Biot-Savart's Law and its application Questions in Hindi

(A) $I$ धारा ले जाने वाले और केंद्र पर $\theta$ (रेडियन में) कोण बनाने वाले $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi r}$ है।
अर्ध-वृत्ताकार चाप के लिए,केंद्र पर बना कोण $\theta = \pi$ रेडियन है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi r} = \frac{\mu_{0} I}{4 r}$.
अतः,बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $\frac{\mu_{0} I}{4 r}$ है।

(B) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों तारों के बीच मध्य बिंदु $P$ पर,प्रत्येक तार से दूरी $d$ है।
पहले तार के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ है (दाएं हाथ के नियम के अनुसार कागज के तल के अंदर की ओर)।
दूसरे तार के कारण $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ है (दाएं हाथ के नियम के अनुसार कागज के तल के बाहर की ओर)।
चूंकि धाराएं समान दिशा में हैं,इसलिए मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं।
अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = 0$ होगा।

(D) धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए मध्य-बिंदु पर उनके चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।
दोनों तार मध्य-बिंदु से $r = 1.5 \,m$ की दूरी पर हैं।
पहले तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi r} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{3}{1.5} = \frac{2 \mu_{0}}{2 \pi}$ है।
दूसरे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi r} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{4.5}{1.5} = \frac{3 \mu_{0}}{2 \pi}$ है।
चूंकि क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{1} + B_{2} = \frac{2 \mu_{0}}{2 \pi} + \frac{3 \mu_{0}}{2 \pi} = \frac{5 \mu_{0}}{2 \pi}$ होगा।

(D) मान लीजिए कि तार $z$-अक्ष पर हैं। चूंकि $P$ से तारों तक की रेखाएं लंबवत हैं और $P$ समान दूरी पर है,इसलिए प्रत्येक तार से $P$ की दूरी $r = d / \sqrt{2} = 5 / \sqrt{2} \ cm = 0.05 / \sqrt{2} \ m$ है।
लंबे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 I / (2 \pi r)$ होता है।
$B_1 = (4 \pi \times 10^{-7} \times 4) / (2 \pi \times (0.05 / \sqrt{2})) = 1.6 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.
$B_2 = (4 \pi \times 10^{-7} \times 3) / (2 \pi \times (0.05 / \sqrt{2})) = 1.2 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं और रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(1.6 \sqrt{2} \times 10^{-5})^2 + (1.2 \sqrt{2} \times 10^{-5})^2} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-5} \ T$.

(D) आवेश $q = 1000e = 1000 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-16} \ C$.
घूर्णन की आवृत्ति $f = 1 \ Hz$.
तुल्य धारा $I = qf = 1.6 \times 10^{-16} \times 1 = 1.6 \times 10^{-16} \ A$.
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
दिया गया है $B = x \mu_0$,जहाँ $x = 2 \times 10^{-16}$.
अतः,$x \mu_0 = \frac{\mu_0 I}{2r} \implies x = \frac{I}{2r}$.
मान रखने पर: $2 \times 10^{-16} = \frac{1.6 \times 10^{-16}}{2r}$.
$2 = \frac{0.8}{r} \implies r = \frac{0.8}{2} = 0.4 \ m$.

(C) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। एक फेरे के लिए,त्रिज्या $R$ का मान $L = 2 \pi R$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $R = L / (2 \pi)$। केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R} = \frac{\mu_0 I}{2(L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$ है।
जब उसी तार को $n$ फेरों में मोड़ा जाता है,तो नई त्रिज्या $r_1$ का मान $L = n(2 \pi r_1)$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $r_1 = L / (2 \pi n) = R / n$।
$n$ फेरों के लिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B' = n \frac{\mu_0 I}{2 r_1}$ है।
$r_1 = R / n$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B' = n \frac{\mu_0 I}{2 (R / n)} = n^2 \frac{\mu_0 I}{2 R} = n^2 B$ प्राप्त होता है।

(A) तार तीन खंडों से बना है: $(i)$ एक सीधा अर्ध-अनंत तार,(ii) $R$ त्रिज्या का एक अर्धवृत्ताकार चाप,और (iii) एक और सीधा अर्ध-अनंत तार।
खंड $(i)$ के लिए,बिंदु '$O$' तार की अक्ष पर स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = 0$ होगा।
खंड (iii) के लिए,बिंदु '$O$' भी तार की अक्ष पर स्थित है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_3 = 0$ होगा।
खंड (ii) के लिए,अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,'$O$' पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 + B_3 = 0 + \frac{\mu_0 I}{4 R} + 0 = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ होगा।

