, m \times 1.25 \times 10^{-2}\, m = 2.625 \times 10^{-4}\, m^2$
$B = 0.85\, T$
इन मानों को रखने पर:
$W = 2 \times 250 \times (85 \times 10^{-6}) \times (2.625 \times 10^{-4}) \times 0.85$
$W = 9.403 \times 10^{-6}\, J \approx 9.4\, \mu J$.
नोट: प्रश्न में दिए गए गणना चरणों का उपयोग करने पर $(250 \times 85 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{-4} \times 0.85 \times 2)$, उत्तर $9.1\, \mu J$ प्राप्त होता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। अधिकतम टॉर्क के लिए,$\sin \theta = 1$,इसलिए $\tau_{\max} = NIAB$ होगा।
मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। यदि कुंडली में $N$ फेरे हैं और त्रिज्या $r$ है,तो $L = N(2\pi r)$,जिसका अर्थ है $r = \frac{L}{2\pi N}$।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2\pi N} \right)^2 = \frac{L^2}{4\pi N^2}$ है।
टॉर्क के समीकरण में $A$ का मान रखने पर: $\tau_{\max} = Ni \left( \frac{L^2}{4\pi N^2} \right) B = \frac{i L^2 B}{4\pi N}$।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $\tau_{\max} \propto \frac{1}{N}$ है।
अतः,टॉर्क को अधिकतम करने के लिए,फेरों की संख्या $N$ यथासंभव कम होनी चाहिए। चूंकि एक कुंडली के लिए फेरों की न्यूनतम संख्या $1$ होती है,इसलिए टॉर्क तब अधिकतम होता है जब $N = 1$ हो।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m}$ लूप के तल के लंबवत चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण सदिश है।
टॉर्क तब शून्य होता है जब चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर होता है। यह तब होता है जब लूप का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है।
दिए गए चित्र में,लूप का तल चुंबकीय क्षेत्र $B$ के साथ $\theta$ का कोण बनाता है। लूप के अभिलंब ($\vec{m}$ की दिशा) और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $(90^o + \theta)$ है।
लूप तब तक घूमेगा जब तक कि उसका तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत न हो जाए,जो वह स्थिति है जहाँ टॉर्क शून्य हो जाता है। आवश्यक कुल घूर्णन कोण $(90^o + \theta)$ है।

(A) धारावाही रिंग का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = i A = i (\pi r^2)$ होता है।
चुंबकीय क्षेत्र के कारण रिंग पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र रिंग के तल में है,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण सदिश (रिंग के तल के लंबवत) और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण $90^\circ$ है।
अतः,टॉर्क का परिमाण $\tau = \mu B \sin(90^\circ) = i \pi r^2 B$ है।
रिंग अपने ऊर्ध्वाधर व्यास के परितः घूमेगी। व्यास के परितः रिंग का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2} m r^2$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के घूर्णी रूप $\tau = I \alpha$ का उपयोग करने पर:
$i \pi r^2 B = \left( \frac{1}{2} m r^2 \right) \alpha$
$\alpha = \frac{2 i \pi B}{m}$
दिए गए मानों ($i = 4 \ A$,$B = 10 \ T$,$m = 2 \ kg$) को रखने पर:
$\alpha = \frac{2 \times 4 \times \pi \times 10}{2} = 40 \pi \ rad/s^2$.

(B) गोले के संतुलन में रहने के लिए,संपर्क बिंदु $O$ के परितः कुल बलाघूर्ण (torque) शून्य होना चाहिए।
गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ गोले के केंद्र से नीचे की ओर कार्य करता है। संपर्क बिंदु $O$ के परितः गुरुत्वाकर्षण बल के लिए लीवर आर्म $R \sin \theta$ है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बलाघूर्ण $\tau_{g} = mg R \sin \theta$ है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $\mu = i A = i (\pi R^2)$ है।
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कुंडली पर लगने वाला चुंबकीय बलाघूर्ण $\tau_{m} = \mu B \sin \phi$ है,जहाँ $\phi$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है। चूंकि कुंडली का तल नत समतल के समानांतर है,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण सदिश नत समतल के लंबवत है। चुंबकीय क्षेत्र $B$ ऊर्ध्वाधर है। ऊर्ध्वाधर और नत समतल के लंबवत के बीच का कोण $\theta$ है। अतः,$\phi = \theta$ है।
बलाघूर्णों को बराबर करने पर: $\tau_{m} = \tau_{g}$
$i \pi R^2 B \sin \theta = mg R \sin \theta$
$B$ के लिए हल करने पर: $B = \frac{mg}{\pi i R}$.