(C) मान लीजिए तारों के बीच की दूरी $2d$ है। एक लंबे तार के कारण $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$ होता है।
जब धाराएं एक ही दिशा में होती हैं,तो मध्य बिंदु पर क्षेत्र एक-दूसरे के विपरीत होते हैं: $B_1 - B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi d} (I_1 - I_2) = 8 \times 10^{-6} \ T$ (समीकरण $1$)।
जब $I_2$ की दिशा उलट दी जाती है,तो क्षेत्र जुड़ जाते हैं: $B_1 + B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi d} (I_1 + I_2) = 3.2 \times 10^{-5} \ T$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ को समीकरण $2$ से विभाजित करने पर: $\frac{I_1 - I_2}{I_1 + I_2} = \frac{8 \times 10^{-6}}{32 \times 10^{-6}} = \frac{1}{4}$।
तिर्यक गुणा करने पर $4I_1 - 4I_2 = I_1 + I_2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3I_1 = 5I_2$ मिलता है।
अतः,अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \frac{3}{5}$ है।

(A) मान लीजिए कि दो तार $W_1$ और $W_2$ हैं। उनके बीच की दूरी $2r$ है। बिंदु $P$, $W_2$ से $r$ दूरी पर और $W_1$ से $3r$ दूरी पर है।
दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए, $W_1$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ कागज के तल के अंदर की ओर (क्रॉस) है और इसका परिमाण $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$ है।
$W_2$ के कारण बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ कागज के तल के बाहर की ओर (डॉट) है और इसका परिमाण $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ है।
यदि हम दोनों क्षेत्रों का योग करें (जैसा कि विकल्प $A$ में संकेत दिया गया है), तो $B_{net} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} = \frac{\mu_0 I + 3 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{4 \mu_0 I}{6 \pi r} = \frac{2}{3} \frac{\mu_0 I}{\pi r}$।

(A) मान लीजिए कि दो तारों के बीच की दूरी $d$ है। मध्य बिंदु की प्रत्येक तार से दूरी $r = d/2$ है।
एक लंबे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है।
मध्य बिंदु के लिए,$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (d/2)} = \frac{\mu_0 I}{\pi d}$ होगा।
स्थिति $1$: धाराएं एक ही दिशा में हैं। मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं। परिणामी क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{\pi d} (I_1 - I_2) = 6 \times 10^{-6} \ T$ है।
स्थिति $2$: $I_2$ की दिशा उलट दी गई है। अब चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में हैं। परिणामी क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{\pi d} (I_1 + I_2) = 3 \times 10^{-5} \ T$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{I_1 + I_2}{I_1 - I_2} = \frac{3 \times 10^{-5}}{6 \times 10^{-6}} = \frac{30}{6} = 5$.
$I_1 + I_2 = 5 I_1 - 5 I_2 \implies 4 I_1 = 6 I_2 \implies \frac{I_1}{I_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
अतः,$I_1 : I_2$ का अनुपात $3 : 2$ है।

(A) $N$ फेरों और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $I$ धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2R}$ होता है।
मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। पहली कुंडली के लिए,$L = N_1 (2\pi R_1)$,जहाँ $N_1 = 9$ है। अतः,$R_1 = \frac{L}{18\pi}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 N_1 I}{2R_1} = \frac{\mu_0 (9) I}{2(L/18\pi)} = \frac{81 \mu_0 I \pi}{L}$ है।
दूसरी कुंडली के लिए,$N_2 = 3$ है। अतः,$R_2 = \frac{L}{2\pi N_2} = \frac{L}{6\pi}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 N_2 I}{2R_2} = \frac{\mu_0 (3) I}{2(L/6\pi)} = \frac{9 \mu_0 I \pi}{L}$ है।
$B_1$ और $B_2$ की तुलना करने पर,$\frac{B_2}{B_1} = \frac{9}{81} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।
अतः,$B_2 = \frac{B_1}{9}$।

(A) $I$ धारा वहन करने वाले $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार तार के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ द्वारा दिया जाता है।
$R_1$ त्रिज्या वाले बड़े अर्धवृत्त के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4R_1}$ है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,बाहर की ओर)।
$R_2$ त्रिज्या वाले छोटे अर्धवृत्त के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_2}$ है (दाएं हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,अंदर की ओर)।
सीधे खंड $PQ$ और $SR$ केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र में कोई योगदान नहीं देते हैं क्योंकि बिंदु $O$ उनकी अक्ष पर स्थित है।
अतः,$O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2 = \frac{\mu_0 I}{4R_1} - \frac{\mu_0 I}{4R_2} = \frac{\mu_0 I}{4} \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$ होगा।