(B) घूमती हुई आवेशित डिस्क धारा लूपों के समूह की तरह व्यवहार करती है। चुंबकीय क्षेत्र $B$ केवल डिस्क के दाहिने आधे हिस्से में मौजूद है।
केंद्र से $r$ दूरी पर डिस्क के एक छोटे तत्व पर विचार करें। घूर्णन वृत्ताकार पथ में धारा $dI$ उत्पन्न करता है। $v$ वेग से गतिमान आवेश तत्व $dq$ पर चुंबकीय बल $dF = dq(v \times B)$ है।
चूंकि डिस्क दक्षिणावर्त घूम रही है,दाहिने आधे हिस्से पर,आवेशों के वेग सदिश $v$ ऊपरी चतुर्थांश में नीचे की ओर और निचले चतुर्थांश में ऊपर की ओर निर्देशित होते हैं।
$F = q(v \times B)$ के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,जहां $B$ नीचे की ओर निर्देशित है (चित्र के अनुसार),ऊपरी दाहिने चतुर्थांश पर बल तल के बाहर की ओर और निचले दाहिने चतुर्थांश पर बल तल के अंदर की ओर निर्देशित होता है।
ये बल केंद्र से गुजरने वाले क्षैतिज अक्ष के परितः टॉर्क उत्पन्न करते हैं। विशेष रूप से,टॉर्क सदिश बाईं ओर निर्देशित होता है। अतः,डिस्क पर कुल टॉर्क सदिश बाईं ओर निर्देशित है।

(B) कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = N I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $N = 2n$,$I = 2I$,और $A = 2a$।
अतः,$M = (2n)(2I)(2a) = 8nIa$।
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\tau = M B \sin \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र और कुंडली के तल के अभिलंब के बीच का कोण है।
कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। इसलिए,कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
वैकल्पिक रूप से,टॉर्क को $\tau = M B \cos \alpha$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $\alpha$ कुंडली के तल और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
यहाँ,$\alpha = 60^{\circ}$ है।
अतः,$\tau = (8nIa) B \cos 60^{\circ} = 8BnaI \cos 60^{\circ}$।

(D) एक अनंत लंबे सीधे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है। इस क्षेत्र की दिशा तार और द्विध्रुव वाले तल के लंबवत होती है।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण $p_m$ तार के समानांतर है,इसलिए $p_m$ और $B$ के बीच का कोण $90^\circ$ है।
द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = p_m \times B$ है। चूंकि $p_m$,$B$ के लंबवत है,इसलिए टॉर्क का परिमाण $\tau = p_m B \sin(90^\circ) = p_m B \neq 0$ है। अतः,विकल्प $B$ गलत है।
द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -p_m \cdot B = -p_m B \cos(90^\circ) = 0$ है। यह न्यूनतम मान नहीं है (जो $0^\circ$ पर $-p_m B$ होता)। अतः,विकल्प $A$ गलत है।
असमान चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल $F = \nabla(p_m \cdot B)$ होता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ तार से दूरी $r$ के साथ बदलता है $(B \propto 1/r)$,इसलिए प्रवणता $\nabla B$ शून्य नहीं है। अतः,द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल शून्य नहीं है। इसलिए,विकल्प $C$ गलत है।
चूंकि कोई भी कथन सही नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) धारा लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{M}$,$\overrightarrow{M} = I \overrightarrow{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ की दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
स्थायी संतुलन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{M}$ को चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के समानांतर होना चाहिए (अर्थात,$\theta = 0^\circ$)।
अस्थायी संतुलन के लिए,चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{M}$ को चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के प्रति-समानांतर होना चाहिए (अर्थात,$\theta = 180^\circ$)।
चित्र $(a)$ में,धारा $yz$-तल में प्रवाहित होती है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ $+x$ दिशा में इंगित करता है।
चित्र $(b)$ में,धारा $xy$-तल में प्रवाहित होती है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ $+z$ दिशा में इंगित करता है। चूंकि $\overrightarrow{B}$ $+z$ दिशा में है,इसलिए $\overrightarrow{M} \parallel \overrightarrow{B}$,जो स्थायी संतुलन के अनुरूप है।
चित्र $(c)$ में,धारा $xz$-तल में प्रवाहित होती है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ $-y$ दिशा में इंगित करता है।
चित्र $(d)$ में,धारा $xy$-तल में प्रवाहित होती है। दाएं हाथ के नियम के अनुसार,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ $-z$ दिशा में इंगित करता है। चूंकि $\overrightarrow{B}$ $+z$ दिशा में है,इसलिए $\overrightarrow{M}$,$\overrightarrow{B}$ के प्रति-समानांतर है,जो अस्थायी संतुलन के अनुरूप है।
अतः,$(b)$ स्थायी है और $(d)$ अस्थायी है।

(A) $I$ धारा वाले $R$ त्रिज्या के बड़े लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
$i$ धारा वाले $r$ त्रिज्या के छोटे लूप का चुंबकीय आघूर्ण $m = i A = i (\pi r^2)$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों लूप के तल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{m}$ (छोटे लूप के तल के लंबवत) और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ (बड़े लूप के तल के लंबवत) के बीच का कोण $90^\circ$ है।
अतः,टॉर्क का परिमाण $\tau = m B \sin(90^\circ) = m B$ होगा।
मान रखने पर: $\tau = (i \pi r^2) \times (\frac{\mu_0 I}{2R}) = \frac{\mu_0 \pi i I r^2}{2R}$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{\mu}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
टॉर्क का परिमाण $\tau = \mu B \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ लूप के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र लूप के तल के समानांतर है,इसलिए लूप का अभिलंब चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है। अतः,$\theta = 90^{\circ}$ और $\sin 90^{\circ} = 1$.
चुंबकीय आघूर्ण $\mu = I A = I (\pi r^2)$.
दिया गया है: $I = 10.0 \, mA = 10.0 \times 10^{-3} \, A$,$r = 1.00 \, m$,$B = 0.500 \, T$.
$\tau = (I \pi r^2) B = (10.0 \times 10^{-3} \, A) \times (\pi \times (1.00 \, m)^2) \times (0.500 \, T)$
$\tau = 10.0 \times 10^{-3} \times 3.14159 \times 0.500 = 1.570795 \times 10^{-2} \, N \cdot m \approx 1.57 \times 10^{-2} \, N \cdot m$.

(A) वर्गाकार लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec m = I_0 A \hat n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = L^2$ क्षेत्रफल है और $\hat n$ लूप के लंबवत इकाई सदिश है। चूंकि लूप $xy-$ तल में है,इसलिए $\hat n = \hat k$ है। अतः,$\vec m = I_0 L^2 \hat k.$
चुंबकीय क्षेत्र $\vec B$ $xy-$ तल में $x-$ अक्ष के साथ $45^o$ के कोण पर है,इसलिए $\vec B = B \cos 45^o \hat i + B \sin 45^o \hat j = \frac{B}{\sqrt 2} (\hat i + \hat j).$
टॉर्क $\vec \tau$ को $\vec \tau = \vec m \times \vec B$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec \tau = (I_0 L^2 \hat k) \times \left( \frac{B}{\sqrt 2} (\hat i + \hat j) \right)$
$\vec \tau = \frac{I_0 L^2 B}{\sqrt 2} (\hat k \times \hat i + \hat k \times \hat j)$
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों $\hat k \times \hat i = \hat j$ और $\hat k \times \hat j = -\hat i$ का उपयोग करते हुए,
$\vec \tau = \frac{I_0 L^2 B}{\sqrt 2} (\hat j - \hat i) = \frac{B I_0 L^2}{\sqrt 2} (- \hat i + \hat j).$

(A) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के अनुदिश है,जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल सदिश (और इसलिए चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है। अतः,$\theta_i = 90^{\circ}$।
जब कुंडली $90^{\circ}$ घूमती है,तो उसका तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत हो जाता है,इसलिए $\vec{M}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $0^{\circ}$ हो जाता है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = गतिज ऊर्जा में वृद्धि।
$KE = U_i - U_f = (-MB \cos 90^{\circ}) - (-MB \cos 0^{\circ}) = 0 - (-MB) = MB$।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A = I(\pi R^2)$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा $KE = \pi R^2 IB$ होगी।