(C) $n$ फेरों वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 n I}{2R}$।
दिए गए मान:
$B = 3.14 \times 10^{-4} \ T$
$I = 0.4 \ A$
$R = 8 \ cm = 0.08 \ m$
$\mu_0 = 12.56 \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
सूत्र में मान रखने पर:
$3.14 \times 10^{-4} = \frac{(12.56 \times 10^{-7}) \times n \times 0.4}{2 \times 0.08}$
$3.14 \times 10^{-4} = \frac{12.56 \times 10^{-7} \times n \times 0.4}{0.16}$
$3.14 \times 10^{-4} = (78.5 \times 10^{-7}) \times 0.4 \times n$
$3.14 \times 10^{-4} = 31.4 \times 10^{-7} \times n$
$n = \frac{3.14 \times 10^{-4}}{31.4 \times 10^{-7}} = 100$।

(B) $N$ फेरों,$R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली एक वृत्ताकार कुंडली द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ होता है।
दिए गए चित्र में,दोनों कुंडलियाँ समान हैं और परस्पर लंबवत तलों में (एक $xy$-तल में और दूसरी $yz$-तल में) रखी गई हैं।
मान लीजिए $B_1$ कुंडली $1$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र है और $B_2$ कुंडली $2$ के कारण चुंबकीय क्षेत्र है। दोनों का परिमाण $B = \frac{\mu_0 NI}{2R}$ है।
चूंकि कुंडलियाँ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए सामान्य केंद्र $O$ पर उनके चुंबकीय क्षेत्र सदिश भी एक-दूसरे के लंबवत होंगे।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2B^2} = B\sqrt{2}$.
$B$ का मान रखने पर:
$B_{net} = \left( \frac{\mu_0 NI}{2R} \right) \sqrt{2} = \frac{\mu_0 NI}{\sqrt{2}R}$.

(B) $r$ त्रिज्या वाले एक लंबे सीधे तार के लिए जिसमें धारा $I$ समान रूप से वितरित है:
$1$. तार के अंदर $(x < r)$,अक्ष से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I x}{2 \pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$2$. $x = \frac{r}{2}$ दूरी पर,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I (r/2)}{2 \pi r^2} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$3$. तार के बाहर $(x > r)$,अक्ष से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B^1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi x}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. $x = 3r$ दूरी पर,चुंबकीय क्षेत्र $B^1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi (3r)} = \frac{\mu_0 I}{6 \pi r}$ है।
$5$. अनुपात $\frac{B}{B^1} = \frac{\mu_0 I / 4 \pi r}{\mu_0 I / 6 \pi r} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।

(C) $n$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,उसके केंद्र से $x$ दूरी पर अक्ष पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + x^2)^{3/2}}$
यहाँ $x = 2\sqrt{2}r$ दिया गया है।
सूत्र में $x$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + (2\sqrt{2}r)^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + 8r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(9r^2)^{3/2}}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(3r)^3}$
$B = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(27r^3)}$
$B = \frac{\mu_0 n I}{54r}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र तार के तीन भागों के कारण है: दो सीधे अर्ध-अनंत खंड और एक चतुर्थांश-वृत्ताकार चाप।
$1$. सीधे तार खंड $1$ (अर्ध-अनंत) के लिए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$2$. सीधे तार खंड $3$ (अर्ध-अनंत) के लिए,$P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_3 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ है।
$3$. $r$ त्रिज्या वाले चतुर्थांश-वृत्ताकार चाप $2$ के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{1}{4} \left( \frac{\mu_0 I}{2 r} \right) = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,इस प्रकार के मानक पाठ्यपुस्तक प्रश्नों के आधार पर सबसे उपयुक्त उत्तर $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{4 r}$ है।

(C) चालक तीन भागों से बना है: दो अर्ध-अनंत सीधे तार और एक वृत्ताकार चाप।
$1$. दो अर्ध-अनंत सीधे तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र: प्रत्येक तार केंद्र '$o$' पर $B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ का क्षेत्र उत्पन्न करता है। दो तारों के लिए कुल क्षेत्र $B_{straight} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होगा।
$2$. वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र: यदि हम चाप को एक पूर्ण वृत्त के रूप में मानें,तो केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होगा।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_{straight} + B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{2r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}(\pi + 1)$।

(A) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित अक्षीय बिंदु $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
दिया गया है कि $B_1 = \frac{B_2}{8}$,अतः:
$\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R}$.
$8R^3 = (R^2 + x^2)^{3/2}$.
दोनों पक्षों की घात $2/3$ लेने पर:
$(8R^3)^{2/3} = R^2 + x^2$.
$4R^2 = R^2 + x^2$.
$x^2 = 3R^2$.
$x = R \sqrt{3}$.