(A) वलय के क्षैतिज स्थिति में बने रहने के लिए,निलंबन बिंदु के परितः कुल बलाघूर्ण (torque) शून्य होना चाहिए।
गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ वलय के केंद्र पर कार्य करता है,जो निलंबन बिंदु के परितः $\tau_g = mgR$ का बलाघूर्ण उत्पन्न करता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ धारावाही वलय पर एक चुंबकीय बलाघूर्ण लगाता है। वलय का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = I A = I(\pi R^2)$ है।
चुंबकीय बलाघूर्ण $\tau_m = M B_0 = I(\pi R^2) B_0$ द्वारा दिया जाता है।
संतुलन के लिए बलाघूर्णों को बराबर करने पर: $\tau_g = \tau_m$.
$mgR = I(\pi R^2) B_0$.
$I$ के लिए हल करने पर: $I = \frac{mgR}{\pi R^2 B_0} = \frac{mg}{\pi R B_0}$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ सूत्र $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{M} = i A \vec{n}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
टॉर्क का परिमाण $\tau = i A B \sin \theta$ होता है।
चूंकि विद्युत धारा $i$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ और कोण $\theta$ सभी लूप के लिए समान हैं,इसलिए टॉर्क लूप के क्षेत्रफल $A$ के सीधे आनुपातिक है $(\tau \propto A)$।
दी गई परिधि (तार की लंबाई) के लिए,सभी ज्यामितीय आकृतियों में वृत्त का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है।
इसलिए,लूप $S$ (जो वृत्ताकार है) का क्षेत्रफल अधिकतम है,और परिणामस्वरूप,लूप $S$ पर अधिकतम टॉर्क कार्य करेगा।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m} = i \vec{A}$ चुंबकीय आघूर्ण है।
चूंकि $\vec{B}$ कुंडली के तल में है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = i A B \sin 90^{\circ} = i A B$ होगा।
$l$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ होता है।
इसे बल आघूर्ण के समीकरण में रखने पर: $\tau = i \left( \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 \right) B$ प्राप्त होता है।
$l^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $l^2 = \frac{4 \tau}{\sqrt{3} i B}$।
वर्गमूल लेने पर: $l = \sqrt{\frac{4 \tau}{\sqrt{3} i B}} = 2 \left( \frac{\tau}{\sqrt{3} i B} \right)^{1/2}$।

(D) घूर्णन करती आवेशित डिस्क का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = \frac{q}{2m} L$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ डिस्क का कोणीय संवेग है।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाली डिस्क के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}mr^2$ है। अतः,कोणीय संवेग $L = I\omega = \frac{1}{2}mr^2\omega$ है।
$M$ के व्यंजक में $L$ का मान रखने पर,हमें $M = \frac{q}{2m} \left( \frac{1}{2}mr^2\omega \right) = \frac{q\omega r^2}{4}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$,$\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
टॉर्क का परिमाण $\tau = MB \sin \theta = \frac{q\omega r^2}{4} B \sin \theta$ है।
चुंबकीय आघूर्ण की दिशा और सदिश गुणनफल के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर,टॉर्क दक्षिणावर्त दिशा में कार्य करता है।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ वाले चुंबकीय द्विध्रुव द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
टॉर्क का परिमाण $|\vec{\tau}| = MB \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ $\vec{M}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है।
हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,कक्षीय चुंबकीय आघूर्ण $M$ का मान बोहर मैग्नेटोन के बराबर होता है,$M = \frac{eh}{4\pi m}$।
इन मानों को टॉर्क के सूत्र में रखने पर:
$\tau = \left(\frac{eh}{4\pi m}\right) B \sin 30^{\circ}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\tau = \left(\frac{eh}{4\pi m}\right) B \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{ehB}{8\pi m}$।
अतः,कक्षीय इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\frac{ehB}{8\pi m}$ है।

(D) बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में स्थित धारावाही लूप पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
चुंबकीय आघूर्ण को $\vec{m} = I \vec{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $I$ धारा है और $\vec{A}$ लूप का क्षेत्रफल सदिश है।
इसे टॉर्क के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\vec{\tau} = I(\vec{A} \times \vec{B})$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि टॉर्क धारा $(I)$,क्षेत्रफल सदिश $(\vec{A})$,और बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $(\vec{B})$ पर निर्भर करता है।
यद्यपि क्षेत्रफल सदिश लूप के आकार और माप पर निर्भर करता है,टॉर्क स्वयं क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के सीधे समानुपाती होता है।
चूंकि टॉर्क $I$,$\vec{A}$,और $\vec{B}$ पर निर्भर करता है,इसलिए दिए गए विकल्पों में से ऐसा कोई नहीं है जिस पर यह निर्भर न करता हो। अतः सही उत्तर 'None' (इनमें से कोई नहीं) है।

(D) बाह्य चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ में धारावाही लूप के स्थिर संतुलन में होने के लिए,इसकी स्थितिज ऊर्जा $U$ न्यूनतम होनी चाहिए।
स्थितिज ऊर्जा $U = -\overrightarrow{M} \cdot \overrightarrow{B} = -MB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\overrightarrow{M}$ लूप का चुंबकीय आघूर्ण है और $\theta$ $\overrightarrow{M}$ और $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण है।
$U$ तब न्यूनतम होता है जब $\cos \theta = 1$ हो,जिसका अर्थ है $\theta = 0^{\circ}$। इसका मतलब है कि चुंबकीय आघूर्ण $\overrightarrow{M}$ को चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के समानांतर होना चाहिए।
प्रत्येक लूप के लिए $\overrightarrow{M}$ की दिशा ज्ञात करने के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए:
- विकल्प $A$ में,धारा $yz$-तल में बहती है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$\overrightarrow{M}$ $+x$-अक्ष की दिशा में है। चूंकि $\overrightarrow{B}$ $+y$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ है।
- विकल्प $B$ में,धारा $xy$-तल में बहती है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$\overrightarrow{M}$ $+z$-अक्ष की दिशा में है। चूंकि $\overrightarrow{B}$ $+y$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ है।
- विकल्प $C$ में,धारा $xy$-तल में बहती है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$\overrightarrow{M}$ $-z$-अक्ष की दिशा में है। चूंकि $\overrightarrow{B}$ $-z$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ है।
- विकल्प $D$ में,धारा $yz$-तल में बहती है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,$\overrightarrow{M}$ $+x$-अक्ष की दिशा में है। चूंकि $\overrightarrow{B}$ $+x$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ है।
$C$ और $D$ दोनों स्थिर संतुलन का प्रतिनिधित्व करते हैं। मानक प्रस्तुतियों के आधार पर,$D$ सबसे सामान्य उदाहरण है।

(C) धारावाही लूप का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$,$\vec{M} = I \vec{A}$ द्वारा परिभाषित होता है,जहाँ $\vec{A}$ लूप के तल के लंबवत क्षेत्रफल सदिश है। $\vec{A}$ की दिशा दाएं हाथ के अंगूठे के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है।
एक निकाय स्थिर संतुलन में तब होता है जब स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{M} \cdot \vec{B}$ न्यूनतम होती है। यह तब होता है जब चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर होता है (अर्थात उनके बीच का कोण $0^\circ$ होता है)।
यह देखते हुए कि $\vec{B}$ धनात्मक $Z-$ दिशा में है,लूप को इस तरह से उन्मुख होना चाहिए कि उसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (और इस प्रकार $\vec{M}$) धनात्मक $Z-$ दिशा में इंगित करे। लूप में धारा प्रवाह पर दाएं हाथ के नियम को लागू करने पर,हम पाते हैं कि वह अभिविन्यास जहाँ लूप $XY-$ तल में स्थित है और धारा वामावर्त दिशा में बह रही है (जब धनात्मक $Z-$ अक्ष से देखा जाता है),तो $\vec{M}$,$\vec{B}$ के समानांतर हो जाता है। दिए गए विकल्पों में से,यह उस विन्यास के अनुरूप है जहाँ चुंबकीय आघूर्ण क्षेत्र के साथ संरेखित होता है।

(D) $N$ फेरों,$A = \pi r^2$ क्षेत्रफल और $I$ धारा वाली कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = NIA \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ कुंडली के तल के लंबवत इकाई सदिश है।
चूंकि कुंडली $XZ$ तल में है,इसलिए इसका लंबवत सदिश $Y$-अक्ष की दिशा में है,अतः $\vec{M} = NI(\pi r^2) \hat{j}$ होगा।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B \hat{i}$ है।
कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\vec{\tau} = (NI \pi r^2 \hat{j}) \times (B \hat{i})$.
क्रॉस प्रोडक्ट नियम $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ का उपयोग करने पर,हमें $\vec{\tau} = -NI \pi r^2 B \hat{k}$ प्राप्त होता है।
टॉर्क का परिमाण $|\vec{\tau}| = NI \pi r^2 B$ है।

(B) कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = N I A \hat{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N = 100$,$I = 3\,A$,और $A = 5\,cm \times 2\,cm = 10^{-3}\,m^2$ है।
चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $M = 100 \times 3 \times 10^{-3} = 0.3\,Am^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 1\,T$,$X$-अक्ष के अनुदिश है।
प्रारंभ में कुंडली $X-Z$ तल में है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $Y$-अक्ष के अनुदिश है। जब कुंडली को $Z$-अक्ष के परितः $45^{\circ}$ झुकाया जाता है,तो क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ हो जाता है।
टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ है,और इसका परिमाण $\tau = M B \sin \theta$ है।
मान रखने पर: $\tau = 0.3 \times 1 \times \sin 45^{\circ} = 0.3 \times 0.707 = 0.212\,Nm$.