(D) मान लीजिए कि दो चालकों के बीच की दूरी $2d$ है। $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $d$ दूरी पर मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ होता है।
जब धाराएं समान दिशा में होती हैं,तो मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होते हैं। अतः,कुल क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1 - I_2) = 20 \mu T$ है।
जब $I_2$ की दिशा उलट दी जाती है,तो मध्य बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं। अतः,कुल क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1 + I_2) = 50 \mu T$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{I_1 + I_2}{I_1 - I_2} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर: $2(I_1 + I_2) = 5(I_1 - I_2) \implies 2I_1 + 2I_2 = 5I_1 - 5I_2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $7I_2 = 3I_1$,जिससे $\frac{I_2}{I_1} = \frac{3}{7}$ प्राप्त होता है।

(C) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
कुंडली की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$B_{axis} = \frac{1}{27} B_{centre}$.
मान रखने पर: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$.
सरल करने पर: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27R}$.
यह $\frac{R^3}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{27}$ में बदल जाता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{R}{(R^2 + x^2)^{1/2}} = \frac{1}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{R^2}{R^2 + x^2} = \frac{1}{9}$.
$9R^2 = R^2 + x^2$,जिससे $x^2 = 8R^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \sqrt{8}R = 2\sqrt{2}R$.

(A) $I$ धारा और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों कुंडलियाँ समान हैं और उनके तल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनके द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ का परिमाण समान होगा: $B_1 = B_2 = \frac{\mu_0 I}{2R}$।
चूंकि तल लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र सदिश $B_1$ और $B_2$ भी एक-दूसरे के लंबवत होंगे।
परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net}$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है: $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$।
$B_1 = B_2 = B$ रखने पर,$B_{net} = \sqrt{B^2 + B^2} = \sqrt{2} B$।
$B$ का मान रखने पर: $B_{net} = \sqrt{2} \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = \frac{\mu_0 I}{\sqrt{2} R}$।
दिया गया है $I = \sqrt{2} \text{ A}$ और $R = 1 \text{ m}$,इसलिए $B_{net} = \frac{\mu_0 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times 1} = \mu_0$।

(D) एक पतली समान रूप से आवेशित घूमती हुई वलय एक धारावाही लूप की तरह कार्य करती है।
धारावाही वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ $(i)$
$N$ आवृत्ति (प्रति सेकंड चक्कर) के साथ घूमते हुए आवेश $q$ द्वारा उत्पन्न धारा $I$ है:
$I = q \times N$
समीकरण $(i)$ में $I$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 (qN)}{2 R}$
आवेश $q$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$q = \frac{2 RB}{\mu_0 N}$

(B) वृत्ताकार पथ पर गतिमान आवेशित कण एक धारावाही लूप की तरह व्यवहार करता है।
माना आवेश $q = 100e$ और घूर्णन की आवृत्ति $f = 1 \ Hz$ है।
तुल्य धारा $I = q \times f = 100e \times 1 = 100e$ है।
यहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ और त्रिज्या $r = 0.8 \ m$ है।
वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 \times 100 \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8}$
$B = \frac{\mu_0 \times 160 \times 10^{-19}}{1.6}$
$B = \mu_0 \times 100 \times 10^{-19} = 10^{-17} \mu_0$.

(A) $I_c$ धारा वाले $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{loop} = \frac{\mu_0 I_c}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_w$ धारा वाले लंबे सीधे तार से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{wire} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$ द्वारा दिया जाता है।
लूप के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,इन दोनों चुंबकीय क्षेत्रों का परिमाण समान होना चाहिए और उनकी दिशाएँ विपरीत होनी चाहिए:
$B_{loop} = B_{wire}$
$\frac{\mu_0 I_c}{2 R} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$
दोनों पक्षों से $\mu_0$ और $2$ को हटाने पर:
$\frac{I_c}{R} = \frac{I_w}{\pi d}$
$d$ के लिए हल करने पर:
$d = \frac{R I_w}{\pi I_c}$

(B) $I$ धारा ले जाने वाले $r$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$,जो केंद्र पर $\theta$ (रेडियन में) कोण बनाता है,का सूत्र है:
$B = \frac{\mu_0 I \theta}{4 \pi r}$
दिया गया है कि कोण $\theta = \frac{\pi}{8}$ रेडियन है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \frac{\pi}{8}$
$B = \frac{\mu_0 I}{32 r}$
अतः,केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $\frac{\mu_0 I}{32 r}$ है।

(C) बिंदु '$O$' पर चुंबकीय क्षेत्र दो अर्ध-अनंत सीधे तारों और एक चौथाई-वृत्ताकार चाप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों का योग है।
$1$. '$r$' दूरी पर एक अर्ध-अनंत सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{wire} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ होता है। चूंकि दो ऐसे तार ($AB$ और $CD$) हैं,इसलिए उनका संयुक्त योगदान $B_{wires} = 2 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होगा।
$2$. '$r$' त्रिज्या वाले चौथाई-वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \theta$ है,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{2}$ है। अतः,$B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\mu_0 I}{8 r}$ होगा।
$3$. कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{total} = B_{wires} + B_{arc} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} + \frac{\mu_0 I}{8 r}$ है।
$\frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$ को कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$B_{total} = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left(\frac{4 \pi}{2 \pi} + \frac{4 \pi}{8}\right) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} \left(2 + \frac{\pi}{2}\right)$।

(A) $I_C$ धारा वाले $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_C = \frac{\mu_0 I_C}{2R}$ होता है।
$I_w$ धारा वाले लंबे सीधे तार से $d$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_w = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$ होता है।
लूप के केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,लूप और तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान और दिशा विपरीत होनी चाहिए।
अतः,$B_C = B_w$.
$\frac{\mu_0 I_C}{2R} = \frac{\mu_0 I_w}{2 \pi d}$.
दोनों पक्षों से $\mu_0$ और $2$ को हटाने पर,हमें $\frac{I_C}{R} = \frac{I_w}{\pi d}$ प्राप्त होता है।
$d$ के लिए हल करने पर,हमें $d = \frac{R I_w}{\pi I_C}$ प्राप्त होता है।

(D) केंद्र $C$ पर चुंबकीय क्षेत्र सीधे भाग और वृत्ताकार भाग के कारण होता है।
अनंत लंबाई के सीधे तार के लिए,$r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ है।
अर्ध-वृत्ताकार भाग के लिए,केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 I}{4 r}$ है।
चूंकि सीधे भाग और वृत्ताकार भाग द्वारा केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों की दिशाएं विपरीत हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र:
$B = |B_2 - B_1| = |\frac{\mu_0 I}{4 r} - \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}|$
$B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\pi - 2)$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $D$ है।

(B) एक लंबे सीधे धारावाही चालक से $r$ लंबवत दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $B \propto \frac{1}{r}$।
मान लीजिए कि $r_1 = x$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = B$ है।
मान लीजिए कि $r_2 = \frac{x}{3}$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ है।
समानुपातिकता $B_1 r_1 = B_2 r_2$ का उपयोग करने पर:
$B \cdot x = B_2 \cdot \frac{x}{3}$।
$B_2$ के लिए हल करने पर:
$B_2 = B \cdot \frac{x}{x/3} = 3B$।
अतः,$\frac{x}{3}$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $3B$ होगा।

(C) दी गई जानकारी: $R_A = 0.20 \ m$,$I_A = 0.5 \ A$,$R_B = 0.10 \ m$।
वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ है।
कुंडली $A$ के लिए: $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2 R_A}$।
कुंडली $B$ के लिए: $B_B = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$।
सामान्य केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,दोनों कुंडलियों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए और उनकी दिशाएँ विपरीत होनी चाहिए।
चूँकि कुंडली $A$ में धारा वामावर्त दिशा में है,इसलिए कुंडली $B$ में धारा दक्षिणावर्त दिशा में होनी चाहिए।
परिमाणों की तुलना करने पर: $\frac{\mu_0 I_A}{2 R_A} = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$।
अतः,$I_B = I_A \times \frac{R_B}{R_A} = 0.5 \times \frac{0.10}{0.20} = 0.25 \ A$।
इस प्रकार,कुंडली $B$ में धारा $0.25 \ A$ दक्षिणावर्त दिशा में है।

(B) $R$ त्रिज्या वाली और $I$ धारा वहन करने वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
$I$ धारा वाली कुंडली $P$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B_P} = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ है।
$\sqrt{8} I$ धारा वाली कुंडली $Q$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B_Q} = \frac{\mu_0 \sqrt{8} I}{2 R}$ है।
चूंकि कुंडलियाँ लंबवत तलों में हैं,इसलिए उनके चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B_P}$ और $\vec{B_Q}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
कुल चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_{\text{net}} = \sqrt{B_P^2 + B_Q^2}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{\text{net}} = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 \sqrt{8} I}{2 R}\right)^2}$.
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1^2 + (\sqrt{8})^2} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1 + 8} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{9} = \frac{3 \mu_0 I}{2 R}$.

(D) केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाले वृत्ताकार चाप के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\theta}{2 \pi} \times \frac{\mu_0 I}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,चाप परिधि का $\frac{3}{4}$ भाग है,इसलिए अंतरित कोण $\theta = \frac{3}{4} \times 2 \pi = \frac{3 \pi}{2} \text{ रेडियन}$ है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$B = \frac{3 \pi / 2}{2 \pi} \times \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{3}{4} \times \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{3 \mu_0 I}{8 R}$.
दाएँ हाथ के अंगूठे के नियम के अनुसार,चूंकि धारा वामावर्त दिशा में बह रही है,इसलिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र ऊपर की ओर निर्देशित होगा।

(B) $I$ धारा ले जाने वाले वृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र है: $B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{\theta}{2 \pi} \right)$.
यहाँ,केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{\pi / 2}{2 \pi} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \left( \frac{1}{4} \right)$
$B = \frac{\mu_0 I}{8 R}$.

(D) एक लंबे सीधे धारावाही तार से $R$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$
$R$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$R = \frac{\mu_0 I}{2\pi B}$
दिए गए मान:
$I = 12 \ A$
$B = 3 \times 10^{-5} \ Wb/m^2$
$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ Wb/Am$
समीकरण में मान रखने पर:
$R = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 12}{2\pi \times 3 \times 10^{-5}}$
$R = \frac{2 \times 10^{-7} \times 12}{3 \times 10^{-5}}$
$R = \frac{24 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-5}}$
$R = 8 \times 10^{-2} \ m$
मीटर को मिलीमीटर $(mm)$ में बदलने के लिए $1000$ से गुणा करें:
$R = 8 \times 10^{-2} \times 10^3 \ mm = 80 \ mm$

(A) एक लंबे सीधे तार द्वारा $X$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi X}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि बिंदु $P$ से प्रत्येक तार की दूरी $X$ है। चूंकि $P$ को तारों से जोड़ने वाली रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए दो तारों और बिंदु $P$ द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कर्ण $7 \,cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: $X^2 + X^2 = 7^2 \implies 2X^2 = 49 \implies X = \frac{7}{\sqrt{2}} \,cm = \frac{7}{1.4} \times 10^{-2} \,m = 5 \times 10^{-2} \,m$.
दो तारों के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi X}$ और $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi X}$ हैं।
चूंकि धाराओं की दिशाएं विपरीत हैं,इसलिए $P$ पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश एक-दूसरे के लंबवत हैं। अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{\text{net}} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi X} \sqrt{I_1^2 + I_2^2}$ होगा।
मान रखने पर: $B_{\text{net}} = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2 \pi \times 5 \times 10^{-2}} \sqrt{15^2 + 8^2} = \frac{2 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-2}} \sqrt{225 + 64} = \frac{2 \times 10^{-5}}{5} \sqrt{289} = 0.4 \times 10^{-5} \times 17 = 6.8 \times 10^{-5} \,T = 68 \times 10^{-6} \,T$.

(D) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
पहली कुंडली के लिए: $B_1 = \frac{\mu_0 \times 2}{2R} = \frac{\mu_0}{R}$.
दूसरी कुंडली के लिए: $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4}{2(3R)} = \frac{2\mu_0}{3R}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 / R}{2\mu_0 / 3R} = \frac{\mu_0}{R} \times \frac{3R}{2\mu_0} = \frac{3}{2}$.
अतः,$B_1: B_2$ का अनुपात $3: 2$ है।

(D) $I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार से $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
तारों के बीच की दूरी $d = 3 \ m$ दी गई है,इसलिए मध्य बिंदु प्रत्येक तार से $r = 1.5 \ m$ की दूरी पर है।
पहले तार के लिए,$I_1 = 3 \ A$। चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 \times 3}{2 \pi \times 1.5} = \frac{2 \mu_0}{2 \pi}$ है।
दूसरे तार के लिए,$I_2 = 4.5 \ A$। चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 \times 4.5}{2 \pi \times 1.5} = \frac{3 \mu_0}{2 \pi}$ है।
चूंकि धाराएं विपरीत दिशाओं में हैं,दाएं हाथ के नियम के अनुसार,मध्य बिंदु पर दोनों तारों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में होंगे।
अतः,कुल चुंबकीय क्षेत्र $B = B_1 + B_2 = \frac{2 \mu_0}{2 \pi} + \frac{3 \mu_0}{2 \pi} = \frac{5 \mu_0}{2 \pi}$ है।

(D) $R$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ होता है।
पहली कुंडली के लिए जिसमें $I$ धारा प्रवाहित हो रही है,चुंबकीय क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ है।
दूसरी कुंडली के लिए जिसमें $2I$ धारा प्रवाहित हो रही है,चुंबकीय क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0 (2I)}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{R}$ है।
चूंकि दोनों कुंडलियों के तल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ और $B_2$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
केंद्र पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$B = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{\mu_0 I}{R}\right)^2}$
$B = \sqrt{\left(\frac{\mu_0 I}{2 R}\right)^2 + \left(\frac{2 \mu_0 I}{2 R}\right)^2}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 R} \sqrt{1^2 + 2^2}$
$B = \frac{\sqrt{5} \mu_0 I}{2 R}$.

(A) वृत्त में गतिमान इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I = \frac{q}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $q$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $T$ समय अवधि है।
दिया गया है $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ और $T = 1 \ s$,इसलिए $I = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{1} = 1.6 \times 10^{-19} \ A$.
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 0.8}$.
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.6 \times 10^{-19}}{1.6} = 4 \pi \times 10^{-26} \ T$.

(B) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ होता है।
चूँकि धाराएँ विपरीत दिशाओं में हैं, इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र प्रत्येक कुंडली द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का अंतर होगा: $B_{\text{net}} = |B_1 - B_2|$.
दिया गया है: $n_1 = n_2 = 10$, $r_1 = 0.2 \, m$, $r_2 = 0.4 \, m$, $I_1 = 0.2 \, A$, $I_2 = 0.3 \, A$.
$B_1 = \frac{\mu_0 \times 10 \times 0.2}{2 \times 0.2} = \frac{10 \mu_0}{2} = 5 \mu_0$.
$B_2 = \frac{\mu_0 \times 10 \times 0.3}{2 \times 0.4} = \frac{3 \mu_0}{0.8} = 3.75 \mu_0$.
$B_{\text{net}} = 5 \mu_0 - 3.75 \mu_0 = 1.25 \mu_0$.
$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$ रखने पर:
$B_{\text{net}} = 1.25 \times 4 \pi \times 10^{-7} = 5 \pi \times 10^{-7} \, T$.

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ है।
सामान्य केंद्र पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए,कुंडलियों $A$ और $B$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
चूंकि कुंडली $A$ में धारा वामावर्त दिशा में है,इसलिए इसका चुंबकीय क्षेत्र तल के बाहर की ओर होगा। अतः,कुंडली $B$ को तल के अंदर की ओर चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करना चाहिए,जिसके लिए दक्षिणावर्त धारा की आवश्यकता होगी।
माना $I_A = 0.5 \text{ A}$,$R_A = 0.2 \text{ m}$,$R_B = 0.1 \text{ m}$,और $I_B$ कुंडली $B$ में धारा है।
परिमाणों को बराबर रखने पर: $\frac{\mu_0 I_A}{2 R_A} = \frac{\mu_0 I_B}{2 R_B}$.
मान रखने पर: $\frac{0.5}{0.2} = \frac{I_B}{0.1}$.
$I_B = \frac{0.5 \times 0.1}{0.2} = 0.25 \text{ A}$.
अतः,कुंडली $B$ में $0.25 \text{ A}$ की धारा दक्षिणावर्त दिशा में होनी चाहिए।

(C) वृत्ताकार कुंडली की अक्ष पर $h$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_{a} = \frac{\mu_0 n I r^2}{2(r^2 + h^2)^{3/2}}$
कुंडली के केंद्र पर $(h=0)$ चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:
$B_{c} = \frac{\mu_0 n I}{2r}$
$B_c$ और $B_a$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{\mu_0 n I / 2r}{\mu_0 n I r^2 / 2(r^2 + h^2)^{3/2}}$
$\frac{B_c}{B_a} = \frac{(r^2 + h^2)^{3/2}}{r^3} = \left(\frac{r^2 + h^2}{r^2}\right)^{3/2} = \left(1 + \frac{h^2}{r^2}\right)^{3/2}$
अतः,$B_c = B_a \left(1 + \frac{h^2}{r^2}\right)^{3/2}$.

(B) एक वृत्ताकार धारावाही कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $B_{C} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
अक्ष पर केंद्र से $r$ दूरी पर चुंबकीय प्रेरण $B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + r^{2})^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $r = \sqrt{3} R$,इसलिए $B_{A}$ के सूत्र में मान रखने पर:
$B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + (\sqrt{3} R)^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + 3 R^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(4 R^{2})^{3/2}}$.
हर का सरलीकरण करने पर: $(4 R^{2})^{3/2} = (2^{2} R^{2})^{3/2} = (2 R)^{3} = 8 R^{3}$.
अतः,$B_{A} = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(8 R^{3})} = \frac{\mu_{0} I}{16 R}$.
अब,अनुपात $B_{A} : B_{C}$ की गणना करने पर:
$\frac{B_{A}}{B_{C}} = \frac{\frac{\mu_{0} I}{16 R}}{\frac{\mu_{0} I}{2 R}} = \frac{2 R}{16 R} = \frac{1}{8}$.
इस प्रकार,अनुपात $1: 8$ है।

(C) वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि केंद्रों पर चुंबकीय क्षेत्र समान हैं,इसलिए $\frac{\mu_0 I_1}{2 r_1} = \frac{\mu_0 I_2}{2 r_2}$ है।
इसका अर्थ है $\frac{I_1}{I_2} = \frac{r_1}{r_2}$। चूँकि $r_1 = 2r_2$,हमें $\frac{I_1}{I_2} = 2$ प्राप्त होता है (समीकरण $i$)।
तार का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि कुंडलियाँ एक ही तार से बनी हैं,$\rho$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto l$ है।
वृत्ताकार कुंडली के लिए तार की लंबाई $l = 2\pi r$ है,इसलिए $R \propto r$ है।
अतः,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{r_1}{r_2} = 2$ (समीकरण $ii$)।
विभवांतर $V = IR$ है। विभवांतर का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{I_1 R_1}{I_2 R_2}$ है।
(समीकरण $i$) और (समीकरण $ii$) से अनुपात रखने पर,हमें $\frac{V_1}{V_2} = 2 \times 2 = 4$ प्राप्त होता है।

(C) $N$ फेरों,$r$ त्रिज्या और $I$ धारा वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली स्थिति के लिए,$N_1 = 1$,त्रिज्या $r_1$ है,इसलिए $B_1 = \frac{\mu_0 I}{2r_1}$.
दूसरी स्थिति के लिए,$N_2 = n$,त्रिज्या $r_2$ है,इसलिए $B_2 = \frac{\mu_0 nI}{2r_2}$.
तार की कुल लंबाई $L$ स्थिर रहती है। अतः,$L = 2\pi r_1 = n(2\pi r_2)$.
इसका अर्थ है $r_1 = n r_2$,या $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{n}$.
चुंबकीय क्षेत्रों का अनुपात लेने पर:
$\frac{B_1}{B_2} = \frac{\mu_0 I / 2r_1}{\mu_0 nI / 2r_2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}$.
अतः,अनुपात $1:n^2$ है।

(A) $I$ धारा ले जाने वाले $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए चित्र में,दोनों अर्धवृत्ताकार चापों में धारा केंद्र '$O$' के सापेक्ष एक ही दिशा (दक्षिणावर्त) में प्रवाहित होती है।
इसलिए,केंद्र '$O$' पर दोनों चापों द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा (कागज के तल के अंदर) में हैं।
केंद्र '$O$' पर कुल चुंबकीय क्षेत्र व्यक्तिगत चुंबकीय क्षेत्रों का योग है:
$B_{\text{net}} = B_1 + B_2$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{4R_1} + \frac{\mu_0 I}{4R_2}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_0 I}{4} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

(C) सही विकल्प $C$ है।
अवधारणा: किसी तार पर कोई बल कार्य न करे, इसके लिए अन्य दो तारों के कारण उसकी स्थिति पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
$I$ धारा ले जाने वाले एक लंबे सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए तार $A$ से तार $C$ की दूरी $x$ है। तार $B$ से तार $C$ की दूरी $(15 - x) \,cm$ है।
$C$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होने के लिए, तार $A$ और तार $B$ द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
$\frac{\mu_0 I_A}{2 \pi x} = \frac{\mu_0 I_B}{2 \pi (15 - x)}$
$\frac{I_A}{x} = \frac{I_B}{15 - x}$
यहाँ $I_A = 15 \,A$ और $I_B = 10 \,A$ दिया गया है:
$\frac{15}{x} = \frac{10}{15 - x}$
$15(15 - x) = 10x$
$225 - 15x = 10x$
$25x = 225$
$x = 9 \,cm$.

(B) बायो-सावर्ट नियम का उपयोग करते हुए,एक सीधे धारावाही चालक की अक्ष पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है। इसलिए,सीधे खंडों $AO$,$OC$,$DE$ और $FG$ के कारण बिंदु $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है।
पूर्ण वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ होता है।
केंद्र पर $\theta$ कोण बनाने वाली वृत्ताकार चाप के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I \theta}{4\pi R}$ होता है।
यहाँ,दोनों चाप $CD$ और $EF$ बिंदु $O$ पर $90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन का कोण बनाती हैं।
$R_1$ त्रिज्या वाली चाप $CD$ के लिए:
$B_{CD} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi R_1} = \frac{\mu_0 I}{8 R_1}$ (कागज के तल के अंदर की दिशा में)।
$R_2$ त्रिज्या वाली चाप $EF$ के लिए:
$B_{EF} = \frac{\mu_0 I (\pi/2)}{4\pi R_2} = \frac{\mu_0 I}{8 R_2}$ (कागज के तल के अंदर की दिशा में)।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र होगा:
$B = B_{CD} + B_{EF} = \frac{\mu_0 I}{8 R_1} + \frac{\mu_0 I}{8 R_2} = \frac{\mu_0 I}{8} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \frac{\mu_0 I}{8} \left( \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} \right)$.

(D) मान लीजिए तारों के बीच की दूरी $2r$ है। प्रत्येक तार से मध्य बिंदु की दूरी $r$ है। एक लंबे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ होता है।
जब धाराएँ एक ही दिशा में होती हैं,तो मध्य बिंदु पर क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होते हैं। कुल क्षेत्र $B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi r} (I_1 - I_2) = 6 \times 10^{-6} \ T$ है।
जब $I_2$ की दिशा उलट दी जाती है,तो मध्य बिंदु पर क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं। कुल क्षेत्र $B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi r} (I_1 + I_2) = 3 \times 10^{-5} \ T$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{I_1 - I_2}{I_1 + I_2} = \frac{6 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-5}} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$।
$5(I_1 - I_2) = I_1 + I_2 \implies 5I_1 - 5I_2 = I_1 + I_2 \implies 4I_1 = 6I_2$।
अतः,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$।